人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)園的教案

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的教案1

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能：

1.了解圓和圓的相關(guān)概念,知道圓實(shí)軸對(duì)稱圖形，理解并掌

握垂直于弦的直徑有哪些性質(zhì).

2.了解弧、弦、圓心角、圓周角的定義，明確它們之間的

聯(lián)系.

數(shù)學(xué)思考：

1.在引入圓的定義過(guò)程中，明確與圓相關(guān)的定義，體會(huì)數(shù)

學(xué)概念間的聯(lián)系.

2.在探究弧、弦、圓心角、圓周角之間的聯(lián)系的過(guò)程中，

培養(yǎng)學(xué)生的觀察、總結(jié)及概括能力.

問(wèn)題解決：

L在明確垂直于弦的直徑的性質(zhì)后，能根據(jù)這個(gè)性質(zhì)解決

一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

2.能根據(jù)弧、弦、圓心角、圓周角的相關(guān)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)

單的實(shí)際問(wèn)題.情感態(tài)度：在引入圓的定義及運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解

決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，感悟數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活.在探

索過(guò)程中，形成實(shí)事求是的態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.

二、重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及其推論；圓周角定理及其推論.

垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是圓的軸對(duì)稱性

的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依

據(jù)，同時(shí)也為進(jìn)行圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)；圓周角

定理及其推論對(duì)于角的計(jì)算、證明角相等、瓠、弦相等等問(wèn)

題提供了十分簡(jiǎn)便的方法.所以垂徑定理及其推論、圓周角定

理及其推論是本小節(jié)的重點(diǎn).

對(duì)于垂徑定理，可以結(jié)合圓的軸對(duì)稱性和等腰三角形的軸

對(duì)稱性，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)“思考”欄目圖中相等的線段和

弧，再利用疊合法推證出垂徑定理.對(duì)于垂徑定理的推論，可

以按條件畫出圖形，讓學(xué)生觀察、思考，得出結(jié)論.要注意讓

學(xué)生區(qū)分它們的題設(shè)和結(jié)論，強(qiáng)調(diào)“弦不是直徑”的條件.

圓周角定理的證明，分三種情況進(jìn)行討論.第一種情況是

特殊情況，是證明的基礎(chǔ)，其他兩種情況都可以轉(zhuǎn)化為第一

種情況來(lái)解決，轉(zhuǎn)化的條件是添加以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的直徑

為輔助線.這種由特殊到一般的思想方法，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生掌握.

教學(xué)難點(diǎn)：垂徑定理及其推論；圓周角定理的證明.

垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論比較復(fù)雜，容易混淆，圓

周角定理的證明要用到完全歸納法，學(xué)生對(duì)于分類證明的必

要性不易理解，所以這兩部分內(nèi)容是本節(jié)的難點(diǎn).

圓是生活中常見(jiàn)的圖形，學(xué)生小學(xué)時(shí)對(duì)它已經(jīng)有了初步接

觸,對(duì)于圓的基本性質(zhì)有所了解.但是對(duì)于垂徑定理和推論、

圓周角定理和推論及其理論推導(dǎo)還比較陌生，教師應(yīng)該鼓勵(lì)

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考等途徑去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，加深

認(rèn)識(shí).

三、學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)特征分析

圓是生活中常見(jiàn)的圖形，學(xué)生小學(xué)時(shí)對(duì)它已經(jīng)有了初步接

觸,對(duì)于圓的基本性質(zhì)有所了解.但是對(duì)于垂徑定理和推論、

圓周角定理和推論及其理論推導(dǎo)還比較陌生，教師應(yīng)該鼓勵(lì)

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考等途徑去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，加深

認(rèn)識(shí).

四、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

圓是一種和諧、美麗的圖形，圓形物體在生活中隨處可見(jiàn).

在小學(xué)我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了圓這種基本的幾何圖形，并能計(jì)算圓

的周長(zhǎng)和面積.

早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，《墨經(jīng)》一書中就有關(guān)于“圓”的記載，

原文為“圓，一中同長(zhǎng)也”.

這是給圓下的定義，意思是說(shuō)圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等

于半徑.

