線性代數(shù)復習指南歡迎來到線性代數(shù)復習指南！本指南旨在幫助你系統(tǒng)地復習線性代數(shù)的核心概念、方法和應用，為你應對考試和實際問題提供全面的支持。通過本指南，你將能夠掌握線性方程組、矩陣運算、向量空間、特征值與特征向量、二次型等關鍵知識點，并了解它們在圖像處理、數(shù)據(jù)分析和機器學習等領域的應用。線性代數(shù)的重要性數(shù)學基礎線性代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的重要組成部分，為許多其他數(shù)學分支提供了基礎工具和理論支持。它不僅是高等數(shù)學的基礎，還在工程學、物理學、計算機科學等領域有廣泛應用。應用廣泛線性代數(shù)在各個領域都有著廣泛的應用，如圖像處理、數(shù)據(jù)分析、機器學習、經(jīng)濟學等。掌握線性代數(shù)能夠幫助我們解決實際問題，提高工作效率和創(chuàng)新能力。思維訓練學習線性代數(shù)能夠培養(yǎng)我們的邏輯思維能力、抽象思維能力和問題解決能力。通過解決線性代數(shù)問題，我們能夠更好地理解和掌握數(shù)學思想，提高數(shù)學素養(yǎng)。復習目標與策略1明確目標首先，明確復習的目標。是為了應對考試？還是為了解決實際問題？不同的目標需要不同的復習策略。如果是為了考試，需要重點掌握考試大綱要求的知識點；如果是為了解決實際問題，需要重點掌握與實際問題相關的知識點。2制定計劃制定詳細的復習計劃。將復習內(nèi)容分解成小塊，每天或每周完成一定的任務。這樣可以避免臨時抱佛腳，提高復習效率。3系統(tǒng)復習系統(tǒng)地復習教材和筆記。從基礎概念開始，逐步深入到高級應用。確保對每個知識點都有清晰的理解。4練習鞏固通過大量的練習來鞏固知識。做一些典型的例題和習題，檢驗自己對知識點的掌握程度。同時，也要注意總結解題技巧和方法。線性方程組與矩陣線性方程組線性方程組是由若干個含有未知數(shù)的線性方程組成的集合。解線性方程組是線性代數(shù)中的一個基本問題。矩陣矩陣是由數(shù)字組成的矩形陣列。矩陣是線性代數(shù)中的一個基本概念，可以用來表示線性方程組、線性變換等。向量向量是具有大小和方向的量。向量可以用矩陣表示，也可以看作是矩陣的特殊形式。線性方程組的解法：高斯消元法1高斯消元法高斯消元法是一種求解線性方程組的經(jīng)典方法。它通過一系列的行變換，將線性方程組轉化為階梯形矩陣，從而求解線性方程組的解。2行變換行變換包括交換兩行、將某一行乘以一個非零常數(shù)、將某一行的倍數(shù)加到另一行上。行變換不會改變線性方程組的解。3階梯形矩陣階梯形矩陣是指滿足以下條件的矩陣：非零行都在零行的上面；每一非零行的第一個非零元素（稱為主元）所在的列位于其上一行的主元的右邊；主元所在的列下方全為零。矩陣的定義與運算定義矩陣是由m×n個數(shù)排列成的矩形數(shù)表，記作A=(aij)m×n。其中，aij表示矩陣A的第i行第j列的元素。加法兩個矩陣A和B能夠相加的條件是它們的行數(shù)和列數(shù)都相同。矩陣加法滿足交換律和結合律。數(shù)乘數(shù)乘是指一個數(shù)乘以一個矩陣。數(shù)乘矩陣滿足分配律和結合律。乘法兩個矩陣A和B能夠相乘的條件是A的列數(shù)等于B的行數(shù)。矩陣乘法滿足結合律和分配律，但不滿足交換律。矩陣的逆定義對于一個n階方陣A，如果存在一個n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱A是可逆的，B是A的逆矩陣，記作A-1=B。其中，E是n階單位矩陣。1性質(zhì)如果矩陣A可逆，則A-1也是可逆的，且(A-1)-1=A；如果矩陣A和B都可逆，則AB也是可逆的，且(AB)-1=B-1A-1；(AT)-1=(A-1)T。2求法求逆矩陣的方法包括伴隨矩陣法、初等變換法等。伴隨矩陣法適用于低階矩陣，初等變換法適用于高階矩陣。3行列式1性質(zhì)行列式有許多重要的性質(zhì)，如轉置后值不變，交換兩行變號等。