考研數(shù)學概率論基礎知識

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第一章隨機事件及其概率

-隨機事件

§1幾個概念

1、隨機實驗:滿足下列三個條件的試驗稱為|隨機頻;(1)試驗可在相同條件下重復進行;(2)試驗的

可能結(jié)果不止一個,且所有可能結(jié)果是已知的;(3)每次試驗哪個結(jié)果出現(xiàn)是未知的;隨機試驗以后簡

稱為試驗，并常記為E。

例如：Ei：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；

E3：觀察某交換臺在某段時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。

2、隨機事件：在試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為麗事件|：常記為A,B,C……

例如，在Ei中，A表示“擲出2點”，B表示“擲出偶數(shù)點”均為隨機事件。

3、必然事件與不可能事件：每次試驗必發(fā)生的事情稱為叵踵窗，記為Q.每次試驗都不可能發(fā)生的

事情稱為|不可能朝,記為①。

例如，在Ei中，“擲出不大于6點”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點”的事件便是不可能事

件,以后，隨機事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為阿

4、基本事件：試驗中直接觀察到的最簡單的結(jié)果稱為|基本事件|。

例如，在日中，“擲出1點”，“擲出2點”，……，”擲出6點”均為此試驗的基本事件。

由基本事件構(gòu)成的事件稱為隔事件例如，在Ei中“擲出偶數(shù)點”便是復合事件。

5、樣本空間：從集合觀點看，稱構(gòu)成基本事件的元素為叵畫，常記為e.

例如，在日中，用數(shù)字1,2,……，6表示擲出的點數(shù)，而由它們分別構(gòu)成的單點集{1},{2},…{6}

便是Ei中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗的樣本點有(H,H),(H,T),

(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}顯然，任何

事件均為某些樣本點構(gòu)成的集合。

例如，在Ei中“擲出偶數(shù)點”的事件便可表為{2,4,6)o試驗中所有樣本點構(gòu)成的集合稱為樣本

空間。記為Q。

例如,

在Ei中，Q={1,2,3,4,5,6}

在E2中，Q={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}

在E3中，Q={0,1,2,

例1,一條新建鐵路共10個車站，從它們所有車票中任取一張，觀察取得車票的票種。

此試驗樣本空間所有樣本點的個數(shù)為N°=P2|°=9O.（排列：和順序有關(guān)，如北京至天津、天津至北京）

若觀察的是取得車票的票價，則該試驗樣本空間中所有樣本點的個數(shù)為--45

L2（組合）

例2.隨機地將15名新生平均分配到三個班級中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗的樣本空間所

有樣本點的個數(shù)為

151

*5⑶第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列

§2事件間的關(guān)系與運算

1、包含：“若事件A的發(fā)生必導致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A,記為AUB或B二A。

例如，在Ei中，令A表示“擲出2點”的事件，即人=｛2｝

B表示“擲出偶數(shù)”的事件，即8=｛2,4,6｝則ACB

2、相等：若A「B且BA,則稱事件A等于事件B,記為A=B

例如，從一付52張的撲克牌中任取4張，令A表示“取得到少有3張紅桃”

的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃”的事件。顯然A=B

3、和：稱事件A與事件B至少有一個發(fā)生的事件為A與B的和事件簡稱為和，記為AIJB，或A+B

例如，甲，乙兩人向目標射擊，令A表示''甲擊中目標”的事件，B表示“乙

擊中目標”的事件，則AUB表示“目標被擊中”的事件。

推廣:

