第四章三角形第19講直角三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01由直角三角形的性質求解??題型02根據已知條件判定直角三角形??題型03利用勾股定理求解??題型04判斷勾股數(shù)問題??題型05以直角三角形三邊為邊長的圖形面積??題型06勾股定理與網格問題??題型07勾股定理與折疊問題??題型08勾股定理與無理數(shù)問題??題型09利用勾股定理證明線段的平方關系??題型10勾股定理的證明方法??題型11趙爽弦圖??題型12利用勾股定理構造圖形解決實際問題??題型13在網格中判斷直角三角形??題型14利用勾股定理逆定理求解??題型15利用勾股定理解決實際問題??題型16利用勾股定理逆定理解決實際問題??題型17最短距離問題??題型01由直角三角形的性質求解1．（2023·山東濟南·三模）將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，且正六邊形的邊AB與正方形的邊CD在同一條直線上，則∠BOC的度數(shù)是．2．（2024·山西·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點E，F(xiàn)，連接EF交邊BC于點D，連接AD．若BD=8，則△ACD的周長為3．（2024·河北·模擬預測）如圖，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，BC于點M，N，分別以點M，N為圓心，大于12MN長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交ACA．∠ABE=∠CBE B．2∠ABE=∠CADC．BF=2DF D．AF=AE4．（2024·貴州貴陽·二模）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，若OB=4，S菱形ABCD=16A．25 B．4 C．2 D．5??題型02根據已知條件判定直角三角形5．（23-24七年級下·陜西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，下列條件：①∠A=∠C?∠B；②a+ba?b③a=32，b=4④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有個．6．（2024·陜西·模擬預測）如圖，在△ABC中，O為邊BC上一點，⊙O過點C，且與AB相切于點D，連接CD，OD，AD=AC．(1)求證：△ABC為直角三角形．(2)延長DO與⊙O交于點E，連接CE，若AD=DE=6，求CE的長．7．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，在等邊△ABC中，AB=10，P為BC上一點（不與點B，C重合），過點P作PM⊥BC于點P，交線段AB于點M，將PM繞點P順時針旋轉60°，交線段AC于點N，連接MN，有三位同學提出以下結論：嘉嘉：△PNC為直角三角形．淇淇：當AM=2時，AN=7．珍珍：在點P移動的過程中，MN不存在平行于BC的情況．下列說法正確的是（

）A．只有嘉嘉正確 B．嘉嘉和淇淇正確C．淇淇和珍珍正確 D．三人都正確??題型03利用勾股定理求解8．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，O是坐標原點，菱形OABC的頂點C在x軸的負半軸上，AC=3，BO=4，函數(shù)y=kx(x<0)的圖象經過頂點B9．（2024·河南鶴壁·模擬預測）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與弦AB相交于點C，OB⊥OP，若OB=3，OC=1，則PA的長為．10．（2024·貴州·模擬預測）下面是多媒體上的一道試題：如圖，在菱形ABCD中，過點B作BE⊥CD于點E，點F在邊AB上，AF=CE，連接BD，DF．求證：四邊形BFDE是矩形．下面是兩位同學的對話：(1)請你選擇一位同學的說法，并證明；(2)若BE=23，DE=2，求菱形11．（2024·四川眉山·二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A1,0，B1?a,0，C1+a,0a>0，點P在以D4,4為圓心，1為半徑的圓周上運動，且始終滿足∠BPC=90°，則A．3 B．4 C．6 D．2??題型04判斷勾股數(shù)問題12．（2024·四川德陽·二模）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，經隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其股是（結果用含m的式子表示）．13．（2024·山東淄博·二模）觀察下列幾組勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根據上面的規(guī)律，寫出第8組勾股數(shù)：．14．（2024·河北滄州·一模）當直角三角形的三邊長都是正整數(shù)時，我們稱這三個正整數(shù)為勾股數(shù)．(1)若a，b為一個直角三角形的兩條直角邊長，c為斜邊長，a，b，c為勾股數(shù)，且a=n+7，c=n+8，n為正整數(shù)，求b的值（用含n的式子表示），并直接寫出符合題意的最小的(2)當n是大于1的整數(shù)時，判斷2n，n215．（2024·四川成都·模擬預測）一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，則稱這種直角三角形為“完美勾股三角形”，k為其面積和周長的比值．當k=2時，滿足條件的“完美勾股三角形”的周長為；當0<k≤1時，若存在“完美勾股三角形”，則k=．??題型05以直角三角形三邊為邊長的圖形面積16．（2024·河北唐山·三模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為5、13、30，則正方形C的面積為（

