、專題9.50平行四邊形（最值問題）（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖，在平行四邊形中，．點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上的一個動點(diǎn)．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長度的最小值為（

）A．5 B．7 C． D．2．如圖，在中，，，，D為AB邊上一點(diǎn)，將DC平移到AE（點(diǎn)D與點(diǎn)A對應(yīng)），連接DE，則DE的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．3．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長度的最小值為（

）A．6 B．8 C． D．4．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在動直線y＝mx﹣3m+4（m為常數(shù)且）上，AB＝5，點(diǎn)C是平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)O、A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形面積的最大值是（）A．24 B．25 C．26 D．305．在邊長為的等邊中，是上一動點(diǎn)，連接，以、為鄰邊作平行四邊形，則對角線的最小值為（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），點(diǎn)P是AD邊上的一個動點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為，則C的最小值為（

）A． B． C． D．17．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是邊AB上的兩個動點(diǎn)，F(xiàn)是邊AC上的一個動點(diǎn)，DE＝，則CD+EF的最小值為(

)A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．38．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q兩點(diǎn)分別在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一點(diǎn)M．以A、P、Q、M為頂點(diǎn)畫平行四邊形，這個平行四邊形的周長的最大值為（）A．12 B． C． D．9．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是直線上一動點(diǎn)，將點(diǎn)A向右平移1個單位得到點(diǎn)B，點(diǎn)C（1，0），則OB＋CB的最小值為（

）A． B． C． D．10．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將直角邊AC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至AC′，連接BC′，E為BC′的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值為(

).A． B． C． D．二、填空題11．如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)P為BC上一動點(diǎn)，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于點(diǎn)Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當(dāng)PQ取得最小值時，四邊形APCQ的周長為_____．12．如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動點(diǎn)，那么的最小值等于______．13．如圖，△AOD和△COB關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一動點(diǎn)，Q是OC上一動點(diǎn)（點(diǎn)P，Q不與端點(diǎn)重合），且AP＝OQ．連接BQ，DP，則DP+BQ的最小值是_______．14．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AC的垂線，交邊AD于點(diǎn)P，交邊BC于點(diǎn)Q，連接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，則PC＋AQ的最小值為________________．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，S?ABCD＝30，將線段AB沿著直線AB上下平移得到線段A'B'，連接A'C，B'C，則A'C+B'C的最小值是_____．16．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn)，連接EA，以EA，EC為鄰邊作平行四邊形EAFC，連接EF，則EF的最小值為___．17．如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)、是邊上的動點(diǎn)，且，則四邊形周長的最小值為______．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)P為y軸正半軸上一動點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)D，使，以為邊作，連接，則長度的最小值為_____________．三、解答題19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將線段繞著點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，直線交x軸于點(diǎn)C．(1)求直線的解析式．(2)若點(diǎn)是點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，沿著直線平移得到．求的最小值，并求出此時的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)D是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，在x軸上是否存在一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)B、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．如圖1，矩形擺放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，，，過點(diǎn)的直線交矩形的邊于點(diǎn)，且點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（Ⅰ）若為等腰直角三角形.