數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法實戰(zhàn)作業(yè)指導(dǎo)書TOC\o"1-2"\h\u22153第1章線性表 3266001.1線性表的基本概念 3274301.2線性表的實現(xiàn) 330791.3線性表的操作 330597第2章棧和隊列 484112.1棧的基本概念和實現(xiàn) 478952.1.1棧的基本概念 4160262.1.2棧的實現(xiàn) 4151372.2棧的操作與應(yīng)用 5305402.2.1棧的操作 576712.2.2棧的應(yīng)用 518272.3隊列的基本概念和實現(xiàn) 5102492.3.1隊列的基本概念 551912.3.2隊列的實現(xiàn) 5302582.4隊列的操作與應(yīng)用 6251362.4.1隊列的操作 661212.4.2隊列的應(yīng)用 615572第3章鏈表 787683.1鏈表的基本概念 7169373.2單鏈表的實現(xiàn) 7194133.3雙向鏈表和循環(huán)鏈表 99419第4章排序算法 9249354.1冒泡排序 963464.2選擇排序 1081694.3插入排序 10255774.4快速排序 1010306第5章查找算法 1153345.1順序查找 1187485.1.1概述 11166765.1.2算法描述 1137785.1.3時間復(fù)雜度 11266345.2二分查找 1142825.2.1概述 11184925.2.2算法描述 12244345.2.3時間復(fù)雜度 12105765.3哈希查找 128035.3.1概述 12239555.3.2算法描述 12112635.3.3時間復(fù)雜度 1210038第6章樹與二叉樹 13171666.1樹的基本概念 13174706.2二叉樹的遍歷 1328076.3線索二叉樹 13160306.4二叉樹的存儲結(jié)構(gòu) 146178第7章圖 14190367.1圖的基本概念 14252977.2圖的表示方法 1424877.3圖的遍歷 1528547.4最短路徑算法 154006第8章動態(tài)規(guī)劃 15261588.1動態(tài)規(guī)劃的基本概念 15315328.1.1動態(tài)規(guī)劃的定義 15257028.1.2動態(tài)規(guī)劃的特點 1567288.2動態(tài)規(guī)劃的基本方法 1695668.2.1自頂向下的帶記憶化搜索 16147478.2.2自底向上的迭代求解 16269698.3動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用實例 16117608.3.1最長公共子序列 16228228.3.2背包問題 16202968.3.3最小路徑和 1675548.3.4股票買賣問題 166436第9章貪心算法 17191369.1貪心算法的基本概念 175319.2貪心算法的設(shè)計方法 1727089.3貪心算法的應(yīng)用實例 1727864第10章算法設(shè)計與分析 183203610.1算法設(shè)計策略 182653510.1.1引言 182146510.1.2分治策略 182105610.1.3動態(tài)規(guī)劃策略 183162210.1.4貪心策略 18254910.1.5回溯法 18635610.2算法效率分析 182941110.2.1引言 182896010.2.2時間復(fù)雜度 181225710.2.3空間復(fù)雜度 19996910.2.4漸進分析 192820910.3算法功能優(yōu)化 19773810.3.1引言 192347010.3.2算法改進 192402210.3.3數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化 193232610.3.4編碼技巧 192584010.3.5算法并行化 19第1章線性表1.1線性表的基本概念線性表（LinearList）是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的一種基本類型，它由一系列元素組成，這些元素可以是數(shù)字、字符或任何其他類型的數(shù)據(jù)。