2024-2025學年河南市南陽市高一上學期期末數(shù)學質(zhì)量

檢測試題

一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是符合題目要求的）.

1.在10件同類產(chǎn)品中，其中8件為正品，2件為次品.從中任意抽出3件的必然事件是（）

A.3件都是正品B.至少有1件是次品

C.3件都是次品D.至少有1件是正品

【正確答案】D

【詳解】試題分析：必然事件是一定會發(fā)生的事件.因次品共2件，故抽出的3件中至少有1

件為正品，故選D.

考點：隨機事件、必然事件.

點評：解答本題，要牢記一定會發(fā)生的事件是必然事件.

2.命題“VxeR,V+x+l〉。”的否定為（）

A3xeR,x2+x+1<0B.VxgR,x2+x+l<0

C.R,x2+x+l>0D.VxeR,x2+x+1<0

【正確答案】A

【分析】由全稱命題的否定是存在命題，即可得出答案.

【詳解】命題“VxeR,x2+x+l>0”的否定為.3xeR,x2+x+l<0

故選：A.

3.已知一組數(shù)據(jù)看,》2，七，》4，%,玉,，毛，蟲的平均數(shù)是4，方差是2,那么另一組數(shù)據(jù)3西-2,

3X2-2,3X3-2,3X4-2,3x5-2,3x6-2,3x7-2,3x8-2的平均數(shù)，方差分別是（）

A12,10B.12,4C.10,4D.10,18

【正確答案】D

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式結合題意求解即可.

【詳解】因為一組數(shù)據(jù)西,》2，》3，》4，》5，工6，工7，18的平均數(shù)是4，方差是2,

一1

所以X=§(玉++%3+%4+%5++%7+、8)=4,

——[(X|—X)2+—X)2+(毛—X)2_|_(%—%)2+(毛—+—X)^+(X]-X)2+—X)2]=2,

8

所以數(shù)據(jù)3再一2,3X2—2,3X3—2,3x4—2,3x5—2,3x6—2,3x7—2,3x8—2的平均數(shù)為

-[(3xi—2)+(3X-2)+(3X-2)+(3X-2)+(3x-2)+(3x-2)+(3x-2)+(3x-2)]

82345678

二—[3(%1+x+x+x+x+x+x+X)-16]

82345678

—3X—(X]+%+%3+X4++%6+%7+/)---X16

88

=3x—2

=3x4—2=10,

方差為

，[(3再一2—3妙+2)2+(3%2—2—35+2)2+(3%一2—35+2)2+(3%—2—3妙+2)2

8

+(3毛—2—3x+2)2+(3%6—2—3x+2)2+(3馬—2—3x+2)2+(3xg—2—3x+2)2]

—9X—[(X]-X)2+(%2-X)2+(X3-%)2+(、4一%了

+(15—1)2+(%6-1)2+(*7—1)？+(“8—1

=9x2=18,

故選：D

4.函數(shù)/(x)=(4—，)ln|-x|的圖象是()

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項，再根據(jù)函數(shù)值的正負確定.

2

9?f(4-x)lnx,x>0

【詳解】解：/(x)=(4—/)山卜》=:

11^(4-x-)ln(-x),x<0

因為/(—x)=/(x),

所以/(X)是偶函數(shù)，故排除AD,

當x>0時，令/(x)=0,得x=l或X=2,

當0<x<l或x>2時，/(%)<0,當l<x<2時，/(%)>0,

故選：B

5.從800件產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)檢，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將800件產(chǎn)品按001,

002,...?800進行編號.如果從隨機數(shù)表第8行第8列的數(shù)開始往右讀數(shù)(隨機數(shù)表第7行

至第9行的數(shù)如下)，則抽取的6件產(chǎn)品的編號的75%分位數(shù)是()

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566711691056717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

A.105B.556C.671D.169

【正確答案】C

【分析】由隨機表及編號規(guī)則確定抽取的6件產(chǎn)品編號，再從小到大排序，應用百分位數(shù)的

求法求75%分位數(shù).

