1信號(hào)分析

SIGNALANALYSIS

2歡迎同學(xué)們選修本門課！3信息與信號(hào)信息是表征事物的運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)和方式或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和方式的變化，是人類不可或缺的資源信號(hào)是信息的載體，是對(duì)消息的映射結(jié)果，其表現(xiàn)形式為電壓或電流、電磁波、光等信息表現(xiàn)方式為：消息;從信息論的觀點(diǎn)來看，信息是消息的統(tǒng)計(jì)描述；傳輸信息的載體稱為信號(hào)，信息蘊(yùn)涵于信號(hào)之中

通信系統(tǒng)傳輸信息是通過傳輸攜帶信息的信號(hào)來實(shí)現(xiàn)的防空警笛，感受到的是聲信號(hào)，信息是“敵機(jī)空襲”或“敵機(jī)潰逃”。古代烽火，觀察到的是光信號(hào)，信息是“外敵入侵”。Examples：4“信號(hào)分析”的定義信號(hào)分析就是通過解析法或測(cè)試法獲得不同信號(hào)的特征，來了解其物理特性和本質(zhì)，掌握它隨時(shí)間或頻率變化的規(guī)律，并提取出有用的信息,或找到能夠有效簡(jiǎn)潔表示信號(hào)的方法。5電子科技大通信學(xué)院=====邵懷宗老師=====信號(hào)分析課程專用講義“信號(hào)分析”的含義“信號(hào)分析”的目的是什么？從信號(hào)中提取有用信息，以便更好地理解信號(hào)所表征的物理特性；信號(hào)是廣義的信號(hào),也包括系統(tǒng)分析是廣義的分析,也包括綜合找到更加有效的方式來表示信號(hào)，高效的存儲(chǔ)、傳輸和處理。6電子科技大通信學(xué)院=====邵懷宗老師=====信號(hào)分析課程專用講義“信號(hào)分析”的主要手段將一個(gè)復(fù)雜的信號(hào)拆分成若干簡(jiǎn)單信號(hào)，如正弦信號(hào)，矩形信號(hào)的線形疊加和Examples：多用戶通信的接收端需要將接收的信號(hào)分解為每個(gè)用戶的信號(hào)；發(fā)射端是將多個(gè)用戶的信號(hào)通過疊加來獲得一個(gè)可以在同一媒質(zhì)中進(jìn)行傳輸?shù)男盘?hào)。在多用戶通信中的用戶特征碼信號(hào)也可以理解為簡(jiǎn)單信號(hào)7電子科技大通信學(xué)院=====邵懷宗老師=====信號(hào)分析課程專用講義

開設(shè)“信號(hào)分析”課程的意義信號(hào)分析是多學(xué)科的理論基礎(chǔ)通信與雷達(dá)測(cè)量與控制地質(zhì)勘探生物醫(yī)學(xué)地球物理氣象學(xué)電子戰(zhàn)與偵察天體物理光學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)可以說“信號(hào)分析”的應(yīng)用在自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域無處不在。8信號(hào)的分類和分析方法信號(hào)確定信號(hào)隨機(jī)信號(hào)時(shí)不變信號(hào)時(shí)變信號(hào)平穩(wěn)信號(hào)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)Fourier分析時(shí)頻分析二階統(tǒng)計(jì)量分析時(shí)頻分析高階統(tǒng)計(jì)量分析高階矩分析高階累積量分析短時(shí)Fourier分析能譜時(shí)頻分析小波分析9學(xué)習(xí)“信號(hào)分析”課程的方法把握信號(hào)分析方法和信號(hào)分析方法演進(jìn)思維方法；把握信號(hào)的正交表示的基本理論和方法；把握Fourier變換理論在信號(hào)分析理論發(fā)展過程中的橋梁作用10電子科技大通信學(xué)院=====邵懷宗老師=====信號(hào)分析課程專用講義

教學(xué)目標(biāo)性質(zhì)：專業(yè)基礎(chǔ)課﹑學(xué)位課。目標(biāo)：較熟練地應(yīng)用傅氏分析工具，掌握正交變換對(duì)信號(hào)的表示方法，初步掌握小波分析工具來分析﹑處理非平穩(wěn)信號(hào)及系統(tǒng)。教學(xué)方法

(1)講授：重點(diǎn)是慨念和方法，注重書中的難點(diǎn)闡述。

(2)習(xí)題：1～2題/次

(3)答疑考試

(1)開卷筆試(考查不小于60為通過)

(2)考試內(nèi)容:課堂講述所涉及的相關(guān)內(nèi)容

(3)我一人獨(dú)立閱卷(原則上不查卷)11教學(xué)要求：

(1)預(yù)習(xí)(2)分析﹑推導(dǎo)(3)認(rèn)真作業(yè)．

教材：

(1)信號(hào)分析導(dǎo)論彭啟琮，邵懷宗李明奇編著，高等教育出版社卓越網(wǎng)：

當(dāng)當(dāng)網(wǎng)：

北京圖書大廈網(wǎng)絡(luò)書店：

(2)SIGNALANALYSISA．PAPOULIS

科學(xué)出版社

(3)小波變換及工程應(yīng)用彭玉華科學(xué)出版社12教學(xué)計(jì)劃與安排：總學(xué)時(shí)40h正交函數(shù)與信號(hào)的正交分解(第1章)6h信號(hào)的Fourier分析(第2章)6h其它正交變換(第3-4章)4h濾波器組分析(第10章)

6h時(shí)頻分析基礎(chǔ)與短時(shí)Fourier變換

(第5-6章)

4h小波變換(第7章)

4h多分辨分析(正交小波變換)(第8章)8h機(jī)動(dòng)安排2h13

重要符號(hào)變換的核函數(shù)Fourier變換正弦變換余弦變換Hartley變換Walsh-Hardmard變換小波變換變換的對(duì)偶核函數(shù)14第1章正交函數(shù)與信號(hào)的正交分解信號(hào)的描述信號(hào)的內(nèi)積函數(shù)的正交性正交函數(shù)應(yīng)用實(shí)例利用正交函數(shù)來表示信號(hào)(信號(hào)的正交分解)主要內(nèi)容15信號(hào)的描述信號(hào)：信息的載體信號(hào)是變化的：幅度和頻率。

此處所說的“變化”，一是指信號(hào)的幅度隨時(shí)間變化，二是指信號(hào)的頻率隨時(shí)間變化。信號(hào)可以有多種描述：時(shí)域、頻域、相關(guān)域、時(shí)頻域等。16給定了時(shí)不變信號(hào)s(t)的函數(shù)表達(dá)式，或s隨t變化的曲線，我們可以由此得出在任一時(shí)刻處該信號(hào)的幅值。如果想要了解該信號(hào)的頻率成分，即“s在××Hz處頻率分量的大小”，則可通過Fourier變換來實(shí)現(xiàn)，即17如果我們想知道在某一個(gè)特定時(shí)刻，如t0，信號(hào)所對(duì)應(yīng)的頻率是多少，或?qū)δ骋粋€(gè)特定的頻率，如ω0出現(xiàn)時(shí)，信號(hào)所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻是多少，那么Fourier變換則無能為力。解決辦法：采用時(shí)頻分析短時(shí)Fourier變換小波變換分?jǐn)?shù)階Fourier變換時(shí)頻分布濾波器組分析對(duì)于時(shí)變信號(hào)18電子科技大通信學(xué)院=====邵懷宗老師=====信號(hào)分析課程專用講義第一章利用正交函數(shù)來表示信號(hào)信號(hào)的描述信號(hào)的內(nèi)積函數(shù)的正交性正交函數(shù)應(yīng)用實(shí)例利用正交函數(shù)來表示信號(hào)(信號(hào)的正交分解)主要內(nèi)容191.矢量的內(nèi)積定義

n維實(shí)空間中的兩個(gè)矢量它們的內(nèi)積定義為：

3維實(shí)空間中的兩個(gè)矢量它們的內(nèi)積為：Example:20n維復(fù)空間中的兩個(gè)矢量它們的內(nèi)積定義為：3維復(fù)空間中的兩個(gè)矢量它們的內(nèi)積為：Example:結(jié)論：兩矢量的內(nèi)積定義為：21