線性表的特點是元素之間存在著一對一的線性關(guān)系，即除了第一個元素和最后一個元素外，每個元素都有且一個前驅(qū)和一個后繼。在形式上，一個線性表可以表示為一個有限序列：L=(a1,a2,a3,,an)，其中a1是線性表的第一個元素，an是最后一個元素，n是線性表的長度。如果n=0，則線性表為空。線性表的基本操作包括插入、刪除、查找、遍歷等。1.2線性表的實現(xiàn)線性表的實現(xiàn)方式主要有兩種：順序存儲結(jié)構(gòu)和鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)。（1）順序存儲結(jié)構(gòu)順序存儲結(jié)構(gòu)是指用一段連續(xù)的存儲單元依次存儲線性表中的元素。這種實現(xiàn)方式具有隨機訪問的特點，即可以在O(1)的時間復(fù)雜度內(nèi)訪問到線性表中的任意元素。順序存儲結(jié)構(gòu)的缺點是插入和刪除操作的時間復(fù)雜度較高，通常為O(n)。（2）鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)是指通過指針連接線性表中的元素，形成一種鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)。鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)包括單向鏈表、雙向鏈表和循環(huán)鏈表等。鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)的主要優(yōu)點是插入和刪除操作的時間復(fù)雜度較低，通常為O(1)。但隨機訪問的時間復(fù)雜度為O(n)，因為需要從頭節(jié)點開始遍歷。1.3線性表的操作線性表的操作主要包括以下幾種：（1）插入操作在線性表中插入一個元素，可以在表的頭部、尾部或任意位置進行。插入操作的時間復(fù)雜度取決于插入位置，最壞情況為O(n)。（2）刪除操作刪除線性表中的一個元素，同樣可以在頭部、尾部或任意位置進行。刪除操作的時間復(fù)雜度同樣取決于刪除位置，最壞情況為O(n)。（3）查找操作查找線性表中的元素，可以在O(n)的時間復(fù)雜度內(nèi)找到目標(biāo)元素的位置。如果線性表采用順序存儲結(jié)構(gòu)，則可以使用二分查找算法將查找時間復(fù)雜度降低到O(logn)。（4）遍歷操作遍歷線性表，即將線性表中的每個元素依次訪問一遍。遍歷操作的時間復(fù)雜度為O(n)。（5）排序操作對線性表進行排序，可以將元素按照一定的順序排列。排序算法有冒泡排序、選擇排序、插入排序、快速排序等，時間復(fù)雜度從O(n^2)到O(nlogn)不等。第2章棧和隊列2.1棧的基本概念和實現(xiàn)2.1.1棧的基本概念棧（Stack）是一種特殊的線性表，其操作僅限于表的一端，這一端被稱為棧頂（Top），另一端被稱為棧底（Bottom）。棧的操作遵循“先進后出”（FirstInLastOut，F(xiàn)ILO）的原則。棧的主要操作包括入棧（push）和出棧（pop）。2.1.2棧的實現(xiàn)棧可以通過數(shù)組或鏈表來實現(xiàn)。以下分別介紹這兩種實現(xiàn)方式：（1）數(shù)組實現(xiàn)使用數(shù)組實現(xiàn)棧時，需要指定棧的最大容量。棧的初始化、入棧和出棧操作如下：初始化：設(shè)定棧的最大容量，將棧頂指針設(shè)置為1。入棧：判斷棧是否已滿，若未滿，將元素插入棧頂，并將棧頂指針加1。出棧：判斷棧是否為空，若不為空，返回棧頂元素，并將棧頂指針減1。（2）鏈表實現(xiàn)使用鏈表實現(xiàn)棧時，鏈表的頭部作為棧頂。棧的初始化、入棧和出棧操作如下：初始化：創(chuàng)建一個空鏈表。入棧：在鏈表頭部插入一個新節(jié)點，存儲元素。出棧：刪除鏈表頭部的節(jié)點，并返回其存儲的元素。