現(xiàn)實(shí)生活中，路上行駛的各種車輛都是圓形的輪子，為什

么車輪做成圓形的？為什么不做成橢圓形和四邊形的呢?這一

節(jié)我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)圓的有關(guān)知識(shí)，并且來(lái)解決上述的疑問(wèn).

（二）合作交流，探索新知

L觀察圖形，引入概念

（1）圓是生活中常見(jiàn)的圖形，許多物體都給我們以圓的形

象.（多媒體圖片引入）

（2）觀察畫圓的過(guò)程，你能由此說(shuō)出圓的形成過(guò)程嗎？

（3）圓的概念：

讓學(xué)生根據(jù)上面所找出的特點(diǎn)，描述什么樣的圖形是

圓.（學(xué)生可以在討論、交流的基礎(chǔ)上自由發(fā)言;絕大部分學(xué)生

能夠比較準(zhǔn)確的描述出圓的.定義，部分學(xué)生沒(méi)有說(shuō)準(zhǔn)確，在

其他學(xué)生帶動(dòng)下也能夠說(shuō)出）在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上得到圓

的定義：

在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一

周，另一個(gè)端點(diǎn)A形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)0叫做圓

心，線段0A叫做半徑.（多媒體動(dòng)畫引入）

（4）圓的表示方法

以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“。0”,讀作“圓0”.

（5）從畫圓的過(guò)程可以看出：

①圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心0）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑r）；

②到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.

因此，圓心為0、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)0

的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.（把一個(gè)幾何圖形看成是滿足

某種條件的點(diǎn)的集合的思想，在幾何中十分重要，因?yàn)檫@實(shí)

際上就是關(guān)于軌跡的概念,圓，實(shí)際上是“到定點(diǎn)的距離等于

定長(zhǎng)的點(diǎn)”的軌跡.事實(shí)上，①保證了圖形上點(diǎn)的純粹性，即

不雜;②保證了圖形的完備性，即沒(méi)有漏掉滿足這種條件的

點(diǎn).①②同時(shí)符合，保證了圖形上的點(diǎn)“不雜不漏”.）

（6）由車輪為什么是圓形，讓學(xué)生感受圓在生活中的重要

性.

問(wèn)題1,車輪為什么做成圓形？

問(wèn)題2,如果做成正方形會(huì)有什么結(jié)果？

（通過(guò)車輪實(shí)例，首先讓學(xué)生感受圓是生活中大量存在的

圖形.教學(xué)時(shí)給學(xué)生展示正方形車輪在行走時(shí)存在的問(wèn)題，使

學(xué)生感受圓形的車輪運(yùn)轉(zhuǎn)起來(lái)最平穩(wěn).）

把車輪做成圓形，車輪上各點(diǎn)到車輪中心(圓心)的距離都

等于車輪的半徑，當(dāng)車輪在平面上滾動(dòng)時(shí)，車輪中心與平面

的距離保持不變，因此，當(dāng)車輛在平坦的路上行駛時(shí)，坐車

的人會(huì)感覺(jué)到非常平穩(wěn)，這也是車輪都做成圓形的數(shù)學(xué)道理.

2.與圓有關(guān)的概念

(1)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段(如線段AC)叫做弦.

(2)經(jīng)過(guò)圓心的弦(如圖中的)叫做直徑.

(3)圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓孤，簡(jiǎn)稱瓠.

小于半圓的弧(如圖中的

ABC,)叫做優(yōu)弧.

(4)圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一

條弧都叫做半圓.

(5)能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.(容易看出半徑相等的兩

個(gè)圓是等圓，反過(guò)來(lái)，同圓或等圓的半徑相等.)叫做劣弧；

大于半圓的弧(用三個(gè)字母表示，如圖中的

(6)在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

(對(duì)于和圓有關(guān)的這些概念，應(yīng)讓學(xué)生借助圖形進(jìn)行理

解，并弄清楚它們之間的聯(lián)系和區(qū)別.例如，直徑是弦，但弦

不一定是直徑,半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓即不是劣

弧，也不是優(yōu)瓠.)

