2005=334×6+1，所以黑螞蟻?zhàn)咄?005段后停止在正方體的頂點(diǎn)處，白螞蟻?zhàn)咄?005段后停止在正方體的頂點(diǎn)處.故這時兩只螞蟻間的距離是.【評注】這類題為操作性探索題，要求同學(xué)們大膽動手，探索出規(guī)律性來.【例4】已知數(shù)列滿足滿足若，則的值為 （）A. B. C. D.【答案】A逐步計算，可得，，，，，…這說明數(shù)列是周期數(shù)列，.而，所以.應(yīng)選A.【評注】分段數(shù)列問題是一種新題型，又涉及周期數(shù)列，顯示了以能力立意，題活而不難的特色.3.知識關(guān)聯(lián)型【例5】如圖，設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個不同的點(diǎn)，使組成公差為的等差數(shù)列，則的取值范圍為.【答案】【解析】如圖，由橢圓第二定義知，即，這些線段長度的最小值為右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離，即，最大值為右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離即，若公差，則，，得；若公差，同理可求得.綜上，.【評注】本題很好地將數(shù)列與橢圓的有關(guān)性質(zhì)結(jié)合在一起，形式新穎，內(nèi)容深刻，有一定的難度，可見命題設(shè)計者的良苦用心.解決的關(guān)鍵是確定該數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)求出公差的取值范圍.4.類比聯(lián)想型【例6】若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列也是等比數(shù)列.【答案】由已知“等差數(shù)列前項(xiàng)的算術(shù)平均值是等差數(shù)列”可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前項(xiàng)的幾何平均值是等比數(shù)列”，不難得到也是等比數(shù)列.【評注】本題只需由已知條件的特征從形式和結(jié)構(gòu)上對比猜想，不難挖掘問題的突破口.5.規(guī)律發(fā)現(xiàn)型【例7】將自然數(shù)1，2，3，4，…排成數(shù)表（如圖所示），在2處轉(zhuǎn)第一個彎，在3處轉(zhuǎn)第二個彎，在5處轉(zhuǎn)第三個彎，….則第2005個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為.21-22-23-24-25-26∣207-8-9-1027∣∣∣∣1961-211…∣∣∣∣185-4-312∣∣17-16-15-14-13【答案】1006010【解析】觀察由1起每一個轉(zhuǎn)彎時遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)它們依次為“1，1，2，2，3，3，4，4，…”，故在第2005個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為：l+2×（l+2+3+…+1002）+1003=1006010.【評注】本題求解的關(guān)鍵是對圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，解題時需要較強(qiáng)的觀察能力及快速探求規(guī)律的能力，因此本題在高考中具有較強(qiáng)的選拔功能.6.圖表信息型【例8】下表給出一個“等差數(shù)陣”：47……………712………………其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第行第列的數(shù).（1）寫出的值；（2）寫出的計算公式；（3）求證：“正整數(shù)在該等差數(shù)列陣中”的充要條件是“2+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積”.【解析】（1）=49.（2）該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列：；第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列：，……第行是首項(xiàng)為4+3（-1），公差為2+l的等差數(shù)列，因此.（3）必要性：若在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)，使得，從而，即正整數(shù)可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積；充分性：若可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)，，使得，從而，可見在該等差數(shù)陣中.綜上所述，“正整數(shù)在該等差數(shù)陣中”的充要條件是“2+l可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積”.【評注】本題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.求解關(guān)鍵是根據(jù)圖表信息求出行列中對應(yīng)項(xiàng)的通項(xiàng)公式.7.幾何計數(shù)型【例9】如圖，第個圖形是由+2邊形“擴(kuò)展”而來的.記第個圖形的頂點(diǎn)數(shù)為，則=.【答案】4030056【解析】由圖易知，，，，從而易知.【評注】求解幾何計數(shù)問題通常釆用“歸納-猜想-證明”的解題思路.本題也可直接求解.第個圖形由+2邊形“擴(kuò)展”而來，這個圖形共由（+2）+l個+2邊形組成，而每個+2邊形共有+2個頂點(diǎn)，故第個圖形的頂點(diǎn)數(shù)為，.8.“楊輝三角”型【例10】如圖是一個類似“楊輝三角”的圖形，第行共有個數(shù)，且該行的第1一個數(shù)和最后一個數(shù)都是，中間任意一個數(shù)都等于第-1行與之相鄰的兩個數(shù)的和，設(shè)分別表示第行的第一個數(shù)，第二個數(shù)，…，第個數(shù)，求且.【解析】由圖易知從而知是一階等差數(shù)列，即以上1個式子相加即可得到，則，即（且）.【評注】“楊輝三角”型數(shù)列創(chuàng)新題是近年來高考創(chuàng)新題的熱點(diǎn)問題.求解這類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各行中的項(xiàng)與行列間的對應(yīng)關(guān)系，通常需轉(zhuǎn)化成一階（或二階）等差數(shù)列結(jié)合求和方法來求解.有興趣的同學(xué)不妨求出的通項(xiàng)公式.9.閱讀理解型【例11】電子計算機(jī)中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表：十進(jìn)制123456…二進(jìn)制11011100101110…觀察二進(jìn)制1位數(shù)，2位數(shù)，3位數(shù)時對應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，二進(jìn)制6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是.【答案】63【解析】通過閱讀，不難發(fā)現(xiàn)：，進(jìn)而知寫成二進(jìn)制為：111.于是知二進(jìn)制6位數(shù)最大的數(shù)是111111，化成十進(jìn)制為：?！驹u注】通過閱讀，將乍看陌生的問題熟悉化，然后找到解決的方法，即轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求解.總之，求解數(shù)列創(chuàng)新題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，探求規(guī)律，注重轉(zhuǎn)化，合理設(shè)計解題方案，最后利用等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)知識來求解.