②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).2.奇偶性：函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱3.周期性：（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期.4.對稱性：(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．題型：題型1【函數(shù)定義相關(guān)類型】備注：利用函數(shù)定義域、值域、解析式的關(guān)系進(jìn)行判斷【例1】．（2324高一上·上海·期末）存在函數(shù)滿足：都有（

）A． B．C． D．【例2】．（2324高一·浙江·期末）存在函數(shù)滿足對于任意都有（

）A． B．C． D．【變式11】．（2324高一上·湖北宜昌·期中·多選）函數(shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利?歐拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù)．德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn)．后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則，對于集合中的每一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從到的一個函數(shù)”．下列對應(yīng)法則滿足函數(shù)定義的有（

）A． B．C． D．【變式12】．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）存在函數(shù)，對于任意都成立的下列等式的序號是．①；②；③；④．題型2【單一函數(shù)的性質(zhì)綜合】備注：利用函數(shù)的對稱性、奇偶性判斷出周期，再進(jìn)行判斷【例1】．（2324高一下·湖南懷化·期末）已知函數(shù)對任意的都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且對于，當(dāng)時，，則（

）A． B．是奇函數(shù)C．是周期為4的周期函數(shù) D．【例2】．（2324高二下·安徽·期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且為奇函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．函數(shù)為偶函數(shù)C． D．【變式21】．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知是定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．1

【變式22】．（2324高二下·山東濱州·期末·多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B．是周期為4的周期函數(shù)C． D．【變式23】．（2024·河南·模擬預(yù)測·多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的一個對稱中心為B．C．函數(shù)為周期函數(shù)，且一個周期為4D．【變式24】．（2024·河南·模擬預(yù)測·多選）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足下列三個條件：①的圖象關(guān)于直線對稱；②對任意的實(shí)數(shù)都有；③．則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是周期函數(shù)C．函數(shù)圖象的對稱軸為D．當(dāng)時，

題型3【換元法在函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用】備注：換元法注意范圍不變【例1】．（2324高一上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，若對任意）都有，則（

）A． B．2022C．2023 D．2024【例2】．（2023下·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且時，均有，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0【變式31】．（2023上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【變式32】．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知單調(diào)函數(shù)，對任意的都有，則A．2 B．4 C．6 D．8【變式33】．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，且對任意實(shí)數(shù)，有（其中為自然對數(shù)的底數(shù))，則

題型4【兩個函數(shù)的性質(zhì)綜合】備注：兩個函數(shù)分別考慮對稱性，兩個相關(guān)函數(shù)的周期一致【例1】．（2324高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．－3 B．3 C．－1 D．1【例2】．（2023·福建福州·二模）已知函數(shù)的定義域均為，是奇函數(shù)，且，則（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù) C． D．【例3】．（2324高二下·天津北辰·階段練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)與，若，，且為奇函數(shù)，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，則下列說法中一定正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．D．點(diǎn)（其中）是函數(shù)的對稱中心【變式41】．（2024·湖北黃岡·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【變式42】．（2324高二下·安徽馬鞍山·期末·多選）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，和都是奇函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．C． D．【變式43】．（2324高二下·浙江·期中·多選）已知，的定義域?yàn)镽，若，，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A．為偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C． D．關(guān)于對稱【變式44】．（2324高二下·湖北宜昌·階段練習(xí)·多選）已知函數(shù)與的定義域均為，，，且，為偶函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 B．C． D．題型5【與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的性質(zhì)綜合】備注：原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對稱性有關(guān)，周期性一致【例1】．（2324高二下·安徽馬鞍山·階段練習(xí)·多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若滿足關(guān)于對稱，且，則（

）A． B．是奇函數(shù)C．8是的一個周期 D．

【例2】．（2024·山東濰坊·一?！ざ噙x）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，且，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C． D．（）【例3】．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測·多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若與均為偶函數(shù)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．是周期4的周期函數(shù) B．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C． D．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【變式51】．（2024·福建南平·二模·多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.

滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．【變式52】．（2024·貴州·模擬預(yù)測·多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，與的定義域都是R，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于中心對稱 B．為周期函數(shù)C． D．是偶函數(shù)

【變式53】．（2324高二下·上?！て谥小ざ噙x）已知函數(shù)的定義域是R，的導(dǎo)函數(shù)為，且，，若為偶函數(shù)，則下列說法中錯誤的是（

）A．B．C．若存在使在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，則2024是的極小值點(diǎn)D．若為偶函數(shù)，則滿足題意的唯一，不唯一【變式54】．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測·多選）已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【變式55】．（2023·河北·模擬預(yù)測·多選）已知函數(shù)，的定義域均為，導(dǎo)函數(shù)分別為，，若，，且，則（