2.內(nèi)積的幾何意義是

q1原點(diǎn)

q2s1(x1,y1)s2(x2,y2)xyq22對(duì)于給定的矢量，其內(nèi)積反映了兩矢量之間的相對(duì)位置“校準(zhǔn)”情況。矢量?jī)?nèi)積等于0，表示兩矢量之間的夾角為90度矢量?jī)?nèi)積絕對(duì)值最大時(shí)，表示兩矢量之間的夾角為0度或180度。233.矢量的內(nèi)積的重要不等式對(duì)于二維情況作業(yè):對(duì)于多維情況請(qǐng)自己證明244.函數(shù)的內(nèi)積0.20.40.60.81-1012where連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間間隔內(nèi)，函數(shù)的值可用經(jīng)保持處理來近似。且隨著N值增大，對(duì)的近似越好如果函數(shù)為一個(gè)25當(dāng)N→∞時(shí)，右邊的求和會(huì)越來越大。此時(shí)，最佳選擇就是計(jì)算平均內(nèi)積26因此，函數(shù)內(nèi)積的一般定義是函數(shù)內(nèi)積的物理意義是表示兩個(gè)函數(shù)的相似性。內(nèi)積越大則越相似。對(duì)應(yīng)的不等式275.隨機(jī)信號(hào)的內(nèi)積如果s(t)和g(t)是兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)，則它們的內(nèi)積定義為6.總結(jié)1).定義兩矢量的內(nèi)積兩函數(shù)的內(nèi)積兩隨機(jī)信號(hào)的內(nèi)積286.總結(jié)2).幾何意義內(nèi)積表示兩個(gè)矢量或信號(hào)之間的夾角的大小，即一個(gè)矢量或信號(hào)對(duì)另一個(gè)矢量或信號(hào)的投影的大小，內(nèi)積為零表示投影為0，其夾角為90度，即正交。3).物理意義內(nèi)積的大小表示一個(gè)矢量或信號(hào)受到另一矢量或信號(hào)的影響的大小。內(nèi)積為零時(shí)表示一個(gè)矢量或信號(hào)完全不受另一個(gè)矢量或信號(hào)的影響。29第一章利用正交函數(shù)來表示信號(hào)信號(hào)的描述信號(hào)的內(nèi)積函數(shù)的正交性正交函數(shù)應(yīng)用實(shí)例利用正交函數(shù)來表示信號(hào)(信號(hào)的正交分解)主要內(nèi)容301.矢量的正交性||s||為?；蚍稊?shù)，表示矢量s到原點(diǎn)的距離。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)矢量才正交

q1原點(diǎn)

q2s1(x1,y1)s2(x2,y2)xq312.函數(shù)的正交性當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)才正交和322.函數(shù)的正交性(續(xù))時(shí)域頻域內(nèi)積關(guān)系應(yīng)用實(shí)例s和g的波形關(guān)系不重疊重疊0正交TDMA重疊不重疊0正交FDMA重疊重疊0正交CDMA/OFDM(A)333.函數(shù)的正交性舉例

34

結(jié)論1：在某一空間內(nèi)兩個(gè)不同時(shí)為0矢量正交，則它們的內(nèi)積等于0。結(jié)論2：在某一時(shí)限區(qū)間內(nèi)兩個(gè)能量有限且不同時(shí)為0的函數(shù)正交，則它們的內(nèi)積等于0。35第一章利用正交函數(shù)來表示信號(hào)信號(hào)的描述信號(hào)的內(nèi)積函數(shù)的正交性正交函數(shù)應(yīng)用實(shí)例利用正交函數(shù)來表示信號(hào)(信號(hào)的正交分解)主要內(nèi)容361.信號(hào)三角級(jí)數(shù)分解周期為T0周期信號(hào)，372.理想采樣定理對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)s(t)，即s(t)是帶限的38結(jié)論：當(dāng)滿足采樣定理時(shí)，采樣序列{an}完全表征了s(t)中所包含的信息，即{an}與s(t)等價(jià)。39where40413.數(shù)字消息序列的波形表示

1101010T0Atφk(t)是正交函數(shù)，

N

序列總數(shù)whereωk

表示數(shù)字信號(hào)序列的第k個(gè)值；42正交在多用戶通信理論中得到了充分的應(yīng)用。有一個(gè)極其重要的基本結(jié)論：這一結(jié)論是多用戶通信的基礎(chǔ)若多個(gè)用戶的信號(hào)可以做到相互正交，則這些用戶可以共享一個(gè)發(fā)射媒質(zhì)。通常有時(shí)間共享、頻率共享和時(shí)間-頻率共享434.TDMA:用戶間的波形在時(shí)域上不交疊

通過讓信道在時(shí)間上被分割實(shí)現(xiàn)信道正交的，共享的是頻率。445.FDMA:用戶間的波形在頻域上不交疊

通過將信道分割為不同的頻帶實(shí)現(xiàn)信道正交的，用戶共享的是時(shí)間。456.CDMA:用戶間的波形在碼域上正交

每個(gè)信道使用不同碼序列，是通過這些碼序列的正交來實(shí)現(xiàn)信道正交的。用戶可以同時(shí)共享時(shí)間和頻率46信道1信道2信道3信道4信道N頻率時(shí)間編碼頻率時(shí)間編碼時(shí)隙信道1信道2信道N頻率時(shí)間編碼信道2信道3信道1信道N時(shí)間共享FDMA頻帶共享TDMA時(shí)間-頻帶共享CDMA477.跳頻碼分多址

用戶1用戶4用戶3用戶2用戶頻率(c)時(shí)隙3用戶4用戶3用戶2用戶1用戶頻率(d)時(shí)隙4用戶1用戶2用戶4用戶3用戶頻率(b)時(shí)隙2用戶1用戶2用戶3用戶4用戶頻率(a)時(shí)隙1只要能夠保證在同一時(shí)隙內(nèi)，各個(gè)用戶的頻道不重疊，則可保證對(duì)應(yīng)的用戶之間的信號(hào)正交。從而實(shí)現(xiàn)多個(gè)用戶可以同時(shí)進(jìn)行通信在同一個(gè)時(shí)隙內(nèi)，每個(gè)用戶傳輸信息的信號(hào)占用的頻道(頻帶)不同；但在不同的時(shí)隙內(nèi)，同一用戶的頻道不同。488.OFDM(正交頻分復(fù)用)

無循環(huán)前綴，OFDM符號(hào)的波形可以表示為載波頻率子載波間隔第n個(gè)子載波上復(fù)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣，當(dāng)采樣頻率為時(shí)，則對(duì)49OFDM符號(hào)周期內(nèi)(無CP)包含有N個(gè)基帶采樣值則有OFDM調(diào)制與解調(diào)可以如下進(jìn)行：509.AM信號(hào)調(diào)制度測(cè)量的基本原理

如果下變頻器的頻率為問題:如何處理來獲得51LPFLPF52LPFLPF53LPFLPF5410.FM信號(hào)調(diào)制度測(cè)量的基本原理

如果下變頻器的頻率為為FM調(diào)制度LPFLPF55LPFLPF56LPFLPF57LPFLPF58LPFLPF59LPFLPF6011.語音信號(hào)的子帶編碼

帶通濾波頻率搬移A/D量化編碼合路A/DA/D帶通濾波帶通濾波頻率搬移頻率搬移量化編碼量化編碼子帶編碼器(a)4通道等帶寬濾波器組6112.利用濾波器進(jìn)行有用信號(hào)增強(qiáng)

接收機(jī)接收的信號(hào)適用條件：干擾信號(hào)和有用信號(hào)的頻譜是分離的。也就是說，在頻率軸上不交疊(獨(dú)立不相關(guān))

