試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第四章三角形第17講全等三角形（思維導(dǎo)圖+3考點(diǎn)+4命題點(diǎn)19種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一全等三角形的概念及性質(zhì)考點(diǎn)二全等三角形的判定04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一全等三角形的性質(zhì)與判定?題型01利用全等三角形的性質(zhì)求解?題型02添加一個(gè)條件使兩個(gè)三角形全等?題型03結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題?題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查全等三角形的證明過程?題型05補(bǔ)全全等三角形的證明過程?題型06全等三角形證明方法的合理選擇?題型07利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題命題點(diǎn)二與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型?題型01平移模型?題型02對(duì)稱模型?題型03旋轉(zhuǎn)模型?題型04一線三等角?題型05手拉手模型命題點(diǎn)三添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等?題型01倍長(zhǎng)中線法?題型02截長(zhǎng)補(bǔ)短法?題型03構(gòu)造平行線?題型04構(gòu)造垂線命題點(diǎn)四全等三角形的應(yīng)用?題型01利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決高度測(cè)量問題?題型02利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決河寬測(cè)量問題?題型03利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問題

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求全等三角形的判定★★★理解全等三角形的概念，能識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角;掌握全等三角形的判定定理；探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.全等三角形的性質(zhì)與證明★★全等三角形的性質(zhì)與計(jì)算★★【考情分析】全等三角形的判定及性質(zhì)經(jīng)常與平移、旋轉(zhuǎn)等幾何變換相結(jié)合，綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力和分析幾何圖形的能力.此類題目通常是要利用全等三角形的性質(zhì)得到線段(或角)相等.解答時(shí)應(yīng)結(jié)合已知條件找到兩個(gè)全等三角形，甚至需要添加輔助線構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，試題常以解答題的形式出現(xiàn)，有一定難度.02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一全等三角形的概念及性質(zhì)一、全等三角形的概念及表示全等圖形的概念：能完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形.特征：①形狀相同.②大小相等.③對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.④周長(zhǎng)、面積相等.全等三角形的概念：能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.【補(bǔ)充】1）全等三角形是特殊的全等圖形，同樣的，判斷兩個(gè)三角形是否為全等三角形，主要看這兩個(gè)三角形的形狀和大小是否完全相同，與它們所處的位置無關(guān).2）形狀相同的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，面積相同的兩個(gè)圖形也不一定是全等圖形.全等三角形的表示：全等用符號(hào)“≌”，讀作“全等于”.【補(bǔ)充】書寫三角形全等時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對(duì)應(yīng)位置上.如△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，讀作△ABC全等于△DEF.全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換.常見的全等變換：平移變換、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換，即過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與原圖形是全等圖形.二、全等三角形的性質(zhì)性質(zhì)：1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等．3）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等（但周長(zhǎng)或面積相等的三角形不一定是全等三角形）.1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）已知如圖，△ABC≌△DCB，其中的：對(duì)應(yīng)邊與，與，與，對(duì)應(yīng)角：與，與，與．【答案】ABDCBCCBACDB∠A∠D∠ABC∠DCB∠ACB∠DBC【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上結(jié)合圖形解答．【詳解】解：△ABC≌△DCB，對(duì)應(yīng)邊：AB與DC，BC與CB，AC與DB；對(duì)應(yīng)角：∠A與∠D，∠ABC與∠DCB，∠ACB與∠DBC．故答案為：AB，DC；BC，CB；AC，DB；∠A，∠D；∠ABC，∠DCB；∠ACB，∠DBC．2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）下面四個(gè)幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖是全等圖形的幾何圖形是（

）A．圓柱 B．正方體 C．三棱柱 D．圓錐【答案】B【分析】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖及全等圖形的概念，熟練掌握常見幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．圓柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是圓形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．正方體的三視圖都是正方形，且大小一樣，即全等，故此選項(xiàng)符合題意；C．三棱柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．圓錐的主視圖和左視圖是三角形，俯視圖是帶圓心的圓，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°，則∠DCE的度數(shù)為（

）．A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ACB，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=60°,∠B=40°，∴∠ACB=180°?∠A?∠B=80°，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE=∠ACB=80°．故選C．4．（2020·山東淄博·中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川成都·中考真題）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC=8，CE=5，則

【答案】3【分析】利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：EF=BC=8，∴CF=EF?CE=8?5=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．考點(diǎn)二全等三角形的判定1）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；【易錯(cuò)】①只有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，才能判定兩個(gè)三角形全等，“邊邊角”不能判定三角形全等；例:②在書寫過程中，要按照邊角邊對(duì)應(yīng)順序書寫，即對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；4）角角邊定理：有兩角和它們所對(duì)的任意一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）；5）斜邊、直角邊：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．【總結(jié)】從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路.1．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌

A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．根據(jù)BE=CF求出BF=CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠B=∠C，∴當(dāng)∠A=∠D時(shí)，利用AAS可得△ABF≌當(dāng)∠AFB=∠DEC時(shí)，利用ASA可得△ABF≌當(dāng)AB=DC時(shí)，利用SAS可得△ABF≌當(dāng)AF=DE時(shí)，無法證明△ABF≌故選：D．2．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，只添加一個(gè)條件，能判定△AOC≌△BOD的是(

)

A．∠A=∠D B．AO=BO C．AC=BO D．AB=CD【答案】B【分析】根據(jù)題目給出的條件結(jié)合全等三角形的判定定理分別分析即可．【詳解】解：A、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；B、由AC∥BD可得∠A=∠B，∠C=∠D，可利用AAS證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)符合題意；C、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；D、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，只要量出A'A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等C．兩條直線被一組平行線所截，所的對(duì)應(yīng)線段成比例 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】A【分析】根據(jù)題意易證△AOB≌△A【詳解】解：O為AA'、∴OA=OA'，∵∠AOB=∠A∴在△AOB與△AOA=OA∴△AOB≌△A∴AB=A故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023·福建·中考真題）閱讀以下作圖步驟：①在OA和OB上分別截取OC,OD，使OC=OD；②分別以C,D為圓心，以大于12CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)③作射線OM，連接CM,DM，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（