①直接寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo)：______；直線的解析式為______；②在軸上另有一點(diǎn)的坐標(biāo)為，請在直線和軸上分別找一點(diǎn)、，使的周長最小，并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)和周長的最小值.（Ⅱ）如圖2，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求直線的解析式.21．（1）如圖，已知△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求證：DE∥BC，DE=BC．（2）利用第（1）題的結(jié)論，解決下列問題：①如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：EF∥BC，F(xiàn)E=（AD+BC）②如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點(diǎn)M，N分別在邊AB，BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為MN，DN的中點(diǎn)，連接EF，求EF長度的最大值．22．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，B、C在第一象限內(nèi)，且OA＝6，OC＝3，∠AOC＝45°．（1）頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）設(shè)對角線AC、OB交于點(diǎn)E，在y軸上有一點(diǎn)D（0，﹣1），x軸上有一長為1個單位長度的可以左右平移的線段MN，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，連接DM、EN，求DM+EN的最小值；（3）如圖2，若直線l：y＝kx+b過點(diǎn)P（0，﹣2），且把平行四邊形OABC的面積分成1：2的兩部分，請直接寫出直線l的函數(shù)解析式．23．在平行四邊形中，于，于，為上一動點(diǎn)，連接，交于，且．（1）如圖1，若，求、的長；（2）如圖2，當(dāng)時，求證：；（3）如圖3，若，點(diǎn)是直線上任一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段，請直接寫出的最小值_____．24．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠DAC＝60°，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，AE＝AB，點(diǎn)F是對角線AC邊上一動點(diǎn)，連接EF．（1）如圖1，若點(diǎn)F與對角線交點(diǎn)O重合，已知BE＝4，OC：EC＝5：3，求AC的長度；（2）如圖2，若EC＝FC，點(diǎn)G是AC邊上一點(diǎn)，連接BG、EG，已知∠AEG＝60°，∠AGB＋∠BCD＝180°，求證：BG＋EG＝DC．（3）如圖3，若BE＝4，CE＝，將EF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得EF′，請直接寫出當(dāng)AF′＋BF′取得最小值時△ABF′的面積．參考答案1．A【分析】由折疊可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時，的長度最小，根據(jù)勾股定理分別求出的長度，即可求長度的最小值．解：如圖：連接，作，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴且，∴，∴；∵M(jìn)是中點(diǎn)，∴，∴，∴；∵折疊，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，的長度最小，∴此時，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊問題，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求的長度．2．A【分析】過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE，根據(jù)，，，運(yùn)用勾股定理的逆定理，證明△ABC是直角三角形，得到∠ACB=90°，根據(jù)平移性質(zhì)證明四邊形ADEC是平行四邊形，得到CE∥AD，根據(jù)當(dāng)DE⊥AB時，DE最小，此時，根據(jù)∠DEC=∠ECG=90°，證明四邊形EDGC是矩形，得到DE=CG，運(yùn)用面積法得到，求出，得到DE的最小值為．解：過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE，則∠AGC=90°，∵中，，，，∴，∴是直角三角形，∠ACB=90°，由平移知，AE∥CD，AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴CE∥AD，當(dāng)DE⊥AB時，DE最小，此時，∠DEC=∠ECG=90°，∴四邊形EDGC是矩形，∴DE=CG，∵∴∴，∴，∴DE的最小值為．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，平移，平行四邊形，三角形面積，垂線段，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握用勾股定理的逆定理判斷直角三角形，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，垂線段最短的性質(zhì)．3．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，可以得到當(dāng)CP⊥AB時，CP取得最小值，此時CP的值就是AQ的最小值，從而可以解答本題．解：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AQ＝PC，∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，∴當(dāng)CP⊥AB時，CP取得最小值，∵∠BAC＝45°，，設(shè)，在Rt△APC中，AB＝AC＝8，則，即，解得，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．B【分析】由直線關(guān)系式確定出直線過定點(diǎn)（3，4），平行四邊形面積最大轉(zhuǎn)化為求△ABO的最大面積．解：∵直線AB：y＝mx﹣3m+4＝m（x﹣3）+4，∴AB過定點(diǎn)M（3，4），∴OM＝5，作OH⊥AB于H，∴OH≤5，∴S△ABO最大＝，∴以點(diǎn)O、A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形面積的最大值是25，故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了一次函數(shù)性質(zhì)，動點(diǎn)平行四邊形面積最值問題，解題的關(guān)鍵是把求平行四邊形面積最大轉(zhuǎn)化為求△ABO的最大面積．