特訓(xùn)10立體幾何中的截面問題（七大題型）用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面.此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.1.作截線與截點(diǎn)的主要根據(jù)：(1)確定平面的條件.(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線.(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).(4)線面平行的性質(zhì)定理。(5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行.2.立體幾何圖形中有關(guān)截面的做法：①若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截線。②若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二個(gè)確定的點(diǎn);③若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個(gè)相鄰平面的交線與截面的交點(diǎn)。④面面平行的性質(zhì)定理。⑤若有一點(diǎn)在面上而不在棱上，則可通過作輔助平而找出棱上的交點(diǎn);若已知點(diǎn)在體內(nèi)，則可通過輔助平面找出面上的交點(diǎn)，再找出棱上的交點(diǎn).目錄：01：三棱柱02：四棱錐03：棱臺(tái)04：側(cè)棱垂直于底面05：正方體、長(zhǎng)方體06：其他多面體07：三棱錐08：折疊問題01：棱柱（含正方體）1．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，，，，過點(diǎn)B作平面截四棱柱所得截面為正方形，該平面交棱于點(diǎn)M，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先結(jié)合截面為正方形，借助中位線轉(zhuǎn)化得到的關(guān)系，再利用余弦定理分別求解底面對(duì)角線，然后由垂直關(guān)系及截面正方形，借助長(zhǎng)度相等，利用勾股定理建立的方程組，求解轉(zhuǎn)化即得所求比值.【解析】如圖，設(shè)截面分別交，于點(diǎn)P，Q，連接PQ，BM，設(shè)交點(diǎn)，連接，設(shè)交點(diǎn)，由已知截面為正方形，則是，的中點(diǎn)，底面ABCD為平行四邊形，則是，的中點(diǎn)，又，，則，則是的中位線，也是四邊形的中位線.設(shè)，，故，由，得，化簡(jiǎn)得（*），且，由直四棱柱知，平面，又平面，則則四邊形為直角梯形.由，得，在中，由余弦定理得，解得，同理可得，如圖，在直角梯形中，在CQ上取點(diǎn)S，使，則.由，得，即，化簡(jiǎn)得，與（*）聯(lián)立，解得，，所以，則，驗(yàn)證知，此時(shí)四邊形為為正方形，滿足題意.則．故選：B．2．（2023·江西贛州·模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的點(diǎn)，且，過作平面，使得平面平面AEF，則平面截直四棱柱，所得截面圖形的面積為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)四棱柱的幾何性質(zhì)以及面面平行的判定定理求解.【解析】

如圖，取的中點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)H，使得，連接，如上圖，則，平面，平面AEF，平面平面；即過點(diǎn)平行于平面AEF的平面截四棱柱的圖形是三角形，其中，，故選：A.3．（2024·安徽安慶·三模）在正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則（

）A．該截面多邊形是四邊形B．該截面多邊形與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)C．平面D．平面平面【答案】B【分析】將線段向兩邊延長(zhǎng)，分別與棱的延長(zhǎng)線，棱的延長(zhǎng)線交于，連分別與棱交于，可判斷A；利用相似比可得，可判斷B；證明平面即可判斷C；通過證明平面，可判斷D.【解析】對(duì)于A，將線段向兩邊延長(zhǎng)，分別與棱的延長(zhǎng)線，棱的延長(zhǎng)線交于，連分別與棱交于，得到截面多邊形是五邊形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，所以，即，點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫媾c平面相交，所以與平面不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知，所以，又，所以平面，結(jié)合C結(jié)論，所以平面與平面不平行，D錯(cuò)誤.故選：B．02：棱錐4．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，且平面，過點(diǎn)作截面分別交于點(diǎn)，且二面角的平面角為，則所得截面的面積最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由二面角的定義可得，從而，設(shè)，由三角形的面積相等和基本不等式得到，再由三角形的面積公式即可求解.【解析】過作，垂足為，連接，則由三垂線定理可得，∴即為二面角的平面角，∴，，所以，設(shè)，則，在三角形中，，又，所以，所以，時(shí)等號(hào)成立，所以三角形的面積為，故截面PEF面積的最小值為.故選：B.5．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，過點(diǎn)作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時(shí)參數(shù)的值，解直角三角形即可求得答案.【解析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，