3.垂直于弦的直徑

(1)創(chuàng)設(shè)情景引入新課

問(wèn)題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造

的石拱橋，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓

弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37.4m,拱高（弧的中點(diǎn)到

弦的距離）為7.2nl.你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎?）

（2）圓的對(duì)稱性的探究

①活動(dòng)：用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重

復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？（學(xué)生可能會(huì)

找到1條，2條，3條?教師不要過(guò)早地去評(píng)判，應(yīng)該把機(jī)會(huì)

留給學(xué)生，讓他們?cè)诨ハ嘟涣髦?，認(rèn)識(shí)到圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)

多條，要鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的想法）

②得到結(jié)論：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都

是它的對(duì)稱軸.

（3）垂徑定理及其逆定理

①垂徑定理的探究

如圖，AB是。0的一條弦，做直徑CD,使CD_LAB,垂足

為E.（1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是，它的對(duì)稱軸是什么?？（2）

你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧嗎？為什么？（旨在通過(guò)這

樣復(fù)合圖形的軸對(duì)稱性探索垂徑定理，教學(xué)時(shí)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生探

索方式的多樣性.引導(dǎo)學(xué)生理解，證明垂徑定理的基本思路

是：先構(gòu)造等腰三角形，由垂直于弦得出平分弦;然后將直徑

看做圓的對(duì)稱軸，利用軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)元素相等的性質(zhì)得出

平分弧的結(jié)論）（多媒體動(dòng)畫引入）

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩

條弧.

②垂徑定理的逆定理的探究

(仿照前面的證明過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立探究，然后通過(guò)同

學(xué)間的交流得出結(jié)論)

垂徑定理的逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，

并且平分弦所對(duì)的兩條弧,③解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題

4.弧，弦,圓心角

(1)通過(guò)實(shí)驗(yàn)探索圓的另一個(gè)特性

如圖，將圓心角NAOB繞圓心0旋轉(zhuǎn)到NA，0B，的位置，

你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？(多媒體圖片引入)(教科書展

示了一種證明方法一一疊合法，教學(xué)時(shí)要鼓勵(lì)學(xué)生用多種方

法探索圖形的性質(zhì)，學(xué)生的想法未必完善，但只要有合理的

成分就應(yīng)給予肯定和鼓勵(lì).)

結(jié)論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所的弧相等，所對(duì)

的弦也相等.

(2)對(duì)(1)中結(jié)論的逆命題的探究

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心

角,所對(duì)的弦;在同圓或等圓中，如果兩條弦相

等，那么他們所對(duì)的圓心角,所對(duì)的弧.(教學(xué)時(shí)

仍要鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法進(jìn)行探索)

(3)應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功

例.如圖,在。0中,

=,ZACB=60°,求證：ZAOB=ZBOC=ZAOC.

5.圓周角

(1)創(chuàng)設(shè)情境引入概念

如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通

過(guò)其中的圓弧形玻璃窗觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物，同學(xué)甲站在圓

心。的位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C,他們

的視角（NAOB和NACB）有什么關(guān)系？如果同學(xué)丙，丁分別站在

其他靠墻的位置D和E,他們的視角（NADB和NAEB）和同學(xué)

乙的視角相同嗎？

概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

（意在引出同弧所對(duì)的圓心角與圓周角，同瓠所對(duì)的圓周

角之間的大小關(guān)系.教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生分析圓周角有兩個(gè)特

征：角的頂點(diǎn)在圓上;兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦.）

（2）圓的相關(guān)性質(zhì)

①動(dòng)手實(shí)踐

活動(dòng)一：分別量一下所對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)，比較一

下，再變動(dòng)點(diǎn)C在圓周上的位置，圓周角的度數(shù)有沒(méi)有變化？

你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

活動(dòng)二：再分別量出圖中所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，

比較一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？（利用一些計(jì)算機(jī)軟件，可以很方

便的度量圓周角，圓心角，有條件的話可以試一試）得到結(jié)

論：同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化，并且它的度數(shù)恰好

等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半.

②為了進(jìn)一步研究上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，在。0任取一個(gè)圓周

角NBAC,將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過(guò)圓心0和NBAC的頂點(diǎn)A.由

于A的位置的取法可能不同，這時(shí)折痕可能會(huì)：在圓周角的

一條邊上;在圓周角的內(nèi)部；在圓周角的外部.