【詳解】由題設，依次讀取的編號為依59,169,556,671,169,105,671,751,286,……},

根據(jù)編號規(guī)則易知：抽取的6件產(chǎn)品編號為{169,556,671,105,751,286},

所以將它們從小到大排序為{105,169,286,556,671,751),

9

故75%?6=—>4,所以75%分位數(shù)為671.

2

故選：C

6.已知函數(shù)/(x)=|log3x|,若a〈b,有/(。)=/僅)，則a+46的取值范圍是()

A.[2,+oo)B.(3,+QO)C.[4,+co)D,(5,+oo)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)/(x)=|log3x|=log3!結合a<b可得6=工且0<a<l<6,再根據(jù)對勾函

xa

數(shù)的性質(zhì)求解a+46的取值范圍即可.

【詳解】因為/(》)=|1083工=卜1083工=1。83—，又f(a)=f(b),a<b,所以a=b(舍

X

,14

去)，或6二-f所以a+4b=a-\—；

aa

又0<a<b,所以0<a<l<6,令/(a)=a+d,由對勾函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)/(a)在(0,1)

a

4

上為減函數(shù)，所以/(a)〉/(l)=l+,=5,即a+46的取值范圍是(5,+8).

故選：D

7.“不積蹉步，無以至千里：不積小流，無以成江海.”，每天進步一點點，前進不止一小點.今

日距離高考還有936天，我們可以把(1+1%).看作是每天的“進步”率都是1%,高考時是

1.01936?11086.79;而把(1-1%).看作是每天“退步”率都是1%.高考時是

0.99936土0.000082.若“進步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過()天(參考數(shù)據(jù)：

lgl01?2.0043,lg99~1.9956)

A.200天B.210天

C.220天D.230天

【正確答案】D

【分析】由題設有上140F=100,應用指對數(shù)互化及對數(shù)的運算性質(zhì)求X值即可.

0.99、

【詳解】設經(jīng)過X天后，“進步”的值是“退步”的值的100倍，

1a—22

1

則-^—=100，即xTog1.0100=一二]CQQ=]g]0。Q230天.

0.99￥旃lgl.01-lg0.99lgl01-lg99

故選：D.

r

8.已知函數(shù)/(x)=2022'+log2()22(4i+x)—2022T+10n,則關于x的不等式

/(4x+l)+/(2x+l)—2022<0的解集為()

A.(-oo,-2)B.1一00'-g[C,10°'T

D.

(-ao,1011)

【正確答案】B

【分析】構造函數(shù)g(x)=/(x)-1011,由g(x)的單調(diào)性與奇偶性轉(zhuǎn)化求解，

2

【詳解】令g(x)=/(x)-1011=2022、+log2022(Vx+1+x)—2022-、，

由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

2

g(—x)=2022T+log2022(6+1—x)—2022、=2022-"-log2022(Vx+1+x)—2022、=-g(x)

故g(x)為奇函數(shù)，g(x)在R上單調(diào)遞增，

原不等式可化為g(4x+1)+g(2x+1)<0,即g(4x+1)<g(-2x-1),

M4x+1<-2x-1,解得x〈-L

3

故選：B

二、多項選擇題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多個選項是符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分).

9,下列說法正確的是()

,、|x|/\fl,x>0

A.〃x)="與g(x)=,八表示同一函數(shù)

B.函數(shù)y=/(x)的圖象與直線X=1的交點至多有1個

C.若=——,則/=1

D.關于X的方程/+(加-3卜+掰=0有一個正根，一個負根的充要條件是加e(O,+8)

【正確答案】BC

【分析】A答案根據(jù)相等函數(shù)的概念即可判斷，B答案根據(jù)函數(shù)的定義即可判斷，C答案直接

計算即可，D答案結合一元二次方程的性質(zhì)，判別式和韋達定理即可判斷.

【詳解】對于A,/(》)=區(qū)的定義域為(-力,0"(0,+8),g(x)定義域為R,定義域不同,

所以不是同一函數(shù)，故A錯誤.

對于B,根據(jù)函數(shù)的定義可知，當y=/(x)的定義域中含有1時，函數(shù)y=/(x)的圖象與直

線x=l有一個交點(1,/(1)).