5．C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可推出DE=2OD，則可得當(dāng)OD⊥AC時，DO的值最小，即DE的值最小，過O作OF⊥AC于點(diǎn)F，利用等邊三角形及直角三角形性質(zhì)可求得AF=OA=，則可利用勾股定理求得OF的長，即可得出結(jié)論．解：設(shè)AB與DE相交于點(diǎn)O，∵四邊形是平行四邊形，是邊長為2的等邊三角形，∴OA=OB=AB=1，OD=OE=DE．即DE=2OD．∴當(dāng)OD⊥AC時，DO的值最小，即DE的值最小．如圖，過O作OF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠AFO=90°．∵是等邊三角形，∴∠BAC=60°．∴∠AOF=30°．∴AF=OA=．∴OF=．當(dāng)OD=OF時，DO的值最小，即DE的值最小，∴DE=2OF=．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形、等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知BA=BA′，在△BA′C中由三角形三邊關(guān)系可知A′C≥BC-BA′，則可求得答案．解：∵平行四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），∴AB=＝，BC=3，∵若點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為A'，∴BA′=BA=，在△BA′C中，由三角形三邊關(guān)系可知A′C≥BC-BA′，∴A′C≥3-，即A′C的最小值為3-，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查平行四這形及軸對稱的性質(zhì)，利用三角形的三邊關(guān)系得到A′C≥BC-BA′是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各邊的長分別為，．因為，是邊上的兩個動點(diǎn)，是邊上的一個動點(diǎn)，求的最小值，就是需要轉(zhuǎn)換成同一直線上求解，即求關(guān)于的對稱點(diǎn)，作．構(gòu)建平行四邊形，作于，交于．利用平行四邊形和對稱圖形的性質(zhì)，找出線段之間的關(guān)系．解：如圖，過C作AB的對稱點(diǎn)C1，連接CC1，交AB于N；過C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，過C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的長度即為所求最小值，∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，∴四邊形C1DEC2是平行四邊形，∴C1D＝C2E，又∵CC1關(guān)于AB對稱，∴CD＝C1D，∴CD+EF＝C2F，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴CN＝，AN＝3，過C2作C2M⊥AB，則C2M＝C1N＝CN＝，∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，∴MN＝C1C2＝，∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，∴∠MC2E＝∠A＝30°，在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，∴EF，∴C2F．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查動點(diǎn)構(gòu)成的線段中最小值問題，轉(zhuǎn)換成三點(diǎn)共線，并在垂直的時候最小，找到對稱點(diǎn)，構(gòu)建最短路徑是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】先依據(jù)勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，即可得到的長，再分三種情況，即可得到以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形的周長，進(jìn)而得出周長的最大值．解：由勾股定定理得：，則；過點(diǎn)作，垂足為，則，則，則，，由，得，再由勾股定理得：；如圖1：周長；如圖2：周長；如圖3：周長為最長．∵，并且即，故周長的最大值是故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計算得到的長．9．A【分析】設(shè)D（﹣1，0），作D點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E，連接OE，交直線于A，連接AD，，作ES⊥x軸于S，根據(jù)題意OE就是OB＋CB的最小值，由直線的解析式求得F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得ED的長，從而求得OS和ES，然后根據(jù)勾股定理即可求得OE．解：設(shè)D（﹣1，0），作D點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E，連接OE，交直線于A，連接AD，，交于點(diǎn)，作ES⊥x軸于S，∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，∴四邊形ABOD和四邊形ABCO是平行四邊形，∴AD＝OB，OA＝BC，∴AD＋OA＝OB＋BC，∵AE＝AD，∴AE＋OA＝OB＋BC，即OE＝OB＋BC，∴OB＋CB的最小值為OE，由，當(dāng)時，，解得：，，，當(dāng)時，，，，，取的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于，，當(dāng)時，，，，，為的中點(diǎn)，，為等邊三角形，，，，，∴FD＝3，∠FDG＝60°，∴DG＝DF＝，∴DE＝2DG＝3，∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，∴OS＝，∴OE＝＝，∴OB＋CB的最小值為，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題以及平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證得OE是OB+CB的最小值．10．B【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接CM，EM，當(dāng)CE＝CM+EM時，CE的值最大，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位線的性質(zhì)得到EMAC′＝1，根據(jù)勾股定理得到AB＝2，即可得到結(jié)論．解：取AB的中點(diǎn)M，連接CM，EM，∴當(dāng)CE＝CM+EM時，CE的值最大．∵將直角邊AC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至AC′，∴AC′＝AC＝2．∵E為BC′的中點(diǎn)，∴EMAC′＝1．∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．