（學(xué)生解決這一問(wèn)題是有一定難度的，應(yīng)給學(xué)生留有時(shí)間

和空間，讓他們進(jìn)行思考.引導(dǎo)學(xué)生觀察后兩種情況，讓學(xué)生

思考：這兩種情況能否轉(zhuǎn)化為第一種情況?如何轉(zhuǎn)化？當(dāng)解決

一個(gè)問(wèn)題有困難時(shí)，我們可以首先考慮其特殊情形，然后再

設(shè)法解決一般問(wèn)題.這是解決問(wèn)題時(shí)常用的策略.）

由此得到圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)

的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

進(jìn)一步我們還可以得到下面的推論：

半徑（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的

弦是直徑.

由圓周角定理可知：

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一

定相等.

（3）圓內(nèi)接多邊形的定義及其相關(guān)性質(zhì)

①定義：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，

這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外

接圓.

②利用圓周角定理，我們的得到關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)

性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

（三）應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功

利用資源庫(kù)中的“典型例題”進(jìn)行教學(xué).

（四）課堂小結(jié)，體驗(yàn)收獲（PPT顯示）

這堂課你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)?有何體會(huì)？（學(xué)生小結(jié)）

1.圓的有關(guān)概念；

2.垂徑定理及其逆定理；

3.弧，弦，圓心角的相關(guān)性質(zhì)；

4.圓周角的概念及相關(guān)性質(zhì)；

(五)拓展延伸，布置作業(yè)

利用資源庫(kù)中或手頭的相關(guān)材料進(jìn)行布置.

五、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：

(一)選擇題

L如圖，如果AB為。0的直徑，弦CD_LAB,垂足為E,那

么下列結(jié)論中，？錯(cuò)誤的是()

(A)CE=DE.(B).(C)ZBAC=ZBAD.(D)AOAD.

1題圖2題圖3題圖

2.如圖，在。0中，P是弦AB的中點(diǎn)，CD是過(guò)點(diǎn)P的直

徑，？則下列結(jié)論中不正確的是()

(A)AB±CD.(B)ZA0B=4ZACD.(C)

3.如圖,。0中，如果=2,那么().(D)P0=PD.

(A)AB=AC.(B)AB=AC.(C)AB<2ac.ab=wn>2AC.

4.如圖，A、B、C三點(diǎn)在上，ZA0C=100°,則NABC

等于()

(A)140°.(B)110°.(C)120°.(D)130°.

4題圖5題圖6題圖

5.如圖，ZKN2、N3、N4的大小關(guān)系是()

(A)Z4<Z1<Z2<Z3.(B)Z4<Z1=Z3<Z2.

(C)Z4<ZKZ3Z2.(D)Z4<ZKZ3=Z2.

6.如圖，AD是。。的直徑，AC是弦，OB±AD,若0B=5,

且NCAD=30°,則BC等于()

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的教案2

一.本周教學(xué)內(nèi)容：圓

三圓和圓的位置關(guān)系

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.掌握?qǐng)A和圓的各種位置關(guān)系的概念及判定方法;2.理

解并掌握兩圓相切的性質(zhì)定理；

3.掌握相交兩圓的性質(zhì)定理，并完成相關(guān)的計(jì)算和證明；

4.理解圓的內(nèi)、外公切線概念，會(huì)計(jì)算內(nèi)、外公切線長(zhǎng)

及兩公切線夾角；并能根據(jù)公切線的條數(shù)確定兩圓的位置關(guān)系;

5.通過(guò)兩圓位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解事物之間是相

互聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)在變化中尋找規(guī)律，培養(yǎng)綜

合運(yùn)用知識(shí)的能力。

［知識(shí)回顧］

1.圓與圓的位置關(guān)系的判定方法及圖形特征

2.兩圓相切的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連

心線上。3.兩圓相交的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分兩

圓的公共弦。4.設(shè)兩圓公切線長(zhǎng)L,兩圓半徑R、r,兩公切

線的夾角a則有：外公切線長(zhǎng)

