2024-2025學年福建省福州市高二上學期10月月考數(shù)學教學質(zhì)量檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量是直線的方向向量，是平面的一個法向量，則直線與平面所成的角為（

）A． B． C． D．2．已知，，，若，，共面，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在棱長均相等的四面體中，點為的中點，，設，則（）A． B．C． D．4．設，向量，，且，則（

）A． B． C．3 D．45．已知三棱錐，點M，N分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（

）

A． B． C． D．6．已知正三棱柱的各棱長都為2，以下選項正確的是（

）

A．異面直線與垂直B．與平面所成角的正弦值為C．平面與平面夾角的余弦值為D．點C到直線的距離為7．在正方體中，在正方形中有一動點P，滿足，則直線與平面所成角中最大角的正切值為（

）A．1 B． C． D．8．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載的“芻薨”（chumeng）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五面體是一個芻薨，其中四邊形為矩形，其中，，與都是等邊三角形，且二面角與相等，則長度的取值范圍為（

）

A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知正方體，點P滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱倠的體積為定值B．當時，平面C．當時，存在唯一的點P，使得與直線的夾角為D．當時，存在唯一的點P，使得平面10．已知四面體，則下列說法正確的是（

）A．若為的中點，為的中點，則B．若四面體是棱長為1的正四面體，則C．若，，，則向量在上的投影是D．已知，，，則向量，，不可能共面11．如圖，正方體的棱長為，，，分別為，，的中點，則（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．點與點B到平面的距離相等三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設空間向量，，若，則.13．已知正三棱柱的底面邊長為6，三棱柱的高為4，則該三棱柱的外接球的表面積為.14．如圖，已知，，則以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條高的長度分別為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15（13分）．四棱錐中，平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點，且二面角的平面角大小為，求動點的軌跡的長度.16．（15分）如圖，長方體中，，是的中點．(1)求證：；(2)求證：平面.17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是棱上的動點，且，，M是邊中點.

(1)當時，證明：平面.(2)當點E到直線距離最近時，求點D到平面的距離.18．（17分）如圖，在四棱錐中，面，，，，點E是線段中點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的為30°，求平面與平面夾角的余弦值.19．（17分）如圖1，在邊長為4的菱形中，，于點，將沿折起到的位置，使，如圖2.

(1)求證：平面；(2)判斷在線段上是否存在一點，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.2024-2025學年福建省福州市高二上學期10月月考數(shù)學教學質(zhì)量檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量是直線的方向向量，是平面的一個法向量，則直線與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標運算，結(jié)合線面角的公式即可得到結(jié)果.【詳解】設直線與平面所成的角為，由題意可得，，即.故選：A2．已知，，，若，，共面，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】C【分析】由，，三向量共面，我們可以用向量，作基底表示向量，進而構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程即可求出實數(shù)的值．【詳解】，，與不平行，又，，三向量共面，則存在實數(shù)，使，即，解得．故選：C3．如圖，在棱長均相等的四面體中，點為的中點，，設，則（）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求得正確答案.【詳解】由于，所以,所以.故選：D4．設，向量，，且，則（

）A． B． C．3 D．4【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量平行與垂直的坐標表示，求得的值，結(jié)合向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量且，可得，解得，所以，，則，所以.故選：C.5．已知三棱錐，點M，N分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（

）

A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由向量對應線段的空間關(guān)系，應用向量加法法則用，，表示出即可.【詳解】由圖知：.故選：A6．已知正三棱柱的各棱長都為2，以下選項正確的是（

）

A．異面直線與垂直B．與平面所成角的正弦值為C．平面與平面夾角的余弦值為D．點C到直線的距離為【正確答案】B【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系,由空間向量法求空間角、距離，判斷垂直．【詳解】如圖，以為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，與不垂直，A錯；平面的一個法向量為，，所以與平面所成角的正弦值為，B正確；設平面的一個法向量是，又，由得，令得，平面的一個法向量是，，所以平面與平面夾角的余弦值為，C錯；，，，所以點C到直線的距離為，D錯；故選：B．7．在正方體中，在正方形中有一動點P，滿足，則直線與平面所成角中最大角的正切值為（

）A．1 B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意,可知是平面內(nèi),以為直徑的半圓上一點.由即為直線與平面所成的角可知當取得最小值時,與平面所成的角最大.而連接圓心E與C時,與半圓的交點為P,此時取得最小值.設出正方體的棱長,即可求得,進而求得.【詳解】正方體中,正方形內(nèi)的點P滿足可知是平面內(nèi),以為直徑的半圓上一點,設圓心為E,如下圖所示:當直線與平面所成最大角時,點位于圓心E與C點連線上此時取得最小值.則即為直線與平面所成的角設正方體的邊長為2,則,所以故選:D本題考查了空間中動點的軌跡問題,直線與平面夾角的求法,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.8．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載的“芻薨”（chumeng）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五面體是一個芻薨，其中四邊形為矩形，其中，，與都是等邊三角形，且二面角與相等，則長度的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題意找到二面角與的兩個極端位置，即二面角的平面角為和時，求得相應EF的長，集合題意即可得答案.【詳解】由題意可知，與都是等邊三角形，故與的底邊上的高為，因為二面角與相等，故當該二面角的平面角為時，此時EF落在四邊形內(nèi)，長度為，