）A．4為函數(shù)的一個周期 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C． D．【變式56】．（2023·全國·模擬預(yù)測·多選）已知函數(shù)，的定義域均為，其導(dǎo)函數(shù)分別為，．若，，且，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C． D．【變式57】．（2024·廣東·一模·多選）已知定義域均為的函數(shù)與，其導(dǎo)函數(shù)分別為與，且，，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．8是函數(shù)的一個周期C． D．【變式58】．（2024·安徽合肥·三?！ざ噙x）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的（

）A． B．C． D．題型6【與抽象函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)綜合】備注：抽象函數(shù)最主要運(yùn)用賦值法【例1】．（2324高一上·四川樂山·期中·多選）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，且時，，則（

）A．為奇函數(shù) B．在單調(diào)遞增C． D．不等式的解集為【例2】．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測·多選）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且過點(diǎn)，對于一切正實(shí)數(shù)，都有．當(dāng)時，恒成立，則（

）A．B．在上是單調(diào)函數(shù)C．有三個零點(diǎn)D．當(dāng)時，【變式61】．（2324高三下·浙江·階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)恒大于0，對，，都有，且，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C．是奇數(shù) D．有最小值【變式62】．（2324高二下·湖南岳陽·期末·多選）已知函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x，y都有成立，，，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．4為的一個周期【變式63】．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，給出以下結(jié)論：①；②；③；④是奇函數(shù).所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④【變式64】．（2324高二下·福建·期末）已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且，下列結(jié)論成立的是（

）A．為偶函數(shù) B．C．在上單調(diào)遞減 D．有最大值【變式65】．（2324高二下·浙江舟山·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，的圖像關(guān)于直線對稱，，在上單調(diào)遞增，則下列說法中錯誤的是（

）A． B．的一條對稱軸是直線C． D．【變式66】．（2324高二下·福建福州·期末·多選）已知定義在上的函數(shù)，對任意有，其中；當(dāng)時，，則（

）A．為上的單調(diào)遞增函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若函數(shù)為正比例函數(shù)，則函數(shù)在處取極小值D．若函數(shù)為正比例函數(shù)，則函數(shù)有兩個零點(diǎn)題型7【奇函數(shù)延伸對稱性類型】備注：運(yùn)用函數(shù)的奇函數(shù)+常數(shù)可以推出函數(shù)的對稱性【例1】.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，則A．2 B．4 C．6 D．8【例2】.已知函數(shù)，，若的最大值為，最小值為，則______.【變式71】.設(shè)，最大值為，則最小值為（

）A． B．1 C．3 D．5【變式72】.已知函數(shù)，若，則（

）A．1 B．3 C．4 D．5【變式73】.已知函數(shù)，則________．

【變式74】．已知函數(shù)，，則（

）A． B． C．1 D．3題型8【類似周期函數(shù)】備注：和周期性比較類似，但不完全相等時，還是可以用周期性來考慮【例1】.（2019年全國Ⅱ卷（理）T12）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B．C． D．【例2】.（重慶市巴蜀中學(xué)校2024屆適應(yīng)性月考（一）T7）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，當(dāng)時，的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式81】.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式82】.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式83】.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時，，若時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【變式84】.（24深圳市高二下期末T15）已知定義在上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，若方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.鞏固練習(xí)：1．（2324高三下·湖南·階段練習(xí)·多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于對稱，且為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·湖南·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)可導(dǎo)，且不恒為0，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則下列說法正確的是．（填序號）①的周期為4；②的圖象關(guān)于直線對稱；③；④．3．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，，則.

4．（2324高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．5．（2324高一上·山西太原·階段練習(xí)）已知是定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)都有，則=.6．（2022高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意，都有，則的解析式7．（2324高二下·遼寧遼陽·期中）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，對任意的，都有，則函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為.8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測·多選）已知和分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則下列說法中正確的是（

）A．4為的一個周期 B．8為的一個周期C． D．9．（2024·湖南邵陽·三?！ざ噙x）已知非零函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，函數(shù)和均為奇函數(shù)，且，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．C． D．10．（2024·湖南衡陽·三模·多選）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，若函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，且.則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱B．函數(shù)為偶函數(shù)C．4是函數(shù)的一個周期D．11．（2024·河北邢臺·二?！ざ噙x）已知函數(shù)，的定義域均為，且，，若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是的對稱中心C．2是的周期 D．12．（2324高二下·山西呂梁·期末）已知函數(shù)的定義域均為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，，則．13．（2024·湖北·模擬預(yù)測·多選）設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和.若，，且為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．C． D．

14．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測·多選）已知函數(shù)，及導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為.若是奇函數(shù)，且，，則（