6213.信號(hào)的近似表示

用在區(qū)間(t1<t<t2)內(nèi)的函數(shù)f2(t)

近似表示f1(t)求c12問題：其系數(shù)如何選擇近似才最佳？選擇：均方誤差最小6364結(jié)論：其中，在某區(qū)間(t0,t0+T)上相互是正交函數(shù)集合65

14.相關(guān)函數(shù)與相關(guān)系數(shù)66

由于相關(guān)系數(shù)6715軟件無線電中的數(shù)字正交解調(diào)對(duì)連續(xù)波調(diào)制的已調(diào)信號(hào)可表示為：whereAMPMFM68NCOLPFLPF解調(diào)算法解調(diào)輸出數(shù)字正交解調(diào)的通用模型AM解調(diào)DSB解調(diào)FM解調(diào)69第一章利用正交函數(shù)來表示信號(hào)信號(hào)的描述信號(hào)的內(nèi)積函數(shù)的正交性正交函數(shù)應(yīng)用實(shí)例利用正交函數(shù)來表示信號(hào)主要內(nèi)容701.原理設(shè)一組實(shí)值連續(xù)函數(shù)

在區(qū)間(t0,t0+T)上滿足：則稱

在區(qū)間(t0,t0+T)上正交。即正交函數(shù)集當(dāng)c=1時(shí)，則是歸一化正交的，即

在區(qū)間(t0,t0+T)上是歸一化正交函數(shù)集71設(shè)x(t)是定義在區(qū)間(t0,t0+T)上的實(shí)值信號(hào)，可用展開式進(jìn)行表示：計(jì)算第i個(gè)系數(shù)ai因此有72對(duì)于的正交集滿足如下兩個(gè)條件,稱其為完備的

(1)不存在這樣的非零信號(hào)x(t),它滿足

而能使成立正交集的完備性

73(2)對(duì)任何分段連續(xù)的信號(hào)

的x(t),以及無論怎么小的總存在一個(gè)正整數(shù)N與有限項(xiàng)展開式

滿足74正交函數(shù)展開式可用無窮可數(shù)列集表示當(dāng)正交函數(shù)集為完備集時(shí)，其展開只需有限項(xiàng)來近似表示即可。應(yīng)用：這一點(diǎn)在信源的有損壓縮編碼中得到廣泛的應(yīng)用2.結(jié)論：753.函數(shù)正交展開的物理意義Parseval定理764.正交分解的幾點(diǎn)性質(zhì)性質(zhì)1：正交變換的基向量與其對(duì)偶基向量相同，因此在計(jì)算上最為簡(jiǎn)單。性質(zhì)2：展開系數(shù)是信號(hào)在基向量上的準(zhǔn)確投影。性質(zhì)3：正交變換保證變換前后信號(hào)的能量不變，此性質(zhì)又稱為“保范(數(shù))變換”。77性質(zhì)4：信號(hào)正交分解具有最小平方近似性質(zhì)。性質(zhì)5：將原始信號(hào)經(jīng)正交變換后得到一組離散系數(shù)。這一組系數(shù)具有減少各分量的相關(guān)性及將能量集中于少數(shù)系數(shù)上的功能。相關(guān)性去除的程度及能量集中的程度取決于所選擇的基函數(shù)的性質(zhì)。78電子科技大通信學(xué)院=====邵懷宗老師=====信號(hào)分析課程專用講義5.正交基選擇需要考慮的因素1)具有所希望的物理意義或?qū)嵱脙r(jià)值如Fourier變換的基有明確的物理意義。有些正交基，其物理解釋不太明確，但又較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，如DCT和DST等。2)正交基函數(shù)應(yīng)盡量簡(jiǎn)單，使計(jì)算復(fù)雜度降低3)具有好的去相關(guān)和能量集中特性794)在研究信號(hào)在局部頻率和局部時(shí)間處的性質(zhì)時(shí)，基函數(shù)應(yīng)同時(shí)具有時(shí)域和頻域的定位功能。Fourier變換的基為在頻域是

函數(shù)，時(shí)域支撐區(qū)為。因此，無法滿足要求；短時(shí)Fourier變換的基為可以進(jìn)行時(shí)域和頻域的定位小波基和小波變換在時(shí)域和頻域定位方面取得了可喜的效果，我們將在后面討論。806.Gram-Schmidt正交歸一化方法

問題：現(xiàn)在有內(nèi)積空間中的n個(gè)線性有關(guān)的矢量如何得到正交基集？81正交歸一化步驟為：…為正交歸一正交集82Example

為正交歸一正交集設(shè)已知向量試求出它們對(duì)應(yīng)正交歸一化向量組83注意，用Gram-Schmidt歸一化正交方法獲得的基集并不是唯一的。例如，只要將集合中元素的順序重排，就可以獲得不同的歸一化正交基集。信號(hào)除了線性正交表示外，還有其它的表示方法嗎？847.正交性原理

1)最佳系數(shù)和投影

問題的提出：用正交基函數(shù)集對(duì)信號(hào)s(t)展開，如何得到最佳展開系數(shù)？

已知：若最小，則稱為最佳系數(shù)集，并稱是在函數(shù)族張成的空間上的投影。852)正交性原理

若為最佳系數(shù)，則是的非負(fù)二次多項(xiàng)式證明設(shè)s(t)是實(shí)數(shù)86為最佳系數(shù)正交性原理與信號(hào)的正交展開等價(jià)正交原理應(yīng)用于隨機(jī)信號(hào)，是維納濾波器和卡爾曼濾波器的基礎(chǔ)。87作業(yè):1-4，1-5，1-7選作(1)請(qǐng)復(fù)習(xí)前面討論的利用正交函數(shù)來表示信號(hào)的方法;(2)請(qǐng)舉例說明在前修課程中和別的學(xué)科中還有哪些地方應(yīng)用到信號(hào)的正交表示。88第2章信號(hào)的Fourier分析89主要內(nèi)容Fourier變換與譜周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)Fourier變換與Fourier級(jí)數(shù)的關(guān)系Fourier變換的性質(zhì)Laplace變換z變換Hartly變換離散正弦和離散余弦變換Fourier變換的應(yīng)用90引言平穩(wěn)信號(hào)與系統(tǒng)

確定信號(hào)譜分析濾波隨機(jī)信號(hào)（過程）隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)譜分析濾波準(zhǔn)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)：在某一段時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)是平穩(wěn)的91對(duì)于任意周期函數(shù)s(t)，如果其周期為T0，角頻率一個(gè)周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的，即是一個(gè)有限值。周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)且滿足“Dirichlet條件”，即：92wherethen93令94物理解釋95？問題：周期信號(hào)的幅度譜是線譜，那么如果我們將周期信號(hào)的周期

從有限值推廣到無限，其情況將會(huì)發(fā)生什么樣的變化呢96Fourier變換與Fourier級(jí)數(shù)的關(guān)系tt1.從Fourier級(jí)數(shù)到Fourier變換t97定義：譜密度函數(shù)9899Fourier變換是一種積分變換，其變換核和對(duì)偶核為其變換核和對(duì)偶核都屬于正交函數(shù)基集中的函數(shù)，因此Fourier變換是正交變換。