2.2棧的操作與應(yīng)用2.2.1棧的操作棧的基本操作包括入棧、出棧、判斷棧空、判斷棧滿和獲取棧頂元素。（1）入棧（push）將一個元素插入棧頂。（2）出棧（pop）刪除棧頂元素，并返回。（3）判斷棧空判斷棧是否為空。（4）判斷棧滿判斷棧是否已滿（僅適用于數(shù)組實現(xiàn)）。（5）獲取棧頂元素返回棧頂元素，但不刪除。2.2.2棧的應(yīng)用棧在計算機科學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，以下列舉幾個常見應(yīng)用：（1）表達式求值（2）字符串反轉(zhuǎn)（3）函數(shù)調(diào)用（4）括號匹配（5）程序執(zhí)行過程中的臨時存儲2.3隊列的基本概念和實現(xiàn)2.3.1隊列的基本概念隊列（Queue）是一種特殊的線性表，其操作僅限于表的兩端。一端被稱為隊頭（Front），另一端被稱為隊尾（Rear）。隊列的操作遵循“先進先出”（FirstInFirstOut，F(xiàn)IFO）的原則。2.3.2隊列的實現(xiàn)隊列可以通過數(shù)組或鏈表來實現(xiàn)。以下分別介紹這兩種實現(xiàn)方式：（1）數(shù)組實現(xiàn)使用數(shù)組實現(xiàn)隊列時，需要指定隊列的最大容量。隊列的初始化、入隊和出隊操作如下：初始化：設(shè)定隊列的最大容量，將隊頭和隊尾指針均設(shè)置為0。入隊：判斷隊列是否已滿，若未滿，將元素插入隊尾，并將隊尾指針加1。出隊：判斷隊列是否為空，若不為空，返回隊頭元素，并將隊頭指針加1。（2）鏈表實現(xiàn)使用鏈表實現(xiàn)隊列時，鏈表的頭部作為隊頭，鏈表的尾部作為隊尾。隊列的初始化、入隊和出隊操作如下：初始化：創(chuàng)建一個空鏈表。入隊：在鏈表尾部插入一個新節(jié)點，存儲元素。出隊：刪除鏈表頭部的節(jié)點，并返回其存儲的元素。2.4隊列的操作與應(yīng)用2.4.1隊列的操作隊列的基本操作包括入隊、出隊、判斷隊列空、判斷隊列滿和獲取隊頭元素。（1）入隊（enqueue）將一個元素插入隊尾。（2）出隊（dequeue）刪除隊頭元素，并返回。（3）判斷隊列空判斷隊列是否為空。（4）判斷隊列滿判斷隊列是否已滿（僅適用于數(shù)組實現(xiàn)）。（5）獲取隊頭元素返回隊頭元素，但不刪除。2.4.2隊列的應(yīng)用隊列在計算機科學(xué)中同樣具有廣泛的應(yīng)用，以下列舉幾個常見應(yīng)用：（1）數(shù)據(jù)緩沖（2）消息隊列（3）廣度優(yōu)先搜索（4）程序執(zhí)行過程中的臨時存儲（5）線程同步第3章鏈表3.1鏈表的基本概念鏈表是一種常見的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它由一系列節(jié)點（Node）組成，每個節(jié)點包含數(shù)據(jù)域和指向下一個節(jié)點的指針域。鏈表與數(shù)組不同，數(shù)組在內(nèi)存中是連續(xù)存儲的，而鏈表則可以非連續(xù)存儲，這使得鏈表在插入和刪除操作時具有更高的效率。鏈表的主要特點如下：（1）動態(tài)大?。烘湵砜梢愿鶕?jù)需要動態(tài)地增加或減少節(jié)點數(shù)量。（2）非連續(xù)存儲：鏈表的節(jié)點可以分散地存儲在內(nèi)存中。（3）插入和刪除操作高效：鏈表在插入和刪除節(jié)點時，只需改變相應(yīng)節(jié)點的指針即可，不需要像數(shù)組那樣進行大量元素的移動。3.2單鏈表的實現(xiàn)單鏈表是最簡單的鏈表形式，每個節(jié)點只包含一個指向下一節(jié)點的指針。以下是單鏈表的基本操作：（1）初始化：創(chuàng)建一個頭節(jié)點，頭節(jié)點的指針域為空，表示鏈表為空。（2）添加節(jié)點：將新節(jié)點插入到鏈表的末尾。（3）刪除節(jié)點：刪除鏈表中的指定節(jié)點。（4）查找節(jié)點：查找鏈表中是否存在指定值的節(jié)點。（5）遍歷鏈表：遍歷鏈表中的所有節(jié)點。