2定義行列式是一個將方陣映射到標量的函數(shù)，記作det(A)或|A|。3計算行列式可以通過多種方法計算，包括展開定理、高斯消元法等。行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉置行列式相等。性質(zhì)2交換行列式的兩行（列），行列式變號。性質(zhì)3如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。性質(zhì)4行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。行列式的計算1展開定理利用展開定理可以把高階行列式降階計算。2高斯消元法通過高斯消元法將行列式轉化為上三角行列式，然后計算主對角線元素的乘積。3特殊行列式掌握一些特殊行列式的計算方法，如范德蒙行列式等。Cramer法則Cramer法則Cramer法則是用行列式求解線性方程組的一種方法。它適用于未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)相同的線性方程組，且系數(shù)行列式不為零的情況。求解步驟計算系數(shù)行列式D；將系數(shù)行列式D的第i列替換為常數(shù)項，得到行列式Di；計算xi=Di/D，即可得到線性方程組的解。向量空間定義性質(zhì)例子向量空間是一個滿足特定公理的向量集合。向量空間是線性代數(shù)中的一個重要概念，它提供了一個研究向量及其運算的抽象框架。理解向量空間有助于我們更好地理解線性變換、特征值與特征向量等概念。向量的線性相關性定義一組向量線性相關是指其中至少有一個向量可以表示為其他向量的線性組合。線性相關性是判斷向量組性質(zhì)的重要指標。判定方法可以通過判斷向量組的行列式是否為零來判斷其線性相關性。如果行列式為零，則向量組線性相關；否則，線性無關。線性相關性的理解對于理解向量空間的結構至關重要。線性相關性可以幫助我們判斷向量組是否可以構成向量空間的基。向量的線性無關性定義一組向量線性無關是指其中任何一個向量都不能表示為其他向量的線性組合。線性無關性是向量空間中基的概念的基礎。判定方法可以通過判斷向量組的行列式是否為零來判斷其線性無關性。如果行列式不為零，則向量組線性無關；否則，線性相關。幾何意義在二維空間中，兩個線性無關的向量不共線；在三維空間中，三個線性無關的向量不共面。向量空間的基與維數(shù)基向量空間的一組基是指線性無關且能夠張成整個向量空間的向量組。基是向量空間的基本組成部分，可以用來表示向量空間中的任何向量。維數(shù)向量空間的維數(shù)是指基中向量的個數(shù)。維數(shù)是向量空間的一個重要屬性，可以用來描述向量空間的大小。坐標向量在給定基下的坐標是指向量在基向量上的投影。坐標可以用來唯一地表示向量空間中的向量。線性變換定義線性變換是指滿足線性性質(zhì)的變換。線性性質(zhì)包括可加性和齊次性。線性變換是向量空間之間的一種映射，它保持了向量空間的線性結構。1性質(zhì)線性變換可以將向量空間中的直線映射為直線，將向量空間中的平面映射為平面。線性變換保持了向量空間中的平行性和比例關系。2例子常見的線性變換包括旋轉、縮放、剪切等。線性變換在圖像處理、計算機圖形學等領域有廣泛應用。3線性變換的矩陣表示矩陣表示任何線性變換都可以用矩陣來表示。線性變換的矩陣表示是線性代數(shù)中的一個重要概念，它將線性變換與矩陣聯(lián)系起來，方便我們進行計算和分析。變換矩陣線性變換的矩陣表示也被稱為變換矩陣。通過變換矩陣，我們可以將一個向量空間中的向量映射到另一個向量空間中。特征值與特征向量1定義對于一個n階方陣A，如果存在一個數(shù)λ和一個非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是A的一個特征值，x是A的屬于特征值λ的特征向量。2性質(zhì)特征值和特征向量是矩陣的重要屬性，可以用來描述矩陣的特征。特征值和特征向量在許多領域都有著廣泛的應用，如振動分析、圖像處理等。