集合論與圖論課程總結(jié)軟件基礎(chǔ)教研室二0一一年五月第一章集合及其運(yùn)算§1集合的基本概念集合含義----怎樣理解集合集合的具體表示方法－外延和內(nèi)涵表示法空集和全集§2子集、集合的相等子集、集合相等及其證明（重要）、集族、冪集（求冪集）§3集合的基本運(yùn)算并、交、差、對(duì)稱差、余集

性質(zhì)并、交運(yùn)算以及它們之間的關(guān)系兩個(gè)運(yùn)算間的關(guān)系(分配律和吸收律)差運(yùn)算性質(zhì)差與并、交運(yùn)算的關(guān)系

對(duì)稱差性質(zhì)A?(BC)=(A?B)(A?C)A(AB)=B余集運(yùn)算性質(zhì)(A?B)C=AC

?BC

；(A?B)C=AC

?BC

DeMorgan公式§5笛卡幾乘積笛卡兒乘積定義性質(zhì)(笛卡兒乘積運(yùn)算與并、交、差運(yùn)算的關(guān)系)定理1

設(shè)A,B,C是任意三個(gè)集合，則（1）A×(B?C)=(A×B)?(A×C)（2）A×(B?C)=(A×B)?(A×C)（3）A×(B\C)=(A×B)\(A×C)（4）若A≠￠,

且A×B=B×B,則A=B這也是證明集合相等的典型問題。§6有限集合的基數(shù)定義、基數(shù)、基數(shù)比較、性質(zhì)|A×B|=|A|·|B|

A∪B=A+B-A∩B

（A∩B

￠）

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C

-B∩C+A∩B∩C

（1）設(shè)A1,A2,…,An，為n個(gè)有限集合，則（2）設(shè)A1,A2,…,An為有限集合S的子集，則§7抽屜原理例1(1)一年365天，今有366個(gè)人，則至少有兩個(gè)人生日相同。

(2)抽屜里有10雙手套，從中取11只出來，則其中至少有兩只是完整配對(duì)的。

(3)某次會(huì)議有n位代表參加，每一位代表至少認(rèn)識(shí)其余n-1位中的一位，則在這n位代表中，至少有兩位認(rèn)識(shí)的人數(shù)相等。例2

在一個(gè)邊為1的正方形內(nèi)（包括邊界），任意地畫七個(gè)點(diǎn)，則其中必有三個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)所組成的三角形面積小于1/6。例3

證明，從1,2,…,2n中，任選n+1個(gè)數(shù)，則在這n+1個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)，使得其中一個(gè)能整除另一個(gè)。例4坐標(biāo)上有五個(gè)整數(shù)點(diǎn)，則存在有兩個(gè)點(diǎn)的連線的中點(diǎn)一定是整數(shù)點(diǎn)。

例5

證明：在52個(gè)正整數(shù)中，必有兩個(gè)整數(shù)，使得這兩個(gè)整數(shù)之和或差能被100整除。

抽屜原理也稱為鴿巢原理、重疊原理。這個(gè)原理十分簡(jiǎn)單，但若用得好卻會(huì)得到意想不到的有趣結(jié)論。

但也應(yīng)當(dāng)注意，抽屜原理并未告訴我們?cè)鯓訉?shí)際地去尋找含有兩個(gè)或更多個(gè)物體的那個(gè)抽屜，而只是肯定了確有這樣的抽屜。例6

已知m個(gè)整數(shù)a1，a2，…，am，試證：存在兩個(gè)整數(shù)k,l,0klm，使得ak+1+ak+2+…+al能被m整除。例7證明：對(duì)任意正整數(shù)N，存在N的一個(gè)倍數(shù)，使得它僅由數(shù)字0和7組成。（例如N＝3,有259×3＝777；N＝4,有1925×4＝7700；N＝5,有14×5＝70；N＝6,有1295×6＝7770等）。例8