以下為單鏈表的實現(xiàn)偽代碼：classNode:def__init__(self,data):self.data=dataself.next=NoneclassSingleLinkedList:def__init__(self):self.head=Nonedefadd_node(self,data):new_node=Node(data)ifself.headisNone:self.head=new_nodeelse:current_node=self.headwhilecurrent_node.nextisnotNone:current_node=current_node.nextcurrent_node.next=new_nodedefdelete_node(self,data):current_node=self.headprev_node=Nonewhilecurrent_nodeisnotNone:ifcurrent_node.data==data:ifprev_nodeisNone:self.head=current_node.nextelse:prev_node.next=current_node.nextreturnTrueprev_node=current_nodecurrent_node=current_node.nextreturnFalsedeffind_node(self,data):current_node=self.headwhilecurrent_nodeisnotNone:ifcurrent_node.data==data:returnTruecurrent_node=current_node.nextreturnFalsedeftraverse(self):current_node=self.headwhilecurrent_nodeisnotNone:print(current_node.data)current_node=current_node.next3.3雙向鏈表和循環(huán)鏈表雙向鏈表是在單鏈表的基礎(chǔ)上，每個節(jié)點增加一個指向前一個節(jié)點的指針。這使得雙向鏈表在查找、插入和刪除操作時更加靈活。以下是雙向鏈表的基本操作：（1）初始化：創(chuàng)建一個頭節(jié)點，頭節(jié)點的指針域為空，表示鏈表為空。（2）添加節(jié)點：將新節(jié)點插入到鏈表的末尾，同時更新前一個節(jié)點的指針。（3）刪除節(jié)點：刪除鏈表中的指定節(jié)點，并更新相鄰節(jié)點的指針。（4）查找節(jié)點：查找鏈表中是否存在指定值的節(jié)點。（5）遍歷鏈表：遍歷鏈表中的所有節(jié)點。循環(huán)鏈表是一種特殊的鏈表，鏈表中最后一個節(jié)點的指針指向第一個節(jié)點，形成一個環(huán)。循環(huán)鏈表有單向循環(huán)鏈表和雙向循環(huán)鏈表之分。以下是循環(huán)鏈表的基本操作：（1）初始化：創(chuàng)建一個頭節(jié)點，頭節(jié)點的指針域指向自身，表示鏈表為空。（2）添加節(jié)點：將新節(jié)點插入到鏈表的末尾，并更新頭節(jié)點的指針。（3）刪除節(jié)點：刪除鏈表中的指定節(jié)點，并更新相鄰節(jié)點的指針。（4）查找節(jié)點：查找鏈表中是否存在指定值的節(jié)點。（5）遍歷鏈表：遍歷鏈表中的所有節(jié)點。第4章排序算法排序算法是計算機科學(xué)中重要的基礎(chǔ)算法之一，它將一組數(shù)據(jù)按照特定的順序進行排列。本章將介紹四種常用的排序算法：冒泡排序、選擇排序、插入排序和快速排序。4.1冒泡排序冒泡排序是一種簡單的排序算法，其基本思想是通過相鄰元素的比較和交換，使較大（或較?。┑脑刂饾u從前往后（或從后往前）移動。具體步驟如下：（1）比較相鄰的兩個元素，如果它們的順序不對就交換它們的位置。（2）對每一對相鄰元素做同樣的工作，從開始第一對到結(jié)尾的最后一對。這步做完后，最后的元素會是最大的數(shù)。（3）針對所有的元素重復(fù)以上的步驟，除了最后已經(jīng)排序好的元素。（4）重復(fù)步驟1~3，直到排序完成。冒泡排序的時間復(fù)雜度為O(n^2)，空間復(fù)雜度為O(1)。