河北省衡水市2024-2025學年高二下學期開學考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.將三角形數(shù)1，3，6，10，…即為數(shù)列{an}，則a6A.21 B.22 C.28 D.262.設(shè)某曲線上一動點M到點F(3,0)的距離與到直線x=?3的距離相等，經(jīng)過點P(2,1)的直線l與該曲線相交于A，B兩點，且點P恰為等線段AB的中點，則|AF|+|BF|=(

)A.6 B.10 C.12 D.143.已知雙曲線x2a2?y2b2=1的右焦點為F(5,0)，點P，Q在雙曲線上，且關(guān)于原點OA.52 B.2 C.4.兩圓相交于兩點(1,3)和(m,1)，兩圓的圓心都在直線x?y+c2=0上，則m+c=A.?1 B.2 C.3 D.05.已知雙曲線C：x2?y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若左支上的兩點A，B與左焦點F1三點共線，且A.2 B.3 C.4 D.66.在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點重合，得到三棱錐O?DEF，則該三棱錐外接球的表面積為(

)

A.3π B.6π C.6π 7.曲線L：x=?1+2cosθy=?1+2sinθ(θ為參數(shù))上的點到曲線C1：A.1 B.22?2 C.8.平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=3A.1 B.12 C.33二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.若數(shù)列{an}的通項公式為anA.此數(shù)列不能用圖象表示

B.此數(shù)列的圖象僅在第一象限

C.此數(shù)列的圖象為直線y=4x?5

D.此數(shù)列的圖象為直線y=4x?5上滿足x∈N10.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F到準線l的距離為4，過焦點F的直線與拋物線相交于M(x1,yA.拋物線C的準線l的方程為x=?2

B.|MN|的最小值為4

C.若A(4,2)，點Q為拋物線C上的動點，則|QA|+|QF|的最小值為6

D.2x111.對于棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)，下列說法正確的是(

)A.底面半徑為1m，高為2m的圓錐形罩子(無底面)能夠罩住水平放置的該正方體

B.以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為22

C.該正方體內(nèi)能同時整體放入兩個底面半徑為0.5m，高為0.7m的圓錐

D.該正方體內(nèi)能整體放入一個體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知雙曲線C：x2?y2=2，過右焦點的直線交雙曲線于A，B兩點，若A，B中點的橫坐標為4，則弦13.已知實數(shù)a，b，c，d滿足a2+b2=1，c2+d14.已知點P是圓x2+y2=2上的動點，Q是直線1：3x?4y+15=0上的動點，則四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，已知圓C的圓心坐標為(2t,1t)，其中t∈R且t≠0，x軸、y軸被圓C截得的弦分別為OA，OB.

(1)求證：△OAB的面積為定值，并求出這個定值；

(2)設(shè)直線2x+y?4=0與圓C交于M，N兩點，若|OM|=|ON|，求圓16.(本小題12分)

如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點．

(1)求證：MN//平面PAD；

(2)求證：MN⊥CD；

(3)若二面角P?DC?A大小為45°，求證：平面PMC⊥平面PDC.17.(本小題12分)

已知拋物線C：y2=4x的對稱軸上一點A(a,0)(a>0)，過點A的直線l交拋物線于M、N兩點.

(1)若拋物線C上到點A最近的點恰為拋物線的頂點(0,0)，求a的取值范圍；

(2)設(shè)直線OM的斜率為kOM，直線ON的斜率為kON，若kOM18.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F，E，點M(?1,?32)在C上，且MF⊥x軸.

(1)求C的方程.

(2)已知直線l1過點D(?2,0)且與x軸垂直，直線l2過點A(t,0)(t>a)且與橢圓C相切，直線19.(本小題12分)

已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)中，焦距為42，且雙曲線過點P(?3,1).斜率不為零的直線與雙曲線交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過點P.

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)答案和解析1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】613.【答案】214.【答案】3?15.【答案】(1)證明：因為(2t,1t)(t∈R,t≠0),x軸、y軸被圓C截得的弦分別為OA、OB，

所以AB經(jīng)過C，又C為AB中點，所以A(4t,0),B(0,2t)，

所以S△OAB=12|OA|?|OB|=12|4t||2t|=4，所以△OAB的面積為定值．

(2)解：因為直線2x+y?4=0與圓C交于M，N兩點，|OM|=|ON|，

所以MN的中垂線經(jīng)過O，且過C，所以O(shè)C的方程y=12x，

所以1t=12?2t，所以當t=1時，有圓心C(2,1)，半徑r=5，

所以圓心C到直線2x+y?4=0的距離為d=55<5，

所以直線2x+y?4=0與圓C16.【答案】(1)證明：取PD的中點E，連結(jié)AE、EN，

∵E、N分別為PD、PC的中點，

∴EN//CD且EN=12CD，

又∵四邊形ABCD是矩形，則AB//CD，AB=CD，

∵M為AB的中點，

∴AM//CD且AM=12CD，

∴EN//AM，EN=AM，

∴四邊形AMNE為平行四邊形，

∴MN//AE，

∵MN?平面PAD，AE?平面PAD，

∴MN//平面PAD；

(2)證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

∴CD⊥PA，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴CD⊥AD，

∵PA∩AD=A，PA、AD?平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

∵AE?平面PAD，

∴AE⊥CD，

由(1)知；MN//AE，

∴MN⊥CD；

(3)證明：因為CD⊥平面PAD，AD,PD?平面PAD，

所以CD⊥AD，CD⊥PD，

所以∠PDA就是二面角P?DC?A的平面角，即∠PDA=45°，

因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，

所以PA⊥AD，那么△PAD為等腰直角三角形，

因為E是PD的中點，所以AE⊥PD，又AE//MN，所以MN⊥PD，

根據(jù)(2)的結(jié)論MN⊥CD，且PD∩CD=D，PD,CD?平面PDC，

所以MN⊥平面PDC，

又MN?平面PMC17.【答案】解：(I)設(shè)拋物線上任意一點P(x,y)

則PA2=(x?a)2+4x=[x?(a?2)]2+4a?4

由條件可知，a?2≤0，∴0<a≤2

(II)設(shè)直線l：x=ty+a代入y2=4x得：y2?4ty?4a=0

18.【答案】解：(1)設(shè)F(?c,0)，

因為點M(?1,?32)在C上，且MF⊥x軸

所以c=1且b2a=32，

此時a2?1a=32，

解得a=2，b=3，

則橢圓C的方程為x24+y23=1；

(2)根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點B在第二象限，

設(shè)B(?2,n)(n>0)，

此時直線AB的方程為y=?nt+2(x?t)，

聯(lián)立y=?nt+2(x?t)x24+y23=1，消去y并整理得[3(t+2)2+4n2]x2?8tn19.【答案】解：(I