第3講立體幾何與空間向量高頻考點分析高頻考點分析

真題真題速遞1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．(1)若為線段中點，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．2．（2024·全國甲卷（文）·高考真題）如圖，，，，,為的中點.(1)證明：平面；(2)求點到的距離.3．（2024·全國甲卷（理）·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．4．（2024·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點，(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．5．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．6．（2024·新課標II卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．7．（2023·新課標I卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練一：線面平行的判定與性質(zhì)【知識點解析】1.線線平行的判定(1)平行四邊形的對邊(2)三角形的中位線或等高線(3)線面平行與面面平行的性質(zhì)2.線面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)文字表示數(shù)學語言表示文字表示數(shù)學語言表示線面平行如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．【實戰(zhàn)演練】1．（2425高三上·重慶長壽·期末·節(jié)選）如圖所示，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的中點．(1)求證：平面；

2．（2425高三上·江蘇揚州·期末·節(jié)選）如圖，在直三棱柱中，，二面角為直二面角．點為棱的中點，棱與平面相交于點．(1)求證：為棱的中點；3．（2425高三下·湖北武漢·開學考試·節(jié)選）在五面體中，平面，平面．(1)求證：；4．（2425高三上·山東青島·期末·節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，垂足為．(1)求證：平面；5．（2425高三上·廣東深圳·階段練習·節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，平面平面分別為的中點，，平面與平面交于直線．(1)證明：；6．（2425高二上·山東泰安·期中·節(jié)選）如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點，點Q在線段上，且.(1)求證：平面；

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練二：面面平行的判定與性質(zhì)【知識點解析】1.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)文字表示數(shù)學語言表示文字表示數(shù)學語言表示面面平行如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．（1）兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．（2）兩個平面平行，一個平面內(nèi)的任意一條直線與另外一個平面平行.【實戰(zhàn)演練】1．（2425高三上·安徽亳州·期末·節(jié)選）如圖，在六面體中，平面，平面，四邊形為菱形，，，.(1)證明：平面平面；

2．（2425高三上·湖北·期中·節(jié)選）已知圓柱如圖所示，其中正方形為軸截面，點，為圓上異于，且同側(cè)的點，且，點為線段的中點.(1)求證：平面平面；3．（2425高二上·山東濰坊·期中）如圖，在直三棱柱中，，，，，D，E分別是，的中點.(1)證明：平面平面；4．（2425高三上·湖南長沙·階段練習·節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，平面平面.(1)若分別為的中點，求證：平面；

5．（2425高三上·福建·期中·節(jié)選）如圖，在四棱柱中，底面為直角梯形，，平面為的中點.(1)設(shè)平面與平面的交線為，求證：；6．（2425高三上·湖南·階段練習·節(jié)選）如圖，直四棱柱的體積為，，，的面積為．(1)求證：平面；

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練三：線面垂直的判定與性質(zhì)【知識點解析】1.線線垂直的判定(1)等腰三角形中線(2)勾股逆定理(3)菱形對角線(4)矩形鄰邊(5)正方形對角線與鄰邊(6)圓直徑所對圓周角(7)線面垂直的性質(zhì)(8)向量的數(shù)量積※若提及空間中兩個角相等，應(yīng)證明全等，進而得到邊相等，利用等腰三角形的性質(zhì)※若菱形有一內(nèi)角為，則角頂點與對邊中點的連線與對邊垂直2.線面垂直的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)文字表示數(shù)學語言表示文字表示數(shù)學語言表示線面垂直如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.一條直線與一個平面垂直，該直線與該平面內(nèi)任意一條直線垂直.【實戰(zhàn)演練】1．（2425高三上·江西南昌·期末·節(jié)選）已知邊長為的菱形（如圖1），，與相交于點，為線段上一點，將三角形沿折疊成三棱錐（如圖2）．(1)證明：；2．（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測·節(jié)選）如圖，已知四棱錐中，頂點在底面上的射影落在線段上（不含端點），底面為直角梯形，．(1)求證：平面；3．（2425高三上·浙江寧波·期末·節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，其中，，，點為棱上一點.(1)當為的中點時，證明：；4．（2025·江西九江·一?！す?jié)選）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，分別為線段的中點，．(1)求證：平面；

5．（2425高三上·廣東廣州·階段練習·節(jié)選）如圖，四棱錐中，，底面是個直角梯形，，，．(1)證明：；6．（2425高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期末·節(jié)選）如圖，在正四棱臺中，是的中點，分別為上下底面的中心、(1)求證：直線平面

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練四：面面垂直的判定與性質(zhì)【知識點解析】1.面面垂直的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)文字表示數(shù)學語言表示文字表示數(shù)學語言表示面面垂直如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．【實戰(zhàn)演練】1．（2025·福建·模擬預(yù)測·節(jié)選）如圖，在四棱錐中，平面為AD的中點．(1)證明：平面平面PAC；2．（2025·福建廈門·一?！す?jié)選）如圖，在三棱柱中，，，．(1)證明：平面平面；3．（2425高三上·遼寧丹東·期末·節(jié)選）如圖，在邊長為4的正方形MBCD中，A為線段MB的中點，沿AD將翻折至，使得.(1)求證：平面平面PCD；4．（2425高三上·河南周口·期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，且為正三角形，，點為的中點，點為棱上一點，且，.(1)證明：平面；5．（2025·廣東肇慶·二模）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，平面平面.(1)證明：平面.