4.2選擇排序選擇排序是一種簡單直觀的排序算法，其基本思想是遍歷數(shù)組，每次從未排序的序列中找到最?。ɑ蜃畲螅┑脑兀瑢⑵浞诺脚判蛐蛄械钠鹗嘉恢?。具體步驟如下：（1）從數(shù)組的未排序部分選擇最?。ɑ蜃畲螅┑脑?。（2）將選出的最?。ɑ蜃畲螅┰嘏c未排序部分的第一個元素交換位置。（3）從未排序部分（不包括已交換位置的元素）繼續(xù)選擇最?。ɑ蜃畲螅┑脑兀貜?fù)步驟2。（4）重復(fù)步驟3，直到整個數(shù)組排序完成。選擇排序的時間復(fù)雜度為O(n^2)，空間復(fù)雜度為O(1)。4.3插入排序插入排序是一種簡單的排序算法，其基本思想是將一個記錄插入到已經(jīng)排好序的有序表中，從而得到一個新的、記錄數(shù)增加1的有序表。具體步驟如下：（1）從第一個元素開始，該元素可以認(rèn)為已經(jīng)被排序。（2）取出下一個元素，在已經(jīng)排序的元素序列中從后向前掃描。（3）如果該元素（已排序）大于新元素，將該元素移到下一位置。（4）重復(fù)步驟3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置。（5）將新元素插入到該位置后。（6）重復(fù)步驟2~5，直到所有元素排序完成。插入排序的時間復(fù)雜度為O(n^2)，空間復(fù)雜度為O(1)。4.4快速排序快速排序是一種高效的排序算法，采用分而治之的策略，將大問題分解為小問題來解決。其基本思想是選擇一個基準(zhǔn)元素，將數(shù)組分為兩個子數(shù)組，使得左邊子數(shù)組的元素都小于等于基準(zhǔn)元素，右邊子數(shù)組的元素都大于等于基準(zhǔn)元素，然后遞歸地對左右兩個子數(shù)組進行快速排序。具體步驟如下：（1）從數(shù)組中選擇一個元素作為基準(zhǔn)元素。（2）將數(shù)組分為兩個子數(shù)組，一個包含小于等于基準(zhǔn)元素的元素，另一個包含大于等于基準(zhǔn)元素的元素。（3）遞歸地對兩個子數(shù)組進行快速排序。（4）將已排序的兩個子數(shù)組合并，得到最終排序完成的數(shù)組?？焖倥判虻钠骄鶗r間復(fù)雜度為O(nlogn)，最壞情況下的時間復(fù)雜度為O(n^2)，空間復(fù)雜度為O(logn)。第5章查找算法5.1順序查找5.1.1概述順序查找是一種基本的查找算法，適用于線性表的結(jié)構(gòu)。其基本思想是從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的一端開始，逐個檢查每個元素，直到找到目標(biāo)值或到達結(jié)構(gòu)的另一端。順序查找不需要數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)具有特定的順序，因此在數(shù)據(jù)量不大時，順序查找是一種簡單且有效的方法。5.1.2算法描述假設(shè)有一個線性表L，包含n個元素，目標(biāo)值為key。順序查找算法如下：（1）從線性表的一端開始遍歷。（2）逐個比較當(dāng)前元素與key。（3）如果當(dāng)前元素等于key，返回當(dāng)前元素的位置。（4）如果遍歷結(jié)束仍未找到key，返回1表示查找失敗。5.1.3時間復(fù)雜度順序查找的時間復(fù)雜度為O(n)，其中n為線性表中元素的個數(shù)。5.2二分查找5.2.1概述二分查找是一種在有序線性表中使用的查找算法。其基本思想是將目標(biāo)值與線性表中間的元素進行比較，根據(jù)比較結(jié)果調(diào)整查找范圍，逐步縮小查找區(qū)間，直到找到目標(biāo)值或查找區(qū)間為空。5.2.2算法描述假設(shè)有一個有序線性表L，包含n個元素，目標(biāo)值為key。二分查找算法如下：（1）初始化查找區(qū)間的上下界，low=0，high=n1。（2）當(dāng)low≤high時，進行以下操作：a.計算中間位置mid=(lowhigh)/2。b.如果L[mid]等于key，返回mid。c.如果L[mid]小于key，調(diào)整查找區(qū)間為[low,mid1]。