當N=/(x)的定義域中不含1時，函數(shù)N=/(x)的圖象與直線x=1沒有交點,

綜上所述：函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l的交點至多有1個，故B正確.

對于C,因為=所以/1￡|=0,所以/[/[￡|]=/(0)=1,故c正確.

對于D,設方程/+(加-3)x+加=0的正根為X],負根為巧，

則關于x的方程x2+(m-3)x+m=0有一個正根，一個負根的充要條件為：

.△=(加-3)2-4加〉0,解得加〈°,故口錯誤.

x^x2=m<0

故選：BC.

10.二次函數(shù)了="2+區(qū)+。的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

B.4a+2b+c<0C.9a+3b+c<0D.abc<0

【正確答案】ACD

【分析】由題知〃<0,%=--=1,進而根據(jù)對稱性得

2a

/(o)>0,/(2)=/(0)>0,/(3)=/(-1)<0判斷即可得答案.

【詳解】解：由二次函數(shù)圖象開口向下知：a<0,對稱軸為x=—2=1,即2a+6=0,故

2a

b>0.

又因為/（0）=c>0,/（2）=/（0）=4a+26+c>0,/（3）=/（—l）=9a+36+c<0,

所以abc<0.

故選：ACD.

11.PM2.5的監(jiān)測值是用來評價環(huán)境空氣質(zhì)量的指標之一，劃分等級為：PM2.5日均值在

35|ig/m3以下，空氣質(zhì)量為一級；PM2.5日均值在35?75|ig/m3,空氣質(zhì)量為二級；PM2.5

日均值超過75^/11?為超標.如圖是某地12月1日至10日的PM25日均值（單位：|ig/m3）

B.前5日PM2.5日均值的極差小于后5日PM2.5日均值的極差

C.前5日PM2.5日均值的方差大于后5日PM2.5日均值的方差

D.這10日PM2.5日均值的中位數(shù)為43

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)百分位數(shù)、極差和方差與中位數(shù)的計算逐個選項判斷即可.

【詳解】對于A,將這10日PM2.5日均值從小到大排序為30,32,34,40,41,45,48,60,

78,80,

所以這10日PM2.5日均值的80%分位數(shù)是60+78=69；所以人錯誤；

2

對于B,前5日PM2.5日均值的極差為41—30=11,后5日PM2.5日均值的極差為

80-45=35,所以B正確；

對于C,由折線圖和方差的定義，知前5日PM2.5日均值的方差小于后5日PM2.5日均值的

方差，所以C錯誤；

對于D,這10日PM2.5日均值的中位數(shù)為------二43,所以D正確.

2

故選：BD.

12.已知a>0,b>0且—I—=1,則()

fab

A.a+2b>3+2yl2B.二+占22正

a-1b-1

C.—+-y<—D.y/a+4b>2^/2

ab2

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)。+26=（。+26）（工+工），利用均值不等式判斷A,由條件可化為

ab

122

（q—I）?！?）=1,據(jù)此——+——=b-U——,利用均值不等式判斷B，取特殊值判斷C,

a-1b-1b-1

根據(jù)均值不等式及不等式的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對A,a+26=（a+2b）|—I--|=3H---1-->3+2A/2,當且僅當—=—,

b）abab

6

即Q=l+Ji/=1+學時等號成立，故A正確;

對B,由1+工=1可得(a—1)3—1)=1,所以，+二一=b—i+/—22行，當且僅當

aba—1b—1b—1

a=l+注力=亞+1時等號成立，故B正確;

2

工111451皿…

對C,當一=一,—=—時，-+—=-+-=故C錯誤;

a3b3?2Z>29992

對D,由工+工=122/十，即疝22,當且僅當a=b=2時等號成立,

ab

又后+6》25荷22&，當且僅當a=6=2時等號成立,

故&i+4i，a=6=2時等號成立，故D正確.

故選：ABD

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知函數(shù)歹=/(3x—2)的定義域為[―2,3],則函數(shù)y=的定義域為____.