當該二面角的平面角為時，此時EF落在平面上，長度為，

由于該幾何體為五面體，故二面角與的平面角大于小于，故長度的取值范圍為，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知正方體，點P滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱倠的體積為定值B．當時，平面C．當時，存在唯一的點P，使得與直線的夾角為D．當時，存在唯一的點P，使得平面【正確答案】ABC【分析】根據(jù)各選項條件確定相應的點軌跡，然后由體積公式判斷A，由面面平行判斷B，由異面直線所成角的定義判斷C，由線面垂直判斷D．【詳解】選項A，由題意在面內(nèi)，因此它到平面的距離等于正方體的棱長，為常數(shù)，而面積為常數(shù)，因此為常數(shù)，A正確；

選項B，，則，因此點軌跡是線段，連接，由與平行且相等，因此是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，同理平面，而與是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面平面，平面，則平面，B正確；

選項C，取中點，中點，連接，由得點軌跡是線段，同選項A分析知，與直線的夾角即為與直線的夾角，由正方形知當只有當與重合時，與直線的夾角為，C正確；

選項D，由知在線段上，過與平面垂直的直線只有，因此不可能與平面垂直，D錯．

故選：ABC．10．已知四面體，則下列說法正確的是（

）A．若為的中點，為的中點，則B．若四面體是棱長為1的正四面體，則C．若，，，則向量在上的投影是D．已知，，，則向量，，不可能共面【正確答案】ABC【分析】A中根據(jù)向量加法的三角形法則、平行四邊形法則以及向量減法的三角形法則即可得到結(jié)果；B中先化簡，再利用公式求解即可；C中先求出，，向量在上的投影為即可求解；D中根據(jù)向量共面定理，若向量，，共面，則解題即可.【詳解】A中，，所以A正確；B中，，所以B正確；C中，，，向量在上的投影為,所以C正確；D中，假設向量，，共面，則，所以所以，解得，所以當時向量，，共面，所以D錯誤.故選：ABC11．如圖，正方體的棱長為，，，分別為，，的中點，則（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．點與點B到平面的距離相等【正確答案】BCD【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷ABD選項；作出截面，計算出截面面積，可判斷C選項.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、、、、，對于A選項，，，則，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；對于B選項，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，即，因為平面，平面，故B正確；對于C選項，連接、、，因為、分別為、的中點，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則，所以，所以、、、四點共面，故平面截正方體所得截面為，且，同理可得，，所以四邊形為等腰梯形，分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為、，如下圖所示：因為，，，所以，故，，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，故，故梯形的面積為，故C正確；對于D選項，，則點到平面的距離為，，則點到平面的距離為，所以點與點到平面的距離相等，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設空間向量，，若，則.【正確答案】【分析】依題意可得，即可得到關(guān)于、、的方程組，從而求出、，最后求出.【詳解】因為，且，所以，即，所以，解得，所以，，所以，所以.故13．已知正三棱柱的底面邊長為6，三棱柱的高為4，則該三棱柱的外接球的表面積為.【正確答案】【分析】根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半徑即可求其表面積.【詳解】因為正三棱柱的底面邊長為6，所以底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑.

又由三棱柱的高為4，則球心到圓O的距離，因此球半徑R滿足：，即有，所以外接球的表面積.故14．如圖，已知，，則以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條高的長度分別為．【正確答案】2，【分析】求出，計算得，因此以OA為底的高的長度為，然后求出與夾角的余弦并計算出正弦，從而可得以為底的高．【詳解】設，，易得，則，所以，所以以OA為底的高的長度為．，所以，所以以OB為底的高的長度為．故2，．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．四棱錐中，平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點，且二面角的平面角大小為，求動點的軌跡的長度.【正確答案】/.【分析】建立空間直角坐標系，設出，由二面角的大小，列出方程，得到，設直線與軸交點分別為，得到動點的軌跡的長度為的長，由勾股定理求出答案.【詳解】因為平面，平面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因為，所以PA，AB，AD兩兩垂直，所以以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，因為是四邊形內(nèi)部一點，設，其中，平面PDA的法向量為，設平面QPD的法向量為，則，令，則，所以，，由于，所以，故，因為的平面角大小為，設為，則，解得：，設直線與軸交點分別為，故動點的軌跡的長度為的長，令得：，故令得：，故由勾股定理得：，所以動點的軌跡的長度為.故答案為.16．如圖，長方體中，，是的中點．(1)求證：；(2)求證：平面.【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連接，根據(jù)線面垂直的判定證明平面即可；（2）方法一：連接交于點，根據(jù)中位線的性質(zhì)證明即可；方法二：取中點，連接，連接，證明平面即可【詳解】（1）證明：連接，，則長方體中，平面平面所以，，所以，平面平面所以，.（2）方法一：連接交于點，則為的中點，連接，則為的中位線，故平面，平面所以，∥平面方法二：取中點，連接，則，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，連接，則，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，因為，所以，平面因為平面，所以，∥平面17．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是棱上的動點，且，，M是邊中點.

(1)當時，證明：平面.(2)當點E到直線距離最近時，求點D到平面的距離.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形中位線可得線線平行，進而可證為平行四邊形，即可根據(jù)線面平行的判斷求解，（2）建立空間直角坐標系．利用向量，結(jié)合點到線的距離公式求出距離的表達式，進而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，即可得，進而求解平面的法向量，又點到面的距離公式即可求解.【詳解】（1）取中點，連接,當時，是棱上的中點，故且，又且，M是邊中點,所以且，故四邊形為平行四邊形，因此,又平面,平面,故平面.

（2）取棱的中點，連接，由于平面，四邊形是菱形，，所以，，兩兩垂直，故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，,，，，故，，，．因為，所以，則．，，點E到直線距離為,故當時，此時取到最小值，此時點E到直線距離最小，設平面的法向量為，則，令，得．，所以點D到平面的距離為18．如圖，在四棱錐中，面，，，，點E是線段中點.

(1)求