）A．12 B．18 C．10 D．2017．（2024·甘肅天水·二模）我國是最早了解勾股定理的國家之一，早在三千多年前，周朝數(shù)學家商高就提出了“勾三、股四、弦五”這一結論．勾股定理與圖形的面積存在密切的關系，如圖，這是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，若△PEF的面積為6，則陰影部分的周長為．18．（2021·浙江金華·中考真題）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點E,F,G,H,M,N都在同一個圓上．記該圓面積為S1，△ABC面積為S2，則S1A．5π2 B．3π C．5π D．19．（2023·河北石家莊·模擬預測）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，分別以三條邊BC，AC，AB為一邊，在△ABC的外部作正五邊形，三個五邊形的面積分別記作S1，A．S1+S2=S3 B．20．（2022·浙江寧波·模擬預測）如圖①，分別以RtΔPMN的各邊為一邊向外作三個三角形，使∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，再按圖②的方式將兩個較小的三角形放在最大的三角形內，使AB=MN，AD=PM，BF=PN，∠GFB=∠A=∠2．若要求出ΔCEHA．四邊形CAFG B．四邊形EDBC C．ΔGFB D．??題型06勾股定理與網格問題21．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，在邊長為1的正方形網格中，點A、B、C、D、E都在小正方形格點的位置上，連接AB，CD相交于點P，根據圖中提示所添加的輔助線，可以求得tan∠BPC的值是（

A．12 B．55 C．2 22．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖是由邊長為1的小正方形構成的8×6的網格，其中點O，A，B均在格點上，將扇形AOB圍成一個圓錐，則該圓錐的底面半徑為．23．（2024·廣東清遠·模擬預測）如圖，象棋盤中各個小正方形的邊長為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復路線，按照馬走日的規(guī)則，走兩步后的落點與出發(fā)點間的最遠距離為．

24．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A4,4，B4,1，C2,1．將△ABC關于原點O(1)畫出△A(2)點B1的坐標為______，點C、C??題型07勾股定理與折疊問題25．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E是AB中點，F(xiàn)是BC上一點，沿著EF折疊△B26．（2024·河南·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是?5,0，點B的坐標是0,12，點M是OB上一點，將△ABM沿AM折疊，點B恰好落在x軸上的點B'處，則點M的坐標為（

A．0,5 B．0,103 C．0,2327．（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，將△ABC沿EF折疊，使點B落在AC邊上的點D處，若ADCD=12，則28．（2024·浙江·模擬預測）綜合與實踐【問題情境】在一次數(shù)學探究課上，老師帶領大家一起研究特殊三角形的性質.圓圓小組對直角三角形進行了各種類型的折疊探究，并嘗試用數(shù)學方法說明發(fā)現(xiàn)的結論.類型1．如圖1，沿著DE折疊，使點B與點A重合，折痕交AB于點E，交BC于點D，他們發(fā)現(xiàn)：點D的位置與AC和BC的長有關．問題1.若BC=3，AC=1，則BD=________．【變式探究】類型2．如圖2，點D為CB上一點，沿著AD折疊，AC恰好落在AB上，點C的對稱點為C'，折痕交BC于點D．問題2．①若ABAC=53②請猜測ABAC與BD【拓展思考】方方小組對等腰三角形進行了各種折疊探究.如圖3，在等腰三角形ABC中，BC為底邊，∠A為鈍角，點D為邊AC上一點，將△ABD沿直線BD翻折得到△A問題3．若AD=CD=4，A'C=6，求??題型08勾股定理與無理數(shù)問題29．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在數(shù)軸上點A表示原點，點B表示的數(shù)為2，AB⊥BC，垂足為B，且BC=3，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點D，則點D表示的數(shù)為．30．（2024·甘肅天水·一模）如圖，在數(shù)軸上，OB=1，過O作直線l⊥OB于點O，在直線l上截取OA=2，且A在OC上方．連接AB，以點B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點C，則C點對應的數(shù)為．31．（2020·山西·三模）嘉淇學習了“數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的關系”后，便嘗試在數(shù)軸上找一個表示無理數(shù)的點．如圖，數(shù)軸的原點為O，Rt△AOB中，∠OAB=90°，邊AO在數(shù)軸上，AB=3，以點O為圓心，OB長為半徑作弧，交數(shù)軸負半軸于點C，則點CA．?1和?2之間 B．?2和?3之間C．?3和?4之間 D．?4和?5之間32．（2023·廣東深圳·二模）數(shù)形結合是解決代數(shù)類問題的重要思想，在比較2+1與5的大小時，可以通過如圖所示幾何圖形解決問題：若要比較2+3與17的大小，以下數(shù)形結合正確的是（