證明：在任意６個(gè)人中，或有3個(gè)人相互認(rèn)識(shí)，或有3個(gè)人相互不認(rèn)識(shí)。例95個(gè)整數(shù)中必有3個(gè)整數(shù)其和能被3整除。例10

設(shè)a1,a2,…,an為1，2，3，…，n的任一排列,若n是奇數(shù)且(a1-1)(a2-2)…(an-n)0，則乘積為偶數(shù)。

上面的例2、例8使用的鴿巢原理實(shí)際上是鴿巢原理的一種推廣形式，稱為“平均值原理”，即若把m只物體放到n個(gè)抽屜里，則一定存在某一個(gè)抽屜，它里面至少有[(m-1)/n]+1個(gè)物體。這里[x]表示不大于x的最大整數(shù)。2.2抽屜原理強(qiáng)形式抽屜原理強(qiáng)形式:設(shè)m1,m2,…,mn都是正整數(shù),若把m1+m2+…+mn-n+1個(gè)物體放到n個(gè)抽屜里,則或第一個(gè)抽屜里至少有m1個(gè)物體,或第二個(gè)抽屜里至少有m2個(gè)物體,…,或第n個(gè)抽屜里至少有mn個(gè)物體。說明:當(dāng)m1=m2=…=mn=2時(shí)，m1+m2+…+mn-n+1=n+1。抽屜原理是強(qiáng)形式的一種特殊情況。推論1

若有m個(gè)物體放到n個(gè)抽屜里，則一定存在某一個(gè)抽屜，它里面至少有[(m-1)/n]+1個(gè)物體。推論2

若把n(m-1)+1個(gè)物體放進(jìn)n個(gè)抽屜里，則一定存在某一個(gè)抽屜，它里面至少有m個(gè)物體。此推論是強(qiáng)形式中，當(dāng)m1=m2=…=mn=m時(shí)的特殊情況。推論3

若m1,m2,…,mn是n個(gè)正整數(shù)，且(m1+m2+…+mn)/n>r-1，則m1,m2,…,mn中至少有一個(gè)大于或等于r。鴿巢原理強(qiáng)形式例題

例1一個(gè)人步行了十小時(shí)，共走45公里，已知他第一個(gè)小時(shí)走了6公里，而最后一小時(shí)只走了3公里，證明一定存在連續(xù)的兩個(gè)小時(shí)，在這兩個(gè)小時(shí)之內(nèi)至少走了9公里。

例2

一個(gè)園環(huán)等分36段，將36個(gè)數(shù)字1,2,…,36任意地寫在每一段上，使每一段上恰有一個(gè)數(shù)字，證明：一定存在連續(xù)的三段，在這三段上的數(shù)字之和至少為56。

第二章映射

§1函數(shù)的一般概念映射的定義特殊的映射：

單射、滿射、雙射（一一對(duì)應(yīng)）恒等映射

幾個(gè)重要結(jié)論定理1

設(shè)Ａ,B是有限集合，f:AB。則（1）若f是單射，則

AB；（2）若f是滿射，則

AB；（3）若f是雙射，則

A=B。定理2

設(shè)Ａ,B是有限集合且

A=B，則f:AB是單射且f是滿射。

說明:

(1)f是單射也f是滿射，從而f是雙射（一一對(duì)應(yīng)）；

(2)定理中Ａ,Ｂ為有限集合是必要條件，若Ａ,Ｂ不是有限集合，則結(jié)論不成立。

(3)舉例：§3映射的一般性質(zhì)

象、原象的概念性質(zhì)(定理１也是證明集合相等)定理1設(shè)f:XY

，C，DY，則定理2設(shè)f:XY

，A，BX，則

§4映射的合成定義性質(zhì)、映射合成的計(jì)算1.設(shè)f:XYg:YZ，則（1）若f與g都是單射，則gf也是單射；（2）若f與g都是滿射，則gf也是滿射；（3）若f與g都是雙射，則gf也是雙射。2.設(shè)f:XY，g:YZ，則