）

A．∠1=∠2且CM=DM B．∠1=∠3且CM=DMC．∠1=∠2且OD=DM D．∠2=∠3且OD=DM【答案】A【分析】由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM，再結(jié)合DM=DM可得△COM≌△DOMSSS，由全等三角形的性質(zhì)可得∠1=∠2【詳解】解：由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM，∵DM=DM，∴△COM≌△DOMSSS∴∠1=∠2．∴A選項(xiàng)符合題意；不能確定OC=CM,則∠1=∠3不一定成立，故B選項(xiàng)不符合題意；不能確定OD=DM,故C選項(xiàng)不符合題意，OD∥CM不一定成立，則故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解尺規(guī)作圖過程是解答本題的關(guān)鍵．5．（2024·山東德州·中考真題）如圖，C是AB的中點(diǎn)，CD=BE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ACD≌△CBE．【答案】AD=CE或∠ACD=∠B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定定理，是解決問題的關(guān)鍵．要使△ACD≌△CBE，已知AC=BC，CD=BE，則可以添加一對(duì)邊AD=CE，從而利用SSS來判定其全等，或添加一對(duì)夾角∠ACD=∠B，從而利用SAS來判定其全等（填一個(gè)即可，答案不唯一）．【詳解】解：∵C是AB的中點(diǎn)，∴AC=BC，∵CD=BE，∴添加AD=CE或∠ACD=∠B，可分別根據(jù)SSS、SAS判定故答案為：AD=CE或∠ACD=∠B．6．（2024·云南·中考真題）如圖，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．求證：△ABC≌△AED．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．利用“SAS”證明△ABC≌△AED，即可解決問題．【詳解】證明：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，在△ABC和△AED中，AB=AE∠BAC=∠EAD∴△ABC≌△AEDSAS04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一全等三角形的性質(zhì)與判定?題型01利用全等三角形的性質(zhì)求解1．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（JCME?14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，則A．55 B．35 C．45【答案】C【分析】設(shè)EF=x，則AH=3x，根據(jù)全等三角形，正方形的性質(zhì)可得AE=4x，再根據(jù)勾股定理可得AB=5x，即可求出sin∠ABE【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)EF=x，則AH=3x，∵△ABE≌△DAH，四邊形EFGH為正方形，∴AH=BE=3x，EF=HE=x，∴AE=4x，∵∠AEB=90°，∴AB=A∴sin∠ABE=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)值的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,4，點(diǎn)D在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與△ABC全等，點(diǎn)D的坐標(biāo)是．【答案】1,4【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，三角形全等的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)D在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與△ABC全等，畫出圖形，結(jié)合圖形的對(duì)稱性可直接得出D1,4【詳解】解：∵點(diǎn)D在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與△ABC全等，∴AD=BC，AC=BD，∴可畫圖形如下，由圖可知點(diǎn)C、D關(guān)于線段AB的垂直平分線x=2對(duì)稱，則D1,4故答案為：1,4．3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，則∠DCE的度數(shù)為．【答案】100°/100度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出∠CED=∠ACB=45°，再利用三角形內(nèi)角和求出∠DCE的度數(shù)即可．【詳解】解：由△ABC≌△CDE，∠D=35°，∴∠CED=∠ACB=45°，∵∠D=35°，∴∠DCE=180°?∠D?∠CED=180°?35°?45°=100°，故答案為：100°4．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均為格點(diǎn)，△ABC≌△CDE，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，則下列結(jié)論中正確的是（選填序號(hào)）．①∠BAC=∠ECD；②∠BAC+∠CED=90°；③AC⊥EC；④AC=CD．【答案】①②③【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，由△ABC≌△CDE，可得∠BAC=∠ECD，∠ACB=∠CED，AC=CE，而∠ABC=90°=∠CDE，可得∠BAC+∠ACB=90°，可得∠BAC+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，從而可得答案．【詳解】解：∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC=∠ECD，∠ACB=∠CED，AC=CE，故①符合題意，④不符合題意；∵∠ABC=90°=∠CDE，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BAC+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，故②符合題意；∴∠ACE=180°?90°=90°，∴AC⊥EC，故③符合題意；故答案為：①②③．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02添加一個(gè)條件使兩個(gè)三角形全等1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，CF∥AB，D、E、F三點(diǎn)共線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得【答案】DE=EF或AD=CF（答案不唯一）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．【詳解】解：∵CF∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，∴添加條件DE=EF，可以使得△ADE≌△CFEAAS添加條件AD=CF，也可以使得△ADE≌△CFEASA∴AE=CE；故答案為：DE=EF或AD=CF（答案不唯一）．2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知AB=CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BD上，且AF=CE．請(qǐng)從①BF=DE；②∠BAF=∠DCE；③AF=CF中．選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使得△ABF≌△CDE．你添加的條件是：__________（只填寫一個(gè)序號(hào)）．添加條件后，請(qǐng)證明AE∥CF．【答案】①（或②）【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)并靈活運(yùn)用．利用全等三角形的判定定理進(jìn)行分析，選取合適的條件進(jìn)行求解，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行線的判定證明即可．【詳解】解：可選取①或②（只選一個(gè)即可），證明：當(dāng)選?、贂r(shí)，在△ABF與△CDE中，AB=CDAF=CE∴△ABF≌△CDE(SSS∴∠B=∠D，∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，∴BE=DF，在△ABE與△CDF中，AB=CD∠B=∠D∴△ABE≌△CDF(SAS∴∠AEB=∠CFD，∴AE∥CF；證明：當(dāng)選取②時(shí)，在△ABF與△CDE中，AB=CD∠BAF=∠DCE∴△ABF≌△CDE(SAS∴∠B=∠D，BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，∴BE=DF，在△ABE與△CDF中，AB=CD∠B=∠D∴△ABE≌△CDF(SAS∴∠AEB=∠CFD，∴AE∥CF；故答案為：①（或②）3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，AE∥BF，若________，則AB=CD．請(qǐng)從①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），使結(jié)論成立，并說明理由．【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出AC=BD，結(jié)合圖形即可證明；②得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出△AEC≌△BFD(SAS【詳解】解：選擇①CE∥DF；∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，∵AE=BF，∴△AEC≌△BFD(AAS∴AC=BD，∴AC?BC=BD?BC，即AB=CD；選擇②CE=DF；無法證明△AEC≌△BFD，無法得出AB=CD；選擇③∠E=∠F；∵AE∥∴∠A=∠FBD，∵AE=BF，∠E=∠F，∴△AEC≌△BFD(A∴AC=BD，∴AC?BC=BD?BC，即AB=CD；故答案為：①或③（答案不唯一）4．（2024·廣東陽(yáng)江·一模）問題情境：在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了如圖所示的圖形及下面三個(gè)等式：①AB=AC，②DB=DC，③∠BAD=∠CAD，若以其中兩個(gè)等式作為已知條件，能否得到余下一個(gè)等式成立？解決方案：探究△ABD與△ACD全等．問題解決：(1)當(dāng)選擇①②作為已知條件時(shí)，△ABD與△ACD全等嗎？_________（填“全等”或“不全等”），依據(jù)是_________；(2)當(dāng)選擇_________兩個(gè)等式作為已知條件時(shí)，不能說明△ABD≌△ACD，但補(bǔ)充一個(gè)條件例如_________也可以證明△ABD≌△ACD，請(qǐng)寫出過程．【答案】(1)全等；SSS(2)當(dāng)選擇②③作為已知條件時(shí)，不能說明△ABD≌△ACD，補(bǔ)充條件∠B=∠C，證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定：（1）利用SSS即可證明△ABD≌△ACD；（2）當(dāng)選擇①③作為已知條件時(shí)，可以利用SAS證明△ABD≌△ACD；當(dāng)選擇②③作已知條件時(shí)，不能說明△ABD≌△ACD，據(jù)此根據(jù)全等三角形的判定定理補(bǔ)充條件證明即可．【詳解】（1）解：當(dāng)選擇①②作為已知條件時(shí)，在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=AD∴△ABD≌△ACDSSS故答案為：全等；SSS；（2）解；當(dāng)選擇①③作為已知條件時(shí)，可以利用SAS證明△ABD≌△ACD；當(dāng)選擇②③作為已知條件時(shí)，不能說明△ABD≌△ACD，補(bǔ)充條件∠B=∠C，證明如下：在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CADDB=DC∴△ABD≌△ACDAAS?題型03結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題1．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對(duì)三個(gè)圖形的作法進(jìn)行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分∠BAC；在圖③中，利用作法得AE=AF，AM=AN，