AUH

114-4U4U,,…UA-（A.A…?…4至少有一個發(fā)竽

有限個

(JA-4U4U-{4.^……至少有一個發(fā)生}

無窮可列個9*1

4、積：稱事件A與事件B同時發(fā)生的事件為A與B的積事件，簡稱為積，記為A口B或AB。

例如，在E3中，即觀察某交換臺在某時刻接到的呼喚次數(shù)中，令A=｛接到偶數(shù)次呼喚｝,B=｛接到

奇數(shù)次呼喚｝,則Ar|B=｛接到6的倍數(shù)次呼喚｝

p|4....A.....,A同時發(fā)生)任意有限個

7

QA-Mi…??，……同時發(fā)生｝

無窮可列個

5、差：稱事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的差事件簡稱為差，記為AB。

例如，測量晶體管的P參數(shù)值，令A=｛測得B值不超過50｝,B=｛測得B值

不超過100｝,則，AB=@,BA=｛測得B值為50<6W100｝

AB

6、互不相容：若事件A與事件B不能同時發(fā)生，即AB=6,則稱A與B是互不相容的。

例如，觀察某定義通路口在某時刻的紅綠燈：若人=｛紅燈亮｝,B=｛綠燈亮｝,

則A與B便是互不相容的。

7、對立：稱事件A不發(fā)生的事件為A的對立事件，記為N顯然A\JA=Q，AC萬=<!>

例如，從有3個次品，7個正品的10個產(chǎn)品中任取3個，若令A=｛取得的3

個產(chǎn)品中至少有一個次品｝,則7=｛取得的3個產(chǎn)品均為正品｝。

§3事件的運算規(guī)律

1、交換律AUB=BUA；AAB=BCA

2、結(jié)合律(AUB)UC=AU(BUC)；(AAB)AC=AD(BAO

3、分配律AD(BUC)=(AAB)U(AAC),AU(BOO=(AUB)A(AUC)

4、對偶律初瓦彳取-Nu瓦

此外，還有一些常用性質(zhì)，如

AUBDA,AUBDB(越求和越大)；AABUA,ADBCB(越求積越小)。

若AUB,則AUB=B,AHB=AAB=AAB=AB等等。

例3,從一批產(chǎn)品中每次取一件進行檢驗，令A=｛第i次取得合格品｝,i=l,2,3,試用事件的運算符號表示

下列事件。A=｛三次都取得合格品｝B=｛三次中至少有一次取得合格品｝C=｛三次中恰有兩次取得合

格品｝D=｛三次中最多有一次取得合格品｝

解：A=A.A2A35=C=4AAU4AAU4AA

表不方法常常不唯如事件B"可,為

8=4石耳U石AUXXaUA豆4U4為不U44A或4石豆

例4,一名射手連續(xù)向某一目標射擊三次，令Ai=｛第i次射擊擊中目標｝,i=l,2,3,試用文字敘述下列事

件：-也.4U4.用U每

解：4U4?(前兩次射擊中至少有一次擊中目標)石?(第二次射擊未擊中目標)

4U4U4=(三次射擊至少有一次擊中目標)AIA2A3=｛三次射擊都擊中目標｝

A3A2=｛第三次擊中目標但第二次未擊中目標｝

AUA-(前兩次均未擊中目標)髭:川西-不石)

AUA-(前兩次射擊至少有一次未擊中目標)

例5,下圖所示的電路中，以A表示“信號燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點，I,II,

IIL閉合，試寫出事件A,B,C,D之間的關(guān)系。

解，不難看出有如下一些關(guān)系:

BCcA,BDaA

BC2BD=A

BA-?等

—事件的概率

§1概率的定義

所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P(A)。規(guī)定P(A)》O,P(Q)=1。

1、古典概型中概率的定義

舌翼概型：滿足下列兩條件的試驗模型稱為古典概型。

(1)所有基本事件是有限個；(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同：

例如：擲一勻稱的骰子，令人=｛擲出2點｝=｛2｝,B=｛擲出偶數(shù)總｝=｛2,4,6｝。此試驗樣本空間為

Q=(1,2,3,4,5,6),于是，應有1=P(Q)=6P(A),即P(A)=-,

6

3而含的基本事件數(shù)

而P(B)=3P(A)=

石-基本事件總數(shù)

定義1：在古典概型中，設其樣本空間Q所含的樣本點總數(shù)，即試驗的基本事件總數(shù)為N”而事件A所

含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為NA，則事件A的概率便定義為：

―一、工包含基L事件數(shù)

內(nèi)).豆=基料件總數(shù)

例1,將一枚質(zhì)地均勻的硬幣一拋三次，求恰有一次正面向上的概率。

解：用H表示正面，T表示反面，則該試驗的樣本空間

Q=｛(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)｝。

可見N0=8令人=｛恰有一次出現(xiàn)正面｝,貝ijA=｛(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)｝