（1）若gf是單射，則f是單射；（2）若gf是滿射，則g是滿射；（3）若gf是雙射，則f是單射且g是滿射。§5逆映射定義

f可逆當(dāng)且僅當(dāng)gf=IX與fg=IY同時(shí)成立。左可逆、右可逆性質(zhì)1.設(shè)f:XY，則f是可逆的充分必要條件是f為雙射。2.設(shè)f:XY，g:YX，若f和g都是可逆的，則（1）gf也是可逆的且(gf)-1=f–1g-1；（2）（f–1）-1=f。3.（1）f是左可逆的，當(dāng)且僅當(dāng)f是單射；（2）f是右可逆的，當(dāng)且僅當(dāng)f是滿射。習(xí)題例1令X={x1，x2，…，xm},Y={y1,y2,…，yn},問：（1）有多少個(gè)不同的由X到Y(jié)的關(guān)系(子集個(gè)數(shù))？（2）有多少個(gè)不同的由X到Y(jié)的映射？（3）有多少個(gè)不同的由X到Y(jié)的雙射？（4）有多少個(gè)不同的從X到Y(jié)的單射？例2設(shè)N={1,2,3,…}，試構(gòu)造兩個(gè)映射f和g：NN，使得fg=IN，但gf

IN。例3設(shè)N={1,2,3,…}，試構(gòu)造兩個(gè)映射f和g：NN，使得gf=IN，但fg

IN。P46習(xí)題1--8§7二元和n元運(yùn)算定義1設(shè)X，Y，Z為三個(gè)非空集合。一個(gè)從X×Y到Z的映射稱為X與Y到Z的一個(gè)二元運(yùn)算或二元代數(shù)運(yùn)算。當(dāng)X＝Y(jié)＝Z時(shí)，即若

:，則稱

為X上的二元運(yùn)算。定義2

設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，一個(gè)從X到Y(jié)的映射稱為X到Y(jié)的一個(gè)一元運(yùn)算。若X=Y，則

稱為X上的一元運(yùn)算。也稱X的一個(gè)變換。定義3

設(shè)A1,A2,…,An,D為非空集合，一個(gè)從A1×A2×…×An到D的映射

稱為A1,A2,…,An到D的一個(gè)n元（代數(shù)）運(yùn)算。若A1=A2=…=An=D=A，則稱

為A上的n元運(yùn)算。2.例題：設(shè)|X|=n，則在X上可以定義多少個(gè)二元運(yùn)算?！?特征函數(shù)8.1定義1

設(shè)X是一個(gè)集合，從X到｛0，1｝的如下一個(gè)映射

E稱為E的特征函數(shù)。

xX，8.2集合E與它的特征函數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

X共有

2X

個(gè)子集，特征函數(shù)用Ch(X)={E

E:E{0,1},EX}表示時(shí)，則也應(yīng)該有

2X

個(gè)，即

2X

Ch(X)。

XE01第三章關(guān)系

第三章關(guān)系

1.映射是關(guān)系的一種特例

映射反映的是事物之間的單值的依賴關(guān)系，而事物之間僅僅是單值依賴關(guān)系，大部分都是多值的依賴關(guān)系。對(duì)于這種多值的依賴關(guān)系，我們可以用“關(guān)系”這個(gè)概念來描述。因此映射是關(guān)系的一種特殊情況。

2.