因?yàn)?，則，設(shè)其相似比為，即，則；又因?yàn)?，，，由余弦定理得，，則，即.又平面，，平面，所以，.又，則，.因?yàn)?，則，則，因?yàn)椋?，即，同理可得，即，因?yàn)椋?，則，故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，故平面，同理平面，即四邊形為截面圖形；又平面，平面，則，又，所以.故平行四邊形為矩形，則，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，則，在中，.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形為符合題意的截面圖形，結(jié)合線面平行以及線面垂直說明四邊形為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出最值得解.6．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，側(cè)面PAC是等邊三角形，底面ABC是等腰直角三角形，，，點(diǎn)M，N，E分別是棱PA，PC，AB的中點(diǎn)，過M，N，E三點(diǎn)的平面截三棱錐所得截面為，給出下列結(jié)論：①截面的形狀為正方形；②截面的面積等于；③異面直線PA與BC所成角的余弦值為；④三棱錐外接球的表面積等于．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)三棱錐的幾何特征，取的中點(diǎn)為，利用線面垂直的判定定理即可證明截面的形狀為正方形，且其面積等于，即①正確，②錯(cuò)誤；利用平面向量數(shù)量積以及余弦定理可求出異面直線PA與BC所成角的余弦值為，可知③正確；利用垂直關(guān)系找出外接球球心位置，計(jì)算出半徑即可得④正確.【解析】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，所以，，可得；又，，即；所以四點(diǎn)共面，且四邊形為平行四邊形，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

易知，又是等腰直角三角形，且，所以，可得；又，平面，所以平面；易知平面，可得；又，，所以，且，所以四邊形為正方形，即截面的形狀為正方形，所以①正確；由正方形面積公式可知，四邊形的面積為，即②錯(cuò)誤；設(shè)，可得，所以，易知，，在中，，所以，可得；所以，所以異面直線PA與BC所成角的余弦值為，即③正確；易知，，所以可得；又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；所以可得外接球球心在上，設(shè)，半徑為，則，解得，；所以三棱錐外接球的表面積等于，即④正確；所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于球外接幾何體的問題，首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線面垂直判定定理等確定球心位置，再利用半徑相等列出等量關(guān)系即可計(jì)算出半徑的大小.03：棱臺(tái)7．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如圖所示，正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，體積為，點(diǎn)在上且滿足，過點(diǎn)的平面與平面平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先過點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合已知得，由棱臺(tái)體積公式得，由勾股定理得，再求出的長(zhǎng)，最終根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得解.【解析】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則四棱臺(tái)的高為，則四棱臺(tái)的體積為，解得，所以側(cè)棱長(zhǎng)為.如圖所示：過于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點(diǎn)，使得，易得，所以截面多邊形的周長(zhǎng)為.故選：D.8．（22-23高三下·浙江紹興·開學(xué)考試）在正棱臺(tái)中，為棱中點(diǎn).當(dāng)四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該四棱臺(tái)的截面面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進(jìn)行求解即可.【解析】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，該四棱臺(tái)的高，.在上下底面由勾股定理可知，.在梯形中，，所以該四棱臺(tái)的體積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，.取的中點(diǎn)，連接、，顯然有，平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設(shè)，則，，所以梯形的面積為，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)基本不等式求出體積最大值，結(jié)合線面平行判定定理判斷截面的形狀是解題的關(guān)鍵.9．（22-23高二上·湖北荊州·階段練習(xí)）用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截得的棱臺(tái)上、下底面積之比為，已知截去的棱錐的頂點(diǎn)到其底面的距離為3，則棱臺(tái)的上、下底面的距離為（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】D【分析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)，用平行于棱錐底面的平面截該棱錐，截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，以此可得棱錐的高，進(jìn)而得到棱臺(tái)的高．【解析】∵截去小棱錐的高為3，設(shè)大棱錐的高為h，根據(jù)截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，則，∴，∴棱臺(tái)的高是，即棱臺(tái)的上、下底面的距離為3.故選：D．04：圓柱10．（2022·河南新鄉(xiāng)·三模）已知一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐的軸截面分別為正方形與正三角形，且正方形與正三角形的邊長(zhǎng)相等，則該圓柱的體積與圓錐的體積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正方形與正三角形的邊長(zhǎng)為2，則可求出圓柱和圓錐的體積，從而可求得答案【解析】設(shè)正方形與正三角形的邊長(zhǎng)為2，則圓柱的體積為，圓錐的體積為，所以圓柱的體積與圓錐的體積的比值為.故選：C11．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，某圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，P，Q分別為線段BC，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）

