2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合/=｛XM（XT*°｝,集合八J1-3X<0｝,則人5=（）

A.（。，2]B,P，3）C.（°#"）D,區(qū)+s）

2.己知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足Iz+h=|z+i|=退，則的值為（）

A.1B.&C.&或2&D.1或血

rL6）n>

3.己知向量I2若向量B在向量。上的投影向量12'人則

W=（）

_巫

A.百B.嶼C.4D.1

4.已知函數(shù)“X）滿足〃x）=/（2-x）,且在區(qū)間工+?0上單調(diào)遞減.設(shè)°=/（-lnl.1）,

6=/Q"),c=/(log25)；則

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

5.已知圓錐的母線長(zhǎng)為定值R,當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的底面半徑為（

V3

----KD.V

A.3C.

6.已知函數(shù)“X）的圖象如圖所示,則不等式（x+l）/'（x）<0的解集為（）

B.(-8,-1)。(2,+8)c.(-l,l)U(3,+s)

一”，一2）0（2,+8）

D.

7.若正項(xiàng)等比數(shù)列｛0'｝滿足0/用=22"（〃6、），則數(shù)列｛6｝的前4項(xiàng)的和其的值是

1572

A.15V2B.-C,8瓢D,6也+6

3

8.已知小明射箭命中靶心的概率為5,且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次后,

恰好命中兩次的概率是（）

369144216

A.625B.25C.625D.625

二、多選題（本大題共3小題）

9.如圖，在直三棱柱/8C-48cl中，幺4=2,AB=BC=1,N48C=120°,側(cè)面

應(yīng)4々。的對(duì)角線交點(diǎn)。，點(diǎn)E是側(cè)棱8片上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.直三棱柱的側(cè)面積是4+2省

B.直三棱柱的外接球表面積是4兀

c.三棱錐￡一"4°的體積與點(diǎn)E的位置無(wú)關(guān)

D."E+EG的最小值為2亞

10.已知V/8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說(shuō)法正確的有

（）

A.若/tan5=〃tanZ,則Q=6

2Ab+c

cos—=------

B.若22c,則此三角形為直角三角形

7T

a=3,b=4,B=一

C.若6,則解此三角形必有兩解

D.若V4BC是銳角三角形，則sin^+sinS>cosJ+cosB

一i

H.已知數(shù)列包｝的首項(xiàng)為%=1,且加4+1=%一4。,用，數(shù)列1匕4j,數(shù)列a%%+力,

［叫］

數(shù)列11+3。）的前“項(xiàng)和分別為S",R"，看，則（）

a?l/4〃+i

----+----\一〃-----4

5S<R<-

A.%B.3C.3D.3-二

三、填空題（本大題共3小題）

XH=2——i1-y

12.已知工〉］，且>,貝ijx—i的最小值是.

13.已知函數(shù)""）=.（2兀s）（o>0）在區(qū)間［0,網(wǎng)上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則。的取值

范圍是.

|x+m|,x<0,

“無(wú)）=42m.

-------yJrx,x>0.

14.設(shè)函數(shù)〔2給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，函數(shù)"尤）在（一叫+°°）上單調(diào)遞減；

②若函數(shù)/（”）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)>0；

③當(dāng)m<0時(shí)，若存在實(shí)數(shù)/b,使得"°）=/0）,則卜一"的取值范圍為（2，+°°）；

④已知點(diǎn)味私°）,函數(shù)/（X）的圖象上存在兩點(diǎn)2（3），。2（“2）（占<9<0）,

2,2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)/（X）的圖象上.若「0+忸?！挂欢?，則

加=1.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知等比數(shù)列包｝的前〃項(xiàng)和為S”，,5=62,幾=2046,數(shù)列也｝滿足

b+2bz+...+nb=--------------

xn6.

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

c.「“（1+一）

⑵令C"2,求匕｝的前〃項(xiàng)和北.

16.如圖，在三棱錐尸一/3C中，4,四，0分別是側(cè)棱尸/,PB,PC的中點(diǎn),

AB1BC,4c,平面BBGC

p

(i)求證：平面440，平面440；

(2)如果4c=耳°,AB=BC=4,求二面角"「Bg-C的余弦值.

17.近年來(lái)，某大學(xué)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，大力推行全民健身運(yùn)動(dòng)，向全校學(xué)生開放了

48兩個(gè)健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育

鍛煉.

