北京市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題學(xué)生須知1．本練習(xí)卷共8頁(yè)，共28道小題，滿(mǎn)分100分．練習(xí)時(shí)間120分鐘．2．在練習(xí)卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)班級(jí)、姓名和學(xué)號(hào)，3．答案一律填寫(xiě)在答題紙上，在練習(xí)卷上作答無(wú)效．4．選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答．一、選擇題（共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.下列圖形中，既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B.C. D.2.若，則下列比例式中正確的是（）A. B. C. D.3.若函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增小，則m的取值范圍是（）．A. B. C. D.4.觀(guān)察下列表格，估計(jì)一元二次方程的正數(shù)解在（）0123451323A.和0之間 B.0和1之間 C.1和2之間 D.2和3之間5.如圖,過(guò)點(diǎn)、，圓心在等腰的內(nèi)部,，，，則的半徑為（）A. B. C. D.6.教練將某射擊運(yùn)動(dòng)員次的射擊成績(jī)錄入電腦，計(jì)算得到這個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是．后來(lái)教練核查時(shí)發(fā)現(xiàn)其中有個(gè)數(shù)據(jù)錄入有誤，一個(gè)錯(cuò)錄為環(huán)，實(shí)際成績(jī)應(yīng)是環(huán)；另一個(gè)錯(cuò)錄為環(huán)，實(shí)際成績(jī)應(yīng)是環(huán)．教練將錯(cuò)錄的個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了更正，更正后實(shí)際成績(jī)的平均數(shù)是，方差是，則（）A.， B.，C.， D.，7.如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，其中，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④不等式的解集為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.48.點(diǎn)M為等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，記的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為．給出下面三個(gè)結(jié)論：①②③上述結(jié)論中，一定正確的序號(hào)是（）A.① B.①② C.①③ D.①②③二、填空題（共16分，每小題2分）9.分解因式：__________．10.已知二次函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，若，則_________．11.已知，均為銳角，且，則___．12.若關(guān)于x的方程的解是，，則關(guān)于y的方程的解是___________．13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)和點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_________．14.某校學(xué)生會(huì)在同學(xué)中招募志愿者作為校慶活動(dòng)講解員，并設(shè)置了“即興演講”“朗誦短文”“電影片段配音”三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目，報(bào)名的同學(xué)通過(guò)抽簽的方式從這三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取一項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試．甲、乙兩位同學(xué)報(bào)名參加測(cè)試，恰好都抽到“即興演講”項(xiàng)目的概率是______．15.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，A、B、C、D均落在格點(diǎn)上．（1）______；（2）點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，則矩形BCNM的面積為_(kāi)_____．16.圖1是放在水平桌面上的高腳杯的截面圖，杯體呈拋物線(xiàn)狀（杯體厚度不計(jì)），點(diǎn)C是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，是的中點(diǎn)．當(dāng)高腳杯中裝滿(mǎn)紅酒時(shí)，液面，此時(shí)最大深度（液面到最低點(diǎn)的距離）為．現(xiàn)將高腳杯繞點(diǎn)F緩緩傾斜倒出部分紅酒，當(dāng)傾斜角時(shí)停止，此時(shí)液面為，如圖2所示，則此時(shí)酒杯內(nèi)紅酒的最大深度是___________．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20-21題，每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）17.計(jì)算：．18.解方程：．19.已知正數(shù)a，b，c，滿(mǎn)足．（1）________；（2）如圖是三張疊放的正方形紙片，其邊長(zhǎng)分別為，求這三張正方形紙片的面積之和．20.已知：如圖，中，，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C點(diǎn)重合），．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．21.已知拋物線(xiàn)．（1）直接寫(xiě)出該拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________；（2）畫(huà)出它的圖象；（3）若在拋物線(xiàn)上，且，直接寫(xiě)出n的取值范圍是___________．22.如圖，在四邊形中，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，連結(jié)，若平分．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．23.在四張完全相同的卡片正面寫(xiě)上數(shù)字1、2、3、4，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將抽得卡片上的數(shù)字記為；不透明的袋子中裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)小球，這些球除標(biāo)號(hào)外都相同，攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，將摸到的球的標(biāo)號(hào)記為b．（1）先抽取一張卡片，再摸一個(gè)球，求的概率：（2）若規(guī)定：當(dāng)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．這樣的規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果不公平，能否只將袋子中一個(gè)球的標(biāo)號(hào)調(diào)整為另一個(gè)整數(shù)，使得規(guī)則公平？寫(xiě)出一個(gè)調(diào)整方案．24.如圖，是的直徑，M是的中點(diǎn)，弦于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）連接，求的度數(shù)；（2）求證：與相切；（3）點(diǎn)F在弧上，，交于點(diǎn)N．若，求的長(zhǎng)．25.某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點(diǎn)A水平距離為d米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)d和h之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．下面是小紅的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）經(jīng)過(guò)測(cè)量，得出了d和h的幾組對(duì)應(yīng)值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個(gè)變量中，________是自變量，________是這個(gè)變量的函數(shù)；（2）在下面的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：①橋墩露出水面的高度AE為_(kāi)______米；②公園欲開(kāi)設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長(zhǎng)為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見(jiàn)，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線(xiàn)，并且，要求游船能從C，D兩點(diǎn)之間安全通過(guò)，則C處距橋墩的距離CE至少為_(kāi)______米．