可證明△AFM≌△AEN，有∠AMD=∠AND，可得ME=NF，進(jìn)一步證明△MDE≌△NDF，得DM=DN，繼而可證明△ADM≌△ADN，得∠MAD=∠NAD，得到AD是∠BAC的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則AD為【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分∠BAC；在圖③中，利用作法得AE=AF，

在△AFM和△AEN中，AE=AF∠BAC=∠BAC∴△AFM≌△AENSAS∴∠AMD=∠AND，∵AM?AE=AN?AF∴ME=NF在△MDE和△NDF中∠AMD=∠AND∠MDE=∠NDF∴△MDE≌△NDFAAS∴DM=DN，∵AD=AD,AM=AN，∴△ADM≌△ADNSSS∴∠MAD=∠NAD，∴AD是∠BAC的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則AD為BC邊上的中線．則①③可得出射線AD平分∠BAC．故選：B．2．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A．∠BDE=∠BAC B．∠BAD=∠B【答案】B【分析】本題考查了作角平分線和角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，AD是∠BAC的角平分線，AB⊥DE，依據(jù)角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，AD是∠BAC的角平分線，AB⊥DE，∴DE=DC，∠BDE=90°?∠B，故C項(xiàng)正確，不符合題意，∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=90°?∠B，∴∠BDE=∠BAC，故A項(xiàng)正確，不符合題意，在Rt△ADE和RtAD=AD∴Rt∴AE=AC，故D項(xiàng)正確，不符合題意，根據(jù)已知條件無法得得出∠BAD=∠B故選：B3．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，線段AC、BD相交于點(diǎn)O．且AB∥CD，AE⊥BD于點(diǎn)(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)C作BD的垂線，垂足為點(diǎn)F、連接AF、CE；（不寫作法，保留作圖痕跡，并標(biāo)明相應(yīng)的字母）(2)若AB=CD，請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此問）【答案】(1)見解析(2)四邊形AECF是平行四邊形，理由見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線的尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定：（1）先根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作出點(diǎn)F，再連接AF、CE即可；（2）先證明△ABO≌△CDOASA，得到OA=OC，再證明AE∥CF，∠AEO=∠CFO=90°，進(jìn)而證明△AOE≌△COFAAS，得到【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：四邊形AECF是平行四邊形，理由如下：∵AB∥∴∠B=∠D，又∵AB=CD，∴△ABO≌△CDOASA∴OA=OC，∵AE⊥BD，∴AE∥CF，又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COFAAS∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．4．（2023·河南·中考真題）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=AB．

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)若（1）中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，連接DE．求證：DE=BE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）證明△BAE≌△DAESAS【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

（2）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAE，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAESAS∴DE=BE．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的作圖、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線的作圖和全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查全等三角形的證明過程1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB=OC．求證：∠1=∠2．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．∵∠DOB=∠EOC，∴∠B=∠C．第一步又OA=OA，OB=OC，∴△ABO≌∴∠1=∠2第三步