平行四邊形

##【分析】根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可求解；當(dāng)PQ是AQ和BC間距離時PQ取得最小值，計算四邊形APCQ的周長即可．解：如圖，∵AQBC，CQAP，∴四邊形APCQ是平行四邊形．當(dāng)PQ⊥BC時，PQ取得最小值，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴AH=HC=AC，QH=PH=PQ，∵∠ABC=45°，AB=2，BC=，∴AC=2，∠ACB=45°，∵QP⊥BC，∴∠PHC=45°，∴PH=PC=，∴PQ=，∴QC=，∴四邊形APCQ的周長為：2PC+2QC=2×+2×=，故答案為：平行四邊形；．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，垂線段最短的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．12．3【分析】如圖，過作交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，推出，從而得到，進(jìn)而得到，根據(jù)，可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時，線段的和最小，利用所對的直角邊是斜邊的一半即可得解．解：如圖，過作交的延長線于點(diǎn)，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，線段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，以及含的直角三角形．通過添加輔助線，構(gòu)造含的直角三角形，利用垂線段最短進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題是胡不歸模型，平時多歸納總結(jié)，可以快速解題．13．12【分析】由中心對稱的性質(zhì)可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可證四邊形ABCD是平行四邊形，由直角三角形的性質(zhì)可得AO＝2DO＝12，當(dāng)AP＝OP時，DP+BQ的值最小，此時P為OA的中點(diǎn)，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DP、BQ，即可得出結(jié)果．解：∵△AOD和△COB關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，∴BO＝DO＝6，AO＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，∴∠DAO＝30°，∴AO＝2DO＝12，∵AP＝OQ，∴PQ＝AO＝12，如圖，作，使得DK＝PQ＝12，連接BK，∴四邊形DPQK為平行四邊形，∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°，此時DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小，∵DK=PQ=BD=12，∴△BDK是等邊三角形，∴BK=DB=12，∴DP+BQ的最小值為12．故答案為：12．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．【分析】利用平行四邊形的知識，將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，再利用勾股定理求出MC的長度，即可求解；解：過點(diǎn)A作且，連接MP，∴四邊形是平行四邊形，∴，將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，當(dāng)M、P、C三點(diǎn)共線時，的最小，∵，，∴，在中，；故答案是：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．15．13【分析】先由平移的性質(zhì)得到四邊形A'B'CD為平行四邊形，從而得到CB'＝DA'，進(jìn)而使得CB'+CA'＝DA'+CA'，再作D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D'，連接A'D'，CD'，DD'交BA延長線于HA，由對稱性可知CB'+CA'＝DA'+CA'＝D'A'+CA'≥D'C，再由AB＝5，S?ABCD＝30，求出DH，由勾股定理求出D'C即可．解：連接A'D，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=5，∴AB=CD=5，AB∥CD，由平移性質(zhì)得：A'B'∥CD，A'B'＝CD，∴四邊形A'B'CD為平行四邊形，∴CB'＝DA'，∴CB'+CA'＝DA'+CA'，作D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D'，連接A'D'，CD'，DD'交BA延長線于H，由對稱性得：DA'＝D'A'，DD'＝2DH，DH⊥AB，∴CB'+CA'＝DA'+CA'＝D'A'+CA'≥D'C，∵AB＝5，S?ABCD＝30，∴5DH＝30，∴DH＝6，DD'＝12，∵AB∥CD，∴DD'⊥CD，∴，∴A'C+B'C的最小值為13，故答案為：13．.【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，最短路徑問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠證明作D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D'得到CB'+CA'＝DA'+CA'＝D'A'+CA'≥D'C．16．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點(diǎn)，EF最短也就是EO最短，故應(yīng)該過O作BC的垂線OD，所以點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，OE長度最?。猓喝鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=4，∴BC=2AB=8，AC=AB=4，∵四邊形EAFC是平行四邊形，∴EO=FO，CO=AO=2，當(dāng)EF最短也就是EO最短，則過O作BC的垂線OD，垂足為D，在Rt△OCD中，CO=2，∠ACB=30°，∴OD=OC=．∴點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，OE長度最小，此時OE=OD=．∴EF=2OE=2．