（精確到0.1米）26.已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上．（1）當(dāng)n取最小值時(shí)，___________；（2）用含m的式子表示a；（3）已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且，求m的取值范圍．27.在中，，，繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度（）得到DC．（1）如圖1，若，連接交于點(diǎn)E，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，若，平分交于點(diǎn)F，連接，過(guò)點(diǎn)C作，在射線(xiàn)上取點(diǎn)G使得，連接，請(qǐng)用等式表示線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖3，若，點(diǎn)P是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，M為的中點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積．28.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“平移旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”．已知點(diǎn)．備用圖（1）若點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)“1平移旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________；（2）若點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“平移旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若的半徑為，是上一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“平移旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出長(zhǎng)的最大值與最小值．參考答案1-8.【答案】A【答案】C【答案】A【答案】C【答案】A【答案】B【答案】C【答案】D9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】，13.【答案】14.【答案】15.【答案】①.②.7.516.【答案】17.【答案】18.【答案】，19.【答案】（1）2（2）720.【小問(wèn)1詳解】證明：∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，由（1）知為等腰直角三角形，∴，，設(shè)，則，由（1）知，∴，∴，解得：，∴．21.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得，，，可得，拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為，；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為，由（1）可知，拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為，；對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)為，順次連接各點(diǎn)即可得到拋物線(xiàn)圖象．【小問(wèn)3詳解】解：由（2）可知，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，解得，，由圖可知時(shí)，．故答案為：．22.【小問(wèn)1詳解】證明：∵平分，，∴，∵，∴；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知：，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．23.【答案】（1）（2）不公平，理由見(jiàn)解析；將標(biāo)有數(shù)字1的小球改成4，理由見(jiàn)解析24.【小問(wèn)1詳解】解：如圖，連接，，是的直徑，，垂直平分，是中點(diǎn)，，，，又，是等邊三角形，．故答案為：60；【小問(wèn)2詳解】證明：，是的直徑，，是的中點(diǎn)，，又，，，，，，∵是半徑，與相切．【小問(wèn)3詳解】解：如圖，連接，，于，是中點(diǎn)，，，，，，由（1）可知，，在中，，，，，在中，，，，，由（1）知，，在中，，，，．25.【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在d和h這兩個(gè)變量中，d是自變量，h是這個(gè)變量的函數(shù)；故答案為：d，h；【小問(wèn)2詳解】解：描點(diǎn)，連線(xiàn)，畫(huà)出圖象如圖：；【小問(wèn)3詳解】解：①觀(guān)察圖象，橋墩露出水面的高度AE為0.88米；故答案為：0.88；②設(shè)根據(jù)圖象設(shè)二次函數(shù)的解析式為h=ad2+bd+0.88，把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為h=-0.5d2+2d+0.88，令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，解得d3.3或d0.7，

∴則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．26.【小問(wèn)1詳解】解：∵頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴，∴當(dāng)n取最小值時(shí)，，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，將點(diǎn)代入得，，故答案為：2；【小問(wèn)2詳解】解：∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，∴拋物線(xiàn)解析式為，將點(diǎn)代入得，，當(dāng)時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)，但此時(shí)又過(guò)點(diǎn)，矛盾，∴∴；【小問(wèn)3詳解】解：∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴，，，∵，∴，整理得，∴，整理得a2m+3>0當(dāng)a=2?m2m?12>0時(shí)，，由a2m+3>0當(dāng)時(shí)，或，且，由a2m+3>0am<0可得2m+3<0m>0，不等式組無(wú)解；綜上所述，．27.【小問(wèn)1詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，在中，，，，；【小問(wèn)2詳解】解：；證明：連接，與交于點(diǎn)，如圖2，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，平分，，∴，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，、、三點(diǎn)共線(xiàn)，且是等腰直角三角形，，，整理得；【小問(wèn)3詳解】解：如圖3，過(guò)作交于，交于，過(guò)作交于，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)至，使，過(guò)作交于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，四邊形是矩形，點(diǎn)在上，，，四邊形是正方形，，，，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與重合，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，此時(shí)，，，，，，．28.【小問(wèn)1詳解】解：如圖，∵點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)“1平移旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，∴點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，∵點(diǎn)繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)Q，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，∵點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“平移旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，則由（1）可得，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作水平