Vx+5

【正確答案】(—5,7]

【分析】先根據(jù)y=/(3x-2)的定義域求出y=/(x)的定義域，結合解析式的特征可得答案.

【詳解】因為y=/(3x—2)的定義域為[―2,3],所以3x—2e[—8,7],即y=/(x)的定義域

卜8,刀；

因為x+5>0,所以x>—5,所以歹的定義域為(—5,7].

故答案為.(-5,7]

14.函數(shù)y=log。(x-1)+8的圖象恒過定點A,且點A在幕函數(shù)/(x)的圖象上，則

小)=-

【正確答案】x3

【分析】先由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得定點A,再利用幕函數(shù)的定義，結合待定系數(shù)法即可得解.

【詳解】因為y=log”(x—1)+8的圖象恒過定點A,

令x—1=1,貝ijx=2,j=logfll+8=8,則/(2,8),

設/(x)=x〃，則/(2)=2°=8,得〃=3,故/(x)=d,

故答案為

15.已知幕函數(shù)/(x)=(加2一3加-3)/"T在(0,+<x>)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)=x?+奴，

Fe[-1,2],3x2e[l,2],使得成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

【正確答案】a<-2

【分析】根據(jù)/(x)為幕函數(shù)、在(0,+s)上單調(diào)遞增可得/(x),由”e[-l,2],3x2e[1,2],

使得〃甬)*(%)成立,轉(zhuǎn)化為[-1,2],“[1,2],使得〃再)二冷(尤2號成立，

求出xe[-1,2]時/(x)min和g⑴在尤e[1,2]上的最小值解不等式可得答案.

【詳解】因為幕函數(shù)/(x)=?2-3加-3)心”5在(0,+力)上單調(diào)遞增，

2m-5>0“、a

所以<2cc/解得掰=4,f(x\=xi,

m-3m-3=1

Vxie[-1,2],3X2G[1,2],使得了GjNgG）成立，轉(zhuǎn)化為V網(wǎng)e[-1,2],3x,e[l,2],使

得/(xh/gHL成立，

當xe[T2]時，/(x；U=T，

由/(^I)mn*卜2L可得g(X)在xe[1,2]時1+ax)mm<一1恒成立,

當—即a<T時，g(x)=[x+^|]—：的最小值為g(2)=4+2aW—1,解得

aW-4；

當1<一,<2即—4<a<—2時，g(x)=[x+]]—的最小值為g1—萬]=—1<—1,

解得-4<a<-2；

當-|wi即a12時，g(x)=^x+|^—：的最小值為g(l)=l+a<-1，解得

a=-2；

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為a<-2.

故答案為.a<-2

16.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結

束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概

率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是

【正確答案】0.18

【分析】本題應注意分情況討論，即前五場甲隊獲勝的兩種情況，應用獨立事件的概率的計

算公式求解.題目有一定的難度，注重了基礎知識、基本計算能力及分類討論思想的考查.

【詳解】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以4:1獲勝的概率是

0.63x0.5x0.5x2=0,108,

前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以4:1獲勝的概率是0.4x0.62x0.52x2=0.072,

綜上所述，甲隊以4:1獲勝的概率是4=0.108+0.072=0.18.

由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是思

維的全面性是否具備，要考慮甲隊以4:1獲勝的兩種情況；易錯點之三是是否能夠準確計算.

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.設全集U=R,集合/='It，集合B=1x|x2-2ax+a2-1<0},其中aeR.

(1)當a=4時，求2/PlB；

(2)若xe%/是xe令8的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)[4,5)

(2)[0,3]

【分析】(1)解分式不等式和一元二次不等式可分別求得集合43,根據(jù)補集和交集定義可

求得結果；

(2)解含參數(shù)的一元二次不等式可求得集合3；根據(jù)充分不必要條件的定義可知令z0B,

即3A,根據(jù)包含關系可構造不等式組求得結果.

【小問1詳解】

4—x

由——〉0得：(x—4)(x+l)<0,解得：—1<X<4,即2=(—1,4),

X+1

?.?丹/=(一8,—1]U[4,+8)；

當Q=4時，*—2ax+a?_1=+]5=(%-3)(%—5)<0,解得：3<x<5,即

5=(3,5)；

.?.為2口8=[4,5).