A．

B．

C．

D．

??題型09利用勾股定理證明線段的平方關系33．（2024·安徽合肥·模擬預測）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD相交于點O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，則下列結論錯誤的是（

）A．AC平分∠BCD B．BC+CD=C．OA2+O34．（2024·河北·模擬預測）如圖1，正方形A'B'C'D與斜邊為BC的Rt△ABC按如圖所示的方式放在同一平面內，使點A'與A重合，點D在(1)求A'D的長和(2)將△BAC繞點A按順時針方向旋轉，當AC與A'C'重合后，立刻沿射線A'C①求邊AB旋轉結束時掃過的面積；②求平移結束時，正方形A'B'C'(3)如圖2，若將（2）中的旋轉和平移同時進行，設邊AB與邊A'D的交點為M，邊AC與邊C'D的交點為N，AM=a，AC'=35．（2024·江蘇鹽城·三模）【閱讀發(fā)現(xiàn)】小明在閱讀數(shù)學課外讀物時，讀到了海倫――秦九韶公式．他了解到海倫公式和秦九韶公式分別是由古希臘的幾何家海倫和我國南宋時期數(shù)學家秦九韶提出的．這兩個公式有什么關系呢？于是小明進行了下列思考：兩個公式：海倫公式：已知一個三角形的三邊長分別為a，b，c，設p=12a+b+c秦九韶公式：已知一個三角形的三邊長分別為a，b，c，那么這個三角形的面積S=1【嘗試應用】（1）已知一個三角形的三邊長分別4，5，6．請任選一個公式算出這個三角形的面積為______；請用學過的知識來解這個三角形的面積．（2）已知一個三角形的三邊長分別為a，b，c，試求出這個三角形面積的一般表達形式．（用a，b，c表示）【發(fā)現(xiàn)關聯(lián)】思考關聯(lián)：請你由秦九韶公式S=14a2b??題型10勾股定理的證明方法36．（2022·河北邯鄲·三模）在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學分別設計了如下方案：甲乙如圖，用四個全等的直角三角形拼成，其中四邊形ABDE和四邊形CF均是正方形，通過用兩種方法表示正方形ABDE的面積來進行證明．如圖是兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點F在BC邊上，頂點C，D重合，通過用兩種方法表示四邊形ACBE的面積來進行證明．對于甲、乙分別設計的兩種方案，下列判斷正確的是（

）A．甲、乙均對 B．甲對、乙不對 C．甲不對，乙對 D．甲、乙均不對37．（2023·遼寧阜新·二模）動手實踐、歸納和猜想是我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論的重要一環(huán)，你也來試試吧！(1)如圖，兩個邊長分別為a、b、c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個梯形．用兩種不同的方法計算梯形的面積，得到我們學習過的一個重要公式，請你寫出來：面積等式為____________，結論為____________；(2)n邊形有n個頂點，在它的內部再畫m個點，以m+n個點為頂點，把n邊形剪成若干個三角形，設最多可以剪得y個這樣的三角形．當n=3,m=3時，如圖，最多可以剪得7個這樣的三角形，所以y=7．①當n=4,m=2時，如圖，y=______；當n=5,m=______時，y=9；②對于一般的情形，在n邊形內畫m個點，通過歸納猜想，可得y=______（用含m、n的代數(shù)式表示）．38．（2022·江蘇鹽城·三模）2000多年來，人們對勾股定理的證明頻感興趣，不但因為這個定理重要、基本還因為這個定理貼近人們的生活實際所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)，如圖2是將圖1中的直角三角形通過旋轉、平移得到的正方形ABCD．