A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征采用將沿直線BC旋轉(zhuǎn)到某個(gè)位置的方法，將線段和轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)度問題，結(jié)合求解線段長(zhǎng)度即得答案.【解析】如圖，連接EC，將沿直線BC旋轉(zhuǎn)到的位置，

且在AB的延長(zhǎng)線上．則，由于圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，故，，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，即的最小值為，故選：C12．（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知某圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，在該圓柱的底面內(nèi)任取一點(diǎn)E，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，該四棱錐的側(cè)面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)棱錐體積公式以及正方形的面積為定值確定E點(diǎn)在底面上的位置，求出相關(guān)線段長(zhǎng)，根據(jù)棱錐側(cè)面積公式即可求得答案.【解析】如圖，設(shè)圓柱的底面圓心為O，E為該底面上一點(diǎn)，底面半徑為1，

四棱錐體積，其中d為E到的距離，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為定值，所以當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，連接,此時(shí)為四棱錐的高，高最大，此時(shí)四棱錐體積最大，則，，，設(shè)圓柱的另一底面圓心為，連接，則，且,此時(shí)四棱錐側(cè)面積為，故選：B05：圓錐13．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球O的直徑相等，則圓錐的體積與球O的體積的比值是.【答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，球O的半徑為R，由題意可得，結(jié)合體積公式運(yùn)算求解.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，球O的半徑為R，因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，可知圓錐的高，則，即，可得圓錐的體積，球O的體積，所以.故答案為：．14．（22-23高二上·上海浦東新·期中）如圖，圓錐O的軸截面是一個(gè)面積為1的等腰直角三角形，C為弧上的一點(diǎn)，，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】將空間圖形進(jìn)行翻折變化到同一平面，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解.【解析】將翻折到平面內(nèi)，得到如圖所示平面四邊形，因?yàn)樗?所以,所以,又因?yàn)?，所以翻折后的圖形中,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，的最小值為,故選:B.15．（23-24高二上·北京·期中）已知圓錐的底面半徑為，高為2，S為頂點(diǎn)，A，B為底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是.①圓錐的體積為；②圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為；③圓錐截面SAB面積的最大值為；④若圓錐的頂點(diǎn)和底面上的所有點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為.【答案】①②④【分析】根據(jù)題意求出圓錐的母線長(zhǎng)，體積，側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，軸截面的面積，外接球體積，即可得出結(jié)論.【解析】圓錐的底面半徑，高為，圓錐的母線長(zhǎng)，圓錐的體積，①正確；設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則，②正確；當(dāng)圓錐截面為圓錐的軸截面時(shí)，此時(shí)，則，又，，則當(dāng)時(shí)，圓錐截面SAB面積的最大，此時(shí)，故③錯(cuò)誤；圓錐的頂點(diǎn)和底面上的所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，即為圓錐的外接球，設(shè)圓錐的外接球半徑為，由球的性質(zhì)可知，即，解得，所以外接球體積，④正確.故答案為：①②④.06：球16．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)球面上的三個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間用大圓劣弧相連接，所得三弧圍成的球面部分稱為“球面三角形”，這三個(gè)弧叫做球面三角形的邊.若半徑為2的球的球面上有一個(gè)各邊長(zhǎng)均為的球面三角形，則該球面三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定球面三角形與球表面積的關(guān)系，可求球面三角形的面積.【解析】設(shè)球面三角形.因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以大圓周長(zhǎng)為，求的表面積為.因?yàn)榍蛎嫒切蔚母鬟呴L(zhǎng)均為，所以.以為球心，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：則球面三角形的面積就是球面在第一卦限內(nèi)的部分，根據(jù)對(duì)稱性，球面三角形的面積為球面面積的，為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定后，關(guān)鍵是弄清楚球面三角形的面積和整個(gè)球的表面積之間的數(shù)量關(guān)系.17．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）在正六棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，則以為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，作圖，分別求出球面與正六棱柱各個(gè)面所交的弧線的長(zhǎng)度之和，可計(jì)算得到答案.【解析】因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以球不與側(cè)而及側(cè)面相交，連接．由題得，．所以，所以球與側(cè)面交于點(diǎn)，，與側(cè)面交于點(diǎn)，．