6．（2425高三上·青?！て谀┤鐖D，已知和都是等邊三角形，，平面平面，點在線段上（不含線段的端點）．(1)證明：；

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練五：幾何法求空間角度、空間距離問題【知識點解析】1.異面直線成角步驟：（1）證線線平行，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角；（2）找銳角（或直角）作為夾角；（3）利用余弦定理或三角函數(shù)求解.注意：取值范圍：.2.表示角的方法：（1）在中，為直角，則,,.（2）余弦定理：在中，，.3.直線與平面所成之角（1）定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面重合，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點向平面引垂足，過斜足和垂足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的夾角，叫做這條直線和這個平面所成的角．（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于．因此，直線與平面所成的角的范圍是．

4.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面形成的圖形如圖：在二面角中，為交線上一點，，，且，，則為二面角的平面角;取值范圍：面與面的夾角的取值范圍為.5.點到平面距離（1）定義：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離（2）等體積法：等體積法就是通過變換三棱錐(或四面體)的頂點、底面來求三棱錐(或四面體)的體積的方法。等體積法就是一個幾何體利用不同的底面積和高來求體積，利用體積相等，可以求出某一底面所對應(yīng)的高或某一條高所對應(yīng)的底面積。立體幾何中一般用來求點到面的距離。等體積法就是要類比等面積法。（3）求三角形面積的常見方法：6.直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．7.平面到平面的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離

【實戰(zhàn)演練】1．（2425高三上·上?！て谀┰谌鐖D所示的圓錐中底面半徑為2，P是頂點，O是底面的圓心，A、B是圓周上兩點，且(1)若圓錐的側(cè)面積為，求圓錐的體積；(2)設(shè)圓錐的高為2，M是線段AB上一點，且滿足求直線PM與平面POB所成角的大小.2．（2425高二上·陜西安康·期末）如圖，三棱柱中，是邊長為的正三角形，.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.3．（2025·福建廈門·一模）如圖，在三棱柱中，，，．(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值．4．（2425高三上·浙江杭州·期末）如圖，三棱錐的底面是邊長為2的正三角形ABC，且，平面平面(1)證明：平面(2)若BC與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.5．（2425高三上·寧夏銀川·期末）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，平面，是的中點，．(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離．6．（2425高三下·貴州·開學考試）如圖，在三棱柱中，平面底面與平面所成角的余弦值為．(1)求到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練六：空間向量與立體幾何【知識點解析】1.平面的法向量的定義：法向量，是空間解析幾何的一個概念，垂直于平面內(nèi)所有的直線所表示的向量為該平面的法向量。法向量適用于解析幾何。由于空間內(nèi)有無數(shù)個直線垂直于已知平面，因此一個平面都存在無數(shù)個法向量。2.平面的法向量的求解：已知平面，且(1)表示平面中兩條相交直線所形成的向量.(2)設(shè)為平面的一個法向量.(3)利用法向量與平面的所有直線垂直列方程.(4)賦值求解法向量.3.空間向量與空間位置關(guān)系空間位置關(guān)系向量關(guān)系空間位置關(guān)系向量關(guān)系4.求異面直線所成的角求法：已知為兩異面直線，，與，分別是上的任意兩點，記所成的角為，則.解題步驟：若求直線與直線所稱之角(1)表示、、、四點的坐標.(2)表示與.(3)記直線所成之角為，.5.求直線和平面所成的角求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角的余角.即有：.解題步驟：若求直線與平面所成之角(1)表示、、、、五點的坐標.(2)表示與平面兩條相交直線所形成的向量.(3)設(shè)平面的一個法向量為，利用法向量與平面的所有直線垂直列方程，賦值求解.(4)記直線與平面所成之角為，.6.求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點，分別在兩個半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.求法：設(shè)二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，如果是鈍角，則.解題步驟：若求平面與平面所成之角(1)表示、、、、、五點的坐標.(2)分別表示平面與平面兩條相交直線所形成的向量.(3)設(shè)平面的一個法向量為，利用法向量與平面的所有直線垂直列方程，賦值求解，同理求平面的一個法向量.(4)記平面與平面所成之角為，.7.點到平面的距離：若點P為平面外一點，點M為平面內(nèi)任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即.8.點到直線的距離：若點為直線外一點，為直線上一點，直線的方向向量為，則點到直線方向上的投影向量，再利用勾股定理可得。即9.平行平面的距離已知平面與平面平行，若點為平面內(nèi)一點，點為平面內(nèi)一點，平面的一個法向量為，則平面與平面的距離為點到平面的距離，即距離等于在法向量上的投影的絕對值.即.10.異面直線的距離已知直線與為異面直線，與與均垂直的向量為，直線與上各取一點形成，則異面直線與的距離為在方向上的投影的絕對值.即.【實戰(zhàn)演練】1．（2425高三上·重慶長壽·期末）如圖所示，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．2．（2425高二上·北京昌平·期末）如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，與平面交于點.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點到平面的距離.3．（2025·福建·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面為AD的中點．(1)證明：平面平面PAC；(2)求PB與平面PCD所成角的正弦值．4．（2025·江西九江·一模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，分別為線段的中點，．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．5．（2425高三上·甘肅定西·期末）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點．(1)證明：平面．(2)求平面與平面夾角的余弦值．6．（2425高三上·黑龍江·期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E是DP的中點，，垂足為F，，(1)證明：平面AEF；(2)求二面角的正弦值．