【小問2詳解】

由(1)知：2=(—1,4)；

由x?—2ax+Q?—1=[x—(Q—1)][x-(Q+1)]<0得：Q—1<X<Q+1,即B=(a—l,a+l),

???xe屯/是工￡43的充分不必要條件，，為4席B，：.BA,

—1>—1

.,?<o+1-4且等號不會同時取到，解得：0<aV3,即實數(shù)”的取值范圍為[0,3].

18.已知甲的投籃命中率為0.6,乙的投籃命中率為0.7,丙的投籃命中率為0.5,求：

(1)甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；

(2)甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；

(3)甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率.

【正確答案】(1)0.21；

(2)0.44；(3)0.94.

【分析】(1)根據(jù)概率乘法得三人都命中概率為0.6x0.7x0.5=0.21；

(2)分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三種情況

討論，結合概率乘法和加法公式即可得到答案；

(3)采取正難則反的原則，求出其對立事件即三人全未命中的概率，再根據(jù)對立事件的概率

公式求解即可.

【小問1詳解】

設事件A：甲投籃命中；

事件B：乙投籃命中；

事件C：丙投籃命中

甲，乙,丙各投籃一次，三人都命中的概率

P(ABC)=P(4)P(B)P(C)=0.6x0.7x0.5=0.21.

所以甲，乙，丙各投籃一次,三人都命中的概率為0.21.

【小問2詳解】

設事件。4合有兩人命中.

所以P(D)=P(ABC+ABC+ABC)

=尸(①尸(B)P(C)+P(A)P(9)P(C)+P(A)P(B)P(6

=0.4x0.7x0.5+0.6x0.3x0.5+0.6x0.7x0.5=0.44

所以甲，乙,丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率為0.44.

【小問3詳解】

設事件￡：至少有一人命中.

所以P(E)=1-P(ABC)=1-0.4x0.3x0.5=1-0.06=0.94

所以甲，乙,丙各投籃一次，至少有一人命中的概率為0.94.

19.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最

大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)

建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分,

成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如圖所示的

頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；

(3)已知落在[50,60)的平均成績是54,方差是7,落在[60,70)的平均成績?yōu)?6,方差是

4,求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.

【正確答案】(1)a=0.030

(2)84(3)總平均數(shù)為62；總方差為37

【分析】(1)根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解；

(2)由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計算公式即可求解；

(3)利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計算公式即可求解.

【小問1詳解】

因為每組小矩形的面積之和為I,

所以(0.005+0.010+0.020+o+0.025+0.010)10=1,

貝!Ja=0.030.

【小問2詳解】

成績落在［40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)xl0=0.65,

落在［40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0,025)x10=0.9,

設第75百分位數(shù)為加，

由0.65+("2—80)x0.025=0.75,得加=84,故第75百分位數(shù)為84.

【小問3詳解】

由圖可知，成績在［50,60)的市民人數(shù)為100x0.1=10，

成績在［60,70)的市民人數(shù)為100x0.2=20,

義號+義

故這兩組成績的總平均數(shù)為106620=62,

10+20

由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為：

222

s=12X^7+(54-62)］+|^X［4+(66-62)］=37.

20.已知函數(shù)/(x)=log3K

(1)設函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x〉0時，g(x)=/(%),求函數(shù)g(x)的解析

式；

(2)已知集合/=卜|3(1。83%)2-201og9x+3<o|

①求集合/；

②當xeN時，函數(shù)〃(x)=/(或｝的最小值為—2,求實數(shù)0的值.

log3x?x>0

【正確答案】⑴g(x)=<0^=0

-log3(-x),x<0

(2)①/=［冷,27卜②“的值為2—2血或5

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可;

(2)①由題知解(31og3x-l)(log3x-3)<0得:<log3x<3,再解對數(shù)不等式即可得答案;

2

②由題知〃(%)=(logsx)-(4Z+2)log3x+2a,進而結合①還原，轉(zhuǎn)化為求

掰—g―2匚,的最小值問題，再分類討論求解即可.