故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短是解題的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)沿向右平移2個單位長度得到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，在上截取，連接，，此時四邊形的周長為，則當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時，四邊形的周長最小，進(jìn)而計算即可得解．解：如下圖，將點(diǎn)沿向右平移2個單位長度得到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，在上截取，連接，，∴，，此時四邊形的周長為，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時，四邊形的周長最小，，，，經(jīng)過點(diǎn)，，，，，，，四邊形周長的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了四邊形周長的最小值問題，涉及到含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)軸對稱作圖方法以及線段長的求解方法是解決本題的關(guān)鍵．18．3【分析】設(shè)為，由知，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出的坐標(biāo)，用勾股定理求出，再用的取值求出的最小值．解：，，設(shè)為，由知，，是平行四邊形，，故,時，最小，．故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)求出,坐標(biāo)．19．(1)直線的解析式為；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知是等邊三角形，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)是，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）由題意是定值，所以時，的值最小，求出即可解決問題；（3）由題意知，點(diǎn)D在過點(diǎn)C且與平行的直線l上，或點(diǎn)D在過點(diǎn)A且與平行的直線上，據(jù)此畫出圖形，即可解答．（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將線段繞著點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，∴是等邊三角形，且，∴，，∴，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，設(shè)直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為；（2）解：由題意是定值，所以時，的值最小，連接，，∵，是等邊三角形，點(diǎn)是點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，∴也是等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，的值最小，由于平移，則，，設(shè)與x軸交于點(diǎn)G，此時，，∴，，∴，，∴，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：存在，如圖所示，過點(diǎn)C作的平行線l，∵，∴點(diǎn)D在直線l上，當(dāng)E、C重合，時，四邊形是平行四邊形，此時B、D關(guān)于x軸對稱，是等邊三角形，∴，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；當(dāng)E、C重合，時，四邊形是平行四邊形，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；如圖所示，過點(diǎn)A作的平行線，∵，∴點(diǎn)D在直線上，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，此時B、D關(guān)于y軸對稱，C、E也關(guān)于y軸對稱，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；點(diǎn)E的坐標(biāo)是；當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)是，由平移的性質(zhì)，∵點(diǎn)O的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)撥】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，線段的和差最值問題，平行四邊形與坐標(biāo)與圖形結(jié)合的問題，將不共線的線段轉(zhuǎn)換為共線線段為解題關(guān)鍵．20．（1）①，；②周長的最小值為；（Ⅱ）直線解析式.【分析】（1）①直接根據(jù)條件就可以求出點(diǎn)和解析式.②作點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)連接交軸于，交直線于，求出直線解析式，再根據(jù)條件求出最小周長.(2)作于，，先求出，再求出E，P兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再列解析式.解：（1）①，∴直線解析式；②作點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)連接交軸于，交直線于，此時周長的最小，∵，，∴直線解析式，當(dāng)時，，∴，∵，∴周長的最小值為；（Ⅱ）如圖：作于，∵，∴且，∴，且，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴.又∵，，∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，，設(shè)直線的解析式，，∴，∴直線解析式.【點(diǎn)撥】本題考查直線與幾何的綜合運(yùn)用，要熟悉掌握求解析式與畫輔助線的能力.21．（1）見分析；（2）①見分析，②3【分析】（1）延長DE到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF，證明四邊形BCFD是平行四邊形即得；（2）①連接AF，并延長AF交BC延長線于點(diǎn)M，先證明，進(jìn)而得出，再根據(jù)（1）的結(jié)論即得；②連接DM，根據(jù)（1）的結(jié)論得出EF=DM，進(jìn)而得出當(dāng)DM最大時，EF最大，再根據(jù)勾股定理求出DM的值，進(jìn)而得出EF的值．