在正六邊形中，易得，因?yàn)槠矫?，平面．所以，又，平面，所以平面，即平面，且，又，．所以球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓，同理可得球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓．由題易得，則球與上底面及下底面的交線均為個(gè)半徑為的圓．所以球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為．故選：D．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)球的半徑為2，判斷球只與側(cè)而及側(cè)面，上底面及下底面相交.18．（23-24高二上·四川德陽·階段練習(xí)）已知正三棱錐的外接球是球，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的中心為，球O的半徑為R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，過點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大.【解析】如下圖，設(shè)的中心為，球O的半徑為R，連接，OD，，OE，則，在中，，解得R＝2，所以，因?yàn)锽E＝DE，所以，在中，，所以，過點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面的半徑為，則截面面積為，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為4π.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是過點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大.07：組合體19．（21-22高二上·湖南·期中）從一個(gè)底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個(gè)正四棱錐（以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點(diǎn)）而得到的幾何體如圖所示，今用一個(gè)平行于底面且距底面為1的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出截面截圓柱所得的圓面的面積，再求出截面截正四棱錐所得的正方形的面積，從而得出答案.【解析】截面圖形應(yīng)為圓面中挖去一個(gè)正方形，且圓的半徑是2，則截面圓的面積為：設(shè)正四棱錐的底面正方形邊長(zhǎng)為，則，所以正四棱錐的底面正方形的面積為由圓錐中截面的性質(zhì)，可得圓面中挖去一個(gè)正方形與正四棱錐的底面正方形相似設(shè)圓面中挖去一個(gè)正方形的面積為，正四棱錐的底面正方形為則,從而所以截面圖形的面積為．故選：C．20．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）“牟和方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體，它是由兩個(gè)相同的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖1）.如圖2所示的“四腳帳篷”為“牟和方蓋”的上半部分，點(diǎn)為四邊形的中心，點(diǎn)為“四腳帳篷”的“上頂點(diǎn)”，.用平行于平面的平面去截“四腳帳篷”，當(dāng)平面經(jīng)過的中點(diǎn)時(shí)，截面圖形的面積為.【答案】3【分析】根據(jù)對(duì)稱性，可得截面的形狀為正方形，利用勾股定理得正方形的邊長(zhǎng)即可求得面積.【解析】根據(jù)對(duì)稱性，可得截面的形狀為正方形.取中點(diǎn)中點(diǎn)，可知截面為半圓.截面與弧交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，由勾股定理可得，所以截面正方形的邊長(zhǎng)為，故其面積為.故答案為：321．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正八面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，則過，，三點(diǎn)的平面截該正八面體所得截面的面積等于.【答案】【分析】由得平面，同理平面，進(jìn)而得到平面平面平面，結(jié)合正八面體的對(duì)稱性可知截面是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，求出面積即可.【解析】∵，，分別是，，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面.同理得平面.又平面平面，，∴平面平面平面.設(shè)平面與相交于點(diǎn)，則，故為的中點(diǎn).同理得平面也過，的中點(diǎn)，結(jié)合正八面體的對(duì)稱性，得截面是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，其面積.故答案為：【點(diǎn)睛】確定多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連接成截線，從而求得截面.而截線與截點(diǎn)的主要依據(jù)主要有：(1)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線.(2)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).(3)如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行.(4)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行.22．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】將繞翻折至與共平面，當(dāng)，，共線時(shí)，最小.【解析】由正方體的性質(zhì)可得為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，為等腰直角三角形，其直角邊長(zhǎng)為，將下圖中繞翻折至與共平面，因?yàn)?，，所以，，共線時(shí)，最小，此時(shí)為中點(diǎn)，則最小值為．故選：C23．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，是正三棱錐且側(cè)棱長(zhǎng)為，兩側(cè)棱的夾角為分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則三角形的周長(zhǎng)的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】通過展開平面以及勾股定理求得正確答案.【解析】把正三棱錐沿剪開并展開，形成三個(gè)全等的等腰三角形：、、，則，，連接，交于，交于，則線段就是的最小周長(zhǎng)，又，根據(jù)勾股定理，，∴.故選：A

