PAGEPAGE1專題5.3機(jī)械能守恒定律1．駕馭重力勢能、彈性勢能的概念，并能計(jì)算。2．駕馭機(jī)械能守恒的條件，會(huì)推斷物體的機(jī)械能是否守恒。3．駕馭機(jī)械能守恒定律的三種表達(dá)形式，理解其物理意義，并能嫻熟應(yīng)用。學(xué)問點(diǎn)一重力做功與重力勢能1．重力做功的特點(diǎn)(1)重力做功與路徑無關(guān)，只與初末位置的高度差有關(guān)。(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變更。2．重力勢能(1)公式：Ep＝mgh。(2)特性：①標(biāo)矢性：重力勢能是標(biāo)量，但有正、負(fù)，其意義是表示物體的重力勢能比它在參考平面上大還是小，這與功的正、負(fù)的物理意義不同。②系統(tǒng)性：重力勢能是物體和地球所組成的“系統(tǒng)”共有的。③相對(duì)性：重力勢能的大小與參考平面的選取有關(guān)。重力勢能的變更是肯定的，與參考平面的選取無關(guān)。3．重力做功與重力勢能變更的關(guān)系(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢能就削減；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢能就增加。(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢能的削減量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。學(xué)問點(diǎn)二彈性勢能1．定義：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能．2．彈力做功與彈性勢能變更的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢能減??；彈力做負(fù)功，彈性勢能增加，即W＝－ΔEP.學(xué)問點(diǎn)三機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用1．機(jī)械能：動(dòng)能和勢能統(tǒng)稱為機(jī)械能，其中勢能包括重力勢能和彈性勢能.2．機(jī)械能守恒定律(1)內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變.(2)守恒條件：只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功．(3)常用的三種表達(dá)式：①守恒式：E1＝E2或Ek1＋EP1＝Ek2＋EP2.(E1、E2分別表示系統(tǒng)初末狀態(tài)時(shí)的總機(jī)械能)②轉(zhuǎn)化式：ΔEk＝－ΔEP或ΔEk增＝ΔEP減.(表示系統(tǒng)勢能的削減量等于動(dòng)能的增加量)③轉(zhuǎn)移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB減.(表示系統(tǒng)只有A、B兩物體時(shí)，A增加的機(jī)械能等于B削減的機(jī)械能)考點(diǎn)一機(jī)械能守恒的理解與推斷【典例1】（2024·浙江選考）奧運(yùn)會(huì)競賽項(xiàng)目撐桿跳高如圖所示，下列說法不正確的是（）A．加速助跑過程中，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能增加B．起跳上升過程中，桿的彈性勢能始終增加C．起跳上升過程中，運(yùn)動(dòng)員的重力勢能增加D．越過橫桿后下落過程中，運(yùn)動(dòng)員的重力勢能削減動(dòng)能增加【答案】B【解析】加速助跑過程中速度增大，動(dòng)能增加，A正確；撐桿從起先形變到撐桿復(fù)原形變時(shí)，先是運(yùn)動(dòng)員部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為桿的彈性勢能，后彈性勢能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能與重力勢能，桿的彈性勢能不是始終增加，B錯(cuò)誤；起跳上升過程中，運(yùn)動(dòng)員的高度在不斷增大，所以運(yùn)動(dòng)員的重力勢能增加，C正確；當(dāng)運(yùn)動(dòng)員越過橫桿下落的過程中，他的高度降低、速度增大，重力勢能被轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，即重力勢能削減，動(dòng)能增加，D正確。【舉一反三】(2024·天津新華中學(xué)模擬)如圖所示，用輕彈簧相連的物塊A和B放在光滑的水平面上，物塊A緊靠豎直墻壁，一顆子彈沿水平方向射入物塊B后留在其中，由子彈、彈簧和A、B所組成的系統(tǒng)在下列依次進(jìn)行的過程中，機(jī)械能守恒的是()A．