3求解求解特征值和特征向量是線性代數(shù)中的一個基本問題?？梢酝ㄟ^求解特征方程來求解特征值，然后通過求解線性方程組來求解特征向量。特征值的計算1特征方程特征值可以通過求解特征方程來計算。特征方程是指det(A-λE)=0，其中A是矩陣，λ是特征值，E是單位矩陣。2多項式特征方程是一個關于λ的n次多項式方程。可以通過求解多項式方程來求解特征值。3根多項式方程的根就是矩陣的特征值。矩陣的特征值可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)。特征向量的計算1線性方程組特征向量可以通過求解線性方程組來計算。線性方程組是指(A-λE)x=0，其中A是矩陣，λ是特征值，E是單位矩陣，x是特征向量。2基礎解系線性方程組的解就是矩陣的屬于特征值λ的特征向量。線性方程組的解空間稱為特征空間。特征空間的一組基稱為特征向量的基礎解系。3歸一化為了方便，通常將特征向量進行歸一化處理，使得特征向量的模為1。矩陣的相似1定義對于兩個n階方陣A和B，如果存在一個可逆矩陣P，使得B=P-1AP，則稱A相似于B。相似矩陣具有相同的特征值。2性質(zhì)相似矩陣具有相同的行列式、跡、特征值。相似矩陣表示同一個線性變換在不同基下的矩陣表示。3應用相似矩陣在矩陣對角化、矩陣分解等領域有廣泛應用。通過相似變換，可以將矩陣轉化為更容易處理的形式。矩陣的對角化對角化對于一個n階方陣A，如果存在一個可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ，其中Λ是對角矩陣，則稱A可以對角化。對角化可以簡化矩陣的運算。1條件矩陣可以對角化的條件是矩陣有n個線性無關的特征向量。如果矩陣有n個不同的特征值，則矩陣一定可以對角化。2方法將矩陣的特征向量作為列向量構成可逆矩陣P，則P-1AP=Λ，其中Λ是以特征值為對角元素的對角矩陣。3實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣實對稱矩陣是指元素為實數(shù)且滿足AT=A的矩陣。實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，且不同的特征值對應的特征向量正交。正交對角化實對稱矩陣可以正交對角化，即存在一個正交矩陣Q，使得Q-1AQ=Λ，其中Λ是對角矩陣。正交矩陣是指滿足QTQ=E的矩陣。二次型1定義二次型是指只含有二次項的齊次多項式。二次型是線性代數(shù)中的一個重要概念，可以用來描述二次曲線、二次曲面等。2矩陣表示任何二次型都可以用矩陣來表示。二次型的矩陣表示是線性代數(shù)中的一個重要概念，它將二次型與矩陣聯(lián)系起來，方便我們進行計算和分析。3標準化通過坐標變換，可以將二次型轉化為標準型。標準型是指只含有平方項的二次型。標準型可以簡化二次型的分析。二次型的定義1二次項二次型是指只含有二次項的齊次多項式。例如，f(x1,x2)=ax12+bx1x2+cx22是一個二元二次型。2齊次齊次是指多項式中每一項的次數(shù)都相同。二次型中每一項的次數(shù)都是2。3多項式多項式是指由若干個單項式組成的代數(shù)式。二次型是一個多項式。二次型的矩陣表示1矩陣任何二次型都可以用矩陣來表示。例如，二次型f(x1,x2)=ax12+bx1x2+cx22可以表示為f(x)=xTAx，其中x=(x1,x2)T，A是一個對稱矩陣。2對稱矩陣矩陣A是一個對稱矩陣，是指AT=A。對稱矩陣的對角元素為a和c，非對角元素為b/2。3唯一性對于給定的二次型，其矩陣表示是唯一的。二次型的標準化配方法通過配方法可以將二次型轉化為標準型。配方法是指通過一系列的配方，將二次型中的交叉項消去，只保留平方項。正交變換法通過正交變換法可以將二次型轉化為標準型。正交變換法是指通過一系列的正交變換，將二次型的矩陣轉化為對角矩陣。正定二次型定義對于二次型f(x)，如果對于任何非零向量x，都有f(x)>0，則稱f(x)是正定二次型。正定二次型對應的矩陣是正定矩陣。1判定正定二次型的判定方法包括順序主子式法、特征值法等。