在這里，我們所研究的關(guān)系主要是二元關(guān)系，即兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，以后就不在特殊說明了。

3.內(nèi)容

關(guān)系概念的數(shù)學(xué)定義及幾種等價(jià)的定義；關(guān)系的幾種特殊性質(zhì)二元關(guān)系的運(yùn)算：合成運(yùn)算、閉包運(yùn)算、逆關(guān)系二元關(guān)系的表示：關(guān)系矩陣、關(guān)系圖同時(shí)具有幾種特殊性質(zhì)的關(guān)系：等價(jià)關(guān)系、偏序關(guān)系

§1關(guān)系的概念1.1關(guān)系的三個(gè)等價(jià)定義

恒等關(guān)系、全關(guān)系、空關(guān)系

定義域、值域§2關(guān)系的性質(zhì)一、自反性二、反自反性三、對(duì)稱性R對(duì)稱的?R＝R-1四、反對(duì)稱性

R反對(duì)稱的<=>若x≠y，則xRy與yRx不能同時(shí)成立

R反對(duì)稱

R∩R-1?IX。

五、傳遞性2.3例題例1

設(shè)R，S是集合X上的兩個(gè)傳遞關(guān)系，則R∪S是否傳遞的？2.4關(guān)系的運(yùn)算（性質(zhì)）定理1

設(shè)R1，R2，R是X上的三個(gè)自反關(guān)系，則

R1∪R2，R1∩R2，R-1也是自反的。定理2

設(shè)R1，R2，R是X上的三個(gè)反自反關(guān)系，則

R1∪R2，R1∩R2，R1\R2，R-1也是反自反的。定理3

設(shè)R1，R2，R是X上的三個(gè)對(duì)稱的關(guān)系，則

R1∪

R2，R1∩

R2，R1\R2，R-1也是對(duì)稱的。定理4

設(shè)R1，R2，R是X上的三個(gè)反對(duì)稱的關(guān)系，則R1∩R2，R1\R2，R-1也是X上的反對(duì)稱的關(guān)系。定理5

設(shè)R1，R2，R是X上的三個(gè)傳遞關(guān)系，則

R1∩R2，R-1

也是X上的傳遞關(guān)系。注：R1∪

R2，R1\R2不傳遞。定理6設(shè)R是X上的二元關(guān)系，則R是自反的?

IX?

R;R是反自反的?R∩IX?￠;(3)R是對(duì)稱的?R=R-1;

(4)R是反對(duì)稱的?R∩R-1?IX;(5)R是傳遞的?R·R=R2?R;

2.5習(xí)題課例1

設(shè)A＝{a,b,c}，給出A上的一個(gè)二元關(guān)系，使其同時(shí)不滿足自反性、反自反性、對(duì)稱性、反對(duì)稱和傳遞性的二元關(guān)系，并畫出R的關(guān)系圖。例2

設(shè)A是集合，R,S?

A×A且R,S都是傳遞的，則

(1)R∪S是否傳遞的？（2）R∪S是否是不傳遞的？

[(1)不一定是傳遞的。(2)不一定不是傳遞的（有可能傳遞）]例3設(shè)X是一個(gè)集合，|X|＝n，求：

(1)X上的二元關(guān)系有多少？

(2)X上的自反的二元關(guān)系有多少？

(3)X上的反自反的二元關(guān)系有多少？

(4)X上的對(duì)稱的二元關(guān)系有多少？

(5)X上自反的且對(duì)稱的關(guān)系有多少？

[“反自反的且對(duì)稱的關(guān)系有多少？”是一樣多]

(6)X上自反的或?qū)ΨQ的關(guān)系有多少？§3關(guān)系的合成

定義求關(guān)系的合成運(yùn)算性質(zhì)定理1設(shè)R1，R2，R3分別是從A到B，B到C，C到D的二元關(guān)系，則R1

·(R2·R3)=(R1

·R2)·R3合成關(guān)系與并、交運(yùn)算的關(guān)系（分配律）定理2

設(shè)R1是A到B的二元關(guān)系，R2和R3是從B到C的二元關(guān)系，R4是從C到D的二元關(guān)系，則

R1·(R2∪R3)=(R1·R2)∪(R1·R3)R1·(R2∩R3)?(R1·R2)∩(R1·R3)R1·(R2\R3)≠(R1·R2)\(R1·R3)定理3

設(shè)R1,R2,R是A上的三個(gè)二元關(guān)系，則

(1)(R1·R2)-1=R2-1·R1-1;(2)R·R-1是對(duì)稱的；

(3)若R1,R2是自反的，則R1·R2是自反的；

(4)若R是傳遞的，則R·R?R。

（5）R是對(duì)稱的，則R·R也是對(duì)稱的。

（6）R是反自反和傳遞的，則R·R是反對(duì)稱的。設(shè)R為X上的二元關(guān)系，顯然若R＝￠，則R是反自反的、對(duì)稱和傳遞的；但若R≠￠