d.如果L[mid]大于key，調(diào)整查找區(qū)間為[mid1,high]。（3）如果查找區(qū)間為空，返回1表示查找失敗。5.2.3時間復(fù)雜度二分查找的時間復(fù)雜度為O(logn)，其中n為線性表中元素的個數(shù)。5.3哈希查找5.3.1概述哈希查找是一種基于哈希表的查找方法。哈希表通過哈希函數(shù)將關(guān)鍵碼映射到表中的一個位置，以實現(xiàn)快速查找。哈希查找適用于大量數(shù)據(jù)的查找，具有較高的查找效率。5.3.2算法描述假設(shè)有一個哈希表H，包含n個元素，目標(biāo)值為key。哈希查找算法如下：（1）根據(jù)哈希函數(shù)計算key的哈希值hashValue。（2）將hashValue映射到哈希表中的位置。（3）如果該位置對應(yīng)的元素等于key，返回該位置。（4）如果該位置為空，表示查找失敗，返回1。（5）如果該位置不為空但元素不等于key，進行沖突解決策略，如線性探測、二次探測或鏈地址法等。5.3.3時間復(fù)雜度哈希查找的時間復(fù)雜度取決于哈希表的設(shè)計和沖突解決策略。在理想情況下，哈希查找的時間復(fù)雜度為O(1)。但是在實際應(yīng)用中，由于沖突的存在，時間復(fù)雜度可能會增加。第6章樹與二叉樹6.1樹的基本概念樹（Tree）是一種重要的非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它是由n（n≥0）個節(jié)點組成的有限集合。當(dāng)n=0時，稱為空樹。在任意一個非空樹中，有如下性質(zhì)：（1）有且僅有一個特定的稱為根（Root）的節(jié)點。（2）當(dāng)n>1時，其余節(jié)點可分為m（m>0）個互不相交的有限集，每一個集合本身又是一棵樹，并稱為根的子樹。樹的基本術(shù)語包括節(jié)點、根節(jié)點、子節(jié)點、父節(jié)點、兄弟節(jié)點、葉子節(jié)點、節(jié)點的層次、樹的深度等。6.2二叉樹的遍歷二叉樹（BinaryTree）是樹的一種特殊形式，每個節(jié)點最多有兩個子節(jié)點，分別稱為左子節(jié)點和右子節(jié)點。二叉樹的遍歷是指按照某種順序訪問二叉樹中的所有節(jié)點，并且每個節(jié)點僅被訪問一次。二叉樹的遍歷方法分為深度優(yōu)先遍歷和廣度優(yōu)先遍歷兩大類。深度優(yōu)先遍歷包括前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷，具體如下：（1）前序遍歷：先訪問根節(jié)點，然后遞歸地遍歷左子樹，最后遞歸地遍歷右子樹。（2）中序遍歷：先遞歸地遍歷左子樹，然后訪問根節(jié)點，最后遞歸地遍歷右子樹。（3）后序遍歷：先遞歸地遍歷左子樹，然后遞歸地遍歷右子樹，最后訪問根節(jié)點。廣度優(yōu)先遍歷，也稱為層序遍歷，是指從根節(jié)點開始，按照從上到下、從左到右的順序遍歷二叉樹中的節(jié)點。6.3線索二叉樹線索二叉樹（ThreadedBinaryTree）是一種對二叉樹進行優(yōu)化存儲的方法，它通過在二叉樹的節(jié)點中增加線索來表示節(jié)點的空指針域，從而減少存儲空間的需求。線索二叉樹分為前驅(qū)線索和后繼線索兩種。前驅(qū)線索表示節(jié)點的左指針指向其前驅(qū)節(jié)點，后繼線索表示節(jié)點的右指針指向其后繼節(jié)點。在線索二叉樹中，可以利用線索快速找到節(jié)點的前驅(qū)和后繼，提高遍歷效率。6.4二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)主要有兩種：順序存儲結(jié)構(gòu)和鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)。（1）順序存儲結(jié)構(gòu)：使用數(shù)組來存儲二叉樹，適用于完全二叉樹或近似完全二叉樹。在順序存儲結(jié)構(gòu)中，節(jié)點之間的關(guān)系可以通過數(shù)組下標(biāo)來表示。