解：（1）如下圖，延長DE到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF，∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴，AD=BD在和中∴∴∠A=∠ECF，AD=CF∴CF∥AB又∵AD=BD∴CF=BD∴四邊形BCFD是平行四邊形∴DF=BC，DE∥BC∵EF=DE∴DE=DF=BC∴DE∥BC，DE=BC（2）①連接AF，并延長AF交BC延長線于點(diǎn)M∵AD∥BC∴∵F分別是CD的中點(diǎn)∴DF=FC∵∴∴∴BM=AD+BC∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)∴EF∥BC，F(xiàn)E=BM∴EF∥BC，F(xiàn)E=（AD+BC）②解：連接DM∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為MN，DN的中點(diǎn)∴由（1）知EF=DM∴DM最大時，EF最大∵M(jìn)與B重合時DM最大∴DM=DB==6∴EF的最大值為3．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理、全等三角的性質(zhì)及判定，解題關(guān)鍵是根據(jù)邊的中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)化邊．22．（1）（9，3），（3，3）；（2）DM+EN的最小值為；（3）直線l的函數(shù)解析式為：y＝x–2或y＝x﹣2．【分析】（1）延長BC交y軸于點(diǎn)G，可得到等腰，可求出OG，CG，即可求解；（2）將點(diǎn)D向右平移1個單位長度得點(diǎn)F，連接EF交x軸于點(diǎn)N，可得到四邊形OABC是平行四邊形，則當(dāng)點(diǎn)E，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，DM+EN有最小值，由勾股定理即可求出；（3）直線l：y＝kx+b過點(diǎn)P（0，﹣2），且把平行四邊形OABC的面積分成1：2的兩部分，設(shè)直線l分別交x軸于點(diǎn)Q，交直線BC于點(diǎn)R，然后進(jìn)行分類討論即可．解：（1）延長BC交y軸于點(diǎn)G，∵在平行四邊形OABC中，OA＝6，OC＝3，∠AOC＝45°，∴∠COG＝45°，OG＝CG，BC＝OA＝6，∴在中，，即，解得：，即CG=3，∴BG＝BC+CG＝9，∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，3），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），故答案為：（9，3），（3，3）；（2）將點(diǎn)D向右平移1個單位長度得點(diǎn)F，連接EF交x軸于點(diǎn)N，∵M(jìn)N＝DF＝1，∴F（1，–1），又由平移性質(zhì)可得DF∥MN，∴將點(diǎn)D向右平移1個單位長度得點(diǎn)F，連接EF交x軸于點(diǎn)N，，∴DM＝FN，∴當(dāng)點(diǎn)E，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，DM+EN有最小值，此時DM+EN＝FN+EN＝EF，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴E是AC的中點(diǎn)，∵A（6，0），C（3，3），∴E（4.5，1.5），∵F（1，–1），∴EF＝，∴DM+EN的最小值為；（3）設(shè)直線l分別交x軸于點(diǎn)Q，交直線BC于點(diǎn)R，∵直線l：y＝kx+b過點(diǎn)P（0，?2），∴b＝–2，在y＝kx﹣2中，當(dāng)y＝0時，x＝，當(dāng)y＝3時，x＝，∴Q（，0），R（，3），∴OQ＝，CR＝，∴S四邊形OQRC＝（OQ+CR）×3＝，①當(dāng)S四邊形OQRC＝S四邊形QABR時，＝，解得：k＝1，∴直線l的函數(shù)解析式為：y＝x–2，②當(dāng)S四邊形OQRC＝2S四邊形QABR時，＝，解得：k＝，∴直線l的函數(shù)解析式為：y＝x﹣2，綜上，直線l的函數(shù)解析式為：y＝x–2或y＝x﹣2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答．23．（1），；（2）見分析；（3）．【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)可得，利用30°直角三角形性質(zhì)開得，根據(jù)勾股定理，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，解得即可；（2）方法1補(bǔ)短：如圖3，延長到使，連接、，由平行四邊形ABCD性質(zhì)，可得AB∥CD，AB=CD，可證（SAS），可得，，由垂直平分，，可證，再證即可；方法2截長：如圖4，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先證（SAS），再證（AAS），最后證（HL），可得即可，（3）在上截取，連接、，先證是等邊三角形，可得，，可證（SAS），可證，設(shè)PH′交AE與Q，點(diǎn)H′在射線PQ上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)H′運(yùn)動到點(diǎn)Q是AH′最短由，先求，由勾股定理即可．解：（1）由平行四邊形性質(zhì)可得，在中，，，，∴，根據(jù)勾股定理，在中，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，即，解得，∴，；（2）方法1補(bǔ)短：如圖3，延長到使，連接、，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵∴AE⊥AB，∴，在△ADE和△BMA中，，∴（SAS），∴，，∵，，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．方法2截長：如圖4，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵CF⊥AD，∴，在△CFH和△CFD中，∴（SAS），∴，∵，∴，在△BNC和△AED中，∴（AAS），∴，，∵，∴，∵，于，∴=∠BNG，在Rt△ABG和Rt△NBG中∴（HL），∴，∴．（3）在上截取，連接、，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，在△CDH和△CPH′中，∴（SAS），∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)PH′交AE與Q，點(diǎn)H′在射線PQ上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)H′運(yùn)動到點(diǎn)Q是AH′最短∵由（1）得：，，，∴，，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形性質(zhì)，30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，垂線段最短，掌握平行四邊形性質(zhì)，30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，垂線段最短是解題關(guān)鍵．24．（1）10；（2）