【典型例題】

例L已知。01、。02半徑分別為15cm和13cm,它們相

交于A、B兩點(diǎn)，且AB長(zhǎng)24cm,求0102長(zhǎng)。

分析：該題沒(méi)有給出圖形，兩圓相交有兩種可能性：L

兩圓心在公共弦的兩側(cè);2.兩圓心在公共弦的同側(cè)；因此，

我們必須分兩種情況來(lái)解。

，如圖（1）0102=01C+02

C=14cm

如圖（2）0102=01C-02

C=4cm

例1是兩圓相交時(shí)的一題兩解問(wèn)題，希望引起同學(xué)們的重

視。

例2.如圖，。01與。02外切于點(diǎn)P,AC切。02于C交

。01于B,AP交。02于D,求證：

（1）PC平分NBPD

（2）若兩圓內(nèi)切，結(jié)論還成立嗎?證明你的結(jié)論。

在解決有關(guān)兩圓相切的問(wèn)題時(shí)，過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線是

常見(jiàn)的一條輔助線，利用弦切角及圓周角的性質(zhì)或切線長(zhǎng)定

理，可使問(wèn)題迎刃而解。從這道題我們還可以聯(lián)想到做過(guò)的

兩道題，

①當(dāng)A、B重合時(shí)，也就是AC成為兩圓的外公切線時(shí)，

PC±AD,即我們書上的例題（P129例4）

②當(dāng)APD經(jīng)過(guò)01、02時(shí)，PB±AC,PC平分NBPD的證法

就更多了。

例3.如圖，以FA為直徑的。01與以0A為直徑的。01內(nèi)

切于點(diǎn)A,4ADF內(nèi)接于。0,DB_LFA于B,交。01于C,連

結(jié)AC并延長(zhǎng)交。0于E,求證：

(1)AC=CE(2)AC=DB-BC

本題中主要應(yīng)用了垂徑定理，相交弦定理等知識(shí)，另外，

證明過(guò)程中線段代換比較巧妙，應(yīng)認(rèn)真體會(huì)。

例4.如圖：。01和。02相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A作。01

切線交。02于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作兩圓割線交。01和。02于D、

E,DE與AC相交于P點(diǎn)，

(1)求證：PA?PE=PC?PD

(2)當(dāng)AD與002相切且PA=6,PC=2,PD=12時(shí)，求AD的

長(zhǎng)。

解與兩圓相交的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，作兩圓的公共弦為輔助線，

使不同的兩個(gè)圓的圓周角建立聯(lián)系，溝通它們之間某些量的

關(guān)系，同學(xué)們應(yīng)注意它的應(yīng)用。

例5.如圖，已知：。。與0B相交于點(diǎn)M、N,點(diǎn)B在。0

上，NE為OB的直徑，點(diǎn)C在OB上，CM交。0于點(diǎn)A,連結(jié)

AB并延長(zhǎng)交NC于點(diǎn)D,求證：AD±NCo

例6.如圖：已知4DEC中DE=DC,過(guò)DE作。01交EC、DC

于B、A,過(guò)A、B、C作。02,過(guò)B作BF_LDC

于F,延長(zhǎng)FB交。01于G,連DG交EC于H,

(1)求證：BF過(guò)。02的圓心02

(2)若EH=6,BC=4,CA=4.8,求DG的長(zhǎng)。

例7.如圖：。01與。02外切于點(diǎn)P,AB是兩圓外公切

線，AB與0102延長(zhǎng)線交于

C點(diǎn)、,AP延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E,滿足條件

APAC

?ABAE

PE交。02

于點(diǎn)D,

(1)求證:AC1EC(2)求證：PC=EC(3)若AP?4PD?94求BC

的值EC

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的教案3

1.正確認(rèn)識(shí)什么是中心對(duì)稱、對(duì)稱中心，理解關(guān)于中心對(duì)

稱圖形的性質(zhì)特點(diǎn).

2.能根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，作出一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)成中心

對(duì)稱的對(duì)稱圖形.

重點(diǎn)

中心對(duì)稱的概念及性質(zhì).

難點(diǎn)

中心對(duì)稱性質(zhì)的推導(dǎo)及理解.

復(fù)習(xí)引入

問(wèn)題：作出下圖的兩個(gè)圖形繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180。后的圖案，

并回答下列的問(wèn)題：

1.以。為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180。后兩個(gè)圖形是否重合？

2?各對(duì)應(yīng)點(diǎn)繞0旋轉(zhuǎn)180。后，這三點(diǎn)是否在一條直線上?