(1)小虎同學(xué)的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)寫出正確的證明過程．【答案】(1)二(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明過程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．【詳解】（1）解：則小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：二．（2）證明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BDC=∠CEB=90°，在△DOB和△EOC中，∠BDO=∠CEO∠DOB=∠EOC∴△DOB?△EOC(AAS∴OD=OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，OA=OAOD=OE∴Rt△ADO?Rt△AEO(HL∴∠1=∠2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·貴州遵義·三模）如圖，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，BD=CE，AB=AC，BE，求證：∠B=∠C．小剛同學(xué)的證明過程如下：證明：在△ABE和△ACD中，AB=ACBD=CE∴△ABE≌△ACD…第二步∴∠B=∠C…第三步(1)小剛同學(xué)的證明過程中，第______步出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)寫出正確的證明過程．【答案】(1)一；(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可得出答案；（2）先證明AD=AE，再由SAS證明△ABE≌△ACD，即可得證．【詳解】（1）解：由題意得：小剛同學(xué)的證明過程中，第一步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）證明：∵BD=CE，AB=AC，∴AB?BD=AC?CE，∴AD=AE在△ABE和△ACD中，AB=AC∠A=∠A∴△ABE≌△ACDSAS∴∠B=∠C．3．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）如圖，AB∥DE,AB=DE，點(diǎn)C,F在AD上，AF=DC．求證：∠B=∠E．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，

第一步在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEFSAS，

∴∠B=∠E．

第三步任務(wù)一：①以上證明過程中，第一步依據(jù)的定理是：______；②從第______步出現(xiàn)錯(cuò)誤；具體錯(cuò)誤是______；任務(wù)二：請(qǐng)寫出正確的證明過程．【答案】任務(wù)一：①兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；②二，對(duì)應(yīng)邊相等應(yīng)為AC=DF；任務(wù)二：見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，SAS證明兩三角形全等即可求解．【詳解】任務(wù)一：①以上證明過程中，第一步依據(jù)的定理是：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；②從第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤；具體錯(cuò)誤是對(duì)應(yīng)邊相等應(yīng)為AC=DF任務(wù)二：∵AB∥∴∠A=∠D，

∵AF=DC∴AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEFSAS，∴∠B=∠E．4．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一射線OC上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊OA、OB上的點(diǎn)，連接PM，PN且PM=PN，∠求證：OC是∠AOB小星的解答如下：證明：在△POM和△PON中，∵PM=PN，∠PMO=∠PNO∴△POM≌△PON……第一步∴∠POM=∴OC是∠AOB(1)小星的解答從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的證明過程．【答案】(1)一(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB于點(diǎn)D，E，根據(jù)AAS證明△PMD≌△PNE，即可得到PD=PE，然后根據(jù)角平分線的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）小星的解答從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：一；（2）證明：過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB于點(diǎn)D，E，∴∠PDM=∵∠PMO=∴∠PDM=又∵PM=PN，，∴△PMD≌△PNE(AAS∴PD=PE，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOBQUOTE?題型05補(bǔ)全全等三角形的證明過程1．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，連接BM并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)D，連接CD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴①______．又∵∠4=∠5，MA=MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD=MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（