100前面關(guān)于從周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)推導(dǎo)非周期函數(shù)的Fourier變換的過程并不嚴(yán)謹(jǐn)。信號(hào)s(t)的Fourier變換，必須滿足一定的存在條件，與前面討論的Fourier級(jí)數(shù)的Dirichlet條件類似，不同的是，其時(shí)間范圍由一個(gè)有限周期變成無限的區(qū)間。信號(hào)s(t)的Fourier變換存在的充分條件是該信號(hào)在無限區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可積，即滿足借助奇異函數(shù)(如沖激函數(shù))的概念，可以得到許多不滿足絕對(duì)可積條件信號(hào)的Fourier變換，如周期信號(hào)、階躍函數(shù)、符號(hào)函數(shù)等。1012.從Fourier變換到Fourier級(jí)數(shù)Poisson求和公式定義s(t))(ts102(1)時(shí)域poisson公式物理意義：時(shí)域周期化，頻域離散化。(2)頻域poisson公式物理意義：頻域周期化，時(shí)域離散化103證明：104(3)poison公式的變形因?yàn)樗?a)令t=0，T=1(b)令T=2π(c)令t=0，T=2π105(3)poisson公式的變形(d)令T1=1106SummaryThen是s(t)在處的Fourier變換，即的包絡(luò)為when107函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的性質(zhì)對(duì)于任意周期函數(shù)x(t)，y(t)，如果其周期為T0，角頻率Fourier級(jí)數(shù)分別為線性時(shí)間反轉(zhuǎn)相乘共軛和共軛對(duì)稱性能量特性108尺度變換Fourier變換的性質(zhì)對(duì)稱性共軛函數(shù)位移調(diào)制109微分特性

卷積Parseval公式推論當(dāng)110s(t)的n階矩矩特性

Maclaurin(馬克勞林)級(jí)數(shù)111信號(hào)s(t)的Fourier變換存在的充分條件是其在無限區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可積，即滿足討論函數(shù)不滿足上述條件，其Fourier變換不存在112主要內(nèi)容Fourier變換與譜周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)Fourier變換與Fourier級(jí)數(shù)的關(guān)系Fourier變換的性質(zhì)Laplace變換z變換Hartly變換離散正弦和離散余弦變換Fourier變換的應(yīng)用113Laplace變換對(duì)上述的單調(diào)增加函數(shù)引入衰減因子通過選擇不同的衰減因子，使其經(jīng)過衰減后的信號(hào)的Fourier變換存在，即：Laplace變換1141.Laplace變換------廣義的Fourier變換Laplace逆變換1152.Laplace變換的物理解釋Fourier變換是將信號(hào)s(t)分解成指數(shù)信號(hào)的連續(xù)和，其中，稱為頻譜密度函數(shù)。Laplace變換是Fourier變換的一種推廣，可以理解為將信號(hào)s(t)分解為復(fù)指數(shù)的連續(xù)和。其中，也稱為s(t)的頻譜密度函數(shù)只不過變量是s而不是ω而已。例題計(jì)算信號(hào)的Laplace變換收斂區(qū)域?yàn)椋?16路徑1路徑2路徑3結(jié)論：如果上述積分發(fā)散，即Laplace變換不存在。而在的收斂區(qū)內(nèi)，可以將表示成est

的連續(xù)和，即：是est

的頻譜密度1173.Laplace變換和Fourier變換的關(guān)系信號(hào)中引入衰減因子后進(jìn)行Fourier變換可以推導(dǎo)出Laplace逆變換1183.Laplace變換和Fourier變換的關(guān)系雙邊Laplace變換收斂區(qū)單邊Laplace變換收斂區(qū)Fourier變換位于收斂區(qū)內(nèi)119主要內(nèi)容Fourier變換與譜周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)Fourier變換與Fourier級(jí)數(shù)的關(guān)系Fourier變換的性質(zhì)Laplace變換z變換Hartly變換離散正弦和離散余弦變換Fourier變換的應(yīng)用120z變換1.Z變換的定義Fourier變換和Laplace變換將連續(xù)信號(hào)s(t)分別分解成ejωt和est的連續(xù)和。而對(duì)于離散時(shí)間序列而言，也可以將s(n)分解為無時(shí)限指數(shù)序列zk的疊加和.121例題求序列和的z變換盡管序列和不同，但其z變換的表達(dá)式是一樣的，不同之處在于它們的收斂域。因此，要唯一地確定z變換所對(duì)應(yīng)的序列，不僅要給出序列的z變換式，還必須給出其收斂域。122收斂判決準(zhǔn)則：

對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散

根值判定法比值判定法1232.z變換及其與Laplace變換的關(guān)系若連續(xù)因果信號(hào)經(jīng)過均勻采樣，得到的采樣信號(hào)為作Laplace變換，

T=1124Laplace變換z變換虛軸映射單位圓(a)虛軸映射關(guān)系左半平面映射單位圓內(nèi)(b)左半平面多值映射關(guān)系右半平面映射單位圓外(c)右半平面多值映射關(guān)系(d)左半平面單值值映射關(guān)系(e)右半平面單值值映射關(guān)系125單位圓上的z變換就是序列的Fourier變換126例題：如果試證明其中，c為囊括F(s)全部極點(diǎn)的任意閉曲線，且127證明令1283.Fourier變換、Laplace變換和z變換的關(guān)系Fourier變換Laplace變換Fourier變換模擬沖激換成數(shù)字沖激Fourier變換z變換采樣129主要內(nèi)容Fourier變換與譜周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)Fourier變換與Fourier級(jí)數(shù)的關(guān)系Fourier變換的性質(zhì)Laplace變換z變換Hartly變換離散正弦和離散余弦變換Fourier變換的應(yīng)用1301.線性時(shí)不變系統(tǒng)分析Fourier變換Fourier變換Fourier變換通過Fourier變換，可以將連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)在時(shí)域復(fù)雜的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘積運(yùn)算；因此，F(xiàn)ourier變換在時(shí)不變系統(tǒng)的分析中得到了大量的應(yīng)用。通信系統(tǒng)中常見的應(yīng)用信道估計(jì)OFDM調(diào)制系統(tǒng)頻譜分析1312卷積積分的矩展開矩展開目的：將卷積→多項(xiàng)式求和Fourier變換用于計(jì)算mnFourier變換的作用是什么？132矩展開條件應(yīng)用場(chǎng)合(條件):s(t)遠(yuǎn)較h(t)光滑,即h(t)只在|t|<c時(shí)才取不可忽略的值:where133例題1：請(qǐng)證明下述展開式成立134提示：

把函數(shù)H(ω)

用泰勒級(jí)數(shù)展開135例題2設(shè)h(t)是單位面積的矩形脈沖求信號(hào)s(t)通過該系統(tǒng)后的矩展開1363.利用系統(tǒng)函數(shù)求響應(yīng)當(dāng)H(s)在虛軸上和右半平面無極點(diǎn)，有：例題1：右圖所示的電容模型，輸入為恒流源電流，輸出為電容兩端的電壓，求沖激響應(yīng)h(t)和系統(tǒng)函數(shù)H(ω)解：令輸入信號(hào)得到的v(t)等于h(t)1373.利用系統(tǒng)函數(shù)求響應(yīng)(續(xù))例題2：右圖所示的低通網(wǎng)絡(luò)，其輸入是時(shí)寬為τ幅值為E的矩形脈沖v(t)，用Fourier變換的方法求出輸出的電壓y(t).解：容易求得激勵(lì)信號(hào)的Fourier變換由系統(tǒng)的響應(yīng)特性可得138因此1391404.無失真?zhèn)鬏斞芯康哪康模涸谕ㄐ畔到y(tǒng)中，為了有效傳輸信號(hào)，希望傳輸過程中信號(hào)失真最小。所謂的無失真則是指響應(yīng)信號(hào)和激勵(lì)信號(hào)相比，只是大小與出現(xiàn)的時(shí)間不同，而無波形上的變化。線性網(wǎng)絡(luò)141由Fourier變換可知無失真?zhèn)鬏旐憫?yīng)為即：幅頻響應(yīng)為常數(shù)K，相位特性的斜率為-t0物理解釋：由于系統(tǒng)函數(shù)的幅度|H(ω)|為常數(shù)K，響應(yīng)中各頻率分量幅度的相對(duì)大小將與激勵(lì)信號(hào)的情況一樣，因而沒有幅度失真；要保證沒有相位失真，必須使響應(yīng)中的各頻率分量與激勵(lì)中各對(duì)應(yīng)分量滯后同樣的時(shí)間，這一要求反映在相位特性上是一條通過原點(diǎn)的直線。1425.頻譜分析儀的基本原理用途:測(cè)量信號(hào)s(t)的S(ω)a)模擬濾波法的基本原理數(shù)字FFT模擬濾波法143原理應(yīng)用：低頻頻譜分析144數(shù)字頻譜儀原理改變可測(cè)量載波頻率為信號(hào)之S(ω)改變可測(cè)量不同波段信號(hào)之S(ω)測(cè)量高頻信號(hào)頻譜b)外差法1456.理想低通濾波器的頻域特性定義1467.調(diào)制與解調(diào)利用Foureir變換來說明頻譜搬移的原理調(diào)制147利用Foureir變換來說明頻譜搬移的原理，其Fourier變換為載波信號(hào)為1487.調(diào)制與解調(diào)利用Foureir變換來說明頻譜搬移的原理解調(diào)低通1498.模擬信號(hào)的采樣與恢復(fù)1)理想采樣輸入信號(hào)采樣序列采樣后序列理想低通濾波器恢復(fù)信號(hào)1502)非理想采樣151主要內(nèi)容Fourier變換與譜周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)Fourier變換與Fourier級(jí)數(shù)的關(guān)系Fourier變換的性質(zhì)Laplace變換z變換Hartly變換離散正弦和離散余弦變換Fourier變換的應(yīng)用152從前面的討論可知，s(t)的Fourier變換為1.連續(xù)正余弦變換的引入如果s(t)為偶函數(shù)，即s(-t)=s(t)s(t)的連續(xù)余弦變換153如果s(t)為奇函數(shù)，即s(-t)=-s(t)s(t)的連續(xù)正弦變換154Hartley變換的變換基核和對(duì)偶基核相同