且R是反自反的和對(duì)稱的，則R不是傳遞的。此題可變形為：但若R≠￠且R是反自反的和傳遞的,則R是反對(duì)稱的。§4關(guān)系的閉包運(yùn)算4.2定義定義1

設(shè)R是非空集合A上的一個(gè)二元關(guān)系，若有另一個(gè)關(guān)系R'滿足下列條件：

(1)R'是自反的（對(duì)稱的或傳遞的）

(2)R?R'(3)對(duì)A上的任何包含R的自反的（對(duì)稱或傳遞）關(guān)系R“

，都有R‘

?R”，則稱R'為關(guān)系R的自反（對(duì)稱或傳遞）閉包。

R的自反、對(duì)稱和傳遞閉合分別記為r(R)，s(R)，t(R)。本書上給出了的是數(shù)學(xué)形式的等價(jià)定義。4.4如何從一個(gè)已知的關(guān)系來構(gòu)造關(guān)系R的三種閉包定理4

設(shè)R是非空集合A上的二元關(guān)系，則r(R)=R∪R0=R∪IA。定理5

設(shè)R是非空集合A上的二元關(guān)系，則s(R)=R∪R-1。定理6

設(shè)R是非空集合A上的二元關(guān)系，則說明：

t(R)也記為R+，記R*=R0∪R+----R*

稱為自反傳遞閉包。定理7

設(shè)R是A上的一個(gè)二元關(guān)系，|A|=n，則§5關(guān)系矩陣和關(guān)系圖

5.1關(guān)系矩陣會(huì)寫5.2關(guān)系圖會(huì)畫§6等價(jià)關(guān)系與劃分內(nèi)容：等價(jià)關(guān)系、等價(jià)類、劃分、等價(jià)關(guān)系與劃分的關(guān)系6.1等價(jià)關(guān)系定義1

設(shè)R是非空集合A上的二元關(guān)系，若R同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：(1)R是自反的；(2)R是對(duì)稱的；(3)R是傳遞的則稱R是A上的等價(jià)關(guān)系，記為“≌”。6.2等價(jià)類定義2

設(shè)R是非空集合A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，

x∈A，令[x]R={y|y∈A且(x,y)∈R}則稱集合[x]R為x關(guān)于R的等價(jià)類，簡(jiǎn)稱x的等價(jià)類，簡(jiǎn)記為[x]。6.3商集定義3

設(shè)R是非空集合A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，以R的不相交的等價(jià)類為元素構(gòu)成的集合稱為A在R下的商集，簡(jiǎn)稱為A的商集，記為A/R，即A/R={[x]R|x∈A}。6.4劃分一、定義定義4

設(shè)A是非空集合，若A的一些非空子集∏={Ai}l∈I形成的集族滿足下列條件：

(1)

l,r∈I，若l≠r,則Al∩Ar=φ;(2)∪Al=A。則稱∏為A的一個(gè)劃分，稱∏中的元素Ai為∏的劃分塊。6.5等價(jià)關(guān)系與劃分之間的聯(lián)系

定理1

對(duì)非空集合A上的任意一個(gè)等價(jià)關(guān)系R，A的商集A/R就是A的劃分。定理2

設(shè)∏是非空集合A上的一個(gè)劃分，令A(yù)上的關(guān)系為R∏為：R∏={(x,y)|x,y∈A且x和y屬于的同一個(gè)劃分塊｝,則R∏為A上的等價(jià)關(guān)系。這個(gè)等價(jià)關(guān)系稱為由劃分∏誘導(dǎo)出的A上的等價(jià)關(guān)系。并且R∏=∪∏i×∏i，∏i∈∏。定理3