）A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASAC．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠ABC=∠3，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義可得∠2=∠3，證明△MAD≌△MCB，得到MD=MB，再結(jié)合中點(diǎn)的定義得出MA=MC，即可得證．解題的關(guān)鍵是掌握：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴①∠2=∠3．又∵∠4=∠5，MA=MC，∴△MAD≌△MCB（②ASA）．∴MD=MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．故選：D．2．（2021·廣西柳州·中考真題）如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B，連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CD=CA，連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=CB，連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)就是A、B的距離，為什么？請(qǐng)結(jié)合解題過程，完成本題的證明．證明：在△DEC和△ABC中，CD=_______∴△DEC≌△ABC∴____________【答案】CA，∠DCE=∠ACB，AB，ED=AB【分析】根據(jù)證明步驟填寫缺少的部分，從證明三角形全等的過程分析，利用了“邊角邊”，缺少角相等，填上一對(duì)對(duì)頂角，最后證明結(jié)論，依題意是要證明ED=AB．【詳解】證明：在△DEC和△ABCCD=CA∴△DEC≌△ABCSAS∴ED=AB【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的證明過程，“邊角邊”兩邊夾角證明三角形全等，熟悉三角形全等的證明方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·重慶潼南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，連接AE．(1)尺規(guī)作圖：在正方形內(nèi)部作∠ADF，使∠ADF=∠BAE，邊DF交線段AE于點(diǎn)G，交AB邊于點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)要探究AE，DF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)將下列過程補(bǔ)充完整．解：AB=DE，AE⊥DF，理由如下．∵四邊形ABCD是正方形，∴①，∠DAF=∠B=90°，在△DAF和△ABE中∠DAF=∠B∴△DAF≌△ABE，∴③∠BAE+∠DAG=90°，∠BAE=∠ADF，∴④∠AGD=90°∴⑤，∴AE=DF，AE⊥DF．【答案】(1)圖見解析；(2)見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角即可畫出圖形；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行填空即可．【詳解】（1）解：圖形如圖所示：（2）AB=DE，AE⊥DF，理由如下．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠B=90°，在△DAF和△ABE中∠DAF=∠BDA=AB∴△DAF≌△ABE(ASA∴DF=AE，∠BAE+∠DAG=90°，∠BAE=∠ADF，∴∠ADF+∠DAG=90°，即∠AGD=90°，∴AE⊥DF，∴AE=DF，AE⊥DF．故答案為：AD=AB；∠ADF=∠EAB；AB=DE；AE⊥DF．4．（2024·重慶九龍坡·模擬預(yù)測(cè)）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)等相關(guān)知識(shí)后，小李同學(xué)進(jìn)行了一次拓展性研究．他發(fā)現(xiàn)，若一個(gè)四邊形有一組對(duì)角均為90°且這組對(duì)角中有一個(gè)直角的兩邊相等，則連接這組對(duì)角的頂點(diǎn)，此對(duì)角線平分另一個(gè)直角．他的解決思路是通過作一個(gè)角等于已知角等知識(shí)證明兩個(gè)三角形全等得出的結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：(1)用直尺和圓規(guī)作圖：如圖，以AD為邊在四邊形ABCD外部作∠DAE=∠BAC，AC=AE，連接DE．（保留作圖痕跡）(2)已知：如圖，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AC=AE，∠BAC=∠DAE．求證：∠ACB=∠ACD．證明：∵∠BAD=∠BCD=90°∴∠ABC+=180°，∵AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADE∴∠ACB=∠AED，∠ABC=∴∠ADC=180°∴點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)共線．又AC=AE，∴∠ACD=∠AED=∠ACB．即∠ACB=∠ACD．小李再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，線段CD，DE，AE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，直接寫出CD，DE，AE三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)∠ADC，∠ADE，∠ADE+；CD+DE=【分析】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖，等腰直角三角形，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．（1）根據(jù)作圖方法作圖即可；（2）結(jié)合（1）即可完成填空；然后證明△ACE是等腰直角三角形，即可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，∠DAE，DE即為所求；（2）證明：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADESAS∴∠ACB=∠AED，∠ABC=∠ADE，∴∠ADE+∠ADC=180°，∴點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)共線，又AC=AE，∴∠ACD=∠AED=∠ACB，即∠ACB=∠ACD．故答案為：∠ADC，∠ADE，∠ADE+；研究發(fā)現(xiàn)：CD+DE=2∵∠BAD=90°=∠BAC+∠DAC，∠BAC=∠DAE，∴∠DAE+∠DAC=∠CAE=90°，∵AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=2∴CD+DE=2故答案為：CD+DE=2?題型06全等三角形證明方法的合理選擇全等三角形的判定法方法：【易錯(cuò)點(diǎn)】1）若△ABC≌ΔDEF，則前后對(duì)應(yīng)關(guān)系確定；若△ABC與△DEF全等，則前后對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定.2）在全等三角形判定中，有兩種不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA.1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，AF=CE．(1)求證：△ABE≌(2)連接EF．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形ABEF是平行四邊形．（不需要說明理由）【答案】(1)見解析(2)添加AF=BE（答案不唯一）【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定；（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，∠B=∠D，結(jié)合已知條件可得DF=BE，即可證明△ABE≌（2）添加AF=BE，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∵AF=CE，∴AD?AF=BC?CE即DF=BE，在△ABE與△CDF中，AB=CD∠B=∠D∴△ABE≌（2）添加AF=BE（答案不唯一）如圖所示，連接EF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，即當(dāng)AF=BE時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形．2．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AD上，且AM∥CN，對(duì)角線BD分別交AM，CN于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證BE=DF【答案】見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接AC交BD于O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO=OC，BO=DO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE=OF，于是得到結(jié)論．【詳解】證明：連接AC交BD于O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，BO=DO，∵AM∥CN，∴∠EAC=在△AEO與△CFO中，∠EAC=∠FCOAO=CO∴△AOE≌△COF(ASA∴OE=OF，∴BO?OE=OD?OF，∴BE=DF．3．（2022·貴州遵義·中考真題）將正方形ABCD和菱形EFGH按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)D與頂點(diǎn)H重合，菱形EFGH的對(duì)角線HF經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)E，G分別在AB，BC上．(1)求證：△ADE≌△CDG；(2)若AE=BE=2，求BF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)可得AD=CD,∠A=∠C=90°,DE=DG，根據(jù)HL即可得證；（2）連接EG交DF于點(diǎn)O，勾股定理求得EG=22，ED，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得EF=25，進(jìn)而求得正方形和菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)度，根據(jù)【詳解】（1）證明：∵正方形ABCD和菱形EFGH，∴AD=CD,∠A=∠C=90°,DE=DG，在Rt△ADE與RtAD=CD∴Rt△ADE≌Rt△CDG（（2）如圖，連接EG交DF于點(diǎn)O，∵AE=BE=2，即AB=4，∴CG=AE=2,BG=CB?CG=2，在Rt△EBG∴EG=E∴EO=2在Rt△ADE中，AD=2AE=4,AE=2∴EF=DE=A在Rt△OEF中，OF=∴DF=2OF=62∵DB=2∴BF=DF?DB=22【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，HL，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠DCB的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是AE和CF的中點(diǎn)．

(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)連接EF．若EF=AF，請(qǐng)判斷四邊形GEHF的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)矩形，證明見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，證出∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，由ASA證明（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，證出AE∥CF，由已知得出GE∥FH，【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∴∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，∵∠BAD和∠DCB的平分線AE、CF分別交BC、AD于點(diǎn)E、F，∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD∴∠BAE=∠DCF，在△BAE和△DCF中，∠B=∠DAB=CD∴△BAE≌（2）證明：∵△BAE≌∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEB=∠BCF，∴AE∥∵點(diǎn)G、H分別為AE、CF的中點(diǎn)，∴GE∥FH，∴四邊形FGEH是平行四邊形∵EF=AF，G為AE的中點(diǎn)，∴GF⊥AE，∴四邊形FGEH是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E在△ABC的邊AC上，AE=BC，BC∥AD，(1)求證：△ABC≌(2)若∠CAD=28°，求∠BCD的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)104°【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．(1)由BC∥AD，可得∠ACB=∠DAE，進(jìn)而可證△ABC≌(2)由(1)知△ABC≌△DEAAAS，則AC=AD，∠ACB=∠CAD=30°，∠ACD=∠ADC=【詳解】（1）證明：∵BC∥AD，∴∠ACB=∠DAE，在△ABC和△DEA中，∠ACB=∠DAE∴△ABC≌（2）解：由(1)得△ABC≌∴AC=AD，∠ACB=∠CAD=28°，∴∠ACD=∠ADC=180°?∠CAD∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=76°+28°=104°．?題型07利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題1．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，以△ABC的邊AB、AC為腰分別向外作等腰直角△ABE、△ACD，連結(jié)ED、BD、EC，過點(diǎn)A的直線l分別交線段DF、BC于點(diǎn)M、N，以下說法：①當(dāng)AB=AC=BC時(shí)，∠AED=30°；②EC=BD；③若AB=3，AC=4，BC=6，則DE=23；④當(dāng)直線l⊥BC時(shí)，點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)．正確的有