V7L2J413」

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意，當x〉0時，g(x)=log3x,

當x<0時，—X>0,則g(-x)=log3(-x),

因為函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù),

所以，g(O)=O，g(x)=-g(-x)=-log3(-x)

log3x,x>0

所以,g(x)=<0^=0

-log3(-x),x<0

【小問2詳解】

22

解：?3(log3x)-20log9x+3<0,BP3(log3x)-101og9x+3<0

所以，(31og3x-1)(log3x-3)<0

所以，1<log3x<3,解得g<X<27

所以，Z=[g,27]

2

②〃(X)=10g3x-tz)-(log3x-2)-(log3x)-(47+2)log3x+2a

由①可得，=10g3、￡r3

所以，函數(shù)/z(x)等價轉(zhuǎn)化為加?)=1”交工］

V72413

下面分三種情況討論求解:

當q±2<L即d,即）在，,3］上是增函數(shù)，所以,

23313」

力（x）min="Q）min,=_2，解得與?！匆?矛盾，舍；

<Jy3y13j

當空223,即a1時，。⑺在口6］上是減函數(shù)，所以

2L3」

人（X）min=。⑶min=夕⑶=3-4=-2,解得a=5,滿足題意；

當:<，即—g<a<4時，人（X）min=9?）min=~^=~2，解得。=2—2夜

或a=2+20（舍）

綜上：。的值為2-2行或5

21.某城市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月

內(nèi)（以30天計），

每件的銷售價格尸（x）（單位：元）與時間x（單位：天）的函數(shù)關系近似滿足尸（x）=10+幺

X

（左為常數(shù)，且左〉0）,日銷售量。（X）（單位：件）與時間X（單位：天）的部分數(shù)據(jù)如下

表所不：

X1015202530

Q(x)5055605550

已知第10天的日銷售收入為505元.

⑴給出以下四個函數(shù)模型：①。（x）=ax+Z?；@Q［x）=a\x-m\+b；③。（x）=a-bx；

④。（x）=a-logbx.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述日

銷售量。（x）與時間x的變化關系，并求出該函數(shù)的解析式；

（2）設該工藝品的日銷售收入為/（x）（單位：元），求/（x）的最小值.

【正確答案】⑴選②Q（x）=a|x-加|+b,2（x）=-|x-20|+60（1<x<30,xeN*）

(2)441

【分析】(1)由第10天的日銷售收入為505元，求出左，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知時間X變換時,

。(切先增后減，則選模型②，再利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，即可得解；

(2)分lWx<20,xeN*和20<xW30,xeN*,兩種情況討論，結合基本不等式和函數(shù)的

單調(diào)性即可得出答案.

【小問1詳解】

因為第10天的日銷售收入為505元，

貝?[10+5]*50=505,解得人=1,

由表格中的數(shù)據(jù)知，當時間x變換時，Q(x)先增后減，

函數(shù)模型：①。(x)=G+b；③Q(x)=a萬；④。(x)=a-log/都是單調(diào)函數(shù)，

所以選擇模型②：Q(x}=d\x-m\+b,

由0(15)=0(25),可得|15-時=|25-時，解得加=20,

0(15)=5a+6=55

由V解得。二一1,6=60,

10(20)=6=60

所以日銷售量。(X)與時間X的變化的關系式為e(x)=-|x-20|+60(1<x<30,xeN*)；

【小問2詳解】

x+40,1<x<20,xGN*

由(1)知Q(x)=_|x_20|+60=<

-x+80,20<x<30,xeN*

10+^(x+40),l<x<20,xeN*

X

所以/(x)=P(x),Q(x)=<

10+-(-x+80),20<x<30,xeN*

X

40

10x+F401,1<x<20,x￡N*

即/(%)=<x

QQ

—1Ox+—+799,20<X<30,XGN*

x

當1VxW20,x￡N*時,

40

/(x)=10x+—+401>2+401=441,

X

當且僅當10x=—時，即x=