順序主子式法是指二次型的順序主子式都大于零；特征值法是指二次型的特征值都大于零。2應用正定二次型在優(yōu)化問題、穩(wěn)定性分析等領域有廣泛應用。正定二次型可以用來判斷函數(shù)的極值點。3內(nèi)積空間定義內(nèi)積空間是指定義了內(nèi)積的向量空間。內(nèi)積是指滿足特定公理的向量之間的運算。內(nèi)積可以用來定義向量的長度、夾角等。性質(zhì)內(nèi)積具有對稱性、線性性、正定性等性質(zhì)。內(nèi)積是向量空間中的一個重要概念，可以用來描述向量之間的關系。例子常見的內(nèi)積包括歐幾里得內(nèi)積、函數(shù)內(nèi)積等。內(nèi)積在幾何學、信號處理等領域有廣泛應用。內(nèi)積的定義雙線性內(nèi)積是雙線性的，即對于任何向量x,y,z和任何標量a,b，都有=a+b和=a+b。對稱性內(nèi)積是對稱的，即對于任何向量x,y，都有=。正定性內(nèi)積是正定的，即對于任何非零向量x，都有>0，且=0當且僅當x=0。內(nèi)積的性質(zhì)1柯西不等式對于任何向量x,y，都有||≤||x||||y||。其中，||x||表示向量x的長度。2三角不等式對于任何向量x,y，都有||x+y||≤||x||+||y||。3平行四邊形法則對于任何向量x,y，都有||x+y||2+||x-y||2=2||x||2+2||y||2。標準正交基正交一組向量是正交的，如果它們兩兩之間的內(nèi)積都為零。1單位向量一組向量是單位向量，如果它們的長度都為1。2標準正交基一組向量是標準正交基，如果它們既是正交的，又是單位向量。3Gram-Schmidt正交化方法正交化Gram-Schmidt正交化方法是一種將一組線性無關的向量轉化為一組標準正交基的方法。該方法通過一系列的投影和規(guī)范化，將向量組中的每個向量都轉化為與其他向量正交的單位向量。步驟Gram-Schmidt正交化方法的步驟包括：選取第一個向量，將其規(guī)范化；選取第二個向量，將其減去在第一個向量上的投影，然后規(guī)范化；以此類推，直到處理完所有向量。向量的投影1定義向量的投影是指將一個向量分解為兩個分量，其中一個分量平行于另一個向量，另一個分量垂直于另一個向量。平行于另一個向量的分量稱為投影向量，垂直于另一個向量的分量稱為正交向量。2計算向量的投影可以通過內(nèi)積來計算。向量a在向量b上的投影向量為projb(a)=(/||b||2)b。3應用向量的投影在信號處理、圖像處理等領域有廣泛應用。向量的投影可以用來提取信號中的有用信息。線性代數(shù)的應用：圖像處理圖像表示圖像可以用矩陣來表示?；叶葓D像可以用一個二維矩陣來表示，彩色圖像可以用三個二維矩陣來表示，分別表示紅、綠、藍三個顏色通道的亮度值。線性變換圖像處理中的許多操作都可以看作是線性變換。例如，圖像的旋轉、縮放、平移等都可以用線性變換來實現(xiàn)。通過線性代數(shù)，我們可以更好地理解圖像的性質(zhì)，并對圖像進行各種處理，如圖像增強、圖像壓縮、圖像識別等。圖像的矩陣表示像素圖像是由像素組成的。像素是圖像的最小單位，每個像素都有一個顏色值。顏色值可以用數(shù)字來表示。矩陣圖像可以用矩陣來表示。矩陣的每個元素對應圖像的一個像素，元素的值對應像素的顏色值。維度灰度圖像可以用一個二維矩陣來表示，彩色圖像可以用三個二維矩陣來表示，分別表示紅、綠、藍三個顏色通道的亮度值。線性變換在圖像處理中的應用圖像旋轉通過旋轉變換矩陣，可以實現(xiàn)圖像的旋轉。旋轉變換矩陣可以用線性代數(shù)中的旋轉矩陣來表示。圖像縮放通過縮放變換矩陣，可以實現(xiàn)圖像的縮放?？s放變換矩陣可以用線性代數(shù)中的縮放矩陣來表示。圖像平移通過平移變換矩陣，可以實現(xiàn)圖像的平移。平移變換矩陣可以用線性代數(shù)中的平移矩陣來表示。