.24．（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把平面展開，判斷出當(dāng)M與C重合時(shí)，最大；的最小值為，利用余弦定理即可求解.【解析】如圖所示，把平面展開，使A、B、C、P四點(diǎn)共面.當(dāng)M與B重合時(shí)，；當(dāng)M與C重合時(shí)，最大；連結(jié)交于，由兩點(diǎn)之間直線最短可知，當(dāng)位于時(shí)，最小.此時(shí)，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范圍為.故選：A.25．（2024·福建漳州·一模）如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械，通常由兩個(gè)圓石做成．磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間，沿著紋理向外運(yùn)移，在滾動(dòng)過兩層面時(shí)被磨碎，形成粉末．如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)完全相同的圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為，則圓柱底面圓的半徑為（

）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】A【分析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.【解析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，則石磨的側(cè)面積為，解得.故選：A.26．（21-22高二下·湖南株洲·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》卷第五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一側(cè)棱垂真于底面的四棱錐”.現(xiàn)有陽馬，平面，，，，上有一點(diǎn)E，使截面的周長(zhǎng)最短，則與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過底面展開轉(zhuǎn)化為平面圖形，容易找到最小值點(diǎn)，然后利用平移法作出異面直線所成的角，即可得解；【解析】解：將平面沿折至，使與共面，連接交于，連接，此時(shí)周長(zhǎng)最短，作交于，則（或其補(bǔ)角）即為所求角，在中，，由，即，可得，在中，，在中，，故與所成角的余弦值等于．故選：D．27．（21-22高一下·山西·期中）“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡．”出自南宋詩(shī)人楊萬里的作品《過松源晨炊漆公店》．如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形．山腳呈圓形，半徑為40km．山高為km，B是山坡SA上一點(diǎn)，且km．為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為（

）A．60km B．km C．72km D．km【答案】C【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖去求公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)度.【解析】該圓錐的母線長(zhǎng)為，所以，則圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，如圖，展開圓錐的側(cè)面，連接，過點(diǎn)S作的垂線，垂足為H，由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光公路為圖中的，，記點(diǎn)P為上任一點(diǎn)，連接PS，上坡即P到山頂S的距離PS越來越小，下坡即P到山頂S的距離PS越來越大，則下坡段的公路，即圖中的HB，由，得（km）．故選：C28．（23-24高二上·河北保定·開學(xué)考試）折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”?它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖甲），圖乙是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧，所在圓的半徑分別是6和12，且，則關(guān)于該圓臺(tái)下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．高為 B．體積為C．表面積為 D．內(nèi)切球的半徑為【答案】B【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，求得圓臺(tái)上下底面半徑、母線長(zhǎng)，然后可求得圓臺(tái)的高、體積、表面積和內(nèi)切球的半徑，從而確定正確答案.【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；又圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，所以圓臺(tái)的高，A正確；圓臺(tái)的體積，B錯(cuò)誤；圓臺(tái)的表面積，C正確；由于圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上下底面半徑和（），所以圓臺(tái)的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為，D正確.故選：B

29．（23-24高二上·四川·期中）半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別在線段，上，則的最小值為.

