若即時,由于在上單調(diào)遞增，所以為方程的較大根,所以.綜上可知【例3】集合是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)構成的:對于任意的且,都有(1)分別判斷函數(shù)及是否在集合中?并說明理由;設函數(shù),且求證:當時【解析】(1)任取.且則因為所以,所以亦即;對于只需取則,而,所以.(2)因為屬于集合,所以任取且則也即①設則上式化為②.因為所以,式對任意的恒成立，即②式對恒成立。所以故可以證明事實上,當時當時.所以當時，七、奇偶與周期【例1】設是定義在區(qū)間上以2為周期的函數(shù),對用表示區(qū)間,已知當時(1)求在上的解析式(2)對求集合?！窘馕觥縡(x)是以2為周期的函數(shù),當時,2k是的周期.當時故.即對當時.（2）解法1：當且時，利用（1）的結論可得方程整理得上述方程在區(qū)間上恰有兩個不相等的實根的充要條件是滿足化簡得由①知或.當時,因為故從②③可得,即即即當時易知無解.綜上所述,應滿足.故所求集合解法2:用參數(shù)分離法.分離參數(shù)得,畫出函數(shù)和的圖象,如圖,即得所求集合為解法3:用參數(shù)不完全分離法.令畫出兩函數(shù)的圖象,如圖，由題意知，需要滿足解得所求集合為【評注】解法1時當年高考的標準答案，是通法，但十分復雜；解法2和解法3利用參數(shù)分離并數(shù)形結合求解,更加簡捷明快.【例2】設函數(shù)表示實數(shù)與的給定區(qū)間內(nèi)整數(shù)之差的絕對值.(1)當時,求出的解析式$;$當時,寫出用絕對值符號表示的的解析式,并說明理由;(2)用定義證明函數(shù)是偶函數(shù);(3)若,求證:方程有且只有一個實根.【解析】(1)當時,由定義知,與0距離最近,.當時,由定義知,k為與最近的一個整數(shù)，故(2)對任何函數(shù)都存在,且存在滿足.由得即.由（1）的結論，，即是偶函數(shù)(3)即(i)當時沒有大于1的實根(ii)容易驗證為方程的實根;(iii)當時,方程即為設則所以當時為減函數(shù),所以方程沒有的實根;（IV）當時,方程即為.設，為減函數(shù)，所以方程沒有的實根.綜上可知,若方程有且僅有一個實根,為1.八、二次函數(shù)不動點【例1】對于函數(shù)若存在使得成立,則稱為的不動點,已知函數(shù)（1）當時,求函數(shù)的不動點（2）若對任意實數(shù)b,函數(shù)恒有兩個相異的不動點,求的取值范圍;（3）在（2）條件下，若圖象上的A,B兩點的橫坐標是函數(shù)的不動點,且A,B兩點關于直線對稱,求的最小值.【解析】(1)當時由題意有解得或故當時的兩個不動點為(2)因為恒有兩個不動點,所以即恒有兩個相異的實數(shù)根,得恒成立,于是解得所以當恒有兩個相異的不動點時,的取值范圍是（3）由題意知A,B兩點應在直線上.設的中點為,因為A,B關于直線對稱,所以.因為是方程的兩根,所以,由點在直線上,得.因為所以當且僅當時取等號,故的最小值為.【規(guī)律探究】函數(shù)不動點：已知函數(shù)若存在使得則稱為函數(shù)的不動點.不動點實際上是方程組的解的橫坐標,或兩者圖象的交點的橫坐標,當然,這個方程組根據(jù)函數(shù)的不同，可能有多解.【例2】設集合.(1)求證;(2)單調(diào)遞增時,是否有證明你的結論.【解析】(1)任取則,所以因此命題得證.（2）由(1)知，只需妥證明.任取則若因為單調(diào)遞增,所以這與假設矛盾,因此同理可得;故所以命題得證.【評注】由此我們可以看出：的零點一定是的零點，但是反之不真（例如：設則易見定義域中的每個值都是的不動點,但是沒有不動點).由千的零點一定是的零點,故當是多項式函數(shù)時,中一定含有項.特別地,如果.$$【規(guī)律探究】函數(shù)穩(wěn)定點：已知函數(shù)若存在使得則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點.很顯然,若為函數(shù)的不動點,則必為函數(shù)的穩(wěn)定點.證明方法非常簡單:因為所以,即故也是函數(shù)的穩(wěn)定點.反之，有沒有不是不動點的穩(wěn)定點呢?