第七章立體幾何第1講基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)、立體圖形的直觀(guān)圖和幾何體的表面積、體積是考查重點(diǎn)，以選擇、填空題為主，中等難度．

直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算01基礎(chǔ)知識(shí)回顧一、知識(shí)梳理1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相______且______多邊形互相______且______平行全等平行相似名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)側(cè)棱____________相交于______，但不一定相等延長(zhǎng)線(xiàn)交于______側(cè)面形狀__________________________平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線(xiàn)互相平行且相等，______于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)

垂直名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球軸截面________________________________側(cè)面展開(kāi)圖__________________

矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)2.直觀(guān)圖(1)畫(huà)法：常用____________．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀(guān)圖中，x′軸、y′軸的夾角為_(kāi)_________________，z′軸與x′和y′軸所在平面______．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段，直觀(guān)圖中仍__________________，平行于x軸和z軸的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中保持原長(zhǎng)度______，平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度在直觀(guān)圖中變?yōu)樵瓉?lái)的______．斜二測(cè)畫(huà)法45°或135°垂直分別平行于坐標(biāo)軸不變一半3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝__________S圓錐側(cè)＝________S圓臺(tái)側(cè)＝__________2πrlπrlπ(r1＋r2)l4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積4πR2

常用結(jié)論二、教材衍化1．(人A必修第二冊(cè)P105習(xí)題8.1T4改編)下列幾何體是棱臺(tái)的是(

)解析：AC不是由棱錐截成的，不符合棱臺(tái)的定義，故AC不滿(mǎn)足題意．B中的截面不平行于底面，不符合棱臺(tái)的定義，故B不滿(mǎn)足題意．D符合棱臺(tái)的定義．√2.(人A必修第二冊(cè)P106習(xí)題8.1T8改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD

-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，剩下的幾何體是(

)A．棱臺(tái) B.四棱柱C．五棱柱

D.六棱柱√3．(人A必修第二冊(cè)P120習(xí)題8.3T5改編)一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球面上，且長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1，2，3，則球的表面積為_(kāi)_______．答案：14π一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(

)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(

)(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(

)(4)菱形的直觀(guān)圖仍是菱形．(

)(5)在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)．(

)×××××二、易錯(cuò)糾偏1．(弄混幾何體概念、特征致誤)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A．由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱B．棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)C．圓柱側(cè)面上的直線(xiàn)段都是圓柱的母線(xiàn)D．各個(gè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體解析：由五個(gè)面圍成的多面體也可以是四棱錐，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．B，C，D說(shuō)法均正確．√√2．(斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則不清致誤)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是(

)3．(忽略對(duì)圓柱形狀的討論致誤)將一個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為4π，8π的矩形卷成一個(gè)圓柱，則這個(gè)圓柱的表面積是________．解析：當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為4π時(shí)，底面圓的半徑為2，兩個(gè)底面的面積之和是8π；當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為8π時(shí)，底面圓的半徑為4，兩個(gè)底面的面積之和為32π.無(wú)論哪種方式，側(cè)面積都是矩形的面積32π2，故所求的表面積是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π第1課時(shí)空間幾何體及其表面積、體積02核心考點(diǎn)共研考點(diǎn)一基本立體圖形(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用實(shí)物模型認(rèn)識(shí)基本立體圖形，體會(huì)直觀(guān)圖、展開(kāi)圖的含義和作用．角度1結(jié)構(gòu)特征

(1)下列命題正確的是(

)A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．直角梯形以一條直角腰所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓面和矩形面√【解析】(1)如圖所示，可排除A，B選項(xiàng)．對(duì)于D選項(xiàng)只有截面與圓柱的母線(xiàn)平行或垂直，截得的截面才為矩形面或圓面，否則截面為橢圓面或橢圓面的一部分，故選C.(2)(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A．以直角三角形的一條邊所在的直線(xiàn)為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐B．以等腰三角形底邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C．經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線(xiàn)的截面是等腰三角形D．圓錐側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)有可能大于圓錐底面圓的直徑√√√【解析】(2)A不正確，直角三角形繞斜邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐；B正確，以等腰三角形底邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；C正確，因?yàn)閳A錐的母線(xiàn)長(zhǎng)都相等，所以經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線(xiàn)的截面是等腰三角形；D正確，如圖所示，圓錐側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)l有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍(即直徑)．故選BCD.角度2直觀(guān)圖

(1)對(duì)于用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的圖形的直觀(guān)圖來(lái)說(shuō)，下列描述不正確的是(

