6MATLAB數(shù)值積分定積分：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分定義為其中

6.1數(shù)值積分基本原理求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個(gè)積分區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。6.2數(shù)值積分的實(shí)現(xiàn)方法6.2.1變步長辛普生法基于變步長辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時(shí)取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。例1求定積分：(1)建立被積函數(shù)文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)6.2.2牛頓－柯特斯法基于牛頓－柯特斯法，MATLAB給出了quad8函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中參數(shù)的含義和quad函數(shù)相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數(shù)可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。例2求定積分:(1)被積函數(shù)文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)調(diào)用函數(shù)quad8求定積分。I=quad8('fx',0,pi)例3分別用quad函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。調(diào)用函數(shù)quad求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)

調(diào)用函數(shù)quad8求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)6.2.3被積函數(shù)由一個(gè)表格定義trapz(x,y)為梯形積分法，x表示積分區(qū)間的離散化向量，y是與x同維數(shù)的向量，表示被積函數(shù)在x處的函數(shù)值，z返回積分值。

例4用trapz函數(shù)計(jì)算定積分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量trapz(X,Y)ans=0.285796824163936.3二重定積分的數(shù)值求解使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數(shù)求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。a,b

分別為x的上、下限，c,d分別為y上、下限。例5計(jì)算二重定積分(1)建立一個(gè)函數(shù)文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于統(tǒng)計(jì)被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)調(diào)用dblquad函數(shù)求解。globalki;ki=0;I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)kitriplequad(‘fun’,a,b,c,d,e,f)為三維矩形區(qū)域上的三重?cái)?shù)值積分，fun表示被積函數(shù)的M函數(shù)名，a,b分別為x的上、下限，c,d分別為

y上、下限，e,f分別為z上、下限。

其它命請同學(xué)們用help命令查閱詳細(xì)信息及調(diào)用方法。2/26/2025137MATLAB符號計(jì)算2/26/2025147.1符號對象7.1.1建立符號對象

1.建立符號變量和符號常量

MATLAB提供了兩個(gè)建立符號對象的函數(shù)：sym和syms，兩個(gè)函數(shù)的用法不同。

(1)sym函數(shù)

sym函數(shù)用來建立單個(gè)符號量，一般調(diào)用格式為：符號量名=sym('符號字符串')

該函數(shù)可以建立一個(gè)符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達(dá)式。應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用符號常量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)和數(shù)值常量進(jìn)行的運(yùn)算不同。2/26/202515(2)syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個(gè)符號變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個(gè)函數(shù)syms，一次可以定義多個(gè)符號變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：

syms

符號變量名1符號變量名2…符號變量名n

用這種格式定義符號變量時(shí)不要在變量名上加字符串分界符(‘)，變量間用空格而不要用逗號分隔。2/26/2025162.建立符號表達(dá)式含有符號對象的表達(dá)式稱為符號表達(dá)式。建立符號表達(dá)式有以下3種方法：(1)利用單引號來生成符號表達(dá)式。(2)用sym函數(shù)建立符號表達(dá)式。(3)使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)式。2/26/2025174.符號表達(dá)式的化簡

MATLAB提供的對符號表達(dá)式化簡的函數(shù)有：

simplify(s):應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對s進(jìn)行化簡。

[r,how]=simple(S):通過對表達(dá)式嘗試多種不同的算法進(jìn)行化簡，以尋求符號表達(dá)式S的最簡形式;r為返回的簡化形式，how為化簡過程中使用的主要方法，simple函數(shù)綜合使用了下列化簡方法：simplify函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行化簡；

simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡，并顯示化簡過程。2/26/202518

函數(shù)subs是用指定符號替換符號表達(dá)式中的某一特定符號，調(diào)用格式為：R=subs(S,old,new)，它可用新的符號變量new替換原來符號表達(dá)式S中的old.當(dāng)new為數(shù)值形式時(shí)，顯示的結(jié)果雖然是數(shù)值，但它事實(shí)上是符號變量。2/26/2025197.2.3符號積分符號積分由函數(shù)int來實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：

int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時(shí)，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積分。

int(s,v)：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積分。2/26/202520int(s,v,a,b)：求定積分運(yùn)算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分。a和b可以是兩個(gè)具體的數(shù)，也可以是一個(gè)符號表達(dá)式，還可以是無窮(inf)。當(dāng)函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間[a,b]上可積時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)定積分結(jié)果。當(dāng)a,b中有一個(gè)是inf時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)廣義積分。當(dāng)a,b中有一個(gè)符號表達(dá)式時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)符號函數(shù)。例9-3求積分解：（１）Matlab代碼為

clear;symsx;int(x^2*sin(x))運(yùn)行結(jié)果為ans=-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)。用int及數(shù)值積分命令計(jì)算解：（１）先用int命令求精確值，相應(yīng)的Matlab代碼為

clear;symsx;int(x^4,x,-2,2)運(yùn)行結(jié)果為ans=64/5用trapz求數(shù)值解，相應(yīng)的Matlab代碼為clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4;%積分步長為0.1（可改變，演示）

trapz(x,y)運(yùn)行結(jié)果為ans=12.8533

用quad命令，先編寫M文件

%M函數(shù)fun1.mfunctiony=fun1(x)y=x.^4;

MATLAB代碼為clear;quad(‘fun1’,-2,2)vpa(quad(‘fun1’,-2,2),10)%以10位有效數(shù)字顯示運(yùn)行結(jié)果為ans=12.8000，ans=12.80000000

計(jì)算數(shù)值積分

解

(1)用dblquad命令求解：functionz=fun3(x,y)z=y*sin(x)+x*cos(y);

用dblquad命令求解，相應(yīng)的Matlab代碼為Q=dblquad(@fun3,pi,2*pi,0,pi)運(yùn)行結(jié)果為Q=-9.869604377254573先編寫M文件%M函數(shù)fun3.m(2)用int命令求解：先將重積分化成累次積分：MATLAB代碼為clear;symsxy;int(int(’y*sin(x)+x*cos(y)’,y,0,pi),x,pi,2*pi)運(yùn)行結(jié)果為ans=-pi^2

計(jì)算數(shù)值積分

先編寫M文件%M函數(shù)fun4.m

functionf=fun4(x,y,z)f=y*sin(x)+z*cos(x);用dblqu