【答案】①②④【分析】①當(dāng)AB=AC=BC時(shí)，△ABC是等邊三角形，根據(jù)等角對(duì)等邊，以及三角形的內(nèi)角和定理即可得出∠AED=∠ADE=12180°?120°=30°，進(jìn)而判斷①；證明△BAD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷②；作直線MN⊥BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DG⊥MN于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥MN于點(diǎn)H，證明△ACN≌△DAG，△ABN≌△EAH，△EHM≌△DGM(AAS)，即可得M是ED的中點(diǎn)，故④正確，證明Rt△MEH≌Rt△MDGHL，可得MG=MH，在Rt△ABN中，【詳解】解：①當(dāng)AB=AC=BC時(shí)，△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠EAD=360°?90°?90°?60°=120°∵等腰直角△ABE、△ACD，∴BA=BE,BA=AD∴AE=AD∴∠AED=∠ADE=1②∵等腰直角△ABE、△ACD，∴AB=AE,AD=AC，∠BAE=∠DAC=90°∴∠BAD=∠EAC∴△BAD≌△EAC∴EC=BD；故②正確；④如圖所示，作直線MN⊥BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DG⊥MN于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥MN于點(diǎn)H，

∵∠BAE=90°，MN⊥BC∴∠ABN+∠BAN=90°，又∠EAM+∠BAN=90°，∴∠EAM=∠ABN又∵EA=AB，∴△EAH≌△ABNAAS同理得，△ACN≌△DAG，∴GD=AN，AG=CN，EH=AN,AH=BN，∵∠EMH=∠DMG，∠EHM=∠DGM=90°，，∴△EHM≌△DGM(AAS)∴EM=DM，即M是ED的中點(diǎn)，故④正確，∴MG=MH，設(shè)BN=a，則CN=BC?BN=6?a在Rt△ABN中，在Rt△ANC中，∴A∴3解得：a=∴AG=CN=6?29∴AN=A∴GH=AG?AH=AN?BN=6?2a=6?2×∴MG=在Rt△MGD中，∴ED=2MD=14故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，CA=CB，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EM．則下列結(jié)論中：①BF=CE；②∠AEM=∠DEM；③AE?CE=2ME；④DE2+DF2=2DM2；⑤若【答案】①②③④⑤⑥【分析】證明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判斷①；再證明△BFM≌△CEM，從而判斷△EMF為等腰直角三角形，得到EF=2EM，可判斷③，同時(shí)得到∠MEF=∠MFE=45°，可判斷②；再證明△DFM≌△NEM，得到△DMN為等腰直角三角形，得到DN=2DM，可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步推斷出DE=EM，再證明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，則有EFBF=EF【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF=CE，故①正確；由全等可得：AE=CF，BF=CE，∴AE-CE=CF=CE=EF，連接FM，CM，∵點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，∴CM=12在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，∴△BFM≌△CEM，∴FM=EM，∠BMF=∠CME，∵∠BMC=90°，∴∠EMF=90°，即△EMF為等腰直角三角形，∴EF=2EM=AE?CE，故③正確，∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正確，設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N，連接DN，∵∠DMF=∠NME，F(xiàn)M=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，∴△DFM≌△NEM，∴DF=EN，DM=MN，∴△DMN為等腰直角三角形，∴DN=2DM，而∠DEA=90°，∴DE∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，∵∠DEM=45°，∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，∴△ADE≌△ACE，∴DE=CE，∵△MEF為等腰直角三角形，∴EF=2EM∴EFBF∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，∴△CDM∽ADE，∴CDAD∵BM=CM，AE=CF，∴BMCF∴CF?DM=BM?DE，故⑥正確；故答案為：①②③④⑤⑥.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等量代換，難度較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，找到全等三角形說明角相等和線段相等.3．（2024·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△DAC、△ECB都是等邊三角形，AE、DC交于點(diǎn)M，DB、EC交于點(diǎn)N，DB、AE交于點(diǎn)P，連結(jié)MN，給出下面四個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N∥AB；②∠DPM=60°；③∠AEB=90°【答案】①②④【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由等邊三角形的性質(zhì)推出△ACE≌△DCBSAS，△ACM≌△DCNASA，判定由SAS判定△ACE≌△DCB，推出∠CAM=∠MDP，由對(duì)頂角的性質(zhì)得到∠PMD=∠CMA，由三角形內(nèi)角和定理得到∠DPM=∠ACM=60°，由ASA判定△ACM≌△DCN，推出CM=CN，而∠MCN=180°?60°?60°=60°，得到△MNC是等邊三角形，因此∠CMN=60°，得到∠CMN=∠ACD，推出MN∥AB，∠AEB在變化，∠AEB不一定是【詳解】解：∵△DAC、△ECB都是等邊三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCBSAS∴∠CAM=∠MDP，∵∠PMD=∠CMA，∴∠DPM=∠ACM=60°，故②符合題意；∵∠CAM=∠CDN，AC=CD，∠ACM=60°=∠DCN=180°?60°?60°=60°，∴△ACM≌△DCNASA故④符合題意；∵△ACM≌△DCNASA∴CM=CN，∵∠MCN=180°?60°?60°=60°，∴△MNC是等邊三角形，∴∠CMN=60°，∴∠CMN=∠ACD，∴MN∥故①符合題意；∵C在AB上的位置在變化，∴∠AEB在變化，∠AEB不一定是90°，故③不符合題意．∴正確的是①②④．故答案為：①②④．4．（2023·山東濟(jì)南·三模）如圖，現(xiàn)有邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A點(diǎn)D重合）將正方形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，連結(jié)BP、BH，下列結(jié)論：①BP=EF；②當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，△PAE三邊之比為3:4:5；③∠APB=∠BPH；④△PDH周長(zhǎng)等于8．其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②③④【分析】過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，易得MF=BC=AB，由折疊可知EF⊥BP，于是利用同角的余角相等可得∠MEF=∠APB，以此可通過AAS證明△ABP≌△MFE，即可判斷①；由折疊可知BP=PE，設(shè)BP=PE=x，則AE=4?x，在Rt△PAE中，利用勾股定理建立方程，求解即可判斷②；利用等角的余角相等即可判斷③；過點(diǎn)B作BN⊥PH于點(diǎn)N，易通過AAS證明△ABP≌△NBP，得到AB=BN，AP=PN，以此再通過HL證明Rt【詳解】如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A=∠ABC=90°，AB=BC，∵FM⊥AB，四邊形MBCF為矩形，∴MF=BC=AB，∠FME=90°，由折疊可知，EF⊥BP，∴∠PBE+∠BEF=90°，∵∠PBE+∠APB=90°，∴∠BEF=∠APB，即∠MEF=∠APB，在△ABP和△MFE中，∠APB=∠MEF∠BAP=∠FME∴△ABP≌∴BP=EF，故①正確；由折疊可知，BP=PE，設(shè)BE=PE=x，則AE=4?x，∵P為AD中點(diǎn)，∴AP=2，在Rt△PAE中，A∴2解得x=5∴AE=4?x=32，∴AE:AP:PE=3即△PAE三邊之比為3:4:5，故②正確；由折疊可知，BE=PE，∠EBC=∠EPG=90°，∴∠PBE=∠BPE，∠BPE+∠BPH=90°，∵∠PBE+∠APB=90°，∴∠APB=∠BPH，故③正確；如圖，過點(diǎn)B作BN⊥PH于點(diǎn)N，∴∠BAP=∠BNP=90°，在△ABP和△NBP中，∠BAP=∠BNP∠APB=∠NPB∴△ABP≌∴AB=BN，AP=PN，∴BC=BN，在Rt△BNH和RtBN=BCBH=BH∴Rt∴NH=CH，∴C故④正確．綜上，正確的結(jié)論有①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，正確作出輔助線，構(gòu)建合適的全等三角形是解題關(guān)鍵．5．（2023·湖北·中考真題）如圖，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE>AE，連接DF交AE于點(diǎn)G,DE交AB于點(diǎn)H，連接CF．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】由題意易得AB=AC,∠ABC=45°=∠DBE，AE=EF，DE=BE，∠DEB=∠AEF=∠BAC=90°，則可證△AEB≌△FEDSAS【詳解】解：∵△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∴AB=AC,∠ABC=45°=∠DBE，AE=EF，DE=BE，∠DEB=∠AEF=∠BAC=90°，∵∠DBA=∠DBE?∠ABE,∠EBC=∠ABC?∠ABE，∠AEB=∠AED+∠DEB,∠FED=∠AEF+∠AED，∴∠DBA=∠EBC,∠AEB=∠FED，故①正確；∴△AEB≌△FEDSAS∴AB=DF=AC,∠ABE=∠FDE，∠BAE=∠DFE，故③正確；∵∠ABE+∠BHE=90°,∠EFD+∠EGF=90°，∠BAE+∠EAC=90°，BE>AE，∴∠BHE≠∠EGF，∠EGF=∠EAC；故②錯(cuò)誤；∴DF∥AC，∵DF=AC，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∴AD=CF，故④正確；故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)二與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型?題型01平移模型1．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，AD=BE，AC=DF，BC=EF(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)80°【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練地掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.（1）先證明AB=DE，再結(jié)合已知條件可得結(jié)論；（2）證明∠A=∠FDE=55°，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵AD=BE∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE∵AC=DF，BC=EF∴△ABC≌△DEF（2）∵△ABC≌△DEF，∠A=55°，∴∠A=∠FDE=55°，∵∠E=45°，∴∠F=2．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個(gè)條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號(hào)）______（只需選一個(gè)條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【答案】(1)①，SSS(2)見解析【分析】(1)根據(jù)SSS即可證明△ABC≌?DEF，即可解決問題；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得可得∠A=∠EDF，再根據(jù)平行線的判定即可解決問題．【詳解】（1）解：在△ABC和△DEF中，AC=DFAB=DE∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三個(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF，選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS．（注意：只需選一個(gè)條件，多選不得分）故答案為：①，SSS；（2）證明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，和判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．?題型02對(duì)稱模型1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB．