(1)請你利用圖2證明勾股定理；(2)如圖3，以MN為直徑畫圓O，延長CF交DM于點E，判斷直線CE與⊙O的位置關系，并說明理由；(3)若b=3a，則圖3中陰影部分的面積為____________（用含a的式子表示）39．（2022·廣東佛山·三模）幾千年來，在勾股定理的多種證明方法中，等面積法是典型的一種證法，清代數(shù)學家李銳運用這一方法借助三個正方形也證明了勾股定理．如圖，四邊形ABCD，四邊形DEFG，四邊形CGHI均為正方形，EF交BG于點L，DG交IH于點K，點B，L，C，G在同條直線上，若S△ADE=16，S△GHK=9，記四邊形DELC的面積為S1，四邊形CGKI的面積為SA．209 B．34 C．774540．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》中“趙爽弦圖”經修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，陰影部分的面積為27，則AD的長為．41．（2024·廣東清遠·模擬預測）三國時代吳國數(shù)學家趙爽第一次對勾股定理加以證明：用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積，化簡證得勾股定理：a(1)若b=2a，則S小正方形:(2)如果大正方形的面積是13，a=2，求小正方形的面積．??題型11趙爽弦圖42．（2024·河北·模擬預測）如圖1，嘉嘉用四個全等的直角三角形拼接了一個“趙爽弦圖”，其中大正方形ABCD的面積為25，小正方形EFGH的面積為1．（1）如圖2，連接DG，CF，（2）如圖3，連接AC，交BG于點P，交DE于點M，則S△AFP?43．（2024·山東濟南·二模）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出了“趙爽弦圖”．將兩個大小相同的“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個小正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長為10的正方形ABCD，則空白部分面積為

44．（2024·浙江杭州·一模）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．（1）連接BF，若F恰為AG中點，則∠BFG的度數(shù)為°；（2）連接CF，若△ABF與△FEC的面積相等，DF=2，則AF的長為．??題型12利用勾股定理構造圖形解決實際問題45．（2023·四川瀘州·一模）我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成．若a=6，b=8，則該矩形的面積為（）

A．96 B．1532 C．199446．（24-25八年級上·山西太原·階段練習）如圖是一所大型游樂場，工人在對游樂設施進行測試．大擺錘從高為9m的房屋A處，劃過90°到達與房屋A水平距離為17m，高為2m的房屋B處，求大擺錘的長度47．（2024·貴州·模擬預測）意大利著名畫家達芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理，圖2是將圖1沿直線FD剪開，將右半部分上下翻轉得到的圖形，其中四邊形AFEG，四邊形CDBG與四邊形A'E'B'A．6 B．12 C．15 D．2548．（2022·江西九江·二模）俊俊和霞霞共同合作將一張長為2，寬為1的矩形紙片進行裁剪（共裁剪三次），裁剪出來的圖形剛好是4個等腰三角形（無紙張剩余）．霞霞說：“有一個等腰三角形的腰長是1”；俊俊說：“有一個等腰三角形的腰長是2?1”；那么另外兩個等腰三角形的腰長可能是??題型13在網格中判斷直角三角形49．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，網格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段AB，CD的端點均在小正方形的頂點上：(1)在圖中畫出以AB為斜邊的等腰直角△ABE，點E在小正方形的頂點上；(2)在圖中畫出以CD為腰的等腰△CDF，其△CDF的面積為4，點F在正方形的頂點上；(3)連接EF，請直寫出線段EF的長．50．（23-24九年級下·吉林·階段練習）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的頂點為格點，△ABC的頂點均在格點上．在圖①、圖②、圖③給定的網格中，只用無刻度的直尺，按要求畫圖，保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．(1)圖①中，△ABC的形狀是．(2)圖②中，在AB邊上取一點D，連接CD，使CD=1(3)圖③中，在AB邊上取一點E，連接CE，使CE為∠ACB的平分線．51．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，在網格圖中（每個小正方形的邊長為1），點A、B、C、D均為格點，給出下列三個命題：①點A到點B的最短距離為10；②點A到直線CD的距離為45③直線AB、CD所交的銳角為45°；其中，所有正確命題的序號為．（填序號）52．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在7×5的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，AD是BC邊上的中線，則AD的長為（

