2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)寧市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡規(guī)定的地方.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，平面的法向量為，若，則（）A. B.3 C.4 D.52.如圖，G是的重心，，，，則（）A. B.C. D.3.已知向量，，，則（）A.3 B.9 C.27 D.814.已知事件A，B是互斥事件，，，則（）A. B. C. D.5.已知點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C.2 D.46.已知，，，若，，三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B.5 C.9 D.7.已知正三棱柱的側(cè)面積是兩底面積的倍，點(diǎn)E為四邊形的中心，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，則異面直線BF與CE所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù).用x表示第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用y表示第二次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果.記“”為事件A，“”為事件B，“”為事件C，則（）A.A與B相互獨(dú)立 B.A與B對(duì)立C.B與C相互獨(dú)立 D.A與C相互獨(dú)立二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.下述關(guān)于頻率與概率的說法中，錯(cuò)誤的是（）A.設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品B.利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率，即使隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)超過10000，所估計(jì)出的概率也不一定很準(zhǔn)確.C.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率D.做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是10.設(shè)空間兩個(gè)單位向量，與向量的夾角都等于，則（）A. B. C. D.11.如圖，在邊長為1的正方體中，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)到直線的距離為 B.直線到直線AE的距離為C.點(diǎn)到平面的距離為 D.直線到平面的距離為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.在一次擲硬幣試驗(yàn)中，擲100次，其中有48次正面朝上，設(shè)反面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的頻率為______.13.如圖，平面ABFE與平面CDEF夾角為，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為2的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是______.14.如圖所示，在正方體中，，M是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，若AM與平面所成的角，則的最大值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）已知，求k的值；（2）若，且，求的坐標(biāo).16.（本小題15分）如圖，正四面體ABCD（所有棱長均相等）的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用，，表示，并求EF的長；（2）求與夾角的大小.17.（本小題15分）已知甲、乙兩袋中各裝有4個(gè)質(zhì)地和大小完全相同的小球，甲袋中有紅球2個(gè)、白球1個(gè)、藍(lán)球1個(gè)，乙袋中有紅球1個(gè)、白球1個(gè)、藍(lán)球2個(gè)（1）從兩袋中隨機(jī)各取一球，求取到的兩球顏色相同的概率；（2）從甲袋中隨機(jī)取兩球，從乙袋中隨機(jī)取一球，求取到至少一個(gè)紅球的概率.18.（本小題17分）在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，O為CD的中點(diǎn)，二面角為直二面角.（1）求證：；（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；（3）求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.19.（本小題17分）甲和乙進(jìn)行多輪答題比賽，每輪由甲和乙各回答一個(gè)問題，已知甲每輪答對(duì)的概率為，乙每輪答對(duì)的概率為.在每輪比賽中，甲和乙答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.（1）求兩人在兩輪比賽中都答對(duì)的概率；（2）求兩人在兩輪比賽中至少答對(duì)3道題的概率；（3）求兩人在三輪比賽中，甲和乙各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率.高二數(shù)學(xué)答案1.【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，解?故選：A.2.【正確答案】D是的重心，，，，，，，，，，故選：D.3.A【詳解】向量，且，則，解得，所以，所以，所以.故選：A.4.【正確答案】C【詳解】，，，事件，是互斥事件，.故選：C5.B【詳解】由，，，四點(diǎn)共面，可知，即，由，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：B6.D解：因?yàn)?，，所以與不共線，又，，三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以，，三向量共面，所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使，即，解得.故選：D7.【詳解】法一：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)辄c(diǎn)為四邊形的中心，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角就是異面直線與所成的角.設(shè)該三棱柱的底面邊長為2，正三棱柱的側(cè)面積是底面積的倍，則，所以.連接，則，，.