(1)求證：△ABC≌△BAD；(2)若∠DAB=70°，則∠CAB=__________°．【答案】(1)答案見解析(2)20【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用AAS即可證得△ABC≌△BAD；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DBA的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出∠CAB的度數(shù)．【詳解】（1）證明：在△ABC和△BAD中，∠C=∠D=90°∠CBA=DAB∴△ABC≌△BAD(AAS（2）解：∵∠DAB=70°，∠D=90°，∴∠DBA=90°?70°=20°，由（1）知△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA=20°，故答案為：20．2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，分別以B，C為圓心，大于12BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接BD，CD，AD，AD與BC交于點(diǎn)(1)求證：△ABD≌△ACD；(2)若BD=2，∠BDC=120°，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)BC=2【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）直接利用SSS證明△ABD≌△ACD即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)可求出∠BDA=∠CDA=60°，利用三線合一性質(zhì)得出DA⊥BC，BE=CE，在Rt△BDE中，利用正弦定義求出BE【詳解】（1）證明：由作圖知：BD=CD．在△ABD和△ACD中，∵∴△ABD≌△ACD．（2）解：∵△ABD≌△ACD，∠BDC=120°，∴∠BDA=∠CDA=60°．又∵BD=CD，∴DA⊥BC，BE=CE．∵BD=2，∴BE=BD?sin∴BC=2BE=233．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）感悟如圖1，在△ABE中，點(diǎn)C，D在邊BE上，AB=AE，BC=DE．求證：∠BAC=∠EAD．應(yīng)用（1）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線BC上取點(diǎn)D，點(diǎn)E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點(diǎn)D，在直線BC上取一點(diǎn)E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖：證明△ABC≌△AED，即可求得∠BAC=∠EAD；應(yīng)用（1）：以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線BC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)E，以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線BC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)D，連接AD，AE；應(yīng)用（2）：以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作弧，交AC的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作弧，交直線BC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)E，連接DE．【詳解】感悟：∵AB=AE，∴∠B=∠E．在△ABC和△AED中AB=AE∴△ABC≌△AED．∴∠BAC=∠EAD．應(yīng)用：（1）：以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線BC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)E，以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線BC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)D，連接AD，AE，圖形如圖所示．（2）：以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作弧，交AC的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作弧，交直線BC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)E，連接DE，圖形如圖所示．根據(jù)作圖可得：CD=AC，CE=BC，又∠ACB=∠DCE，∴△ACB≌△DCE，∴∠CDE=∠BAC，DE=AB.4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，△ABC和△DEF，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線BC上，AB=DF，∠A=∠D，∠B=∠F．如圖①，易證：BC+BE=BF．請(qǐng)解答下列問題：(1)如圖②，如圖③，請(qǐng)猜想BC，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出猜想結(jié)論；(2)請(qǐng)選擇（1）中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明；(3)若AB=6，CE=2，∠F=60°，S△ABC=123，則BC=【答案】(1)圖②：BC+BE=BF；圖③：BE?BC=BF(2)證明見解析(3)8，14或18【分析】（1）先判斷兩個(gè)三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；（2）先證兩個(gè)三角形全等，再結(jié)合線段的和差求解即可；（3）過點(diǎn)A作△ABC的高AG，求出AG的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BF即可．【詳解】（1）解：圖②：BC+BE=BF．圖③：BE?BC=BF．（2）解：圖②中在△ABC和△DFE中，∵{AB=DF∴△ABC≌△DFE，∴BC=FE，∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC，即BC+BE=BF．或圖③中，BE?BC=BF在△ABC和△DFE中，∵{AB=DF∴△ABC≌△DFE，∴BC=FE，∵BE=BF+EF，∴BE?BC=BF+EF?BC=BF+BC?BC=BF即BE?BC=BF．（3）解：過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，∵△ABC≌△DFE，∴∠B=∠F=60°，在Rt△ABG中，∵AB=6，∠B=60°，∴AG=AB·sinB=6×sin60°=33又S∴1∴BC=8，又∵CE=2，∴BF=BC+BE=8+8-2=14，或BF=BC+BE=8+8+2=18，故答案為：8，14或18．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的和差，三角形的面積，解直角三角形，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形找到線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．QUOTE?題型03旋轉(zhuǎn)模型1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，點(diǎn)O是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求證：△ODE≌(2)當(dāng)EF⊥BD時(shí)，DE=15cm，分別連接BE，DF，求此時(shí)四邊形BEDF【答案】(1)見解析(2)60【分析】本題主要考查了平行四邊形和菱形．熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．（1）由題目中的?ABCD中，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，可以得出OD=OB，∠OED=∠OFB，結(jié)合∠DOE=∠BOF，可以證得兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）由（1）中得到的結(jié)論可以得到DE=BF，結(jié)合DE∥BF得出四邊形BEDF是平行四邊形，進(jìn)而利用EF⊥BD證明出四邊形BEDF為菱形，根據(jù)DE=15cm【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，∴∠OED=∠OFB，∵點(diǎn)O是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴OD=OB，在△△ODE和△OBF中，∠OED=∠OFB∠DOE=∠BOF∴△ODE≌（2）由（1）知，△ODE≌∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴?BEDF是菱形，∴DF=BF=BE=DE=15cm∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60cm∴四邊形BEDF的周長(zhǎng)為60cm2．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在△ABC和△ADE中，延長(zhǎng)BC交DE于F，BC=DE,AC=AE，∠ACF+∠AED=180°．求證：AB=AD．