線性代數(shù)的應用：數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)降維數(shù)據(jù)降維是指將高維數(shù)據(jù)轉化為低維數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)降維可以減少數(shù)據(jù)的存儲空間，提高數(shù)據(jù)的處理效率，并提取數(shù)據(jù)中的主要特征。1特征提取特征提取是指從原始數(shù)據(jù)中提取出有用的特征。特征提取可以減少數(shù)據(jù)的維度，提高數(shù)據(jù)的分類和識別效果。2數(shù)據(jù)可視化數(shù)據(jù)可視化是指將數(shù)據(jù)以圖形的形式展示出來。數(shù)據(jù)可視化可以幫助我們更好地理解數(shù)據(jù)的結構和規(guī)律。3數(shù)據(jù)降維：主成分分析（PCA）PCA主成分分析（PCA）是一種常用的數(shù)據(jù)降維方法。PCA通過線性變換，將原始數(shù)據(jù)轉化為一組線性無關的主成分，并選擇其中方差最大的幾個主成分作為降維后的數(shù)據(jù)。步驟PCA的步驟包括：數(shù)據(jù)標準化、計算協(xié)方差矩陣、計算特征值和特征向量、選擇主成分、數(shù)據(jù)投影等。線性代數(shù)的應用：機器學習1線性模型機器學習中的許多模型都是基于線性代數(shù)的。例如，線性回歸、邏輯回歸、支持向量機等都使用了線性代數(shù)中的矩陣運算、向量空間等概念。2優(yōu)化算法機器學習中的許多優(yōu)化算法都使用了線性代數(shù)中的梯度、Hessian矩陣等概念。例如，梯度下降法、牛頓法等都是基于線性代數(shù)的。3特征表示機器學習中的許多特征表示方法都使用了線性代數(shù)中的向量空間、基等概念。例如，詞向量、圖像特征等都可以用向量來表示。線性回歸1模型線性回歸是一種常用的機器學習模型。線性回歸假設輸入變量和輸出變量之間存在線性關系。線性回歸模型可以用線性方程組來表示。2參數(shù)線性回歸模型的參數(shù)可以通過最小二乘法來估計。最小二乘法是指選擇一組參數(shù)，使得模型預測值與真實值之間的誤差平方和最小。3應用線性回歸在預測、分類等領域有廣泛應用。線性回歸可以用來預測房價、股票價格等。線性代數(shù)的核心概念回顧1矩陣矩陣是線性代數(shù)中的一個基本概念，可以用來表示線性方程組、線性變換等。2向量空間向量空間是線性代數(shù)中的一個重要概念，它提供了一個研究向量及其運算的抽象框架。3特征值與特征向量特征值與特征向量是矩陣的重要屬性，可以用來描述矩陣的特征。特征值和特征向量在許多領域都有著廣泛的應用。矩陣運算技巧分塊矩陣將矩陣分成若干個小塊，可以簡化矩陣的運算。分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣類似。初等變換通過初等變換可以將矩陣轉化為更容易處理的形式。初等變換包括交換兩行、將某一行乘以一個非零常數(shù)、將某一行的倍數(shù)加到另一行上。行列式計算技巧展開定理利用展開定理可以把高階行列式降階計算。展開定理是指行列式等于其任意一行（列）的元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和。1高斯消元法通過高斯消元法將行列式轉化為上三角行列式，然后計算主對角線元素的乘積。高斯消元法是指通過一系列的初等變換，將行列式轉化為上三角行列式。2特殊行列式掌握一些特殊行列式的計算方法，如范德蒙行列式等。范德蒙行列式是指行列式的元素為等比數(shù)列。3向量空間理解技巧基理解基的概念，掌握基的性質(zhì)?；窍蛄靠臻g的基本組成部分，可以用來表示向量空間中的任何向量。維數(shù)理解維數(shù)的概念，掌握維數(shù)的性質(zhì)。維數(shù)是向量空間的一個重要屬性，可以用來描述向量空間的大小。線性無關理解線性無關的概念，掌握線性無關的判定方法。線性無關性是判斷向量組性質(zhì)的重要指標。特征值和特征向量的理解特征值特征值是矩陣的重要屬性，可以用來描述矩陣的特征。特征值是矩陣的特征方程的根。