可見，令NA=3故P(A)--

*8

例2,(取球問題)袋中有5個白球，3個黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。

(1)有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球；

(2)無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一個球；

(3)一次取球：從袋中任取3個球。在以上三種取法中均求八=｛恰好取得2個白球｝的概率。

解：(1)有放回取球Nn=8X8X8=83=512(袋中八個球，不論什么顏色，取到每個球的概率相等)

33

%=5x5x3-5呼=225

2J1”(先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有五種情況，第二次取

白球還有五種情況〈注意是有放回〉，第三次取黑球只有三種情況)“c

必-8x7x6-4-336

(2)無放回取球(3).故代通)="=幽=0.54

必唱5x4x30外;780336

屬于取球問題的一個實例:

設有100件產(chǎn)品，其中有5%的次品，今從中隨機抽取15件，則其中恰有2件次品的概率便為

0.1377

（屬于一次取球模型）

例3（分球問題）將n個球放入N個盒子中去，試求恰有n個盒子各有一球的概率（nWN）。

解：令人=｛恰有n個盒子各有一球｝,先考慮基本事件的總數(shù)

先從N個盒子里選n個盒子，然后在n個盒子里n個球全排列

Na-NN…&-獷

北

故P(A)-?一L

N*

屬于分球問題的一個實例：

全班有40名同學，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令人=｛40個同學生日皆不相同｝,則有

365認

4-365w.y401故PU）

x40（可以認為有365個盒子，40個球）

例4（取數(shù)問題）

從0,1,…….9共十個數(shù)字中隨機的不放回的接連取四個數(shù)字,并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求下列

事件的概率：（1）四個數(shù)排成一個偶數(shù)；（2）四個數(shù)排成一個四位數(shù)；（3）四個數(shù)排成一個四位偶數(shù);

解：令人=｛四個數(shù)排成一個偶數(shù)｝,B=｛四個數(shù)排成一個四位數(shù)｝,C=｛四個數(shù)排成一個四位偶數(shù)｝

5QxRx7

NQ=4-10x9x8x7,2^1-d-5x9xgx7,to2)―-^—-0.5

110x9、8^7

.*xi.10x9x8*7-9x8x7

必10x9x8x7-9x8x7,加(B)?——-09

10義9x8、7

5)4),5x9x8x7-4xgx7八…

N-封t--5x9xgx7-4x8x7?^tP(C)Q'---------0.456

c。1]"1]+10x9x8x7

例5（分組問題）將一幅52張的樸克牌平均地分給四個人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里

有4張A牌的概率各為多少？

解：令人=｛有人手里有13張黑桃｝,B=｛有人手里有4張A牌｝

此瑞凋「H：族凋

于是?稼=63x1產(chǎn)

NQ

13

i：ra耦…殳

不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條基本性質(zhì):

1°P(A)20

2°P(Q)=1

3°若A"A?……，A”兩兩互不相容，則P(|j4)WX^(4)

Zi-l

2、概率的統(tǒng)計定義

頻率：在n次重復試驗中，設事件A出現(xiàn)了nA次，則稱:/式⑷=包為事件A的頻率。頻率具有一

n

定的穩(wěn)定性。示例見下例表

正面（A）出現(xiàn)的

試驗者拋硬幣次數(shù)n正面（A）出現(xiàn)次數(shù)ru

頻率4（，）="

n

德?摩爾根204810610.5180

浦豐404021480.5069

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

維尼30000149940.4998

定義2：在相同條件下，將試驗重復n次，如果隨著重復試驗次數(shù)n的增大，事件A的頻率f￡A)越來越

穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動，則稱常數(shù)p為事件A的概率，即P(A)=p

不難證明頻率有以下基本性質(zhì)：

1。46)202。

3°若A”A2,……,兩兩互不相容，則

A.1JU]

3、概率的公理化定義(數(shù)學定義)

定義3：設某試驗的樣本空間為Q,對其中每個事件A定義一個實數(shù)P(A),如果它滿足下列三條公理:

1°P(A)20(非負性)2°P(Q)=1(規(guī)范性)

3°若A”A2,……，A?……兩兩互不相容，則尸(J,外)(可列可加性，簡稱可加性)

則稱P(A)為A的概率

4、幾何定義

定義4：假設Q是Rn(n=l,2,3)中任何一個可度量的區(qū)域，從Q中隨機地選擇一點，即Q中任何一點都有

同樣的機會被選到，則相應隨機試驗的樣本空間就是Q,假設事件A是Q中任何一個可度量的子集，則

P(A)==u(A)/u(O)

