圖形剪拼A

一知識框架

-、本講主要學習三大圖形處理方法:

(D理解掌握圖形的分割；

(2)理解掌握圖形的拼合；

(3)理解圖形的剪拼.

本講中很多類型的題目還要求同學們?nèi)邮謬L試.通過本講知識的學習，讓同學們了解不同圖形的分

割、拼合、剪拼的方法，鍛煉同學們的平面想象能力以及增強學生的動手操作能力.

(1)把一個幾何圖形按某種要求分成幾個圖形，就叫做圖形的分割.

(2)反過來，按一定的要求也可以把幾個圖形拼成一個完美的圖形，就叫做圖形的拼合.

(3)將一個或者多個圖形先分割開，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼.

我們在圖形的分割、拼合和剪拼的過程中，都要結(jié)合所提供的圖形特點來思考.

(1)如果把一個圖形分割成若干個大小、形狀相等的部分，那么就要想辦法找圖形的對稱

點，把圖形先分少，再分多.

(2)圖形中，如果有數(shù)量方面的要求，可以先從數(shù)量入手，找出平分后每塊上所含數(shù)量的

多少，再結(jié)合數(shù)量來分割圖形.

(3)如果是要把幾個圖形拼合成一個大圖形，要特別注意每條邊的長度，把相等的邊長拼

合在一起，先拼少的，再拼多的.

(4)如果是剪拼圖形，要抓住“剪、拼前后圖形的面積相等”這個關(guān)鍵，根據(jù)已知條件和

圖形的特點，通過分析推理和必要的計算，確定剪拼的方法.

二、解題關(guān)鍵：分割其實就是運用特殊的三角形(等角直角三角形、等邊三角形等)、正

-1-

方形、等邊圖形的特殊性質(zhì)進行分割而得，所以分割的關(guān)鍵是利用了特殊圖形的關(guān)系解

配

三、解題思想：這其實就是一種化整為零的思想，各位同學不僅要學會幾何題中的這種方

法，更要細細體味這種思想在解決各種問題中的妙用。

?例題精講

［例1］用一條線段把一個長方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法?

【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解析】怎樣把一個圖形按照規(guī)定的要求分割成若干部分呢？這就是圖形的分割問題.按照規(guī)定的要求合

理分割圖形，是很講究技巧的，多做這種有趣的訓練，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展空間觀

念，豐富想象，提高觀察能力.

這道題要求把長方形平均分割成兩塊，過長方彩中心的任意一條直線都可以把長方形平均分割成

兩塊，根據(jù)這點給出如下分法(如右圖)：

(1)做長方形的兩條對角線，設(shè)交點為O

(2)過O點任作一條直線直線將長方形平均分割成兩塊.

可見用線段平分長方形的分法是無窮多的.

【答案】(1)做長方形的兩條對角線，設(shè)交點為O

(2)過。點任作一條直線直線將長方形平均分割成兩塊.

用線段平分長方形的分法有無窮多種。

【鞏固】畫一條直線，將六邊形分成大小相等、形狀相同的兩部分，這樣的直線有條.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】填空

【解圻】無數(shù)條.任何過六邊形中心的直線均符合要求.

【答案】無數(shù)條

【例2】把任意?個三角形分成面枳相等的4個小三角形，有許多種分法.請你畫出4種不問的分法.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成4個等底等高的小三角形，它們

的面積必定相等.而要得到這4個等底等高的小三角形，只需把原三角形的某條邊四等分，再將

各分點與這邊相對的頂點連接起來就行了.根據(jù)上面的分析，可得如左下圖所示的三種分法.又

因為4=1X4=2X2,所以，如果我們把每一個小三角形的面積看做1,那么1x4就可以視為把三

角形的面積直接分成4等份，即分成4個面積為1的小三角形；而2x2可以視為先把原三角形分

成兩等份，再把每一份分別分成兩等份,根據(jù)前面的分析，在每次等分時，都要想辦法找等底等

高的三角形.根據(jù)上面的分析，又可以得到如右下圖的另兩種分法.

t鞏固】把任意一個三角形分成面積相等的2個小三角形，有許多種分法.請你畫出3種不同的分法.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解圻】根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成2個等底等高的小三角形，它們

的面積必定相等.而要得到這2個等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某條邊的中點與這

邊相對的頂點連接起來就行了.根據(jù)上面的分析，可得如圖所示的三種分法.

【答案】

【例3】用3個等腰直角三角形拼圖，要求邊與邊完全重合，能拼出幾種圖形？

【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解析】這種類型的題需要學生親自操作，建議教師準備材料與學生互動.一去可以拼成如下圖的幾種形狀:

-3-

【答案】

【鞏固】用兩塊大小一樣的等腰直角三角形能拼成幾種常見的圖形？

【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解析】建議用等腰直角三角板，把不同的邊進行重合，不要漏掉旋轉(zhuǎn)重合，或者準備一些等腰直角三角

形的紙片，由學生拼接后貼到黑板上，見下圖：

0

【答案】

0

【例4】下圖是一個3x4的方格紙,請用四種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個

小方格的完整.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】分成的兩塊每塊有12+2=6（個）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點對禰，大小和形狀完全一樣，我

們從對稱線入手，介紹一種分割技巧——染色法，先選中一個小格，找它關(guān)于中心點或中心線的

對稱位置，標上相應的符號.當找它關(guān)于中心線的對稱位置時是一種情況，關(guān)于中心點的對稱位

置是另一種情況，具體如下圖所示.