【答案】【分析】將幾何體展開為平面，且在線段兩側(cè)（兩線段在兩點(diǎn)之間），利用兩點(diǎn)之間線段最短求的最小值.【解析】由題設(shè)，該半正多面體的展開圖如下圖示，

根據(jù)已知及幾何體結(jié)構(gòu)知：，，且，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在展開圖中共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：30．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期中）已知矩形ABCD中，，，分別為中點(diǎn)，為對(duì)角線交點(diǎn)，如圖1所示．現(xiàn)將和剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿將，折疊，并使與重合，與重合，連接，得到由平面，，，圍成的無蓋幾何體，如圖2所示．

(1)求證：平面；(2)若為棱上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)求此多面體體積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）在圖2中，取的中點(diǎn)，連，，，通過證明，，可證平面；（2）將側(cè)面與展開在一個(gè)平面內(nèi)，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可求出結(jié)果；（3）根據(jù)對(duì)稱性得，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，由此計(jì)算可得結(jié)果.【解析】（1）在圖2中，取的中點(diǎn)，連，，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，同理得，，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平?

（2）將側(cè)面與展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖：當(dāng)點(diǎn)是與的交點(diǎn)時(shí)，最小，在圖1中，，，所以因?yàn)?，，，，，，所以，所以，所?所以的最小值為.

（3）根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，，因?yàn)榈拿娣e為，為定值，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大值時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)平面平面，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到的距離，等于，所以此多面體體積的最大值為.一、單選題1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）圓錐的高為2，底面半徑為1，則以圓錐的高為直徑的球表面與該圓錐側(cè)面交線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作圓錐的軸截面，設(shè)軸截面與球交點(diǎn)為為中點(diǎn)，則球表面與該圓錐側(cè)面交線即為以為半徑的圓，利用相似和勾股定理求出長(zhǎng)即可.【解析】根據(jù)題意，以圓錐的高為直徑的球半徑為，且與圓錐底面相切于底面圓心，作圓錐的軸截面，設(shè)軸截面與球交點(diǎn)為為中點(diǎn)，則球表面與該圓錐側(cè)面交線即為以為半徑的圓，因?yàn)樵趫A上，所以，所以，又因?yàn)?，所以由解得，所以，所以由等面積可得，解得，所以交線長(zhǎng)為，故選：D2．（2024·四川自貢·三模）已知球O半徑為4，圓與圓為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦長(zhǎng)為4，若，，則兩截面圓的圓心距（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)球心與截面圓心連線垂直圓面，求得兩個(gè)圓面所成二面角，再根據(jù)直角三角形以及勾股定理求解即可.【解析】設(shè)圓與圓公共弦為，其中點(diǎn)為，則，，所以，，所以在中，，所以，在中，，所以，所以在中，，所以.故選：D.3．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知為圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，若，四棱錐的體積為，則圓錐的軸截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，利用體積可求得底面圓半徑，根據(jù)軸截面是等腰三角形可求其面積.【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，因?yàn)闉閳A錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，易知四邊形為正方形，且邊長(zhǎng)為，則四棱錐的體積為，解得或（舍去），所以圓錐的軸截面面積為.故選：A.4．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為2的立方體被一個(gè)平面所截，截得的截面圖形面積最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)截面過立方體中心且過兩條側(cè)棱時(shí)，截面面積最大，得出截面后計(jì)算即可得.【解析】當(dāng)截面過立方體中心且過兩條側(cè)棱時(shí)，其截面面積最大，如圖所示矩形符合要求，此時(shí)截面面積為.故選：A.5．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)有一個(gè)動(dòng)平面，且平面，當(dāng)平面截此正方體所得截面邊數(shù)最多時(shí)，記此時(shí)的截面的面積為，周長(zhǎng)為，則（