在中，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值為，法二：設(shè)，則由題得，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，故，所以異面直線與所成角的余弦值為.法三：設(shè)，則由題得，所以.設(shè)，，，則，，，的夾角為，，，所以所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.8.【正確答案】D【詳解】依題意依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為個(gè)；其中事件包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，共6個(gè)；事件，包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，，，共9個(gè)，事件，包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個(gè)，所以A與不能同時(shí)發(fā)生，但是能同時(shí)不發(fā)生，故不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；因?yàn)锳與不能同時(shí)發(fā)生，所以A與是互斥事件，則，又，，所以，所以A與不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；事件包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，共6個(gè)，因?yàn)?，所以與不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤.又事件包含的樣本點(diǎn)有：，，共3個(gè)，所以，，則，所以A與相互獨(dú)立，故D正確；故選：D9.ACD【詳解】對(duì)于A：從中任取100件，可能有10件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：10000次的界定沒有科學(xué)依據(jù)，"不一定很準(zhǔn)確"的表達(dá)正確，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定在概率值附近，但并非試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率就等于概率，B正確。對(duì)于C：多次重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率在某一常數(shù)附近，此常數(shù)為概率，與描述不符，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的頻率是，不是概率為，D錯(cuò)誤；故選：ACD.10.AC【詳解】空間兩個(gè)單位向量，與向量的夾角都等于，，，，又，，又為單位向量，，聯(lián)立，得或，，，.故選：AC.11.ABD【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)椋?設(shè)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，故A正確.因?yàn)?，，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離.，.設(shè)，所以，所以直線到直線的距離為，故B正確.設(shè)平面的一個(gè)法向量，又，，所以取，則，，所以，所以.又，所以點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤.因?yàn)?，平面，所以平面，所以到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離.又平面的單位法向量，，所以直線到平面的距離為，故D正確.故選：ABD12.0.52【詳解】由題意可得反面朝上次數(shù)為，所以設(shè)反面朝上為事件，則事件出現(xiàn)的頻率為.故0.52.13【正確答案】【詳解】因?yàn)樗倪呅?、都是邊長為2的正方形，則，，又平面與平面夾角為，即，則，因?yàn)椋蓤D易知，，所以，即，兩點(diǎn)間的距離是.故答案為.14.【正確答案】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)槠矫妫约礊锳M與平面所成角，即，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為.15.（1）（2）或【詳解】（1）因?yàn)?，，，，，所以，，? 3又，所以，得到 6（2）因?yàn)?，又，所以?10解得或，所以的坐標(biāo)為或.16.（1），（2）【詳解】（1）因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，且，，，可得， 4因?yàn)檎拿骟w的棱長為1，則，且，可得， 9即，所以的長為. 10（2）由題意得， 12因此， 14即，即與的夾角為 1517.（1）（2）【詳解】（1）設(shè)甲袋中的紅球?yàn)椋?，白球?yàn)?，籃球?yàn)椋掖械募t球?yàn)?，白球，籃球?yàn)?，，則從兩袋中各取一球，所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，故基本事件的總數(shù)為16. 3設(shè)A為“取到的兩球顏色相同”，則A含有的基本事件如下：，，，， 5共5個(gè)基本事件，則. 7（2）如（1）中所設(shè)，從甲袋中隨機(jī)取兩球，從乙袋中隨機(jī)取一球，總的基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，基本事件的總數(shù)為24， 10設(shè)為“取到至少一個(gè)紅球”，其對(duì)立事件設(shè)為，則為“沒有取到紅球”，含有的基本事件如下：，，，共有3個(gè)， 13故，故. 1518.（1）證明見解析（2）（3）【詳解】（1）因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?因?yàn)椋?，，所?取的中點(diǎn)，連接，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 4則，，，，，.，，因?yàn)椋? 5所以.（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即， 7解得，令，則，則. 9設(shè)直線與平面所成的角為，又，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為. 10（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即， 12解得，令，則，故. 14設(shè)平面與平面的夾角為，則.故平面與平面的夾角的余弦值為. 1719.（1）（2）（3）.【詳解】（1）依題意，設(shè)事件“甲兩輪都答對(duì)問題”，“乙兩輪都答對(duì)問題”，所以，，因?yàn)槭录?，N相互獨(dú)立，所以兩人在兩輪比賽中都答對(duì)的概率為. 5（2）設(shè)事“甲第一輪答對(duì)”，“乙