【答案】證明見解析【分析】由∠ACF+∠AED=180°，∠ACF+∠ACB=180°，可得∠ACB=∠AED，證明△ABC≌△ADESAS【詳解】證明：∵∠ACF+∠AED=180°，∠ACF+∠ACB=180°，∴∠ACB=∠AED，∵BC=DE，∠ACB=∠AED，AC=AE，∴△ABC≌△ADESAS∴AB=AD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，D是BC邊上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE，其中∠DAE=90°，連接CE．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)若∠BAD=22.5°時(shí)，求BD的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DAE=90°,AD=AE，進(jìn)而證明∠BAD=∠CAE，即可根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACE；（2）勾股定理求得BC=2根據(jù)已知條件證明△ADC是等腰三角形可得AC=DC，進(jìn)而根據(jù)BD=BC?CD【詳解】（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE=90°,AD=AE，∵∠BAC=90°，∴∠BAD=90°?∠DAC=∠CAE，在△ABD與△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE，（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=A∵∠BAC=90°,∠BAD=22.5°,∴∠DAC=90°?∠BAD=67.5°,∵AB=AC,∴∠ACD=1∴∠ADC=180°?∠ACD?∠DAC=67.5,∴∠ADC=∠ACD，∴AC=DC=1,∴BD=BC?DC=2【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在CD、BC上，且∠MAN=45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△AEB，連接AM、AN、MN．(1)求證：△AEB≌△ADM．(2)如圖，已知△ADM旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，如果正方形的邊長(zhǎng)是4，求△CNM的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到AE=AM，AB=AD，BE=DM，即可得到△AEB≌△ADM；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到DM=BE，AM=AE，∠EAM=90°，∠ADM=∠ABE=90°，即可得到△AEN≌△AMN，然后依據(jù)CΔ【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：AE=AM，AB=AD，BE=DM，在△AEB和△ADM中，AE=AMAB=AD∴△AEB≌△ADMSSS（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：AE=AM，BE=DM，∠EAM=90°，∠ABE=∠D=90°，∴點(diǎn)E、B、C共線，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EAM?∠MAN=45°=∠MAN在△EAN和△MAN中，AE=AM∠EAN=∠MAN∴△EAN≌△MAN(SAS∴EN=MN，∵EN=BE+BN，∴MN=DM+BN；∴C∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴C?題型04一線三等角1．（2024·河南周口·三模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，B?1，?2，C?4，?1，將△ABC向右上方平移，使得點(diǎn)A．0，3