【例12】設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳1個單位，：經(jīng)過5次跳動，質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3，0）處（允許重復(fù)過此點(diǎn)），則質(zhì)點(diǎn)的不同運(yùn)動方法有種.【答案】5【解析】要求能將實(shí)際問題通過分析轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.在實(shí)際操作的過程中，規(guī)定向右移一個單位為1，向左移一個單位為-1，則其代數(shù)和要為3.這5個數(shù)值中只能一個為-1，在這5步中第幾個值為-1呢？利用排列組合知識知不同的方法有5種.【例13】用個不同的實(shí)數(shù)可得到個不同的排列，每個排列為一行，可與成一個行的數(shù)陣.對第行，記，.例如，用1，2，3可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以，那么在用1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，.【例4】已知在等差數(shù)列中，，公差是自然數(shù)，在等比數(shù)列中，，.（1）試找出一個的值，使中的所有項(xiàng)都是中的項(xiàng)；再找出一個的值，使中的項(xiàng)不都是中的項(xiàng)（不必證明）；（2）判斷=4時中所有的項(xiàng)是否都是中的項(xiàng)，并證明你的結(jié)論；（3）探索取怎樣的自然數(shù)時，中的所有項(xiàng)都是中的項(xiàng)，并說明理由.【解析】（1）=0時，中的項(xiàng)都是中的項(xiàng)；（任一非負(fù)偶數(shù)均可）=l時，中的項(xiàng)不都是中的項(xiàng).（任一正奇數(shù)均可）（2）=4時，，（，為正整數(shù)），中的項(xiàng)一定都是中的項(xiàng).（3）當(dāng)且僅當(dāng)?。捶秦?fù)偶數(shù)）時，中的項(xiàng)都是中的項(xiàng).理由是：①當(dāng)時，，時，，其中是的非負(fù)整數(shù)倍，設(shè)為，只要?。檎麛?shù)）即可得，即中的項(xiàng)都是中的項(xiàng)；②當(dāng)時，不是整數(shù)，也不可能是中的項(xiàng).【例5】已知數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列.（1）若，求；（2）試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，…，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？【解析】（1），故=3.（2），，當(dāng)時，.（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.研究的問題可以是：試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍.研究的結(jié)論可以是，依次類推可得當(dāng)時，的取值范圍為（10，+）.【例16】設(shè)數(shù)列，，滿足（=1，2，3，…），求證：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（）.【解析】（1）必要性：設(shè)數(shù)列是公差為山的等差數(shù)列，則，故成立；又（=1，2，3，…），為常數(shù)，故數(shù)列為等差數(shù)列.（2）充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（），因?yàn)棰?，所以②，?②得，因?yàn)椋寓?，從而有④，?③得⑤，因?yàn)椋?，，所以由⑤得（），由此，不妨設(shè)，則（常數(shù)），故⑥，從而⑦，⑦-⑥得，，為常數(shù)，故數(shù)列為等差數(shù)列.綜上所述，為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且.【例17】已知數(shù)列中，.（1）若，數(shù)列認(rèn)，滿足，求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若，求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說明理由；（3）若，求證：.【解析】（1），而，則所以是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.（2）依題意有，而，則.對于函數(shù)，當(dāng)時，，，即在上為減函數(shù).故當(dāng)時，取最大值，即.當(dāng)時，，，即在上也為減函數(shù).故當(dāng)時，取最小值，即.（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，再證明.①當(dāng)時，成立；②假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時，由得，即，故當(dāng)時命題也成立，綜合①②得命題對任意都成立，即.（也可設(shè)，則，故.）下面證明.由得，綜上得成立.六、選擇、填空拉檔提分經(jīng)典題1.選擇題【例1】已知設(shè)，，，…，，且），令集合，則集合為 （）A.空集 B.實(shí)數(shù)集 C.單元素集 D.二元素集【答案】A【解析】，，，，所以周期=4，因?yàn)?，所以，得，，即，故選A.【例2】規(guī)定集合為集合的第個子集，其中，若，則的值是 （）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】D【解析】，.故選D.【例3】定義：若數(shù)列對任意的正整數(shù)，都有（為常數(shù)），則稱為“絕對和數(shù)列”，叫作“絕對公和”.已知“絕對和數(shù)列”中，，“絕對公和”為3，則其前2009項(xiàng)的和的最小值為 （）A.-2009 B.-3010 C.-3014 D.3028【答案】B【解析】由題意得為：；故.故選B.【例4】由，給出的數(shù)列的第料項(xiàng)是 （）A. B.100 C. D.【答案】B【解析】對已知遞推式兩邊取倒數(shù)，得，即.這說明數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，從而有，即，故選B.【評注】構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列是解決數(shù)列考題的常用方法，值得我們重視.【例5】設(shè)集合，都是的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的，，都有表示，兩個數(shù)中的較小者），則的最大值是 （）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B2.填空題【例1】已知奇函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，數(shù)列是一個公差為2的等差數(shù)列，且滿足，則.【答案】4017【解析】由單調(diào)遞增，得，.設(shè)，則，，，由是奇函數(shù)，得，即，，.所以.【例2】對于正項(xiàng)數(shù)列，定義，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=.【答案】【解析】由，得，，由得，所以.【例3】已知數(shù)列滿足：=1，且對每個，，是方程的兩根，則=.【答案】6385【解析】對每個，①，②，將①寫作，因此是一個公比為一1的等比數(shù)列，故，即