(1)該校學(xué)生甲，乙，丙三人某周均從42兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲，

j_j_2

乙,丙該周選擇/健身中心健身的概率分別為于3'3,求這三人中這一周恰好有一人選

擇/健身中心健身的概率；

(2)該校學(xué)生丁每周六，日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身

中心的其中一個(gè)，其中周六選擇z健身中心的概率為萬(wàn).若丁周六選擇/健身中心，則

周日仍選擇/健身中心的概率為］；若周六選擇5健身中心，則周日選擇/健身中心

2

的概率為§.求丁周日選擇3健身中心健身的概率；

(3)現(xiàn)用健身指數(shù)上Gepl。］)來(lái)衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果，并規(guī)定

上值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，

其后值低于1分的概率為0.02.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是

健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，

但抽取的總次數(shù)不超過〃.若抽取次數(shù)的期望值不超過23,求〃的最大值.

參考數(shù)據(jù)0.9829a0.557,0.9830?0.545,0.9831?0.535

二+片>］>6>0)—

18.已知橢圓/a>>的離心率為2,過點(diǎn)的直線/交橢圓

C于點(diǎn)4巴且當(dāng)匕無(wú)軸時(shí)，網(wǎng)=◎

(1)求橢圓C的方程；

(2)記橢圓C的左焦點(diǎn)為尸，若過￡48三點(diǎn)的圓的圓心恰好在了軸上，求直線/的斜

率.

19.對(duì)于四個(gè)正數(shù)機(jī)、小p、q,若滿足陽(yáng)<秋，則稱有序數(shù)對(duì)（私"）是（?應(yīng)）的“下位

序列”.

（1）對(duì)于2、3、7、11,有序數(shù)對(duì)G"）是（2〃）的“下位序列，，嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；

aca+c

（2）設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且（°/）是（。⑷的嚇位序列，，，試判斷g、萬(wàn)、而萬(wàn)之

間的大小關(guān)系；

（3）設(shè)正整數(shù)〃滿足條件：對(duì)集合〈小”024,meN｝內(nèi)的每個(gè)加，總存在正整數(shù)

k，使得儂'2°24）是他〃）的“下位序列”,且他〃）是（力+1,2025）的嚇位序列”,求正整

數(shù)n的最小值.

答案

1.【正確答案】C

【詳解】由Ml"?？傻茫簒>2,所以/=[2，+”），

由/_3x<0可得：0<x<3,所以8=（°，3）,

所以/u8=（°，+e）.

故選：C.

2.【正確答案】C

【詳解】設(shè)2=。+齒，則z+l=（a+D+6iz+i=a+（6+l）i

因?yàn)閨z+l|=|z+i|=布，

,（。+1）2+,=5y=irfl=-2

所以U+0+1）2=5,=i或%=_2

當(dāng)a=6=1時(shí)，\z\~.當(dāng)°=6=一2時(shí)，\z\=2y/2

故選：C

3.【正確答案】D

a-ba一

----..---2-4-n_——2n

【詳解】解：由已知可得，B在）上的投影向量為同同2x22

a=

又bK在。_上的投影向量T（2H人所以2-.

、22

所產(chǎn)

，D正確.

故選：D.

4.【正確答案】D

【詳解】由/(x)=/(2-x),得到對(duì)稱軸為尤=1,貝ua=/(Tnl.l)=/(2+lnLl),

04

而1<2-<2+lnl.l<2+log21.1=log24.4<log25,又/GO在口,+8)上單調(diào)遞減,

則/■(2。〉/(2+皿.1)>“1啕5),得63c.

故選：D

5.【正確答案】B

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則/+后=夫2,

可得戶?。∣,R）,

V(h^——7ir2h--n(R2-h2V?~—n(R2h—h}>\=；兀（笈一3力2）

則圓錐的體積33''3'乙則

6￡尺＜6＜尺時(shí)廣⑷＜0；

當(dāng)時(shí)，BA。；當(dāng)

、

V3DD

--A,K

則"㈤在‘。和3

/上單調(diào)遞增,在1/內(nèi)單調(diào)遞減,

h=@Rr巫R(shí)

可知當(dāng)3,即3時(shí),圓錐的體積取到最大值.

故選：B.