-4-

62346234622643265623

51155115511551154114

43264325433462343265

【鞏固】右圖是一個4x4的方格紙，請用六種不同的方法將它分割成完全相司的兩部分，但要保持每個小

方格的完整.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】因為要分割成完全相同的兩塊，即大小、形狀完全相同.方格紙一共有4x4=16（個）小格，所以

分成的兩塊每塊有16+2=8（個）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點對稱，大小和形狀完全一樣，應

用染色法，從中心點的一側(cè)入手染色，逐步推進.（建議教師同時呈現(xiàn)六幅空的4x4格圖，不同

的變化在不同的圖上同時呈現(xiàn)）如下圖：

【答案】（答案不唯一）

［例5］下圖是由五個正方形組成的圖形.把它分成形狀、人小都相同的四個圖形，應怎樣分？

-5-

【考點、】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解圻】如果不考慮分成的四個圖形的形狀，只考慮它們的面積，這就要求把原來五個正方形分成四個面

積相等的圖形，每個圖形的面積應是1個多正方形.我們把每個正方形各分成四個面積相等的小

正方形，分成的每塊圖形應有五個這樣的小正方彩.根據(jù)圖形的對稱性，我們很快就能得到如右

上圖的分法.也可以將中間的正方形分成四個小正方形，如右上圖.

【鞏固】將圖中的圖形分割成面積相等的三塊.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答

【解析】如下圖所示.

【答案】

【例6】如圖，將一個等邊一-角形分割成互相不重疊的23個較小的等邊二角形（這些較小的等邊「角形

-6-

的大小不一定都相同），請在圖中畫出分割的結(jié)果.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【關(guān)健詞】2003年，小學生數(shù)學報

【解析】分割的方法不唯一，如圖所示.

【答案】

【鞏固】如圖，將?個正方形分割成互相不重疊的21個小正方形，這些小正方形的大小不?定相同，請

畫圖表示.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2005年，小學生數(shù)學報

【解聽】分割的方法不唯一，如右圖所示.

【答案】

-7-

【例7］試將一個正方形分成相同的四塊，然后用這四塊分別拼成三角形、平行四邊形和梯形.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】要用分成的四塊組成三角形，那么剪成得圖形一定是三角形，這樣平均分成四等分，當然這種分

法有好幾種.組成圖形的時候我們可以換位思考，看如何將三角彩、平行四邊形、梯形分成大小

相等的三角形.如圖所示:

【答案】

【鞏固】把兩個小正方形剪開以后拼成一個大正方形.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】因為大正方形的面積等于兩個小正方形的面積和，所以大正方形的邊長不能等于兩個小正方形的

邊長和，而是等于小正方形的對角線的長，所以要沿著兩個小正方形的對角線剪開再進行拼接,

如右圖.

-8-

【答案】

0區(qū)

【例8】將下圖分成4個形狀、大小都相同的圖形，然后拼成一個正方形.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解祈】總共有36塊小正方形，所以最后拼成的大正方腦邊長有6個單位，具體切拼方法如下:

【答案】

【鞏固】將下圖分成兩塊，然后拼成一個正方形.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

【解圻】圖形的面積等于16個小方格，如果以每個小方格的邊長為1,那么拼成的正方形的邊長應該是

4.因為圖形是缺角長方彩，長為6,寬為3,應將寬加1,長減去2便可得一個正方形，所以分

-9-

割成兩塊后，右邊的一塊應向上平移1（原來寬為3,向上平移使寬為4）,向左平移2（原來長為6,

向左平移使長為4）.如右下圖所示.

【答案】

［例9］小龍的媽媽在街上賣邊角布料的地攤上,買回了一塊形狀是等腰直角三角形的綢布，想用它來

做長方形的窗簾，為了不把布剪的太碎,裁剪的塊數(shù)就要盡可能的少，請問小龍的媽媽應該怎

樣剪拼呢？

【考點】圖形的分割與拼接

【解析】要使裁剪的塊數(shù)少，就要充分利用等腰直角三角形的特點，還要盡可能多的讓長方形的邊與三角

形的邊重合，假設(shè)拼好的長方形以8c為長，現(xiàn)在要把AADE補到aCGE的位置上，這就要求這

兩個三角形完全一樣，顯然，只要取。、E分別為AB、AC的中點即可.所以首先連接的

中點。和AC的中點E,將△ADE沿DE剪開，再按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°即可.如下圖所示.

【答案】

-10-

【鞏固】試將任意一個三角形分成三塊，然后拼成一個長方形.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：三角形與長方形的不同在于：角、邊的個數(shù)不同，把三角形變?yōu)樗倪呅危枰右粋€角，

加一條邊，而且長方形四個角都是直角，自然能想到在三帶形中做兩條垂線，并且過三

角形兩條邊的中點，這樣才能拼出一個長方形，如左下圖.