對(duì)非空集合A上的一個(gè)劃分∏和A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系R，有:∏誘導(dǎo)R?R誘導(dǎo)∏。說明：集合A上的劃分∏和A上的等價(jià)關(guān)系R之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。證明等價(jià)關(guān)系---習(xí)題課習(xí)題。§8偏序關(guān)系與偏序集

8.1偏序關(guān)系定義1

設(shè)R是非空集合A上的一個(gè)二元關(guān)系，若R同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）R是自反的；（2）R是反對(duì)稱的；（3）R是傳遞的則稱R是A上的偏序關(guān)系，簡(jiǎn)稱偏序，記為“≤”。8.2偏序集定義3設(shè)R的集合A上的一個(gè)偏序關(guān)系，集合A對(duì)偏序關(guān)系R形成一個(gè)二元組，記為(A,R)，稱(A,R)為偏序集。8.3Hasse圖會(huì)畫Hasse圖8.4最大(小)元素、極大(小)元素、上(下)界、上(下)確界定義1設(shè)(A,≤)是一個(gè)偏序集，B?A，則(1)若?a∈B,使得

x∈B

，均有x≤a，則稱a為B的最大元素。(2)若?a∈B,使得

x∈B

，均有a≤x

，則稱a為B的最小元素。(3)存在a∈B

，若B中沒有任何元素x，滿足a≠x且a≤x

，則稱a為B的極大元。(4)存在a∈B

，若B中沒有任何元素x，滿足a≠x且x≤a

，則稱a為B的極小元。定義2

設(shè)(A,≤)是一個(gè)偏序集，B?A，則(1)若存在a∈A

，使得

x∈B

，均有x≤a

，則稱a為B的上界；(2)若存在a∈A

，使得

x∈B

，均有a≤x

，則稱a為B的下界；(3)若B的一切上界元素形成的集合中有最小元素，則稱此最小上界為B的上確界，記為supB；(4)若B的一切下界元素形成的集合中有最大元素，則稱此最大下界為B的下確界，記為infB。定義2

設(shè)(A,≤)是一個(gè)偏序集，B?A，則(1)若存在a∈A

，使得

x∈B

，均有x≤a

，則稱a為B的上界；(2)若存在a∈A

，使得

x∈B

，均有a≤x

，則稱a為B的下界；(3)若B的一切上界元素形成的集合中有最小元素，則稱此最小上界為B的上確界，記為supB；(4)若B的一切下界元素形成的集合中有最大元素，則稱此最大下界為B的下確界，記為infB。8.5全序關(guān)系與全序集定義8.6鏈與反鏈一、定義定義2

設(shè)(A,≤)是一個(gè)偏序集，B?A，則

(1)若

x,y∈B，x≤y與y≤x必有一個(gè)成立，則稱B為A的一個(gè)鏈，B中元素的個(gè)數(shù)稱為鏈的長(zhǎng)度。

(2)若

x,y∈B，x≤y與y≤x均不成立，則稱B為A的一個(gè)反鏈，B中元素的個(gè)數(shù)稱為反鏈的長(zhǎng)度。偏序集合的分解定理—組合數(shù)學(xué)三大定理之一。第四章無窮集合及其基數(shù)§1可數(shù)集1.1可數(shù)集定義、至多可數(shù)。1.2性質(zhì)定理1

集合A為可數(shù)集的充分必要條件是A中的全部元素可以排成沒有重復(fù)項(xiàng)的無窮序列：a1，a2，…，an，…形式，即A＝{a1，a2，…，an，…}。定理2