6.【正確答案】A

【詳解】由函數(shù)"X）的圖象可得:

xe（-oo,l）

當(dāng)2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則/（無(wú)）＞°,

XGf—-2）

當(dāng)2'時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則/'（x）＜0.

當(dāng)xe（2，+s）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則f'（x）＞0,

/(x)>0/V)<o

(x+l)/'(x)<0=

尤+1>0②

由x+l<°①或

-＜x＜2

解①得，x＜-l,解②得，2

(-8,一l)u(g,2

綜上，不等式（x+D/（x）＜°的解集為

故選：A.

7.【正確答案】A

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛"」的公比為4>°,

2(W+1)

AA2

￡2±I5!±I=￡^=4=^

因?yàn)?。必?22”(〃eN),所以anan+l22n

解得2,所以a：x2=22"(a“>0),

2n-l2-1

所以“"=2,所以%=2?=6

4

^=V2(1-2)=15^

所以

所以數(shù)列也｝的前4項(xiàng)的和$4的值為"亞.

故選A

8.【正確答案】D

【分析】利用二項(xiàng)分布的概率即可得解.

32

【詳解】由已知命中的概率為），不命中的概率為《，射擊4次，命中兩次，

尸=cj

故概率

故選D.

9.【正確答案】ACD

【分析】首先計(jì)算"C長(zhǎng)，再根據(jù)直棱柱的側(cè)面積公式，即可判斷A；首先計(jì)算

△/8C外接圓的半徑，再根據(jù)幾何關(guān)系求外接球的半徑，代入公式，即可判斷B；根

據(jù)體積公式，結(jié)合線與平面平行的關(guān)系，即可判斷C；利用展開圖，結(jié)合幾何關(guān)系,

即可判斷D.

^C=l2+l2-2xlxlxf-lI=73

【詳解】AQ/8C中，VI2J,

所以直棱柱的側(cè)面積為（1+1+6>2=4+2色故人正確;

y-___A__C___—],

B.A48C外接圓的半徑2sin1200

所以直棱柱外接圓的半徑

則直三棱柱外接球的表面積5=4兀叱=8兀，故B錯(cuò)誤;

C.因?yàn)?及"'4,且"1”平面平面44℃,所以〃平面

點(diǎn)E在2烏上，所以點(diǎn)￡到平面"4GC的距離相等，為等腰三角形/8C底邊的高為5,

1V31V3

—x___x_—___

則三棱錐“一90的體積為定值322—12,與點(diǎn)K的位置無(wú)關(guān)，故c正確;

D.將側(cè)面展開為如圖長(zhǎng)方形，連結(jié)'G,交于點(diǎn)￡,

此時(shí)NE+EG最小，最小值為西+（1+1）2=2夜,故口正確.

故選ACD.

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是將平面/48田與CG48展開到同一個(gè)面，利用兩點(diǎn)

之間距離最短即可得解.

10.【正確答案】BD

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椤?anBu〃tan/,由正弦定理可得sin2tanB=sin2BtanJ,

sin2AsinB_sin2BsinA

貝|cosBcosA,

又42￡（0,?）,則sin/wO,sinBw0,2423￡（0,2i）,

sinAsinB

可得cos5cos/,整理得sin24=sin25,

又因?yàn)?+叱（°/）,

A+B=-

可得2/=28或2/+23=%，即4=3或2,

所以。=6或/+/=c2,故A錯(cuò)誤；

1+cos4_b+。_sin3+sinC

對(duì)于B：因?yàn)?2c2sinC,貝|2sinC+2cos/sinC=2sin3+2sinC,

所以cosNsinC=sinB=sin]7一（/+C）］=sin（/+C）=sin4cosC+cosAsinC

所以sin4cosC=0,

c

在三角形中，sm/>0,所以cosC=0,所以2,

則此三角形為直角三角形，故B正確；

JI3

a=3,b=4,B=—asmB=—,

對(duì)于C：因?yàn)?,所以2,所以asinBVWb,

則解此三角形只有一解，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)閂/8C是銳角三角形，

兀71

OVG-—<依B71

所以2,所以2,

0<^<BA—sin|--5|<sin^

所以22,所以12),即cosBVsin4,

同理cos4Vsin3,

貝°sinA+sinB>cosA+cosB,故D正確.

故選：BD.