§2概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：若AUB,則P(BA)=P(B)P(A)一—差的概率等于概率之差

證：因為：A「B

所以：8=人1)(8人)且人。(8人)=<1>,由概率可加性

得P(B)=P[AU(BA)]=P(A)+P(BA)

即P(BA)=P(B)P(A)

性質(zhì)2：若AB,則P(A)WP(B)―概率的單調(diào)性

證：由性質(zhì)1及概率的非負性得OWP(BA)=P(B)P(A),即P(A)WP(B)

性質(zhì)3：P(A)W1證明：由于A，二Q,由性質(zhì)2及概率的規(guī)范性可得P(A)

性質(zhì)4：對任意事件A,P(A)=1P(A)

證明：在性質(zhì)1中令B=Q便有P(])=P(QA)=P(Q)P(A)=1P(A)

性質(zhì)5：P(0)=0證：在性質(zhì)4中，令人=。，便有P(6)=P(Q)=1P(Q)=11=0

性質(zhì)6（加法公式）對任意事件A,B,有P（AUB）=P（A）+P（B）P（AB）

證：由于AUB=AU(BAB)且An(BAB)=6(見圖)

由概率的可加性及性質(zhì)1便得

P(AUB)=P[AU(BAB)]=P(A)+P(BAB)

=P(A)+P(B)P(AB)

推廣：P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)

例6設10個產(chǎn)品中有3個是次品，今從中任取3個，試求取出產(chǎn)品中至少有一個是次品的概率。

解：令C=｛取出產(chǎn)品中至少有一個是次品）,則^=｛取出產(chǎn)品中皆為正品｝,于是由性質(zhì)4得

T-RC)=1-s'S'071

例7,甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為和，而同時下雨的概率為，問在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城

市中至少有一個城市下雨的概率。

解：令人=｛甲城下雨｝,B=｛乙城下雨｝,按題意所要求的是

P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)

例8.設ABC為三個事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有

一個發(fā)生的概率。

解：由于ABCUAB故

OiP（ABC）IP（AB）-O從而P（ABC）-O

于是所求的概率為

PMU3UC)?FU)?尸(3)+P(C)-PG4C)-P(5C)+P(ABC)

488

三條件概率

§1條件概率的概念及計算

在已知事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的概率稱為事件A的條件概率，記為P(A/B)。條件概率P(A/B)

與無條件概率P(A)通常是不相等的。

例1：某一工廠有職工500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人，即該工廠職

工人員結(jié)構(gòu)如下：

人數(shù)男女總和

非熟練工人401050

其他職工210240450

總和250250500

現(xiàn)從該廠中任選一職工，令人=｛選出的職工為非熟練工人｝,B=｛選出的職工為女職工｝

顯然，--,P(AB)-—；而

500500500

以25025%oo兩”乙)50露

定義1設A、B為兩事件，如果P(B)>0,則稱晟為在事件B發(fā)生的條件下，事件A

的|條件概率|。同樣，如果P(A)>0,則稱月%)?與里為在事件A發(fā)生條件下，事件B的|條件概率|。

條件概率的計算通常有兩種辦法:

(1)由條件概率的含乂計算(通常適用于古典概型)，(2)由條件概率的定義計算。

例2：一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無放回地取二次晶管，每次取一只,

當發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？

解：令A=｛第一次取的是好的晶體管｝,B=｛第二次取的是好的晶體管｝

按條件概率的含義立即可得：-1

按條件概率的定義需先計算：—~:于是

105,10x93

例3：某種集成電路使用到2000小時還能正常工作的概率為0.94,使用至IJ3000小時還能正常工作的概

率為0.87.有一塊集成電路已工作了2000小時，向它還能再工作1000小時的概率為多大？

解：令A=｛集成電路能正常工作到2000小時｝,B=｛集成電路能正常工作到3000小時｝

已知:：P(A)=0.94,P(B)=0.87且3U力，既有AB=B于是

按題意所要求的概率為：?旦姆?歿?。926

F(/)094

§2關(guān)于條件概率的三個重要公式

定理1：如果p(3)>a則有叱6),如果&4)>a則有「出卜網(wǎng)⑷咆。

例4:己知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級品，今從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得的為

一級的概率.

