2024-2025學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪懈咭簧蠈W(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.如圖，已知矩形U表示全集，A、B是U的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（）A. B.C. D.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.5.已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.6.中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在年翻譯代數(shù)學(xué)中首次將“”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”年美國(guó)人給出了集合論的函數(shù)定義，已知集合，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則：①，②，③，④，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（）A.①③ B.①② C.③④ D.②④7.關(guān)于的方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1時(shí)，則的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或8.已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題是真命題的為（）A.若，則B若，則C若且，則D.若且，則10.下列說法正確的是（）A.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使B.“”是“”的充分不必要條件C.命題“”否定是假命題D.“集合”中只有一個(gè)元素是“”的必要不充分條件11.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.的最大值是 B.的最小值為4C.最小值為 D.最小值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若集合，，且，則實(shí)數(shù)的值是_________.13.若關(guān)于的不等式的解集為，則______．14.當(dāng)時(shí)，定義運(yùn)算:當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．在此定義下，若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15已知集合．（1）若，求;（2）若中只有一個(gè)元素，求的取值集合．16.（1）已知，求證：是的充要條件.（2）已知，，，求證：17.求下列關(guān)于x不等式的解集：（1）；（2）18.如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，設(shè)廣告牌的高為，寬為.（1）試用表示，并求的取值范圍；（2）用表示廣告牌的面積；（3）廣告牌的高取多少時(shí)，可使廣告牌的面積最小？19.設(shè)命題：對(duì)任意，不等式恒成立，命題：存在，使得不等式成立.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若p，q一真一假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2024-2025學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪懈咭簧蠈W(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由集合的補(bǔ)集，并集運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知，所以，所以，故選：D2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】A【分析】運(yùn)用特稱命題的否定知識(shí)，否定結(jié)論，特稱變?nèi)Q即可.【詳解】運(yùn)用特稱命題的否定知識(shí),命題“，”的否定是“，”.故選：A.3.如圖，已知矩形U表示全集，A、B是U的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素x

，分析元素x

與各集合的關(guān)系，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】解：在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素x

，則

且，即且

，所以，陰影部分可表示為.故選：D.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出集合，可確定兩個(gè)集合之間的關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所?所以.故選：A5.已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】問題轉(zhuǎn)化為不等式的解集為，根據(jù)一元二次不等式解集的形式求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)槊}為真命題，所以不等式的解集為.所以：若，則不等式可化為，不等式解集不；若，則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知.綜上可知：故選：D6.中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在年翻譯代數(shù)學(xué)中首次將“”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”年美國(guó)人給出了集合論的函數(shù)定義，已知集合，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則：①，②，③，④，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（）A.①③ B.①② C.③④ D.②④【正確答案】C【分析】利用函數(shù)的定義逐一分析判斷即可．【詳解】對(duì)應(yīng)關(guān)系若能構(gòu)成從到的函數(shù)，須滿足：對(duì)中的任意一個(gè)數(shù)，通過對(duì)應(yīng)關(guān)系在中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，對(duì)于①，，當(dāng)時(shí)，，故不滿足題意；對(duì)于②，，當(dāng)時(shí)，，故不滿足題意；對(duì)于③，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故滿足題意；對(duì)于④，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故滿足題意．故選：C.7.關(guān)于方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1時(shí)，則的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或【正確答案】A【分析】根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)以及根的分布情況解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，可知，解得.故選：A8.已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，利用“1”的代換以及基本不等式求解，從而得到，求解不等式，即可得到答案．【詳解】因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，則，因?yàn)椋?，由可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故，所以，即，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題是真命題的為（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若且，則【正確答案】BCD【分析】由已知條件結(jié)合不等式的性質(zhì)，判斷結(jié)論是否正確.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，取，，，，則，，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，有，則，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則，又因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)可得，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若且，則，所以，，D選項(xiàng)正確．故選：BCD．10.下列說法正確的是（）A.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使B.“”是“”的充分不必要條件C.命題“”的否定是假命題D.“集合”中只有一個(gè)元素是“”的必要不充分條件【正確答案】BD【分析】由在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可得A錯(cuò)誤；舉反例可得必要性不成立，可得B正確；由全稱與特稱命題的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得C錯(cuò)誤；由集合中只有一個(gè)元素可得或，再由必要性可得D正確；【詳解】對(duì)于A，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，充分性成立，若，如，此時(shí)，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C，命題“”的否定是，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得開口向上，，所以恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若集合中只有一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可得，所以必要性成立，故D正確；故選：BD.11.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.的最大值是 B.的最小值為4C.最小值為 D.最小值為2【正確答案】ABC【分析】直接利用基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解B，利用完全平方式的性質(zhì)即可求解C，將“1”代換，即可由基本不等式求解D.【詳解】對(duì)于A，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若集合，，且，則實(shí)數(shù)的值是_________.【正確答案】或0【分析】分、和分別計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，的值為或.故或.13.若關(guān)于的不等式的解集為，則______．【正確答案】-2【分析】將不等式解集問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩根問題，結(jié)合韋達(dá)定理求出，得到答案.【詳解】由題意得：-1,3為方程的兩根，故，解得：，故.故-214.當(dāng)時(shí)，定義運(yùn)算:當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．在此定義下，若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為______．【正確答案】14【分析】根據(jù)定義運(yùn)算，分成五類情況分別列舉符合條件的元素，合并即得集合.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，所以或或；②當(dāng)時(shí)，，所以或或；③當(dāng)或時(shí)，，所以或或或或或；④當(dāng)時(shí)，；⑤當(dāng)時(shí)，．所以，，共14個(gè)元素．故14.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合．（1）若，求;（2）若中只有一個(gè)元素，求的取值集合．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出，根據(jù)并集概念求出答案；（2）分和兩種情況，得到答案.【小問1詳解】時(shí)，，因?yàn)椋苑匠虩o實(shí)數(shù)根，所以．故．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)．故的取值集合為．16.（1）已知，求證：是的充要條件.（2）已知，，，求證：【正確答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）證明充要條件，可先證明充分性再證必要性；（2）利用作差法證明即可.【詳解】（1）證明：∵∴.充分性證明即.∵，即，∴，充分性得證；必要性證明即.又∵∴，∵，∴，∴，即，必要性得證.故是的充要條件.（2）證明：，∵，，，∴，∴，∴，即故.17.求下列關(guān)于x的不等式的解集：（1）；（2）【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)分式不等式的解法，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用一元二次不等式的解法，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：由不等式，可得，解得，即不等式的解集為.【小問2詳解】解：由不等式，可得化為，若，不等式可化為，解得，即解集為；若，不等式可化為當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得或，即不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式即，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得，解集為；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得，解集為；③當(dāng)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得，解集為綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.18.如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，設(shè)廣告牌的高為，寬為.（1）試用表示，并求的取值范圍；（2）用表示廣告牌的面積；（3）廣告牌的高取多少時(shí)，可使廣告牌的面積最??？【正確答案】（1）（2）（3）140cm【分析】（1）運(yùn)用面積之和得到等式，再寫成函數(shù)表達(dá)式即可；（2）矩形面積公式寫函數(shù)表達(dá)式；（3）運(yùn)用換元，結(jié)合基本不等式解題即可.【小問1詳解】每欄的高和寬分別為，其中兩欄面積之和為：，整理得，.小問2詳解】；【小問3詳解】令，則；當(dāng)時(shí)，取最小值為24500，此時(shí)；答：當(dāng)廣告牌的高取140cm時(shí)，可使廣告的面積S最小.19.設(shè)命題：對(duì)任意，不等式恒成立，命題：存在，使得不等式成立.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）