老師點(diǎn)評(píng)：可以發(fā)現(xiàn)，如圖所示的兩個(gè)圖案繞0旋轉(zhuǎn)

180°后都是重合的，即甲圖與乙圖重合，4OAB與aCOD重

合.

像這樣，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能

夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱

或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.

這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn).

探索新知

（老師）在黑板上畫一個(gè)三角形ABC,分兩種情況作兩個(gè)圖

形：

（1）作△ABC一頂點(diǎn)為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形；

（2）作關(guān)于一定點(diǎn)0為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形.

第一步，畫出△ABC.

第二步，以aABC的C點(diǎn)（或0點(diǎn)）為中心，旋轉(zhuǎn)180。畫

出AA'B，C和AA，B，C1,如圖⑴和圖⑵所示.

從圖（D中可以得出aABC與4A，B'C是全等三角形；

分別連接對(duì)稱點(diǎn)AA',BBZ,CC，,點(diǎn)0在這些線段上且

0平分這些線段.

下面，我們就以圖（2）為例來(lái)證明這兩個(gè)結(jié)論.

證明：（1）在△ABC和4A'B，「中，OA=OA,,

OB=OB,,ZA0B=ZA,OB',AAA0B^AA,OB',

JAB=A'B',同理可證：AC=A'C',BOB'Cf,

AAABC^AAZBfC'；

(2)點(diǎn)A，是點(diǎn)A繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180。后得到的，即線段0A

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到線段0A',所以點(diǎn)0在線段AA'上，

且0A=0A,，即點(diǎn)0是線段AA，的中點(diǎn).

同樣地，點(diǎn)0也在線段BB'和CC'上，且0B=0B,，

0C=0C,,即點(diǎn)0是BB'和CC'的中點(diǎn).

因此，我們就得到

1.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱

中心，而且被對(duì)稱中心所平分.

2.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

例題精講

例1如圖，已知aABC和點(diǎn)0,畫出ADEF,使4DEF和

△ABC關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱.

分析：中心對(duì)稱就是旋轉(zhuǎn)180。，關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱就

是繞0旋轉(zhuǎn)180。，因此，我們連AO,BO,C0并延長(zhǎng)，取與

它們相等的線段即可得到.

解：⑴連接A0并延長(zhǎng)A0到D,使0D=0A,于是得到點(diǎn)A

的對(duì)稱點(diǎn)D,如圖所示.

(2)同樣畫出點(diǎn)B和點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E和F.

(3)順次連接DE,EF,FD,則4DEF即為所求的三角形.

例2(學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評(píng))如圖，已知四邊形ABCD和點(diǎn)

0,畫四邊形A'B'C'D',使四邊形A'B'C'D'和四邊

形ABCD關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱（只保留作圖痕跡，不要求寫出

作法）.

課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

本節(jié)課應(yīng)掌握：

中心對(duì)稱的兩條基本性質(zhì)：

L關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中

心，而且被對(duì)稱中心所平分；

2.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形及其它們的應(yīng)用.

作業(yè)布置

教材第66頁(yè)練習(xí)

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的教案4

L了解旋轉(zhuǎn)及其旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角的概念，了解旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)

點(diǎn)的概念及其應(yīng)用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題.

2.通過(guò)復(fù)習(xí)軸對(duì)稱、平移的有關(guān)概念及性質(zhì)，從生活中的

數(shù)學(xué)開始，經(jīng)歷觀察，產(chǎn)生概念，應(yīng)月概念解決一些實(shí)際問(wèn)

題.

3.旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì).

重點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的有關(guān)概念及其應(yīng)用.

難點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì).

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下面各題.

L將如圖所示的四邊形ABCD平移，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

D,作出平移后的圖形.

2.如圖，已知aABC和直線1,請(qǐng)你畫出aABC關(guān)于1的對(duì)

稱圖形4A'B，C'.

3.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？等腰三角形呢?你還能指出其它的嗎?

（口述）老師點(diǎn)評(píng)并總結(jié)：

（1）平移的有關(guān)概念及性質(zhì).