答案是肯定的，如:(1)的解兵有一個故函數(shù)有一個不動點1;(2)的解為故函數(shù)有兩個不動點;(3)設今解得故函數(shù)有一個穩(wěn)定點1;(4)令因為不動點必為穩(wěn)定點,所以該方程一定有兩解因式分解,可得還有另外兩解故函數(shù)的穩(wěn)定點有其中是穩(wěn)定點,但不是不動點.請看下面四個圖形,分別對應以上(1)由此,清晰可見,不動點是函數(shù)圖象與直線的交點的橫坐標,而穩(wěn)定點是函數(shù)圖象與它的反函數(shù)(可以是多值的)圖象的交點的橫坐標.根據(jù)例1和例3,我們可以給出命題:若函數(shù)單調(diào)遞增,則它的不動點與穩(wěn)定點是完全等價的.證明:若函數(shù)有不動點顯然它也有穩(wěn)定點若函數(shù)有穩(wěn)定點即設則,即和都在函數(shù)的圖象上，假設因為是增函數(shù),則即與假設矛盾;假設,因為是增函數(shù),則,即,與假設矛盾;故即即有不動點.變式訓練1.設如果求.2.已知函數(shù),且沒有實數(shù)根,則是否有實數(shù)根?證明你的結論.3.設且求實數(shù)的取值范圍.【例3】求證:若有唯一不動點,則也有唯一不動點.【解析】存在性:設是的唯一不動,點,記則所以,故也是的不動點.由只有一個不動點可知因此即有不動.點.唯一性:假設也是的不動,點,易見也是的不動點,這與已知矛盾.故有唯一不動點.【例4】設函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)若曲線上存在點)使則的取值范圍是A.B.C.D.【解析】易知單調(diào)遞增，所以，①因為有意義,所以,②因為所以③，由①②③知在[0,1]上有解,從而在[0,1]上有解，記則,所以當時當時,所以因此在[0,1]上單調(diào)遞增.所以即故選變式訓練設函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)若存在使成立,則的取值范圍是A.B.C.D.[0,1]【例5】已知函數(shù)為常數(shù)且若滿足但則稱為函數(shù)的二階周期點,如果有兩個二階周期點試確定的取值范圍.【解析】當時由解得而故不是二階周期點,所以不合題意.當時有解集而當時恒成立,所以不合題意.由解得或或或,又所以恰有兩個二階周期點,綜上,的取值范圍是【例6】已知,設.求證:如果存在一個實數(shù)滿足則對一切有成立;若實數(shù)滿足則稱為不動點，試求出所有的不動點;是否存在區(qū)間,使得對任意當時,都有證明你的結論.【解析】(1)用數(shù)學歸納法證明:當時顯然成立;假設當時)成立，則當時也成立.命題得證.(2)由(1)可知當且僅當,即時為不動點.由解得或.(3)即解得或,由知或,因此要使對一切都有成立,只需或,而由得或,由得,所以,取區(qū)間或即可滿足題意.【例7】定義:在平面上,縱、橫坐標均為整數(shù)的點叫作“格點".已知二次函數(shù)）的圖象過點且函數(shù)是偶函數(shù),則在該二次函數(shù)的圖象上,縱坐標是一個完全平方數(shù)的“格點"有A.無數(shù)個B.8個C.4個D.2個【答案】D【解析】依題意得，設符合條件的點為，則有所以有或或解得或或或則符合條件的點為(10,121)和故選.九、反解系數(shù)法很多學生遇到函數(shù)含絕對值放縮問題時往往無從下手,此時運用反解系數(shù)法可以快速破解.【例1】已知a,b為實數(shù),函數(shù)滿足:對任意有則的最大值為【答案】【解析】易知則當即時故ab的最大值為.變式訓練已知函數(shù)若對任意有則的取值范圍為（）A.B.C.D.【例2】已知且滿足求的取值范圍.【解析】本題中所給條件不足以確定參數(shù)a，b的值，但應該注意單：所要求的的結論不是的確定值,而是與條件相對應的“取值范圍”,因此，我們可以把和當成兩個獨立條件,先用和來表示a,b.由可解得將以上兩式代入并整理得,所以又因為所以【例3】設若求證:對于任意有【解析】同上題,可以用來表示a,b,c.由所以,所以當時，當時，綜上，問題獲證.變式訓練如果對任意的恒成立,求的最大值.【例4】已知二次函數(shù)當時,有求證:當時,有.【解析】研究的性質(zhì),最好能的得出其解析式,從這個意義上說,應該盡量用已知條件來表達參數(shù)a,b,c.確定三個參數(shù),只需