解：令A=｛任取一件產(chǎn)品為一級品｝,B=｛任取一件產(chǎn)品為合格品｝,顯然AcB,即有AB=A

故p(AB)=P(A)。于是，所要求的概率便為=尸(48)=N方》%)=96%x73%=72%

例5:為了防止意外，在礦內(nèi)安裝兩個報警系統(tǒng)a和b,每個報警系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)a有效的概率為0.92,

系統(tǒng)b的有效概率為0.93,而在系統(tǒng)a失靈情況下，系統(tǒng)b有效的概率為，試求：(1)當發(fā)生意外時，兩個報

警系統(tǒng)至少有一個有效的概率；(2)在系統(tǒng)b失靈情況下，系統(tǒng)a有效的概率.

解：令A=｛系統(tǒng)a有效｝B=｛系統(tǒng)b有效｝

已知%)=0.92,網(wǎng)3)=0.93,兄%)=085

AB=8-BS對問題(1),所要求的概率為

U5）-P（A）+F（5）-P（AB）-1.85-其中P（AB）?-BA）（見圖）

=F（6）?H瓦（）=網(wǎng)5）-蟲&%）=093-0.08x085?0.862

于是F(^U5)-1.85-0.862-0.988

對問題⑵,所要求的概率為小利?鬻?若黑哈翁嗡紇。期

推廣：如果

4㈤2加則有必41H（%4,J

證:由于4z>44>n……4-1，故網(wǎng)4)2網(wǎng)44)2…2p(44…A、》。

所以上面等式右邊的諸條件概率均存在，且由乘法公式可得

?、椤?"R44…)

=R44,4必4%4..&]4%4…1)

,依此類推"?41

例6：10個考簽中有4個難簽，三個人參加抽簽(無放回)甲先，乙次，丙最后，試問(1)甲、乙、丙均抽得難

簽的概率為多少？(2)甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少？

解：令A,B,C分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件，

對問題(1),所求的概率為:心羽)?小爐(%同強)=0033

對問題(2),甲抽得難簽的概率為：尸(彳)-[?04

P{B”F{AB\JAB}?Ras)+的B)=0⑷p(%)+可初鎊)

乙抽得難簽的概率為4364

,x—?1—x—,04

109109

RC)?F(ABCUABCU■方CU彳9C)?KABCR時i8C)+尸?P{AJc)

丙抽得難簽的概率為

l-咐懶%彳*

其中3)43加附物)%)吟鋁哈

的■確姚鋁哈w

于是AC)--+—+—+1---0.4

301010610

2.全概率公式

完備要住細:如果一組事件.H.在每次試驗中必發(fā)生且僅發(fā)生一個,

即（j兒-c且%八％=兇?,）,則稱此事件組為該試驗的一個完備事件組

0i

例如，在擲一顆骰子的試驗中，以下事件組均為完備事件組：①{1},{2},{3},{4},{5},{6}；②

（1,2,3},{4,5},{6}；③A,%（A為試驗中任意一事件）

定理2：設%,凡2.…為一完備事件組，且則對于任意事件A有

3褻){%,)

證：由于U=C且對于任意/

于是A=AQ=A（U，i）弁D且對于任意J■j,AH,C\AH于是由概率的可加性及

乘法公式便得：尸（4）=電叫冬陽）切M%)

例7,某屆世界女排錦標賽半決賽的對陣如下:

根據(jù)以往資料可知，中國勝美國的概率為0.4,中國勝日本的概率

為，而日本勝美國的概率為，求中國得冠軍的概率。

解：☆H=（日本勝美國},萬={美國勝日本},A={中國得冠軍}

由全概率公式便得所求的概率為

W)=P(H)P(%)+市耳笫)=05x09+05x04?065

例8,盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，第一次比賽時，從盒中任取3個使用，用后放會盒中,

第二次比賽時，再取3個使用，求第二次取出都是新球的概率

解：令H；={第一次比賽時取出的3個球中有i個新球}i=O,I,2,3,A={第二次比賽取出的3個

球均為新球}

而尚fl哦哨9喉哨（;）嘴喇胃

由全概率公式便可得所求的概率

3

乩)-E耽

3貝葉斯公式

定理3：設H1,HH”為一完備事件組，且以區(qū)）>0。=1人-冷.