）A．22 B．352 C．29??題型14利用勾股定理逆定理求解53．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于點D，CE∥AD，交BA的延長線于點E．(1)試判斷線段CE與線段AD之間的數(shù)量關系，并說明理由．(2)若AD=2，AE=2254．（2024·廣東廣州·一模）如圖，點E為菱形ABCD的邊AD上一點，且AE=3，DE=2，點F為對角線AC上一動點，若△DEF的周長最小值為6，則sin∠BCD=55．（2023·貴州銅仁·三模）如圖，平行四邊形ABCD中以點B為圓心，適當長為半徑作弧，交BA，BC于F，G，分別以點F，G為圓心大于12FG長為半作弧，兩弧交于點H，作BH交AD于點A．241 B．402 C．4556．（2023·山東濟寧·一模）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長可能是①??題型15利用勾股定理解決實際問題57．（2024·河南周口·模擬預測）如圖，A，B兩地之間被一座大山擋在中間，導致一直沒有直通的公路，需要繞行C地，嚴重阻礙了A，B兩地間的區(qū)域經濟發(fā)展．為促進區(qū)域經濟發(fā)展，A，B兩地準備通過開挖隧道的方式修建一條直通AB兩地的公路．已知AC=60km，BC=90km，∠C=60°，求58．（2024·福建三明·三模）綜合實踐：閱讀下列材料，解答問題．任務：如圖1，現(xiàn)要測量某校旗桿的高度（系在旗桿頂端的繩子垂到地面，并多出一小段）．工具：一把皮尺（測量長度達不到旗桿長一半）．李明學習小組測量過程和部分求解過程如下（如圖2）：測量過程：步驟1：測得多出一小段繩子的長度為am步驟2：將繩子拉直，繩子末端與地面接觸點為A，測得A點到旗桿底部C點距離AC=bm部分求解過程：設旗桿高度BC=?，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴BC∵AC=b，∴(1)根據李明學習小組求解過程，請直接寫出旗桿高度?=（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)李明學習小組求解過程，所用到的幾何知識是；(3)請你利用所提供的工具，通過2次測量，設計另外一種方案，寫出你的測量和求解過程．（測量得到的長度用字母m，n表示）59．（2024·安徽·一模）甲、乙兩船同時從A碼頭開出，45分鐘后，甲船到達B碼頭，乙船到達C碼頭；已知甲船航行的速度是12海里/時．乙船航行的速度是16海里/時，甲船航行的方向是北偏東40°，乙船航行的方向是南偏東50°，求甲、乙兩船之間的距離BC．

60．（22-23八年級上·廣東深圳·期中）如圖所示，一艘輪船由A港口沿著北偏東60°的方向航行100km到達B港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km到達(1)求A，C兩港口之間的距離；（結果保留根號）(2)C港口在A港口的什么方向．??題型16利用勾股定理逆定理解決實際問題61．（2024·廣東清遠·二模）綜合與實踐主題：檢測雕塑(下圖)底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．素材：一個雕塑，一把卷尺．步驟1：利用卷尺測量邊AD，邊BC和底邊AB的長度，并測量出點B,D之間的距離；步驟2：通過計算驗證底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．解決問題：(1)通過測量得到邊AD的長是60厘米，邊AB的長是80厘米，BD的長是100厘米，邊AD垂直于邊AB嗎？為什么？(2)如果你隨身只有一個長度為30cm的刻度尺，你能有辦法檢驗邊AD是否垂直于邊AB62．（23-24八年級下·河北衡水·階段練習）如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，AB=15m，CD=8m，AD=17m．從點A修了一條垂直BC的小路AE（垂足為E），E恰好是BC(1)求邊BC的長；(2)連接AC，判斷△ADC的形狀；(3)求這塊空地的面積．??題型17最短距離問題63．（2024·廣東·模擬預測）綜合與實踐“轉化”是一種重要的數(shù)學思想，將空間問題轉化為平面問題是轉化思想的一個重要方面．為了讓同學們探究“轉化”思想在數(shù)學中的應用，在數(shù)學活動課上，老師帶領學生研究幾何體的最短路線問題：問題情境：如圖1，一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱側面爬行到點C，其最短路線正是側面展開圖中的線段AC，若圓柱的高AB為2cm．底面直徑BC為8問題解決：（1）判斷最短路線的依據是______；（2）求出螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路線AC的長（結果保留根號和π）；拓展遷移：如圖2，O為圓錐的頂點，M為底面圓周上一點，點P是OM的中點，母線OM=8，底面圓半徑為2，粗線為螞蟻從點P出發(fā)繞圓錐側面爬行回到點P時所經過的路徑的痕跡．（3）請求出螞蟻爬行的最短距離．64．（2023·湖北十堰·一模）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為12m的半圓，其邊緣AB=CD=20m（邊緣的寬度忽略不計），點E在CD上，CE=4m.一滑板愛好者從A點滑到

A．28m B．24m C．20m65．（2023·湖北十堰·三模）如圖，地面上有一個長方體盒子，一只螞蟻在這個長方體盒子的頂點A處，盒子的頂點C'處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個盒子的表面A處爬到C'處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為20cm，高為30cm，則螞蟻爬行的最短距離為（