2.Hartley變換的定義Hartley變換Hartley逆變換155余弦變換正弦變換Hartley變換156實(shí)信號(hào)s(t)的Fourier變換一般是復(fù)信號(hào)，只有當(dāng)s(t)是偶信號(hào)時(shí)，變換后的頻譜才是實(shí)函數(shù)。Hartley變換的核函數(shù)是實(shí)函數(shù)。只要s(t)是實(shí)信號(hào)，變換后的結(jié)果一定是實(shí)的。正、逆Hartley變換的核函數(shù)是一樣的，其正、逆Hartley變換的結(jié)果都是實(shí)函數(shù)。

Hartley變換的顯著特點(diǎn)1573.Hartley變換與Fourier變換的關(guān)系信號(hào)s(t)的Fourier變換為Hartley變換where結(jié)論：Hartley變換可用Fourier變換來計(jì)算1584.離散Hartley變換正變換逆變換where離散Hartley變換是線性變換，因此也是周期的，且周期為N1595.Hartly變換的性質(zhì)

1).取反性2).線性性

where3).移位

1604)循環(huán)卷積5)相乘

6)自相關(guān)

161主要內(nèi)容Fourier變換與譜周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)Fourier變換與Fourier級(jí)數(shù)的關(guān)系Fourier變換的性質(zhì)Laplace變換z變換Hartly變換離散正弦和離散余弦變換Fourier變換的應(yīng)用162給定序列s(n)，n=0,1,…,N-1，其余弦變換的定義為1.離散余弦變換其變換核函數(shù)為實(shí)函數(shù)

where163余弦變換的逆變換2.離散正弦變換正弦變換的定義為逆變換為其變換核函數(shù)為實(shí)函數(shù)

1643.應(yīng)用語音圖像的壓縮編碼165第3章一些常用的變換166主要內(nèi)容Hilbert變換匹配濾波器和相關(guān)器Walsh-Hadamand變換K-L變換167設(shè)s(t)是因函數(shù)，即s(t)=s(t)U(t)，且有有：即：因函數(shù)的Fourier變換得到實(shí)部與虛部存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這一對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為Hilbert變換引言168對(duì)于信號(hào)m(t)，其Hilbert變化為逆變換1Hilbert變換的定義用途:已知一個(gè)函數(shù)或信號(hào)，求其正交函數(shù)或信號(hào)，這在工程中是常見的。where169Hibert變換濾波器是一個(gè)全通濾波器Hilbert變換的本質(zhì)是一個(gè)相移濾波器，相移-90°2.

Hilbert變換系統(tǒng)170Hilbertfilter1713.Hilbert的性質(zhì)性質(zhì)1Hilbert變換器是-90度相移的全通濾波器。性質(zhì)2s(t)與，s(n)與分別是正交的。121723.Hilbert的性質(zhì)性質(zhì)3如果的Hilbert變換分別為，且性質(zhì)4對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)的Hilbert變換也是平穩(wěn)的，且有1734.在通信中常用的Hilbert變換的重要公式1234174SSB的復(fù)包絡(luò)可表示為

whereandSSB帶通信號(hào)可表示為5.Hilbert變換的應(yīng)用1).單邊帶調(diào)制1751761771782)SSB信號(hào)的數(shù)字解調(diào)NCO解調(diào)輸出SSB的一種數(shù)字解調(diào)Hilbert變換1793).帶通信號(hào)的包絡(luò)、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率帶通信號(hào)s(t)的解析信號(hào)可以表示為對(duì)于窄帶雷達(dá)信號(hào)其瞬時(shí)相位為其瞬時(shí)頻率為180其解析信號(hào)可以表示為其Hilbert變換為s(t)的包絡(luò)可表示為其瞬時(shí)相位為其瞬時(shí)頻率為1813)AM信號(hào)的解調(diào)對(duì)于AM信號(hào)LPFLPF182主要內(nèi)容Hilbert變換匹配濾波器和相關(guān)器Walsh-Hadamand變換K-L變換183頻譜自相關(guān)函數(shù)功率譜密度輸入信號(hào)描述

輸出信號(hào)描述

線性系統(tǒng)或?yàn)V波器1.線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入波形輸出波形時(shí)域頻域相關(guān)域譜域1842.線性系統(tǒng)的最大輸出響應(yīng)線性系統(tǒng)或?yàn)V波器輸入波形輸出波形研究在規(guī)定的約束條件下,使輸出在t0時(shí)刻y(t0)最大的條件應(yīng)用：通信、雷達(dá)信號(hào)的最佳接收,信號(hào)檢測(cè).求滿足要求的h(t)判決點(diǎn)例如1)基本問題1852)Schwrz施瓦爾茲不等式時(shí),上式取等號(hào)當(dāng),且僅當(dāng)3)Cauchy柯西不等式時(shí),上式取等號(hào)當(dāng),且僅當(dāng)1863匹配濾波器線性系統(tǒng)或?yàn)V波器輸入波形輸出波形約束條件:(1)輸入實(shí)信號(hào)s(t)已知并且是能量信號(hào)，即：(2)輸出信號(hào)y(t)在t0時(shí)刻y(t0)取最大值求解:滿足上述要求的h(t)和y(t0)解:利用Fourier變換187令利用Schwrz施瓦爾茲不等式因此：188要：|y(t0)|2最大，需要滿足下面的條件：由Fourier逆變換可得：求k，將H(ω)代入有：189物理意義：

信號(hào)與系統(tǒng)匹配(或系統(tǒng)與信號(hào)匹配)可使系統(tǒng)響應(yīng)在給定時(shí)刻t0最大。圖解說明：令k=1應(yīng)用：信號(hào)檢測(cè)從噪聲中提取信號(hào)實(shí)現(xiàn)最佳接收1904匹配濾波器應(yīng)用實(shí)例通信信號(hào)的檢測(cè)匹配濾波器匹配濾波器的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：使輸出信噪比在特定時(shí)刻最大191輸出噪聲的平均功率有:令利用Schwarz不等式192有當(dāng)A(f)=KB*(f)等號(hào)成立有：對(duì)于白噪聲來說，