N月M%J

又設A為任意事件，且P（A）>0,則有

例

的伙）

證:由乘法公式和全概率公式即可得到

心）

）研％J

例9：某種診斷癌癥的實驗有如下效果：患有癌癥者做此實驗反映為陽性的概率為，不患有癌癥者做此

實驗反映為陰的概率也為，并假定就診者中有的人患有癌癥。己知某人做此實驗反應為陽性，問他是一

個癌癥患者的概率是多少？<--------

（先驗概率）

解：令H=｛做實驗的人為癌癥患者｝,月=｛做實驗的人不為癌癥患者｝,A=｛實驗結(jié)果反應為陽性｝，｛實

驗結(jié)果反應為陰性｝,由貝葉斯公式可求得所要求的概率：

0005x095

0.087

H%)-0005x095+0.995x005

例10：兩信息分別編碼為X和Y傳送出去，接收站接收時，X被誤收作為Y的概率0.02,而Y被誤作為

X的概率為0.01.信息X與Y傳送的頻繁程度之比為2:1,若接收站收到的信息為X,問原發(fā)信息也是X

的概率為多少？

解：設H=｛原發(fā)信息為X｝而百?（原發(fā)信息為Y）

又設A?1收到信息為X）A?（收到信息為丫）

由題意可知Pg麗=；

/4|〃）-1-尸（a月）=1-002-0.98

P（附戶⑻

P｛H

+/力用戶（百）

由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為2

098x-

_________3196

098x-+001xl197

例11：設有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，已知其中,4的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各

占已知甲，乙兩廠的次品率為2%,丙廠的次品率為4%,現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品（1）求所取得

產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；（2）求所取得產(chǎn)品是次品的概率；（3）已知所取得產(chǎn)品是次品，

問他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？

解：令月］.5分別表示所取得的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A=｛所取得的產(chǎn)品為次品｝

顯然網(wǎng)為）=%，式%=%《%3卜4%

對問題（1）,由乘法公式可得所要求的概率：戶（為4）?產(chǎn)（%）4%）?%x2%7%

對問題（2）,由全概率公式可得所要求的概率

4"￡同乂）尸（%J=%X2%+%X2%+%X4%?25%

1%

對問題（3）,由貝葉斯公式可得所要求的概率40%

25%

四獨立性

§1事件的獨立性

如果事件B的發(fā)生不影響事件A的概率，即尸,，,卜尸缶）,（尸（0>0）則稱事件A對事件B獨立。

如果事件A的發(fā)生不影響事件B的概率，即W%"P[B）,（F（4）>0）則稱事件B對事件A獨立。

不難證明，當尸（4）〉0,尸（3）>0時，上述兩個式子是等價的。

事實上，如果叱⑷，貝I有網(wǎng)/^卜根）/5%卜&4戶⑻

反之，如果&4閉6），則有《%）?.網(wǎng)㈤

即X%）"式?oP（AB）~網(wǎng)/上）

同樣可證F（%）-P⑻oP（AB）~P（⑷P伊）

總之可見事件獨立性是相互的。

X%）=p（⑷oP（AB）=&4照3）=9（%）=尸⑻

定義1設48為兩個事件，如果

P｛AB\~%4）尸（3）,則稱事件4與事件8相互獨立。

例1,袋中有3個白球2個黑球，現(xiàn)從袋中（1）有放回；（2）無放回的取兩次球，每次取一球，令

A=｛第一次取出的是白球｝B=｛第二次取出的是白球｝問A,B是否獨立？

解：（1）有放回取球情況，則有R??%,尸（3”%，尸（聞.3%?%5

可見，網(wǎng)43）工網(wǎng)4用3），可.A,[獨立。

I2*3

（2）無放回取球情況，則有網(wǎng)/）=%.尸（8）■二言^^4.P（AE）-3x23

>410

可見，F(xiàn)（48）NF（/）P（5），故A,B不獨立。（實際上就是抓閹模型）

例2,設有兩元件，按串聯(lián)和并聯(lián)方式構(gòu)成兩個系統(tǒng)I,n（見圖）每個元件的可靠性（即元件正常工作的

概率）為r（O<r<l）.假定兩元件工作彼此獨立,求兩系統(tǒng)的可靠性.

