高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省肇慶市2025屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，則.故選：D.2.已知，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，則.故選：C.3.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，，故，又，故得.故選：A.4.小王數(shù)學(xué)期末考試考了分，受到爸爸表揚(yáng)的概率為，受到媽媽表揚(yáng)的概率也為，假設(shè)小王受爸爸表揚(yáng)和受媽媽表揚(yáng)獨(dú)立，則小王被表揚(yáng)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記小王受到爸爸表揚(yáng)為事件，小王受到媽媽表揚(yáng)為事件，小王受到表揚(yáng)為事件，小王同學(xué)受爸爸表揚(yáng)和受媽媽表揚(yáng)相互獨(dú)立，則.故選：C.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則下列判斷正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.C.數(shù)列存在最大值 D.數(shù)列存在最大值【答案】D【解析】由可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故?shù)列是從第二項(xiàng)開始的等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；將的通項(xiàng)公式可得，故B錯(cuò)誤；由知，數(shù)列為遞增數(shù)列，不存在最大值，故C錯(cuò)誤；由知，數(shù)列為遞減數(shù)列，故存在最大值，故D正確.故選：D.6.已知是銳角，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由得，化簡得，得故選：B.7.已知直線是雙曲線的一條漸近線，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于直線交于點(diǎn)的面積是，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，解得，則雙曲線方程為.故選：B.8.已知正三棱錐的底面是邊長為的正三角形，高為2，則該三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，若球心在三棱錐內(nèi)，設(shè)為底面的外接圓的圓心.球的半徑為，則.因?yàn)椋裕獾?.若球心三棱錐外，則，同理由解得，此時(shí)，不符合題意.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且是周期函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】若，定義域?yàn)?，則是奇函數(shù)，是周期函數(shù)，故A正確；若，則，故不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；若，定義域?yàn)?，則，故不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；若，定義域?yàn)?，則是奇函數(shù)，是周期函數(shù)，故D正確.故選：AD.10.如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則平面B.若，則點(diǎn)的軌跡長度為C.若，則存在，使D.若，則存在，使平面【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若，則，則點(diǎn)在線段上，如上圖.因平面平面,且平面平面,平面平面,故因平面，平面,故平面，同理可證平面，因平面，平面,且,故有平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，故A正確；對(duì)于B，若，則（為的中點(diǎn)）如上圖.又因?yàn)?，所?故點(diǎn)的軌跡長度為，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以，所以點(diǎn)在線段上（如上圖）.假設(shè)，則，即，化簡得，該方程無解，所以不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如上圖，設(shè)為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，即，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,.所以.假設(shè)平面，則即解得.故D正確.故選:.11.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（）A.或B.C.存在實(shí)數(shù)，使得D【答案】BD【解析】易知，令，則.令，則.設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，故不成立，故A錯(cuò)誤；設(shè)，則①，設(shè)為①式的兩根，則，即②，③.由③式可知，所以，則，故B正確；解法1：由②式可知，令，則，則在上單調(diào)遞減，所以，故，所以不存在實(shí)數(shù)使得，故C錯(cuò)誤；解法2：，，，可得為區(qū)間的極小值點(diǎn)，則必有，故C錯(cuò)誤；由③式可知，所以，要證，僅需證明成立.令，則.則在上單調(diào)遞增，所以，故，故D正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為__________.【答案】【解析】令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為.故答案為：.13.已知函數(shù)，則的最小值是__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)增，所以.綜上所述，的最小值是.故答案為：.14.直線與橢圓交于兩點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)），設(shè)，當(dāng)直線的斜率是直線斜率的2倍時(shí)，__________.【答案】【解析】設(shè)，由可知.由知，，解得.，①，②.又，，即，化簡得，將①②代入上式可得，解得或，滿足.當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過橢圓右頂點(diǎn)，不合題意，舍去.綜上所述.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知__________.（1）求.（2）設(shè)為的內(nèi)心（三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），且滿足，求的面積.解：（1）選擇條件①：.由正弦定理得，所以.由余弦定理，得.因?yàn)?，所?選擇條件②：因，所以，即.由正弦定理得，即.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?（2）連接，因?yàn)辄c(diǎn)是內(nèi)心，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?由余弦定理得，即，解得，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面平行四邊形，平面，平面平面.（1）證明：平面.（2）若為的中點(diǎn)，求到平面的距離.（1）證明：如圖,在平面內(nèi)作,交于點(diǎn).因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面平面,所以平面,則.因?yàn)槠矫?所以,因?yàn)槠矫?所以平面.（2）解：如圖，連接交于點(diǎn),連接.易知為的中位線,所以.因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面,所以到平面的距離,即為點(diǎn)到平面的距離.由（1）知平面,所以.因?yàn)?所以.又因?yàn)槠矫?所以兩兩垂直.因?yàn)?所以.法一（建系）：如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,所以,.設(shè)平面的法向量為,則即取,則,所以平面的一個(gè)法向量為.則點(diǎn)到平面的距離,即到平面的距離為法二（幾何）：因?yàn)槠矫?所以,因?yàn)槠矫?所以,所以是直角三角形.所以,因?yàn)槭切边叺闹悬c(diǎn),所以.則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,解得，即到平面的距離為.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右、上、下頂點(diǎn)分別為.設(shè)為上并且位于第一象限的兩點(diǎn)，滿足.（1）若交軸于，且，求橢圓的離心率.（2）設(shè)為的中點(diǎn)，直線交于點(diǎn)（其中在軸上方）.證明：.解：（1）因?yàn)?，所?所以，則，則，解得，則.（2）由（1）知，.設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以存在，使，則.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在，使.令，則，則由點(diǎn)在橢圓上得，整理得，.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，整理得.所以.18.購買盲盒成為當(dāng)下年輕人的潮流之一?其最吸引人的地方是因?yàn)楹凶由蠜]有標(biāo)注物品具體信息，買家只有打開才會(huì)知道自己買到了什么.某商店推出種款式不同的盲盒，購買規(guī)則及概率如下：每次購買一個(gè)，且買到任意一種款式的盲盒是等可能的.小劉特別喜歡種款式中的一種.（1）若種款式的盲盒各有一個(gè).（i）求小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率.（ii）設(shè)小劉抽到特別喜歡的款式所需次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.（2）若每種款式的盲盒數(shù)量足夠多，每次盲盒被買后老板都會(huì)補(bǔ)充被買走的款式.商店為了滿足客戶的需求，引進(jìn)了保底機(jī)制：在抽取前指定一個(gè)款式，若前次未抽出指定款式，則第次必定抽出指定款式.設(shè)為小劉抽到某指定款式所需的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）.解：（1）（i）設(shè)小劉第次抽到特別喜歡的款式為事件.則小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率為.（也可以用）（ii）的可能取值為，則，所以的分布列為121920則.（2）記的可能取值為.因?yàn)榍?次（包含第9次）沒有保底，則，其中，，所以的分布列為12910則.記，則，兩式相減，得，所以.19.把一列函數(shù)按一定次序排列稱為函數(shù)列，記為.例如：函數(shù)列可以記為.記為的導(dǎo)函數(shù).（1）若.證明：為等差數(shù)列.（2）已知定義在上的函數(shù)列滿足，且對(duì)任意的，都有.（i）設(shè)，證明：的充要條件是.（ii）取定正數(shù)，使數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，證明：.（1）證明：由題知，所以，記，因?yàn)?，所以?/p>