Pn(f)=n0/2,1935相關(guān)器對(duì)匹配濾波器來說通信系統(tǒng)中使用的匹配濾波器匹配濾波器輸出where194主要內(nèi)容Hilbert變換匹配濾波器和相關(guān)器Walsh-Hadamand變換K-L變換1951.正交函分類正交函數(shù)正弦類非正弦類三角函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式拉德馬赫(Rademacher)函數(shù)集沃爾什(Walsh)函數(shù)集Haar函數(shù)在非正弦類函數(shù)中，除拉德馬赫(Rademacher)函數(shù)集不完備外，其它三種函數(shù)集均是完備正交集。1961)勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式一組勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間[-1<t<1]內(nèi)構(gòu)成一個(gè)完備正交函數(shù)集因此可得：作業(yè)3-1(選作)：證明：勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間[-1<t<1]內(nèi)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)集1972)

Walsh函數(shù)10t1wal(0,t)10t1wal(1,t)t1wal(2,t)10t1wal(4,t)10t1wal(3,t)1010t1wal(7,t)1010t1wal(5,t)t110wal(6,t)Walsh編號(hào)的Walsh函數(shù)N=8作業(yè)3-2：證明N=8的Walsh函數(shù)是兩兩正交的函數(shù)，即198的列頻率為定義：列頻率1001/41/23/41頻率列頻率0112223334410101010101010Walsh函數(shù)與Fourier諧波

199在上絕對(duì)可積的信號(hào)s(t)都能展開成級(jí)數(shù)形式whereWalsh采樣函數(shù)可用Handmad矩陣來表示。矩陣可用如下的遞歸關(guān)系生成

3).Hadamard矩陣2002.Walsh-Hadamard變換的Walsh-Hadamard變換逆變換where例題：{s(m)}={1,2,-1,3}，求序列的Walsh-Handmad變換

201202主要內(nèi)容Hilbert變換匹配濾波器和相關(guān)器Walsh-Hadamand變換K-L變換203K-L變換是一種特殊的正交變換，是在最小均方意義下對(duì)信號(hào)的最佳近似。因此，K-L變換又稱為最佳變換，主要用于一維和二維信號(hào)的數(shù)據(jù)壓縮

1.連續(xù)K-L變換對(duì)于實(shí)隨機(jī)過程

是不相關(guān)的為正交歸一基。其系數(shù)為where204為本征值本征函數(shù)where2052.離散K-L變換一個(gè)寬平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)向量其協(xié)方差矩陣

通過將數(shù)據(jù)序列中的相關(guān)性去除來達(dá)到壓縮數(shù)據(jù)的目的wherewhen1).基本思想206進(jìn)行變換，得到另一個(gè)矢量對(duì)矢量，即離散K-L變換的基本思想是，尋求正交矩陣，如果用則z的協(xié)方差矩陣或相關(guān)矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣。

2).實(shí)現(xiàn)步驟求出矩陣的特征值求出信號(hào)的協(xié)方差矩陣，由多項(xiàng)式，其中，I為單位矩陣?yán)们蟪鼍仃嚨腘個(gè)特征向量207將作歸一化，即令并獲得歸一化正交矩陣實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的K-L變換由3)離散K-L變換的意義設(shè)是N*N的正交歸一化矩陣，即信號(hào)s經(jīng)過K-L變換后208用下式來近似信號(hào)s近似的均方誤差為2094.離散K-L變換的特點(diǎn)可以完全去除原信號(hào)中的相關(guān)性進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮時(shí)，將z(n)截短所得的均方誤差最小，該最小均方誤差等于舍去的特征值之和；若將N個(gè)特征值按大小順序排列，即舍去，保留來近似原信號(hào)，可使近似信號(hào)最接近原信號(hào)

將K-L變換雖然是最佳變換,但特征值和特征向量的計(jì)算又比較困難

2105.離散K-L變換的應(yīng)用色噪聲的白化處理

的均值為零，協(xié)方差矩陣為設(shè)有色噪聲過程

對(duì)進(jìn)行K-L變換，即where211或者為很容易得到驗(yàn)證并作如下變換取212第5章

時(shí)頻分析的基礎(chǔ)與短時(shí)Fourier變換213主要內(nèi)容Fourier變換的局限性短時(shí)Fourier變換與Gabor變換時(shí)頻分析的基礎(chǔ)知識(shí)214信號(hào)空間概念的引入采樣定理：對(duì)于帶限于B，時(shí)限于T的信號(hào)s(t),滿足維數(shù)定理的情況下有：結(jié)論：帶限于B，時(shí)限于T連續(xù)時(shí)間二維信號(hào)s(t)與M維空間中的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)215信號(hào)集合定義：具有某些共同性質(zhì)的信號(hào)的集合Example1:正弦信號(hào)集合Example2:周期信號(hào)集合Example3:能量有限集合216Example4:時(shí)限信號(hào)集Example5:帶限信號(hào)集Example6:復(fù)函數(shù)集合和正交函數(shù)集合如果復(fù)函數(shù)集合在區(qū)間上滿足復(fù)函數(shù)集合為正交函數(shù)集合如果K=1則為正交歸一化函數(shù)集合217設(shè)X為一集合,為X中任意二元素對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，若滿足稱X為以為距離的距離空間。1函數(shù)空間符號(hào)：函數(shù)空間：由函數(shù)構(gòu)成的集合。函數(shù)空間又稱為信號(hào)空間。1)距離空間(度量空間)非負(fù)性對(duì)稱性三角不等式引入距離的目的：測(cè)量或描述兩個(gè)信號(hào)之間的波形差異距離反映信號(hào)集合內(nèi)信號(hào)的幾何特性218代表n維向量全體組成的集合，即{x}。x

中的代表向量x

在座標(biāo)上的投影。Example-1n維歐氏空間空間內(nèi)向量x,y間的距離Example-2

連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]由連續(xù)函數(shù)組成距離的空間，[a,b]為函數(shù)的定義域。意義：代表二連續(xù)函數(shù)瞬時(shí)最大差值。219意義：反映了二信號(hào)的波形上差異的大小。Example-3

平方可積空間由平方可積函數(shù)（能量有限函數(shù)）構(gòu)成的距離空間，即意義：由所有能量有限的實(shí)信號(hào)組成的空間(集合)。220定義：由平方可和離散序列（能量有限序列）構(gòu)成的距離空間，即Example-5

平方可和離散序列空間意義：反映了二信號(hào)序列的差異。2212)線性空間(向量空間)空間內(nèi)的元素之間定義了加法、數(shù)乘、結(jié)合律、分配律的函數(shù)空間。線性空間反映(規(guī)定)了函數(shù)空間中的代數(shù)特性。3)線性賦范空間設(shè)X為線性空間，則定義了范數(shù)的線性空間稱為線性賦范空間。應(yīng)滿足線性賦范空間一定是距離空間。222完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間。完備空間：若X空間中的任一Cauchy序列都收斂于X中的點(diǎn)，則稱X為完備空間。4)巴拿赫空間柯西序列：設(shè)X中的點(diǎn)列滿足對(duì)于任意總有存在，使得對(duì)一切都有則稱為X的柯西序列。5)希爾伯特空間(Hilbert)內(nèi)積空間:定義了內(nèi)積運(yùn)算的復(fù)線性空間。內(nèi)積運(yùn)算應(yīng)滿足：223希爾伯特空間：完備的內(nèi)積空間。范數(shù)距離意義：在Hilbert空間中，任一元素(函數(shù))均可用Hilbert空間內(nèi)的柯西序列(收斂的無窮序列)無失真地逼近。2246)幾個(gè)空間的關(guān)系及其與信號(hào)分析的聯(lián)系線性空間線性距離空間巴拿赫空間范數(shù)誘導(dǎo)距離線性賦范空間滿足完備性Hilbert空間距離線性線性定義了距離線性、距離距離由范數(shù)誘導(dǎo)線性、距離由范數(shù)誘導(dǎo)完備性線性、賦范、完備空間定義了內(nèi)積定義了函數(shù)內(nèi)積函數(shù)或信號(hào)空間滿足線性運(yùn)算225作業(yè)4-1