方法二：因為由平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形很簡單，所以只需要把三溝形先分割、拼湊成平行四邊

形，作三角形的中位線，旋轉(zhuǎn)180。即可轉(zhuǎn)化為平行四邊形，然后拼成長方形，如右下圖.

【答案】

課堂檢測

【隨練1】把右圖剪成形狀、大小相等的8個小圖形，怎么剪？作出分出的小圖形.

-11-

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】總格數(shù)為12,用總格數(shù)除以8,得到每個小圖形應該是一個半小正方舫，根據(jù)平均一個小圖形的

格數(shù)作圖，如下圖.

【答案】

【隨練2】一個正三角形形狀的土地上有四棵大樹（如下圖所示），現(xiàn)要把這塊正三角形的土地

分成和它形狀相同的四小塊，并且要求每塊地中都要有一棵大樹.應怎樣分？

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】由于土地的形狀為正三角形，由題意可知，把大三角形的面積分成四份，每一塊占一份，且形狀

與原三角形相同，于是我們想到取大正三角形的各邊中點，依次連城各邊中點，即可將這塊大正

三角形的土地分成與它相等的四份，如下圖所示.

【總結(jié)】本題若死守三角形面積等于底x高的一半，則無以下手，引導學生轉(zhuǎn)換一下思考角度，取原三角

形各邊中點，將原三角彩分成面積相等的四部分，問題即可解決.

【答案】

【隨練3】試將任意一個矩形分成兩塊，然后拼成一個三角形.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

-12-

【解析】方法一：考慮到矩形沿對角線可以分成兩個相同的三角形，兩個完全相同的三角形即可拼成一個

大的三角形，如左上圖所示.

方法二：連接矩形一個角與一邊中點的連線，將分割出的三角形沿中點處旋轉(zhuǎn)180。即可，如右上

圖所示.

方法，一:方法二:

【答案】

方法一,:方法二:

一家庭作業(yè)

【作業(yè)1］如何把下圖中的三個圖形分割成兩個相同的部分（除了沿正方形的邊進行分割外，還可沿正方形

的對角線進行分割）.

【考點】圖歷的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解祈】要把圖形分成兩個相同的部分，首先要保證分得的兩部分面積相同，其次要保證分得的兩部分形

狀相同，從面積入手進行分割會使問題更容易解決.第一個圖彩一共有6個小正方形，2個三角

形，要分割成兩塊完全相同的部分，每一部分都要有3個正方形、1個三角形，這樣很容易就可

以解決這個問題了；同樣，對第二個圖形，一共有7個正方形，2個三角形，因為正方形的個數(shù)

是奇數(shù)，所以，肯定有一個正方形被分成相同的兩塊，對于這個圖影，我們很容易看出有一個正

方形的位置很特殊，在最中間，所以考慮將它分成兩部分，由對稱的原則，從對角線分開；第三

個圖形更復雜一些，一共有6人正方形，6個三角形，分成的兩塊每一塊都要有3個正方形、3

-13-

個三角形，因為最上面的兩個三角形組合成了一個大的三角形，所以右下方的兩個三角形不能分

開，再根據(jù)對稱的原則，就容易解決這個問題了，具體分法見下圖.

【答案】

【作業(yè)2】已知左下圖是由同樣大小的5個正方形組成的.試將圖形分割成4塊形狀、大小都一樣的圖形.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】已知圖形是由同樣大小的5個正方形組成的，要分成4塊同樣大小的圖形，則每塊圖形是之個正

4

方形.由此想到，若把每個正方形都分成4等份，則分割成的每一塊中應包含5份.再稍經(jīng)試驗，

即得下圖的解（圖內(nèi)部的實線為分割線）.

【答案】

【作業(yè)3】將下圖分割成大小、形狀相同的三塊，使每一小塊中都含有一個。.

【考點】圖形的分割與拼接【難度】4星【題型】解答

-14-

【解析】圖中一共有18個小方格，要求分割成大小、形狀相同的三塊，每一塊有：18+3=6(塊)，而且分

割成大小、形狀相同的三塊，可以看出圖形的中心點是O,而且上面的部分是對稱的，但是只有

5塊，需要對稱的再加上一塊，再由圖形的特點，可以判斷應分為右下圖的三部分.

【答案】

【作業(yè)4】下面哪些圖形自身用4次就能拼成一個正方形？

【考點】圖形的分割與拼接【難度】3星【題型】解答

【解析】用4塊圖⑷和圖⑸那樣的圖形顯然能夠拼成一個大正方形.其實用圖(1)、圖(2)、圖⑶也能拼成

一個大正方形，拼法見下圖.

【答案】圖形(1)、(2)、(3)(4)、(5)可以

【作業(yè)5】用下面的3個圖形，拼成右邊的大正方形.

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【解圻】首先數(shù)一數(shù)所有的空格數(shù)，一