子彈射入物塊B的過程B．物塊B帶著子彈向左運(yùn)動(dòng)，直到彈簧壓縮量達(dá)到最大的過程C．彈簧推著帶子彈的物塊B向右運(yùn)動(dòng)，直到彈簧復(fù)原原長的過程D．帶著子彈的物塊B因慣性接著向右運(yùn)動(dòng)，直到彈簧伸長量達(dá)到最大的過程【答案】BCD【解析】子彈射入物塊B的過程中，由于要克服子彈與物塊之間的滑動(dòng)摩擦力做功，一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化成了內(nèi)能，所以機(jī)械能不守恒；在子彈與物塊B獲得了共同速度后一起向左壓縮彈簧的過程中，對(duì)于A、B、彈簧和子彈組成的系統(tǒng)，由于墻壁給A一個(gè)彈力作用，系統(tǒng)的外力之和不為零，但這一過程中墻壁的彈力不做功，只有系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，動(dòng)能和彈性勢能發(fā)生轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，這一情形持續(xù)到彈簧復(fù)原原長為止；當(dāng)彈簧復(fù)原原長后，整個(gè)系統(tǒng)將向右運(yùn)動(dòng)，墻壁不再有力作用在A上，這時(shí)物塊的動(dòng)能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故選項(xiàng)B、C、D正確．【方法技巧】1．利用機(jī)械能的定義推斷(干脆推斷)：分析動(dòng)能和勢能的和是否變更．2．用做功推斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒．3．用能量轉(zhuǎn)化來推斷：若物體系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒．【變式1】(2024·遼寧沈陽二中質(zhì)檢)(多選)如圖所示，A和B兩個(gè)小球固定在一根輕桿的兩端，A球的質(zhì)量為m，B球的質(zhì)量為2m，此桿可繞穿過O點(diǎn)的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)．現(xiàn)使輕桿從水平位置由靜止釋放，則在桿從釋放到轉(zhuǎn)過90°的過程中，下列說法正確的是()A．A球的機(jī)械能增加B．桿對(duì)A球始終不做功C．B球重力勢能的削減量等于B球動(dòng)能的增加量D．A球和B球組成系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒【答案】AD【解析】桿從釋放到轉(zhuǎn)過90°的過程中，A球“拖累”B球的運(yùn)動(dòng)，桿對(duì)A球做正功，A球的機(jī)械能增加，A正確，B錯(cuò)誤；桿對(duì)B球做負(fù)功，B球的機(jī)械能削減，總的機(jī)械能守恒，D正確，C錯(cuò)誤?？键c(diǎn)二單物體的機(jī)械能守恒【典例2】(2024·全國卷Ⅱ·19)如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直．一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時(shí)對(duì)應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度大小為g)()A．eq\f(v2,16g) B．eq\f(v2,8g)C．eq\f(v2,4g) D．eq\f(v2,2g)【答案】B【解析】設(shè)小物塊的質(zhì)量為m，滑到軌道上端時(shí)的速度為v1.小物塊上滑過程中，機(jī)械能守恒，有eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋2mgR ①小物塊從軌道上端水平飛出，做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平位移為x，下落時(shí)間為t，有2R＝eq\f(1,2)gt2 ②x＝v1t③聯(lián)立①②③式整理得x2＝(eq\f(v2,2g))2－(4R－eq\f(v2,2g))2可得x有最大值eq\f(v2,2g)，對(duì)應(yīng)的軌道半徑R＝eq\f(v2,8g).【方法技巧】求解單個(gè)物體機(jī)械能守恒問題的基本思路1.選取探討對(duì)象——物體。2.依據(jù)探討對(duì)象所經(jīng)驗(yàn)的物理過程，進(jìn)行受力、做功分析，推斷機(jī)械能是否守恒。3.恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定探討對(duì)象在過程的初、末狀態(tài)時(shí)的機(jī)械能。4.