請(qǐng)分析說明在Hilbert空間中定義線性、距離和內(nèi)積在研究和分析信號(hào)時(shí)有哪些用途？2262基、正交基、雙正交基定義1函數(shù)序列張成的空間如集合X中任一元素可由線性組合表示即則稱中張成一空間X，即227例2t11則稱為尺度空間即由所張成的空間為尺度空間，且228定義2基底(基)如集合X中任一元素可由線性組合表示即且是唯一的。則稱是X的一個(gè)基或基底定義3正交定義4標(biāo)準(zhǔn)正交系

若滿足，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交系。229定義5完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系

設(shè)

X

為內(nèi)積空間，為X

中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，若X

中不存在非零元素，使它與所有的正交，稱為完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系(規(guī)范正交系)?；?底)標(biāo)準(zhǔn)正交系完全標(biāo)準(zhǔn)正交系230在Hilbert空間中，只要找到一個(gè)規(guī)范正交系則把傅氏級(jí)數(shù)推廣到Hilbert空間中即：Hilbert空間中的Fourier變換Hilbert空間中的Fourier變換231Example-1在復(fù)空間中的一組規(guī)范正交基是函數(shù)系在復(fù)空間中任意函數(shù)在該系下的展開系數(shù)稱為Fourier級(jí)數(shù)Fourier級(jí)數(shù)是用來分析周期T=2π的函數(shù)，當(dāng)T→∞時(shí)，可以得到Fourier變換。232Example-2在實(shí)空間中的一組規(guī)范正交基是函數(shù)系在實(shí)空間中任意函數(shù)在該系下的展開系數(shù)為以fs為采樣率的函數(shù)采樣，即采樣定理?？臻g的直和(正交補(bǔ))Hilbert空間則稱H1和H2是H的子空間。如果則稱H是H1和H2的直和，記為：233定義6雙正交基在函數(shù)空間X中，若存在兩個(gè)基底，與對(duì)偶基，它們本身不正交，但彼此正交。即例如：234函數(shù)在雙正交基中展開正交基、雙正交基特點(diǎn)：i

正交系中各分量之間線性獨(dú)立，展開式系數(shù)唯一ⅱ

存在Parseval公式，即函數(shù)能量等于展開式系數(shù)平方之和2353.框架和緊框架設(shè)是Hilbert空間中的一組向量，如果存在實(shí)常數(shù)和，且，則對(duì)任意信號(hào)，若使得

構(gòu)成空間H中的一個(gè)框架。其中，稱為框架界。1)框架的定義2362)用框架的進(jìn)行信號(hào)分解物義：框架也是函數(shù)序列，其特點(diǎn)是框架中各分量之間不一定正交，可以是線性獨(dú)立的，也可以是線性相關(guān)，按該函數(shù)序列對(duì)信號(hào)可以展開，Parseval公式不一定成立，展開前后信號(hào)的能量?jī)H僅存在近似關(guān)系?？蚣艿挠猛荆嚎蚣苁怯糜谘芯啃盘?hào)的分解和重構(gòu)的重要理論，只要保證了框架界為有限值，則用這一組框架對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解是完備的，并且由分解系數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)也是穩(wěn)定的。但分解系數(shù)可能存在冗余。237A=B之框架為緊框架。3)緊框架在中當(dāng)A=B=1時(shí)，框架成為正交基。238框架界A，B的物理意義：構(gòu)成空間H中的一個(gè)框架。則有，1)構(gòu)成一個(gè)緊框架時(shí)有A=B，如果各分量之間是線性相關(guān)的，則A>1,因此A可以作為冗余的測(cè)度，A越大，冗余越大。

2)各分量之間是線性獨(dú)立的，則有

3)在非緊框架的情況下，有B/A>1,其值越大，重構(gòu)誤差也越大，與其對(duì)偶框架的相差也越大。4)2394)信號(hào)在框架下重建i）緊框架

A=B=1正交基A=B緊框架where240ⅱ框架說明:

(1)函數(shù)在框架中展開不存在Parseval定理，信號(hào)能量與展開式能量只有近似相等關(guān)系。(2)在找不到正交基和雙正交基的情況下，函數(shù)可在框架中展開，只要誤差能量小，也能滿足應(yīng)用的要求。2415)Riesz基一組向量，如果滿足：(2)存在常數(shù)，使得是Hilbert空間的Riesz基。則稱是線性獨(dú)立的；(1)注意Riesz基也是一個(gè)框架，但其要求比一般的框架嚴(yán)，即是線性獨(dú)立的。Riesz基的對(duì)偶框架，也是線性獨(dú)立的,因此也構(gòu)成一個(gè)Riesz基Riesz基和其對(duì)偶基構(gòu)成雙正交關(guān)系。

242用一般基函數(shù)集展開信號(hào)s(t)信號(hào)變換的一般描述243用矩陣表示是否存在別的與相關(guān)的基函數(shù)同樣可以對(duì)函數(shù)s(t)展開？244245信號(hào)分解信號(hào)合成246信號(hào)可以用一組基分解；用另一組基來合成

247將有限維空間表示法推廣到連續(xù)的情況，即積分變換基核信號(hào)的積分表示248問題：如果

變換對(duì)成立的條件是什么？

積分變換對(duì)偶基核249(1-54)代入(1-53)同理(1-53)代入(1-55)250離散表示連續(xù)表示信號(hào)的離散表示和連續(xù)表示的對(duì)比注意:

選擇不同的基核和對(duì)偶基核，可對(duì)應(yīng)信號(hào)不同的變換251Example:在空間中，基核

產(chǎn)生Fourier變換對(duì)

252信號(hào)線性變換正交變換雙正交變換非正交變換正交信號(hào)變換的級(jí)數(shù)展開基函數(shù)，和信號(hào)變換的基函數(shù)相同，并且是一組正交基。即對(duì)偶基和基函數(shù)是相同的。信號(hào)變換的分類253信號(hào)線性變換正交變換雙正交變換非正交變換雙正交信號(hào)變換的級(jí)數(shù)展開基函數(shù)，和信號(hào)變換的基函數(shù)不同，但它們都是彼此正交的正交基，但自身并不正交。254信號(hào)線性變換正交變換雙正交變換非正交變換非正交信號(hào)變換的級(jí)數(shù)展開基函數(shù)，和信號(hào)變換的基函數(shù)不同，它們都是非正交基。255非正交變換信號(hào)表示線性表示非線性表示正交變換雙正交變換Taylor’sexpansion矩展開256主要內(nèi)容Fourier變換的局限性短時(shí)Fourier變換與Gabor變換時(shí)頻分析的基本知識(shí)257ShortTimeFourierTransform短時(shí)傅里葉變換STFT1.歷史背景2.平穩(wěn)與非平穩(wěn)信號(hào)2)廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)信號(hào)的一階(均值)、二價(jià)統(tǒng)計(jì)量(相關(guān)函數(shù)、功率譜)與時(shí)刻t無關(guān)。嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)信號(hào)的各階統(tǒng)計(jì)量與時(shí)刻t無關(guān)。3).非平穩(wěn)信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的信號(hào)統(tǒng)稱為非平穩(wěn)信號(hào)

。例：語音、音樂、地震信號(hào)等。2581).FT是信號(hào)的單域變換。時(shí)域頻域3.Fourier變換特點(diǎn)2).FT是信號(hào)的全域變換。FT反映了信號(hào)的全域(時(shí)、頻)特征。FT不能反映信號(hào)的局域(時(shí)、頻)特征。2594.Fourier變換的局限性缺乏時(shí)間和頻率的定位功能例如：壓控振蕩器是一個(gè)電壓－頻率變換裝置。輸入電壓為周期性鋸齒波。02004006008001000120014001600180020000102030405060708090信號(hào)的頻譜

050100150200250300350400010203040506070頻譜的放大

TimeFrequency00.20.40.60.811.21.41.61.801002003004005006007008009001000輸出信號(hào)的短時(shí)Fourier變換