（2）如何畫一個(gè)圖形關(guān)于一條直線（對(duì)稱軸）的對(duì)稱圖形并

口述它具有的一些性質(zhì).

（3）什么叫軸對(duì)稱圖形？

二、探索新知

我們前面已經(jīng)復(fù)習(xí)軸對(duì)稱、平移等有關(guān)內(nèi)容，生活中是否

還有其它運(yùn)動(dòng)變化呢？回答是肯定的，下面我們就來(lái)研究.

1.請(qǐng)同學(xué)們看講臺(tái)上的大時(shí)鐘，有什么在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)?旋

轉(zhuǎn)圍繞什么點(diǎn)呢?從現(xiàn)在到下課時(shí)針轉(zhuǎn)了多少度?分針轉(zhuǎn)了多

少度?秒針轉(zhuǎn)了多少度？

（口答）老師點(diǎn)評(píng)：時(shí)針、分針、秒針在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，它們

都繞時(shí)鐘的中心.從現(xiàn)在到下課時(shí)針轉(zhuǎn)了度，分針轉(zhuǎn)

了度，秒針轉(zhuǎn)了度.

2?再看我自制的好像風(fēng)車風(fēng)輪的玩具，它可以不停地轉(zhuǎn)動(dòng).

如何轉(zhuǎn)到新的位置？（老師點(diǎn)評(píng)略）

3.第1,2兩題有什么共同特點(diǎn)呢?

共同特點(diǎn)是如果我們把時(shí)鐘、風(fēng)車風(fēng)輪當(dāng)成一個(gè)圖形，那

么這些圖形都可以繞著某一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度.

像這樣，把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)0轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變

換叫做旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.

如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P，,那么這兩個(gè)點(diǎn)叫

做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

下面我們來(lái)運(yùn)用這些概念來(lái)解決一些問(wèn)題.

例1如圖，如果把鐘表的指針看做三角形OAB,它繞。點(diǎn)

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到aOEF,在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：

(1)旋轉(zhuǎn)中心是什么?旋轉(zhuǎn)角是什么？

(2)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A,B分別移動(dòng)到什么位置？

解：(1)旋轉(zhuǎn)中心是0,ZAOE,NBOF等都是旋轉(zhuǎn)角.

(2)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別移動(dòng)到點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置.

自主探究：

請(qǐng)看我手里拿著的硬紙板，我在硬紙板上挖下一個(gè)三角形

的洞，再挖一個(gè)點(diǎn)0作為旋轉(zhuǎn)中心，把挖好的硬紙板放在黑

板上，先在黑板上描出這個(gè)挖掉的三角形圖案(△ABC),然后

圍繞旋轉(zhuǎn)中心0轉(zhuǎn)動(dòng)硬紙板，在黑板上再描出這個(gè)挖掉的三

角形(/kA，B,C，),移去硬紙板.

(分組討論)根據(jù)圖回答下面問(wèn)題(一組推薦一人上臺(tái)說(shuō)明)

L線段0A與0A',0B與OB',0C與0C'有什么關(guān)系？

2.NA0A，,ZBOBZ,NC0C'有什么關(guān)系？

3.4ABC與B，Cz的形狀和大小有什么關(guān)系？

老師點(diǎn)評(píng)：LOA=OA，,OB=OB'，OC=OC'，也就是對(duì)應(yīng)

點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

2.NA0A'=ZBOB,=ZCOC,,我們把這三個(gè)相等的角，

即對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角稱為旋轉(zhuǎn)角.

3.4ABC和4A，BzC'形狀相同和大小相等，即全等.

綜合以上的實(shí)驗(yàn)操作得出：

(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

例2如圖，△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

D,試確定頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，以及旋轉(zhuǎn)后的三角形.

分析：繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D點(diǎn)，那么旋轉(zhuǎn)角就

是NACD,根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角,即NBCB，=ZACD,又由對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，

即CB=CB',就可確定B'的位置，如圖所示.

解：(1)連接CD；

⑵以CB為一邊作NBCE,使得NBCE=NACD；

(3)在射線CE上截取CB'=CB,則B，即為所求的B的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)；

(4)連接DB，,則aDB'C就是aABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的圖形.

三、課堂小結(jié)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

本節(jié)課應(yīng)掌握：