（2）鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)：使用鏈表來存儲二叉樹，適用于一般二叉樹。在鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)中，每個節(jié)點包含三個域：數(shù)據(jù)域、左指針域和右指針域。左指針域指向節(jié)點的左子節(jié)點，右指針域指向節(jié)點的右子節(jié)點。當(dāng)節(jié)點沒有子節(jié)點時，對應(yīng)的指針域為空。第7章圖7.1圖的基本概念圖是一種復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，由頂點（Vertex）和邊（Edge）組成。在圖的研究中，頂點通常表示實體，邊表示實體之間的關(guān)系。圖廣泛應(yīng)用于計算機科學(xué)、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)、社會關(guān)系分析等多個領(lǐng)域。根據(jù)邊的性質(zhì)，圖可以分為無向圖、有向圖、加權(quán)圖和無權(quán)圖等。無向圖中的邊沒有方向，表示兩個頂點之間的對稱關(guān)系；有向圖中的邊有方向，表示頂點之間的單向關(guān)系；加權(quán)圖中的邊有權(quán)重，表示頂點之間的距離或代價；無權(quán)圖中的邊沒有權(quán)重，表示頂點之間的等距離關(guān)系。7.2圖的表示方法圖的表示方法有多種，常用的有以下幾種：（1）鄰接矩陣（AdjacencyMatrix）：使用一個二維數(shù)組表示圖，數(shù)組的行和列分別對應(yīng)圖的頂點，數(shù)組中的元素表示頂點之間的連接關(guān)系。（2）鄰接表（AdjacencyList）：使用數(shù)組或鏈表表示圖中的頂點，每個頂點對應(yīng)一個鏈表，鏈表中的節(jié)點表示與該頂點相鄰的頂點。（3）邊集表（EdgeList）：使用數(shù)組或鏈表表示圖中的邊，每個節(jié)點包含兩個頂點表示邊的起點和終點。（4）關(guān)聯(lián)矩陣（IncidenceMatrix）：使用一個二維數(shù)組表示圖，數(shù)組的行表示頂點，列表示邊，數(shù)組中的元素表示頂點與邊的關(guān)系。7.3圖的遍歷圖的遍歷是指按照一定的順序訪問圖中的所有頂點。圖的遍歷算法主要有兩種：深度優(yōu)先遍歷（DFS）和廣度優(yōu)先遍歷（BFS）。（1）深度優(yōu)先遍歷（DFS）：從某個頂點開始，訪問該頂點，然后遞歸地遍歷它的鄰接點。DFS適用于尋找圖中所有頂點之間的連接關(guān)系。（2）廣度優(yōu)先遍歷（BFS）：從某個頂點開始，訪問該頂點，然后遍歷它的鄰接點，再遍歷鄰接點的鄰接點，以此類推。BFS適用于尋找圖中頂點之間的最短路徑。7.4最短路徑算法最短路徑算法用于求解圖中兩個頂點之間的最短路徑。以下介紹兩種常用的最短路徑算法：（1）迪杰斯特拉算法（Dijkstra'sAlgorithm）：適用于求解無向圖中的最短路徑問題。該算法從源點出發(fā)，逐步更新到達其他頂點的最短距離，直到找到終點。（2）弗洛伊德算法（Floyd'sAlgorithm）：適用于求解有向圖中的最短路徑問題。該算法使用動態(tài)規(guī)劃思想，通過逐步增加中間頂點，計算任意兩個頂點之間的最短路徑。第8章動態(tài)規(guī)劃8.1動態(tài)規(guī)劃的基本概念動態(tài)規(guī)劃是一種求解優(yōu)化問題的方法，其基本思想是將復(fù)雜問題分解為若干個子問題，并保存子問題的解，以避免重復(fù)計算。動態(tài)規(guī)劃適用于具有重疊子問題和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)特點的問題。本章將詳細介紹動態(tài)規(guī)劃的基本概念、方法和應(yīng)用實例。