頻率時(shí)間260對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的局限性

壓控振蕩器輸出信號(hào)的時(shí)頻分布的三維表示

信號(hào)的瞬時(shí)頻率，表示的是信號(hào)的譜峰在時(shí)間－頻率平面上的位置及其隨時(shí)間的變化情況，瞬時(shí)頻率曲線也是信號(hào)能量的主要集中之處。Fourier變換后信號(hào)頻譜中的頻率反映的是整體信號(hào)中包含的某一頻率分量的平均值。

261在時(shí)間和頻率分辨上的局限性頻率分辨率是通過一個(gè)頻域窗函數(shù)來觀察頻譜時(shí)，所能看到的頻率寬度。時(shí)間分辨率是通過一個(gè)時(shí)域窗函數(shù)來觀察時(shí)間信號(hào)時(shí)，所能看到的時(shí)間寬度。

結(jié)論：Fourier變換僅僅適用于平穩(wěn)信號(hào)分析，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的本質(zhì)把握不好262矛盾：時(shí)頻不確定性原理指出，時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)達(dá)到最好。解決矛盾的方法：根據(jù)是快變信號(hào)還是慢變信號(hào)，來選擇不同的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。工程應(yīng)用的目標(biāo)：同時(shí)得到好的時(shí)間分辨率和好的頻率分辨率Fourier變化無法解決這樣的問題。

2635.克服Fourier變換的局限性的方法短時(shí)Fourier變換

信號(hào)的子帶分解小波變換和多分辨分析時(shí)頻聯(lián)合分析作業(yè)4-2

請(qǐng)分析說明Fourier變換的特點(diǎn)和局限性，可有哪些舉措來克服這些局限性？264主要內(nèi)容Fourier變換的局限性短時(shí)Fourier變換與Gabor變換時(shí)頻分析的基本知識(shí)2651.定義短時(shí)Fourier變換，又名加窗的Fourier變換短時(shí)Fourier變換的核函數(shù)為其中τ是位移參數(shù),其Fourier變換為where266窗函數(shù)：高斯窗、漢明窗、矩形窗對(duì)窗函數(shù)要求：時(shí)、頻域都有良好的局域性，即能量在時(shí)、頻域高度集中?！嘣撟儞Q是一維t時(shí)域向二維t、ω域空間的積分變換。267窗口

ⅰ窗函數(shù)中心：窗函數(shù)能量的重心。

ⅱ窗口寬度：窗函數(shù)能量相對(duì)于中心的標(biāo)準(zhǔn)差。

ⅲ窗口面積t-0.8-0.4-0.200.20.40.60.8信號(hào)幅度-0.6解釋1268t-0.8-0.4-0.200.20.40.60.8信號(hào)幅度-0.6解釋2269(a)f(b)t短時(shí)Fourier變換的基函數(shù)和時(shí)頻網(wǎng)格2702短時(shí)Fourier變換的逆變換兩邊作Fourier逆變換271重構(gòu)函數(shù)必須滿足條件特點(diǎn)：

(1)對(duì)連續(xù)STFT連續(xù)變化窗口大小不變。

(2)服從海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理需用三維空間表示。還可以用下式來重構(gòu)272缺點(diǎn)窗口大小固定，不適宜于分析某些非平穩(wěn)信號(hào)。離散后，不能形成正交基。優(yōu)點(diǎn)能給出信號(hào)的局部時(shí)、頻域特征。2732.譜圖

(a)測(cè)試信號(hào)；(b)理想的時(shí)頻表示；(c)短時(shí)頻譜2742.解釋

(a)測(cè)試信號(hào)；(b)理想的時(shí)頻表示；(c)短時(shí)頻譜FT2752.Gabor變換

對(duì)于信號(hào)，其Gabor展開定義為tGabor展開的采樣網(wǎng)格

t276Gabor展開基函數(shù)的形成

臨界采樣欠采樣過采樣277臨界采樣Gabor變換Step1Step2如何重構(gòu)呢？278臨界采樣Gabor變換信號(hào)重構(gòu)則必須

因此結(jié)論：279

關(guān)于臨界Gabor變換的結(jié)論：1.變換核與對(duì)偶核為雙正交關(guān)系2.Gabor變換是離散網(wǎng)格上的短時(shí)Fourier變換2802.應(yīng)用

(1)時(shí)變信號(hào)分析、系統(tǒng)辨識(shí)和譜估計(jì)、信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)、語音編碼、信號(hào)的群延遲或瞬時(shí)頻率估計(jì)、譜抵消去噪等例如：調(diào)頻和跳頻擴(kuò)頻信號(hào)的解調(diào)(a)2FSK信號(hào)；(b)理想的時(shí)頻表示；(c)短時(shí)頻譜281主要內(nèi)容連續(xù)小波變換的基本概念小波變換的性質(zhì)小波分類和常見的小波離散小波變換第7章小波分析282連續(xù)小波變換的時(shí)域定義

核函數(shù)，是窗函數(shù)的時(shí)間平移b和尺度伸縮的結(jié)果where窗函數(shù)稱為母小波.

小波函數(shù)序列2832.小波變換的頻域定義

作業(yè)7-1(1)證明:因子的作用是保證不同的尺度下，函數(shù)與母小波的能量相同，即具有保范性。(2)證明下面公式284解釋小波變換可以理解為用一組分析寬度不斷變化的基函數(shù)對(duì)信號(hào)s(t)進(jìn)行分析，這一變化正好適應(yīng)了對(duì)信號(hào)分析時(shí)在不同的頻率范圍需要不同的分辨率這一基本要求其中的因子的作用是保證不同的尺度下，函數(shù)與母小波的能量相同參數(shù)b的作用是確定對(duì)分析信號(hào)s(t)的時(shí)間位置，即時(shí)間中心。參數(shù)a

的作用是把基本小波進(jìn)行伸縮。2853尺度因子1)a對(duì)小波函數(shù)的時(shí)域影響2862)a對(duì)分析小波的頻域影響287尺度因子在小波變換中物理解釋(1)當(dāng)用較小的a對(duì)信號(hào)作高頻分析時(shí)，實(shí)際上是用高頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀察；(2)當(dāng)用較大的a對(duì)信號(hào)作低頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀察；288說明：在時(shí)域是有限支撐的，則和s(t)作內(nèi)積后，將保證小波變換在時(shí)域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)所希望的時(shí)域定位功能。所反映的，是在b附近的性質(zhì)若具有帶通特性，即在頻域，圍繞著中心頻率是有限支撐的，則和的內(nèi)積，也將反映在窗口中心頻率處的局部性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)所期望的頻率定位功能。信號(hào)s(t)的小波變換是a和b的函數(shù)。母小波可以是實(shí)函數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)。

2894.小波(基本小波、母小波)則稱為為連續(xù)小波，或母小波。約束條件的物理意義：是必要條件而不是充分條件。約束條件再加上能量集中特性(時(shí)域緊支撐特性)，從而嚴(yán)格地將的波形約束為“一小段波”。290容許條件：母小波的特點(diǎn)：容許條件的含義：比上面的約束條件嚴(yán)格，嚴(yán)格地將的波形約束為“一小段波”

(1)小波具有波動(dòng)性，表明是波動(dòng)的(2)小波具有時(shí)、頻域緊支撐，包絡(luò)衰減快;(3)小波具有帶通濾波器特性,可理解為一個(gè)帶通濾波器的沖激響應(yīng)又是緊支撐的(4)小波和一般的窗函數(shù)一樣，滿足2911)定義經(jīng)伸縮、平移構(gòu)成小波基函數(shù)。即：5.小波基2)窗口中心時(shí)窗中心頻窗中心為之時(shí)窗中心為之頻窗中心2923)窗口寬度頻窗寬度時(shí)窗寬度為之頻窗寬度4)窗口面積為之頻窗寬度窗口面積與a，b無關(guān)，只由小波母函數(shù)決定293時(shí)窗中心頻窗