解：令A=｛元件a正常工作｝,B=｛元件b正常工作｝，且A,B獨

:，卜立。Cl=｛系統(tǒng)I正常工作｝,C2=｛系統(tǒng)II正常工作｝

?IF"1?

系就?于是系統(tǒng)I的可靠性為E（Cj?P（AB）-F?P（6）?尸

系統(tǒng)■

系統(tǒng)n的可靠性為F(G)=R/U3卜尸")+P(B)-P(砌?P(A)?P(B)-網(wǎng)4閘8)?2r_/

a3aa

顯然F(C2)-2r-r>2r-r-r-P(C1)(O<r<1).系統(tǒng)II可靠性大于系統(tǒng)I的可靠性。

定義：設A,B,C為三個事件，如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A,B,C為相互獨立的。

定義2：設A,,A2,……A”為n個事件，如果對任意正整數(shù)左々4月)及上述事件中的任意

小事件…A4有尸(A4…4)?盡4,3)…盡4,)則稱這n個事件A”船……，人是相

互獨立的。

下面幾個醫(yī)圖是常用的：

(】M，明立、人牙獨立、48獨立7曲立四個命題有一個成立其它三個必成立。

證：設A,B成立，即f\AB)-P(A)P(B).

于是有f\AB)P(A)-P(AB)-P(A)--P(4)[l-P⑻]-P(⑶嗝

A5獨立=4■立=無鼬立=N8獨立

故5、豆獨立。利用這個結(jié)果便可證明其它結(jié)論，即

CII

F伽,力F⑷

(2)如果可/,…,4相互獨立，則

⑶如果44…,4相互獨立，則產(chǎn)04卜T屯)

電4?1-gA卜-憚，卜力甸

證:

例3：三人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為1.1,1求密碼能被譯出的概率

534

解：令A=｛第I個人能譯出密碼｝,I=l,2,3；A=｛密碼能被譯出｝,所要求的概率為

心）?網(wǎng)42424卜1-尸傳>（石卜體）?1-?《六06

例4：設每支步槍擊中飛機的概率為尸=0.004,（1）現(xiàn)有250支步槍同時射擊，求飛機被擊中的概率;

（2）若要以99%概率擊中飛機，問需多少支步槍同時射擊？

解：令Ai=｛第i支步槍擊中飛機｝J-1,2,.........,n；A=｛飛機被擊中｝

對問題⑴，n=250,所要求的概率為61）?P（4u4u…4?）■】■玄）P?…尸圖

-1?（1?戶產(chǎn)?1?0.996坎、063

對問題（2）,n為所需的步數(shù)，按題意戶（㈤?】-（】-尸丫?099,

即（i-py-o.oi,即0.996.-0.01于是得n-h0Q1*1150

to0.996

§2獨立重復試驗

獨立盍復試驗|在相同條件下，將某試驗重復進行n次，且每次試驗中任何一事件的概率不受其它次試

驗結(jié)果的影響，此種試驗稱為n次獨立重復試驗。

說?里立如果實驗只有兩個可能結(jié)果12且P⑷?P。<P<D稱此試驗為貝努里試驗|

n重貝努里試驗|將貝努里試驗獨立重得n次所構(gòu)成n次獨立重得試驗稱為n重貝努里試驗。

例如，

（1）將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點的次數(shù)一一10重貝努里試驗

（2）在裝有8個正品，2個次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個，觀察取得次品的次數(shù)

——5重貝努里試驗

（3）向目標獨立地射擊n次，每次擊中目標的概率為P,觀察擊中目標的次數(shù)一n重貝努里試驗等等

一個重要的結(jié)果：在n重貝努里實驗中，假定每次實驗事件A出現(xiàn)的概率為p（0<p<l），則在這n重貝

努里實驗中事件A恰好出現(xiàn)k（kWn）次的概率為月㈤-0,1,2,…淖其中q=lp

事實上，令4=｛第1次試驗A出現(xiàn)｝,而A=悌i次lift驗不出現(xiàn)）,J=1,2,…

因此，在n次獨立重復試驗中事件A恰好出現(xiàn)k次的事件便可表為

44…