選取便利的機(jī)械能守恒定律的方程形式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp進(jìn)行求解?！咀兪健?2024·全國卷Ⅲ)如圖所示，在豎直平面內(nèi)有由eq\f(1,4)圓弧AB和eq\f(1,2)圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為eq\f(R,2)。一小球在A點(diǎn)正上方與A相距eq\f(R,4)處由靜止起先自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)。(1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；(2)通過計(jì)算推斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。【解析】(1)設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為EkA，由機(jī)械能守恒定律得EkA＝mgeq\f(R,4)設(shè)小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為EkB，同理有EkB＝mgeq\f(5R,4) ②由①②式得eq\f(EkB,EkA)＝5。 ③(2)若小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，則小球在C點(diǎn)所受軌道的正壓力N應(yīng)滿意N≥0 ④設(shè)小球在C點(diǎn)的速度大小為vC，由牛頓其次定律和向心加速度公式有N＋mg＝meq\f(v\o\al(2,C),\f(R,2)) ⑤由④⑤式得，vC應(yīng)滿意mg≤meq\f(2v\o\al(2,C),R) ⑥由機(jī)械能守恒定律得mgeq\f(R,4)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C) ⑦由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)?？键c(diǎn)三多物體機(jī)械能守恒【典例3】(2024·山西康杰中學(xué)模擬)如圖所示，兩物塊a、b質(zhì)量分別為m、2m，用細(xì)繩相連接，懸掛在定滑輪的兩側(cè)，不計(jì)滑輪質(zhì)量和一切摩擦。起先時(shí)，兩物塊a、b距離地面高度相同，用手托住物塊b，然后突然由靜止釋放，直至物塊a、b間高度差為h(物塊b尚未落地)。在此過程中，下列說法正確的是()A．物塊b重力勢能削減了2mghB．物塊b機(jī)械能削減了eq\f(2,3)mghC．物塊a的機(jī)械能漸漸減小D．物塊a重力勢能的增加量小于其動(dòng)能的增加量【答案】B【解析】物塊a、b間高度差為h時(shí)，物塊a上升的高度為eq\f(h,2)，物塊b下降的高度為eq\f(h,2)，物塊b重力勢能削減了2mg·eq\f(h,2)＝mgh，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；物塊b機(jī)械能削減了ΔEb＝2mg·eq\f(h,2)－eq\f(1,2)×2mv2，對(duì)物塊a、b整體，依據(jù)機(jī)械能守恒定律有0＝－2mg·eq\f(h,2)＋mg·eq\f(h,2)＋eq\f(1,2)×3mv2，得eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,6)mgh，ΔEb＝eq\f(2,3)mgh，選項(xiàng)B正確；物塊a的機(jī)械能漸漸增加eq\f(2,3)mgh，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；物塊a重力勢能的增加量ΔEpa＝mg·eq\f(h,2)＝eq\f(1,2)mgh，其動(dòng)能的增加量ΔEka＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,6)mgh，得ΔEpa>ΔEka，選項(xiàng)D錯(cuò)誤?！痉椒记伞拷鉀Q多物體機(jī)械能守恒問題的三點(diǎn)留意1.對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，一般用“轉(zhuǎn)化法”或“轉(zhuǎn)移法”來推斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。2.留意找尋用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。3.列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。【變式3】(多選)(2015·全國卷Ⅱ)如圖所示，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止起先運(yùn)動(dòng)。