）A．不為定值，為定值 B．為定值，不為定值C．與均為定值 D．與均不為定值【答案】A【分析】利用正方體棱的關(guān)系，判斷平面所成的角都相等的位置，可知截面邊數(shù)最多時(shí)為六邊形.如圖所示，可計(jì)算出周長(zhǎng)為定值，計(jì)算正三角形的面積和截而為正六邊形時(shí)的截面面積通過比較即可得答案.【解析】正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，與面平行的面且截面是六邊形時(shí)滿足條件，如圖所示，正方體邊長(zhǎng)為1，即設(shè)，則，，同理可得六邊形其他相鄰兩邊的和均為，六邊形的周長(zhǎng)為定值，正三角形的面積為.當(dāng)均為中點(diǎn)時(shí)，六邊形的邊長(zhǎng)相等即截面為正六邊形時(shí)截面面積最大，此時(shí),截面面積為，截面從平移到的過程中，截面面積的變化過程是由小到大，再由大到小，故可得周長(zhǎng)為定值，面積不為定值.故選：A6．（2023·安徽安慶·二模）一底面半徑為1的圓柱，被一個(gè)與底面成45°角的平面所截（如圖），為底面圓的中心，為截面的中心，為截面上距離底面最小的點(diǎn)，到圓柱底面的距離為1，為截面圖形弧上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到底面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得截面橢圓是以為中心，為長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2，作于，因?yàn)?，?lián)立直線的方程和橢圓方程可求得，可得出，過作，即可求出和，即可得出答案.【解析】圓柱半徑為1，截面與底邊所成角為，作于，則，.截面橢圓是以為中心，為長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2，所以橢圓的方程為，作于，因?yàn)椋本€的方程為，所以設(shè)，又因?yàn)樵跈E圓上，解得：，所以，，過作，則，，由于均平行于底面，故點(diǎn)到底面的距離是.故選：C.7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓面叫做球冠的底，垂直于圓面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圓弧繞過它的一個(gè)端點(diǎn)的直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面．假設(shè)球面對(duì)應(yīng)球的半徑是R，球冠的高是h，那么球冠的表面積公式為．據(jù)中國(guó)載人航天工程辦公室消息，北京時(shí)間2023年12月21日21時(shí)35分，經(jīng)過約7.5小時(shí)的出艙活動(dòng)，航天員湯洪波、唐勝杰已安全返回天和核心艙，神舟十七號(hào)航天員乘組第一次出艙活動(dòng)取得圓滿成功．若航天員湯洪波出倉(cāng)后站在機(jī)械臂上，以背后的地球?yàn)楸尘?，如圖所示，面向鏡頭招手致意，此時(shí)湯洪波距離地球表面約為400km（圖中的點(diǎn)A處），設(shè)地球半徑約為Rkm，則此時(shí)湯洪波回望地球時(shí)所能看到的地球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，結(jié)合公式計(jì)算即可求解.【解析】如圖，km，由，得，又，則，得，所以（）.即此時(shí)湯洪波回望地球時(shí)所能看到的地球的表面積為（）.故選：D8．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知分別是棱長(zhǎng)為2的正四面體的對(duì)棱的中點(diǎn).過的平面與正四面體相截，得到一個(gè)截面多邊形，則正確的選項(xiàng)是（

）①截面多邊形可能是三角形或四邊形.②截面多邊形周長(zhǎng)的取值范圍是.③截面多邊形面積的取值范圍是.④當(dāng)截面多邊形是一個(gè)面積為的四邊形時(shí)，四邊形的對(duì)角線互相垂直.A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】將平面從平面開始旋轉(zhuǎn)，結(jié)合對(duì)稱性可判斷①；設(shè)，利用余弦定理表示出，利用幾何意義求最小值，利用二次函數(shù)單調(diào)性求最大值可判斷②；先判斷，然后利用向量方法求出，可得截面面積的范圍，可判斷③；由③可判斷④.【解析】對(duì)于①，當(dāng)平面過或時(shí)，截面為三角形.易知正四面體關(guān)于平面對(duì)稱，將平面從平面開始旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)平面與交于點(diǎn)，且，此時(shí)截面為四邊形，①正確；對(duì)于②，設(shè)，由余弦定理得，，由兩點(diǎn)間距離公式知，表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，所以截面多邊形周長(zhǎng)的取值范圍是，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，記與的交點(diǎn)為，由對(duì)稱性，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，記，則，因?yàn)?，所以，由二次函?shù)性質(zhì)可知，，即，所以，③正確；對(duì)于④，由③知，當(dāng)截面為四邊形時(shí)，對(duì)角線，垂直，所以④正確．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是找到正四面體的對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性判斷截面形狀，利用余弦定理求周長(zhǎng)，利用空間向量求距離，然后可得面積，題目綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的直觀想象能力有較高的要求.二、多選題9．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）正方體的棱長(zhǎng)為6，，分別是棱，的中點(diǎn)，過，，作正方體的截面，則（