)A．三角形的直觀(guān)圖仍然是一個(gè)三角形B．90°的角的直觀(guān)圖一定會(huì)變?yōu)?5°的角C．與y軸平行的線(xiàn)段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半D．由于選軸的不同，所得的直觀(guān)圖可能不同√【解析】(1)對(duì)于A，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，相交直線(xiàn)的直觀(guān)圖仍是相交直線(xiàn)，因此三角形的直觀(guān)圖仍是一個(gè)三角形，故A正確；對(duì)于B，90°的角的直觀(guān)圖可以變?yōu)?5°或135°的角，故B錯(cuò)誤；C，D顯然正確．(2)如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀(guān)圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是(

)√√(2)長(zhǎng)方體ABCD

-A1B1C1D1的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，從A到C1沿長(zhǎng)方體的表面的最短距離為_(kāi)_______．基本立體圖形的有關(guān)問(wèn)題(1)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是以后研究線(xiàn)面關(guān)系的基礎(chǔ)，要牢記．(2)斜二測(cè)畫(huà)法的關(guān)鍵在于“三變”，“三不變”．(3)利用空間幾何體的表面展開(kāi)圖可求幾何體的表面積及表面上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題．|跟蹤訓(xùn)練|1．(多選)下列命題正確的是(

)A．有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體為棱臺(tái)B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)C．棱錐是由底面為多邊形，其余各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體D．球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面√√解析：對(duì)于A，有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC截面與底面平行，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由棱錐的定義知由底面為多邊形，其余各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，所以C正確；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面，正確．故選CD.2.如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀(guān)圖，則它的實(shí)際形狀四邊形ABCD為(

)A．平行四邊形

B.梯形C．菱形

D.矩形解析：由斜二測(cè)畫(huà)法可知在原四邊形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，故四邊形ABCD為矩形．√3．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm，20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180°，則圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_______cm2.(結(jié)果中保留π)解析：如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為ccm，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10(cm)，所以SA＝20cm.同理可得SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20cm，所以S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.答案：1100π考點(diǎn)二空間幾何體的表面積(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解球、柱、錐、臺(tái)的表面積的計(jì)算公式．1．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線(xiàn)O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(

)√2．已知圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線(xiàn)長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的表面積為(

)A．81πB.100π

C.168πD.169π√所以r＝2，R＝8.故S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側(cè)＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.3.如圖，設(shè)正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，則此正三棱錐的表面積為_(kāi)_______．解析：如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h′，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，與AB交于點(diǎn)E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.因?yàn)镾側(cè)＝2S底，求解幾何體表面積的類(lèi)型及求法求多面體的表面積將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線(xiàn)長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積考點(diǎn)三空間幾何體的體積(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解球、柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算公式．角度1直接利用公式求體積

(1)(2022·江蘇南通聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D-BB1C1的體積為_(kāi)_______．【解析】(2)如圖，由正方體棱長(zhǎng)為2，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，(2)(2020·新高考卷Ⅱ)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1

-D1MN的體積為_(kāi)_______．√幾何體的體積計(jì)算要點(diǎn)|跟蹤訓(xùn)練|1．(2021·新高考卷Ⅱ)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為(

)√解析：連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，2.如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為_(kāi)_______．03課后達(dá)標(biāo)檢測(cè)

[A

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A．棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等B．棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形D．用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面解析：A正確；B不正確，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行；C不正確，棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)可能不相等；D正確．√√√√√4.(2022·太原市高三模擬)如圖是水平放置的某個(gè)三角形的直觀(guān)圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點(diǎn)且A′D′∥y′軸，A′B′，A′D′，A′C′三條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)原圖形中的線(xiàn)段AB，AD，AC，那么(

)A．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ACB．最長(zhǎng)的是AC，最短的是ABC．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ADD．最長(zhǎng)的是AD，最短的是AC√解析：由題中的直觀(guān)圖可知，A′D′∥y′軸，B′C′∥x′軸，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知，在原圖形中AD∥y軸，BC∥x軸，又因?yàn)镈′為B′C′的中點(diǎn)，所以△ABC為等腰三角形，且AD為底邊BC上的高，則有AB＝AC>AD成立．√6.(2020·高考全國(guó)卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為(

)√7．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線(xiàn)長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．答案：138．(2021·高考全國(guó)卷甲)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．答案：39π9.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.10.如圖所示，底面半徑為1，高為1的圓柱OO1中有一內(nèi)接長(zhǎng)方體A1B1C1D1-ABCD.設(shè)矩形ABCD的面積為S，長(zhǎng)方體A1B1C1D1-ABCD的體積為V，AB＝x.(1)將S表示為x的函數(shù)；解：(1)連接AC(圖略)，因?yàn)榫匦蜛BCD內(nèi)接于⊙O，所以AC為⊙O的直徑．因?yàn)锳C＝2，AB＝x，(2)求V的最大值．解：(2)因?yàn)殚L(zhǎng)方體的高AA1＝1，[B綜合應(yīng)用]11．(2021·新高考卷Ⅱ)北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離)．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀(guān)測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2(1－cosα)(單位：km2)，則S占地球表面積的百分比約為(

)A．26%B.