特征值可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)。特征向量特征向量是矩陣的重要屬性，可以用來描述矩陣的特征。特征向量是矩陣的屬于特征值的非零向量。特征向量是線性方程組的解。應用特征值和特征向量在許多領域都有著廣泛的應用，如振動分析、圖像處理等。特征值和特征向量可以用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對角化的應用場景1矩陣乘方對角化可以簡化矩陣的乘方運算。如果矩陣A可以對角化，則A^n=PDP-1，其中D是對角矩陣。2解微分方程對角化可以用來解微分方程。如果微分方程的系數(shù)矩陣可以對角化，則可以將其轉化為一組獨立的方程。3數(shù)據(jù)降維對角化可以用來進行數(shù)據(jù)降維。例如，主成分分析（PCA）就是通過對協(xié)方差矩陣進行對角化來實現(xiàn)數(shù)據(jù)降維的。二次型的實際應用二次曲線二次型可以用來表示二次曲線。例如，橢圓、雙曲線、拋物線等都可以用二次型來表示。1二次曲面二次型可以用來表示二次曲面。例如，橢球面、雙曲面、拋物面等都可以用二次型來表示。2優(yōu)化問題二次型在優(yōu)化問題中有廣泛應用。例如，最小二乘法就是通過求解二次型的最小值來實現(xiàn)參數(shù)估計的。3學習資源推薦教材推薦一些經(jīng)典的線性代數(shù)教材，如《線性代數(shù)及其應用》、《線性代數(shù)》等。這些教材內(nèi)容全面，講解清晰，適合系統(tǒng)學習。在線課程推薦一些優(yōu)質(zhì)的在線課程，如Coursera、edX等平臺上的線性代數(shù)課程。這些課程內(nèi)容豐富，形式多樣，可以幫助你更好地理解線性代數(shù)。線性代數(shù)教材推薦1《線性代數(shù)及其應用》DavidC.Lay。這本書內(nèi)容全面，講解清晰，例題豐富，適合初學者系統(tǒng)學習。2《線性代數(shù)》SheldonAxler。這本書強調(diào)抽象思維，注重理論推導，適合深入學習。3《線性代數(shù)應該這樣學》SheldonAxler。這本書以更抽象的視角介紹了線性代數(shù)的核心內(nèi)容，強調(diào)了線性算子而非矩陣。在線課程推薦1可汗學院可汗學院的線性代數(shù)課程內(nèi)容全面，講解清晰，適合初學者入門。2MIT線性代數(shù)MIT線性代數(shù)課程由GilbertStrang教授主講，內(nèi)容深入，講解生動，適合進階學習。3CourseraCoursera上有許多大學提供的線性代數(shù)課程，內(nèi)容豐富，形式多樣，可以根據(jù)自己的需求選擇。練習題推薦1教材習題完成教材中的習題，鞏固所學知識。教材習題通常比較基礎，適合檢驗對基本概念的掌握程度。2歷年真題練習歷年真題，了解考試形式和難度。歷年真題可以幫助你熟悉考試的題型和考點。3模擬試題做一些模擬試題，檢驗復習效果。模擬試題可以幫助你發(fā)現(xiàn)自己的薄弱環(huán)節(jié)，并及時進行補習。常見考點分析線性方程組線性方程組的解的判定、求解方法是?？伎键c。掌握高斯消元法、Cramer法則等求解方法。特征值與特征向量特征值與特征向量的計算、性質(zhì)是常考考點。掌握特征值與特征向量的定義、計算方法、性質(zhì)。線性方程組的解的判定唯一解當系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)的個數(shù)時，線性方程組有唯一解。此時，方程組的解可以用Cramer法則求解。1無窮解當系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)時，線性方程組有無窮解。此時，需要求出方程組的基礎解系。2無解當系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩時，線性方程組無解。此時，方程組的方程之間存在矛盾。3特征值和特征向量的計算特征方程通過求解特征方