8.1.1動態(tài)規(guī)劃的定義動態(tài)規(guī)劃是一種在數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)和經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的方法，用于求解具有最優(yōu)解結(jié)構(gòu)的決策問題。其核心思想是將問題分解為多個子問題，并利用這些子問題的解來構(gòu)造原問題的解。8.1.2動態(tài)規(guī)劃的特點（1）重疊子問題：動態(tài)規(guī)劃問題通常包含多個相互重疊的子問題，這些子問題在求解過程中會多次出現(xiàn)。（2）最優(yōu)子結(jié)構(gòu)：動態(tài)規(guī)劃問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解。（3）存儲子問題解：動態(tài)規(guī)劃通過存儲子問題的解，避免重復(fù)計算，提高求解效率。8.2動態(tài)規(guī)劃的基本方法動態(tài)規(guī)劃的基本方法包括兩種：自頂向下的帶記憶化搜索和自底向上的迭代求解。8.2.1自頂向下的帶記憶化搜索自頂向下的帶記憶化搜索是一種遞歸方法，它從原問題開始，逐步求解子問題，并在遞歸過程中存儲已求解的子問題解，以避免重復(fù)計算。8.2.2自底向上的迭代求解自底向上的迭代求解是一種迭代方法，它從最簡單的子問題開始，逐步求解更復(fù)雜的子問題，直到求解出原問題的解。這種方法通常使用循環(huán)實現(xiàn)。8.3動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用實例以下為幾個典型的動態(tài)規(guī)劃應(yīng)用實例：8.3.1最長公共子序列最長公共子序列問題是指在兩個序列中找到一個長度最長的公共子序列。動態(tài)規(guī)劃方法可以高效地求解此問題。8.3.2背包問題背包問題是一類組合優(yōu)化問題，要求在給定容量限制下，選擇物品的組合，使得物品的總價值最大。動態(tài)規(guī)劃方法可以求解各種背包問題，如01背包問題、完全背包問題等。8.3.3最小路徑和最小路徑和問題是指在加權(quán)圖中找到一個從起點到終點的路徑，使得路徑上的權(quán)值和最小。動態(tài)規(guī)劃方法可以求解此類問題，如迪杰斯特拉算法。8.3.4股票買賣問題股票買賣問題是指在給定股票價格序列的情況下，決定買賣時機，使得收益最大化。動態(tài)規(guī)劃方法可以求解此類問題，如買賣股票的最佳時機問題。第9章貪心算法9.1貪心算法的基本概念貪心算法是一種在每一步選擇中都采取當(dāng)前狀態(tài)下最優(yōu)的選擇，從而希望能夠得到最終全局最優(yōu)解的算法策略。貪心算法的核心思想是局部最優(yōu)解，即每一步都做出當(dāng)前看起來最優(yōu)的選擇，而不考慮未來可能的情況。貪心算法簡單、高效，但并不總是能得到全局最優(yōu)解。9.2貪心算法的設(shè)計方法貪心算法的設(shè)計通常遵循以下步驟：（1）確定問題的解結(jié)構(gòu)：分析問題，找出解的結(jié)構(gòu)，確定解的組成部分。（2）確定貪心選擇策略：根據(jù)問題的特點，設(shè)計一個貪心選擇策略，使得每一步都選擇當(dāng)前最優(yōu)的解。（3）驗證貪心選擇的正確性：證明貪心選擇策略能夠得到全局最優(yōu)解，或者給出貪心選擇策略的適用條件。（4）設(shè)計算法實現(xiàn)：根據(jù)貪心選擇策略，設(shè)計算法的具體實現(xiàn)步驟。（5）分析算法的時間復(fù)雜度：對算法的時間復(fù)雜度進行分析，評估算法的效率。9.3貪心算法的應(yīng)用實例以下是一些常見的貪心算法應(yīng)用實例：（1）零錢兌換問題：給定一組面額的硬幣，求解最少硬幣數(shù)以湊成給定金額的問題。貪心策略是每次選擇面額最大的硬幣。（2）活動選擇問題：給定一組活動，每個活動都有開始時間和結(jié)束時間，求解最多能參加的活動數(shù)量問題。貪心策略是每次選擇結(jié)束時間最早的活動。（3）背包問題：給定一組物品，每個物品有價值和重量，求解在背包容量限制下，能裝入背包的物品的最大價值問