）A．該截面是五邊形B．四面體外接球的球心在該截面上C．該截面與底面夾角的正切值為D．該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75【答案】ACD【分析】對(duì)于A，過三點(diǎn)作正方體的截面即可；對(duì)于B，計(jì)算四面體外接球半徑，以及外接圓半徑，比較球心與圓心是否重合即可；對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面和平面的法向量即可；對(duì)于D，將被截正方體較小部分體積分為5個(gè)三棱錐計(jì)算即可.【解析】對(duì)于A，如圖①所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接交于，連接，，則五邊形為平面截正方體所得的截面，故A正確；對(duì)于B，如圖②所示，設(shè)三棱錐底面外心為，三棱錐外接球球心為，且,在中，,，所以外接圓半徑為,所以在中，三棱錐外接球半徑,所以三棱錐外接球球心到三點(diǎn)的距離都為.在中，，所以外接圓半徑,所以四面體外接球的球心不在該截面上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖③所示，以分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，且正方體邊長(zhǎng)為6，即，所以，設(shè)為平面的法向量，則，取，所以，又因?yàn)槠矫?，故為平面的法向量，則，，故C正確；對(duì)于D，如圖④所示，取中點(diǎn)，連接,因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，即，同理，由得，由得，所以，，，?所以該截面將正方體分成兩部分，較小部分體積為，故D正確.故選：ACD.10．（2023·湖南郴州·二模）在正四棱臺(tái)中，，，為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，下列說法正確的有（

）A．該正四棱臺(tái)的高為2B．該正四棱臺(tái)的體積為224C．平面截該正四棱臺(tái)的截面面積是D．該正四棱臺(tái)的內(nèi)切球半徑為1【答案】AC【分析】令，應(yīng)用棱臺(tái)體積公式及導(dǎo)數(shù)求正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)對(duì)應(yīng)參數(shù)，進(jìn)而求棱臺(tái)的高、體積、內(nèi)切球半徑，根據(jù)平面基本性質(zhì)畫出截面并求面積即可.【解析】將正棱臺(tái)補(bǔ)為如下圖的棱錐，令，

由，為棱的中點(diǎn)，所以，棱錐高，則小棱錐高，棱臺(tái)的體積，令，則，所以且，則，，，即遞增，，，即遞減，所以，即時(shí)棱臺(tái)體積最大，此時(shí)棱臺(tái)的高，A對(duì)；棱臺(tái)體積為，B錯(cuò)；棱臺(tái)斜高為，則其平行于且垂直于底面的截面如下：

若存在內(nèi)切球，則上圖等腰梯形存在內(nèi)切圓且上下底的切點(diǎn)為對(duì)應(yīng)中點(diǎn)，根據(jù)內(nèi)切圓O與梯形各邊都相切，結(jié)合切線長(zhǎng)定理知：腰長(zhǎng)等于上下底之和的一半，而，故不存在內(nèi)切圓，即棱臺(tái)不存在內(nèi)切球，D錯(cuò)；過作交于，又為棱的中點(diǎn)，則為中點(diǎn)，所以，，而，即，則，，所以截面為等腰梯形，且高為，則面積為，C對(duì).故選：AC11．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2B．四面體ABCD的體積為C．AC與BD的公垂線段的長(zhǎng)為D．過E作球O的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，找到過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的四面體ABCD的截面，證明出是正方形，求出邊長(zhǎng)和面積；B選項(xiàng)，分割法求解四面體體積；C選項(xiàng)，找到AC與BD的公垂線，求出長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，先找到球心的位置，然后再得到過點(diǎn)E作面積最小的截面是以E為圓心，BE=2為半徑的圓，面積最大的截面是過點(diǎn)O，E的大圓，求出兩圓面積之比.【解析】A選項(xiàng)，取AB中點(diǎn)H，連接EH，GH，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，GH∥BD，F(xiàn)G∥AC，EH∥AC，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故平行四邊形EFGH即為過點(diǎn)E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面，取AC中點(diǎn)Q，連接QB，QD，因?yàn)?，由三線合一得：DQ⊥AC，BQ⊥AC，又，所以AC⊥平