不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g。則()A．a(chǎn)落地前，輕桿對(duì)b始終做正功B．a(chǎn)落地時(shí)速度大小為eq\r(2gh)C．a(chǎn)下落過程中，其加速度大小始終不大于gD．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg【答案】BD【解析】由題意知，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。設(shè)某時(shí)刻a、b的速度分別為va、vb。此時(shí)剛性輕桿與豎直桿的夾角為θ，分別將va、vb分解，如圖。因?yàn)閯傂詶U不行伸長，所以沿桿的分速度v∥與v′∥是相等的，即vacosθ＝vbsinθ。當(dāng)a滑至地面時(shí)θ＝90°，此時(shí)vb＝0，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)，解得va＝eq\r(2gh)，選項(xiàng)B正確。同時(shí)由于b初、末速度均為零，運(yùn)動(dòng)過程中其動(dòng)能先增大后減小，即桿對(duì)b先做正功后做負(fù)功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。桿對(duì)b的作用先是推力后是拉力，對(duì)a則先是阻力后是動(dòng)力，即a的加速度在受到桿的向下的拉力作用時(shí)大于g，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。b的動(dòng)能最大時(shí)，桿對(duì)a、b的作用力為零，此時(shí)a的機(jī)械能最小，b只受重力和支持力，所以b對(duì)地面的壓力大小為mg，選項(xiàng)D正確。正確選項(xiàng)為B、D?！九e一反三】(2024·江蘇泰州一中模擬)如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一勁度系數(shù)為k＝200N/m的輕質(zhì)彈簧一端連接固定擋板C上，另一端連接一質(zhì)量為m＝4kg的物體A，一輕細(xì)繩通過定滑輪，一端系在物體A上，另一端與質(zhì)量也為m的物體B相連，細(xì)繩與斜面平行，斜面足夠長．用手托住物體B使繩子剛好沒有拉力，然后由靜止釋放．求：(1)彈簧復(fù)原原長時(shí)細(xì)繩上的拉力；(2)物體A沿斜面對(duì)上運(yùn)動(dòng)多遠(yuǎn)時(shí)獲得最大速度；(3)物體A的最大速度的大?。敬鸢浮?1)30N(2)20cm(3)1m/s【解析】(1)復(fù)原原長時(shí)對(duì)B有mg－FT＝ma對(duì)A有FT－mgsin30°＝ma解得FT＝30N.(2)初態(tài)彈簧壓縮x1＝eq\f(mgsin30°,k)＝10cm當(dāng)A速度最大時(shí)mg＝kx2＋mgsin30°彈簧伸長x2＝eq\f(mg－mgsin30°,k)＝10cm所以A沿斜面上升x1＋x2＝20cm.(3)因x1＝x2，故彈性勢能變更量ΔEP＝0，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin30°＝eq\f(1,2)×2m·v2得v＝g·eq\r(\f(m,2k))＝1m/s.考點(diǎn)四機(jī)械能守恒的應(yīng)用【典例4】(多選)(2024·高考全國卷Ⅱ)從地面豎直向上拋出一物體，其機(jī)械能E總等于動(dòng)能Ek與重力勢能Ep之和．取地面為重力勢能零點(diǎn)，該物體的E總和Ep隨它離開地面的高度h的變更如圖所示．重力加速度取10m/s2.由圖中數(shù)據(jù)可得()A．物體的質(zhì)量為2kgB．h＝0時(shí)，物體的速率為20m/sC．h＝2m時(shí)，物體的動(dòng)能Ek＝40JD．從地面至h＝4m，物體的動(dòng)能削減100J【答案】AD【解析】依據(jù)題給圖象可知h＝4m時(shí)物體的重力勢能mgh＝80J，解得物體質(zhì)量m＝2kg，拋出時(shí)物體的動(dòng)能為Ek＝100J，由動(dòng)能公式Ek＝eq\f(1,2)mv2，可知h＝0時(shí)物體的速率為v＝10m/s，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；由功能關(guān)系可知fh＝|ΔE|＝20J，解得物體上升過程中所受空氣阻力f＝5N，從物體起先拋出至上升到h＝2m的過程中，由動(dòng)能定理有－mgh－fh＝Ek－100J，解得Ek＝50J，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由題給圖象可知，物體上升到h＝4m時(shí)，機(jī)械能為80J，重力勢能為80J，動(dòng)能為零，即物體從地面上升到h＝4m，物體動(dòng)能削減1