第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省眉山市彭山一中高二（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線l的傾斜角為60°，且經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，則直線l的方程為(

)A.y=3x B.y=3x?22.已知事件A，B相互獨(dú)立，且P(A?)=13，P(B)=A.16 B.112 C.133.設(shè)曲線C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2A.6 B.3 C.24.已知四面體O?ABC中，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，D為BC的中點(diǎn)，E為OD的中點(diǎn)，則AE用向量a，bA.?a+14b+14c5.如圖是一個(gè)中國古典園林建筑中常見的圓形過徑門，已知該門的最高點(diǎn)到地面的距離為4米，門在地面處的寬度為4米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標(biāo)系xOy中，以地面所在的直線為x軸，過圓心的豎直直線為y軸，則門的輪廓所在圓的方程為(

)A.x2+(y?32)2=2546.已知橢圓C：x216+y212=1的上頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1，線段AF1的中垂線與橢圓A.8 B.12 C.16 D.247.2025蛇年央視春晚中，四川大涼山妞妞合唱團(tuán)帶來節(jié)目《玉盤》唱出了對(duì)月亮的呼喚，舞臺(tái)的“月亮”元素惟妙惟肖，若將其中的一個(gè)“月亮”元素看作圓C，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(m,n)在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP斜率nm的取值范圍[?3,3A.?33 B.?1 C.1?8.已知圓臺(tái)O1O的上、下底面半徑分別為1，2，母線與底面所成角為45°，AB為下底面的一條直徑，點(diǎn)P為圓臺(tái)側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若|PA|2+|PB|A.π B.2π C.3π D.4π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某人連續(xù)投籃三次，每次投一球，記事件A為“三次都投中”，事件B為“三次都沒投中”，事件C為“恰有二次投中”，事件D為“至少有二次投中”，則(

)A.A?D B.B∩D≠? C.A∪C=D D.B10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A.直線BE與CD所成角的余弦值為53

B.BC1//平面ACD1

C.點(diǎn)F到直線BE的距離為111.已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為1A.橢圓C1的方程為x24+y23=1

B.雙曲線C2的離心率為5

C.過橢圓C1右頂點(diǎn)且垂直于x軸的直線被雙曲線C2截得的弦長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知空間向量a=(6,2,1)，b=(2,x,?3)，若a⊥b，則x=13.已知圓C1：x2+y2=4與圓C214.2025春節(jié)檔國產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧?！方舆B破全球票房記錄，影片中哪吒與敖丙是不可分割的二人組，其中敖丙的武器“盤龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，C上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1(?a,0)，F(xiàn)2(a,0)(a>0)的距離之積為定值.當(dāng)a=3時(shí)，C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足△PF1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知圓C的圓心為C(3,0)，且過點(diǎn)A(1,5)．

(1)求圓C的半徑及標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(x,y)滿足|PO|=2|PC|，求點(diǎn)16.(本小題15分)

骰子通常作為桌游小道具，最常見的骰子是一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為1，2，3，4，5，6．

(1)先后拋擲骰子兩次，記A=“兩次點(diǎn)數(shù)之和為4”，求事件A的概率；

(2)甲、乙兩人玩游戲，雙方約定：游戲有2關(guān)，第一關(guān)拋擲一次，所得的點(diǎn)數(shù)不小于2，則算闖過第1關(guān)；第二關(guān)拋擲兩次，所得的點(diǎn)數(shù)之和不小于7，則算闖過第2關(guān).假定每次闖關(guān)互不影響.由甲連續(xù)挑戰(zhàn)兩關(guān)并均過關(guān)，則甲勝；否則，乙獲勝.這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說明理由．17.(本小題15分)

已知拋物線C：y2=2px(0<p<6)的焦點(diǎn)為F，直線y=4與C交于P，且|PF|=5．

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線y=?x+1與C交于M，N兩點(diǎn)，求△PMN的面積．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．

(1)求證：MN//平面PAD；

(2)平面PAD與平面MND夾角的余弦值；

(3)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得直線DE與平面PBC所成角為π6.若存在，確定點(diǎn)E19.(本小題17分)

已知橢圓：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)(0,3)，離心率為22．

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)M(2,1)的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)；

(i)若點(diǎn)M參考答案1.C

2.A

3.A

4.A

5.A

6.C

7.D

8.C

9.ACD

10.BC

11.ACD

12.?913.414.1815.解：(1)由題意，圓心為C(3,0)，過點(diǎn)A(1,5)，

則半徑r=(3?1)2+(5?0)2=3，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?3)2+y16.解：(1)先后拋擲骰子兩次，基本事件總數(shù)n=6×6=36，

記A=“兩次點(diǎn)數(shù)之和為4”，

則事件A包含的基本事件有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3個(gè)，

∴事件A的概率為P(A)=336=112；

(2)拋擲1次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和不小于2的情況有5種，

挑戰(zhàn)第一關(guān)通過的概率為P1=56，

拋擲2次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和不小于7的情況有21種，

則挑戰(zhàn)第2關(guān)通過的概率為P2=1+2+3+4+5+66×6=712，

則連續(xù)挑戰(zhàn)217.解：(1)設(shè)P(x0,4)，

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，

所以42=2px0，

解得8=px0，

因?yàn)閨PF|=5，

由拋物線的定義得x0+p2=5，

解得x0=5?p2，

又8=px0，

所以8=p(5?p2)，

解得p=2或p=8(舍去)，

則拋物線C的方程為y2=4x；

(2)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立18.(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，取PD的中點(diǎn)Q，連接AQ，NQ，由M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)，

NQ//CD，NQ=12CD，又四邊形ABCD是菱形，則AM//CD//NQ，AM=12CD=NQ，

于是四邊形AMNQ是平行四邊形，MN/?/AQ，而AQ?平面PAD，MN?平面PAD，

所以MN/?/平面PAD．

(2)解：以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，M(2,1,0)，N(0,1,1)，平面PAD的一個(gè)法向量為n=(0,1,0)，

設(shè)平面MND的法向量m=(x,y,z)，DM=(2,1,0)，DN=(0,1,1)，

所以m?DM=2x+y=0m?DN=y+z=0，令x=1則y=?2，z=2，所以m=(1,?2,2)，

所以平面PAD與平面MND夾角的余弦值為|cos<m，n>|=|m?n||m||n|=23．

(3)解：A(2,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，

假定在棱PA上存在一點(diǎn)E，滿足條件，令A(yù)E=λAP=λ(?2,0,2)=(?2λ,0,2λ)，0≤λ≤1，

DE=DA+AE=(2?2λ,0,2λ)19.解：(1)因?yàn)闄E圓E過點(diǎn)(0,3