無窮集A必包含有可數(shù)子集。

可數(shù)集合是無窮集合中”最小”的集合.定義2（無窮集合）凡能與自身的一個(gè)真子集對(duì)等的集合稱為無窮集合(無窮集)，或無限集合。1.3證明集合是可數(shù)集。§2連續(xù)統(tǒng)集2.1不可數(shù)集的存在定理1區(qū)間[0,1]中的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合是不可數(shù)無窮集合。2.2連續(xù)統(tǒng)集的定義定義1凡與[0,1]對(duì)等的集合稱為具有“連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)”的集合，簡(jiǎn)稱連續(xù)統(tǒng)。2.3對(duì)角線法證明—兩個(gè)習(xí)題

§3基數(shù)及其比較在抽象地研究集合時(shí)，最根本的是考慮集合的“大小”，而集合中元素的性質(zhì)是可以不加考慮的。對(duì)給定的集合Ａ和Ｂ，它們的“大小”是否相同？哪一個(gè)集合元素“較多”？對(duì)于有限集合來說，集合的“大小”就是集合中元素的個(gè)數(shù)，稱為集合的基數(shù)?；鶖?shù)越大的集合所含元素的個(gè)數(shù)越多，也就是說這個(gè)集合越大。

但對(duì)于無窮集合來說，元素的“個(gè)數(shù)”這個(gè)概念是沒有意義的。因?yàn)榘赐ǔ５睦斫馑侵敢粋€(gè)有限數(shù)，而不是無限數(shù)。至于一個(gè)無限數(shù)比另一個(gè)無限數(shù)大，更是不可思意的了。但憑著我們的直覺與前面的定理可知，這種說法是符合我們的看法的，只不過是現(xiàn)在說不清楚，之所以說不清楚，是因?yàn)檫@里面有幾個(gè)概念未加定義。

于是，我們下面就要把有限集合個(gè)數(shù)的概念推廣，使它對(duì)無窮集合也有精確的定義，這就是無窮集合基數(shù)的概念；然后確定比較兩個(gè)集合基數(shù)大小的方法。3.1基數(shù)的本質(zhì)由于我們已經(jīng)定義了有限集合的基數(shù)的概念，即集合中所含元素的個(gè)數(shù)，現(xiàn)在便從此進(jìn)行分析和推廣。有限集合的基數(shù)是一個(gè)具體的數(shù)，可是這個(gè)數(shù)又是什么呢？實(shí)際上，數(shù)只是一個(gè)抽象的概念，給一個(gè)具體的數(shù)只不過是對(duì)這個(gè)概念的一種符號(hào)表示。

例如：對(duì)于“5”這個(gè)數(shù)。世界上有“5”這個(gè)事物嗎？沒有。有的只是具體的5個(gè)事物，如5個(gè)人，5只筆，5張桌子等等，而這個(gè)“5”無非就是一個(gè)符號(hào)，它表明具有5個(gè)事物所形成的集合的共性。它們的共性就是它們相互對(duì)等，即它們的元素之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)。于是，“5”這個(gè)符號(hào)就是賦給每個(gè)含有五個(gè)元素的集合的一個(gè)記號(hào)，即若與含有五個(gè)元素的集對(duì)等，則都賦以相同的記號(hào)“5”。實(shí)際上，這就是“5”的本質(zhì)。3.2無窮集合的基數(shù)定義1集合Ａ的基數(shù)是一個(gè)符號(hào)，凡與Ａ對(duì)等的每個(gè)集，對(duì)應(yīng)著同一個(gè)符號(hào)。定義2(等價(jià)定義)所有與集合Ａ對(duì)等的集形成的集族（的共性）稱為集合Ａ的基數(shù)，記為|A|。說明:

(1)現(xiàn)在已經(jīng)把有限集合元素個(gè)數(shù)的概念推廣到無窮集合上了，于是，無窮集合元素個(gè)數(shù)的概念也有了明確的定義，這就是基數(shù)的概念。(2)