A．1017 B．50 C．1029 D．70

66．（2024·四川德陽·二模）如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為18cm，底面周長為12cm，在容器內壁離容器底部7cm的A處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿1cm的點B處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長度是cm．1．（2024·江蘇常州·中考真題）對于平面內有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定的距離d后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關聯(lián)圖形”．(1)如圖1，B、C、D是線段AE的四等分點．若AE=4，則在圖中，線段(2)如圖2，等邊三角形ABC的邊長是2．用直尺和圓規(guī)作出△ABC的一個“平移關聯(lián)圖形”，且滿足d=2（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點D、E、G的坐標分別是?1,0、1，0、0，4，以點G為圓心，r為半徑畫圓．若對⊙G上的任意點F，連接DE、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關聯(lián)圖形”，且滿足d≥3，直接寫出r的取值范圍．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）在△ABC中，點D在邊AB上，若CD2=AD?DB，則稱點D(1)如圖（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于點D．試說明：點D是點C的“關聯(lián)點”．(2)如圖（2），已知點D在線段AB上，用無刻度的直尺和圓規(guī)作一個△ABC，使其同時滿足下列條件：①點D為點C的“關聯(lián)點”；②∠ACB是鈍角（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)若△ABC為銳角三角形，且點D為點C的“關聯(lián)點”．設AD=m，DB=n，用含m、n的代數(shù)式表示AC的取值范圍（直接寫出結果）．3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）圖1、2是一個折疊梯的實物圖．圖3是折疊梯展開、折疊過程中的一個主視圖．圖4是折疊梯充分展開后的主視圖，此時點E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，點D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均與BC所在直線平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．點N在AC上，AN、MN的長度固定不變．圖5是折疊梯完全折疊時的主視圖，此時AB、AC重合，點E、M、H、N、K【分析問題】（1）如圖5，用圖中的線段填空：AN=MN+EM+AD?_________；（2）如圖4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的長度不變，可得MN與EN【解決問題】（3）求MN的長．4．（2024·吉林長春·中考真題）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB=3，點M、N分別在邊AC、BC上，且AM=CN，試探究線段MN長度的最小值．【問題分析】小明通過構造平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點P，作射線AP．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：AM=MP；（2）∠CAP的大小為度，線段MN長度的最小值為________．【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關數(shù)據，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一條兩端點位置和長度均可調節(jié)的鋼絲繩，點M在AC上，點N在DE上．在調整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持AM=DN．鋼絲繩MN長度的最小值為多少米．5．（2024·河南·中考真題）綜合與實踐在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．(1)操作判斷用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有________（填序號）．(2)性質探究根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質．下面研究與對角線相關的性質．如圖2，四邊形ABCD是鄰等對補四邊形，AB=AD，AC是它的一條對角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若BC=m，DC=n，∠BCD=2θ，求AC的長（用含m，n，θ的式子表示）．(3)拓展應用如圖3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，分別在邊BC，AC上取點M，N，使四邊形ABMN是鄰等對補四邊形．當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出BN1．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AB的中點，連接OE．若OE=3，則菱形的邊長為（

）

A．6 B．8 C．10 D．122．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，△ABC內接于⊙O，AD是直徑，若∠B=25°，則∠CAD°．3．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，使A的對應點A'滿足AA'4．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在徐州云龍湖旅游景區(qū)，點A為“彭城風華”觀演場地，點B為“水族展覽館”，點C為“徐州漢畫像石藝術館”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城風華”觀演場地與“水族展覽館”之間的距離AB（精確到1m）．（參考數(shù)據：5．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=25，AC=2，分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線MN分別交AB，BC于點D，(1)求CD的長；(2)求△ACE的周長．6．（2024·山東淄博·中考真題）《九章算術》中提到：今有戶高多于廣六尺八寸．兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？其大意為：已知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）若設門的高和寬分別是x尺和y尺．則下面所列方程組正確的是（

）A．x=y?6.8x2+C．x=y+6.8x2+7．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=120°，邊AB在數(shù)軸上，將AC繞點A順時針旋轉，點C落在數(shù)軸上的點E處，若點E表示的數(shù)是3，則點A表示的數(shù)是（

）A．1 B．1?3 C．0 D．8．（2024·江蘇南通·中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，nm>n．若小正方形面積為5，m+n2=21A．12 B．13 C．14 D．159．（2024·內蒙古通