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練七：動點問題與邊長缺失問題【知識點解析】1.動點的表示方法：（1）若動點所在直線與坐標軸平行或重合，則直接設(shè)動點坐標.=1\*GB3①若動點所在直線與軸平行或重合，則動點的坐標可設(shè)為，其中為常數(shù).=2\*GB3②若動點所在直線與軸平行或重合，則動點的坐標可設(shè)為，其中為常數(shù).=3\*GB3③若動點所在直線與軸平行或重合，則動點的坐標可設(shè)為，其中為常數(shù).（2）若動點所在直線與坐標軸不平行，已知點、，動點在直線上運動，則,所以，由此可表示出點坐標或直接利用表示出目標向量.2.邊長缺失問題條件缺失型問題為近年?？紗栴}，條件缺失型主要是指缺少邊長問題或動點問題，導(dǎo)致無法在空間直角坐標系中表示點的坐標。但此類問題經(jīng)常會給出其他條件，通過翻譯該條件可以求出幾何體的所有邊長或動點位置。【實戰(zhàn)演練】1．（2425高三上·江蘇常州·階段練習）如圖，三棱柱中，，.(1)求證：平面；(2)直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.2．（2425高三上·江蘇揚州·期末）如圖，在直三棱柱中，，二面角為直二面角．點為棱的中點，棱與平面相交于點．(1)求證：為棱的中點；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．3．（2425高三上·北京石景山·期末）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是邊長為1的正方形，是的中點.(1)求證：平面；(2)求證：；(3)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.4．（2425高三上·河南周口·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，平面，，，．(1)求證：平面．(2)若，平面與平面夾角的余弦值為，求的長．

5．（2425高三上·安徽阜陽·期末）如圖，多面體中，平面平面是的中點.(1)證明：平面.(2)若，且二面角的余弦值為，求的長.6．（2425高三上·廣東·期末）如圖，已知平面，平面平面.(1)證明：平面；(2)若，且平面與平面的夾角的余弦值為，求的長.7．（2425高三上·河南·期末）如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形，且滿足平面.(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.

8．（2425高三上·天津和平·期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面.(1)若O是CD的中點，證明:；(2)求二面角的正弦值；(3)在線段CP上是否存在點Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為若存在，確定點Q的位置，若不存在，請說明理由9．（2425高三上·山東日照·期末）如圖，，點在平面的同側(cè)，，，平面平面.(1)求證：；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.10．（2425高三上·甘肅酒泉·期末）如圖，四棱錐的底面是邊長為3的正方形，，.(1)證明：平面；(2)已知點在線段上，且（），若直線與平面所成角的正弦值為，求的值.

11．（2025·江西·一模）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，是的中點，點在線段上．(1)證明：平面．(2)若平面，，，，平面與平面夾角的余弦值為，求的值．12．（2425高三上·浙江麗水·期末）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，，為線段上一點，且.(1)求證：；(2)是否存在實數(shù)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.13．（2425高三上·山東濰坊·期末）如圖，在直平行六面體中，，且，，分別為，的中點.(1)證明：平面；(2)點在棱上，當平面與平面所成角的余弦值為時，求.

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練八：最值問題【知識點解析】代數(shù)法求最值的常見方法（1）單調(diào)性法（2）二次函數(shù)法（3）三角函數(shù)法（4）換元法（5）基本不等式法（6）分離常數(shù)法（7）判別式法【實戰(zhàn)演練】1．（2024·江西·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，平面⊥側(cè)面，點到平面的距離等于1.(1)求證：；(2)若，設(shè)直線與平面所成的角為θ，求θ的最大值.

2．（2425高三上·安徽馬鞍山·階段練習）如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)面底面．設(shè)平面與平面的交線為．(1)證明：平面；(2)已知，，為上的點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．3．（2425高三上·廣西河池·期末）如圖，在多面體中，是邊長為2的等邊三角形，平面，，，，，設(shè)為的中點．(1)證明：平面；(2)設(shè)為棱上的動點，求與平面所成角的正弦值的最大值．4．（2425高三上·廣東潮州·期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，，是棱上兩點（在的上方），且．(1)若，求證：平面；(2)當點到平面的距離取得最大值時，求直線與平面所成角的正弦值．

5．（2025·寧夏