11.【正確答案】BCD

［詳解］若數(shù)歹U｛%｝中存在某項(xiàng)4=°,由9"”,=%-4%可推得％=ak+1=0,

進(jìn)而也｝所有項(xiàng)均為0,與%=1矛盾，故數(shù)列也｝均為非零項(xiàng).

由9%%+1=兩邊同時(shí)除以見見+1,可得%%,

—+3=4—+3,—+3=4^0

所以％+1\an)a\

故數(shù)列1%」是以4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列,

工+3=4〃1

所以見,即4〃一3

111/131

_1“2=--Q3=__——=__>__

對(duì)于A,因?yàn)?"一平-3,可得213'361'&615,矛盾，所以A錯(cuò)誤;

44"+14

對(duì)于B,因?yàn)镾“=（4-3）+（42-3）+…+（4”一3）=§（4”一1）一3〃=亍一支3〃

4〃+i4"+i4〃+i

<-------1—3=--------4<-------4

33,所以3成立，所以B正確;

4"111

4"小

（4?-3）（4,,+1-3）3（4"-34"+1-3

對(duì)于C,因?yàn)?/p>

所以C正確;

n

叫T=1,2_.A,,211123n

442434"則a[=不+不+不+…+廣

對(duì)于D,因?yàn)?+3%；

11n

33x4"4加

所以D正確.

12.【正確答案】3+272

22

x+-=2x-l+-=l

【詳解】由歹，得歹

因?yàn)閤〉l,V>0,

所以x-l>0,y>0

所以占十"卜一"；［2+4=3+（XT）K高廣汽=3+2行

1人一V--------/—

當(dāng)且僅當(dāng)'（xTW,即x=3,夕=2+。2時(shí)，等號(hào)成立，

1_

所以的最小值是3+2收.

-<（y<—

13.【正確答案】936

2兀一1

【詳解】因?yàn)?（x）=sin（2無(wú)8）,所以函數(shù)/G）的最小正周期一2兀。一。

因?yàn)?（X）在區(qū)間［°』8］上有5個(gè)零點(diǎn)，

525

27<18<-T—<18<——

所以2,即g2小

—<a><—

可得9

—<co<—

故答案為.936

14.【正確答案】②③④

【詳解】當(dāng)加=°時(shí)，X20時(shí)，故在（—8,+°°）上不是單調(diào)遞減，①錯(cuò)誤;

對(duì)于②，當(dāng)初=°顯然不成立，故加wO,

6mG=。

當(dāng)xZO時(shí)，令"x)=°,即2a,得x=0,

/（X）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則一％<0,故加②正確,

-x-m,x<0,

/(x)="41m/—

對(duì)于③，當(dāng)加<0時(shí)，I2此時(shí)"x）在（F,0）單調(diào)遞減，在［0,+co）單

調(diào)遞增，如圖：

,一"的取值范圍為

（2,+8）；③正確

對(duì)于④，由①③可知：7"<°時(shí)，顯然不成立，故加>°,

要使。11，"），。2&,%）&<工2<0）,01，。2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)/（x）的

圖象上，

x>U,/（%）=-----7x

的圖象與2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖:

33

mxy

|尸0+|P021-6\~-石|+?\2+加|=-V2(m+$)+V2(x2+m)=2=>x2-xl=-

/(f)”二再+加

由對(duì)稱可得

+-----m=0

化簡(jiǎn)得壯”2

V21133

x-x=----\\~m4+4A機(jī)=—

此時(shí)2l2/22,因此心=1,④正確.

故②③④

15.【正確答案】（1）見=2"e=2〃-1

⑵（〃—1）2%2

%（「泊=62

1-9

戶=6232=2046

【詳解】（1）由題意知，〔$=2046,即11-q

,1=2

解得3=2,所以％=%尸=2"；

4+24+…+(〃_1)如+nb?="("+1'4"T)①

由6,

。+2白+…+(〃-1)%=?-1)〃(4"-5)(〃z2)②

得6,

_迪+1)(4〃-1)(?—1)-(4〃-5)

①-②兩式相減得："—66~nn~

所以"=2”1,

當(dāng)”=1時(shí)，4=1滿足上式，

故2=2〃7

=咄+5)=￡^=〃2

(2)由(1)知，%=2",3=2"1,所以422

7；=12+2.22+3"+...+(〃-1).21+〃.2出

27；=l-22+2-23+3-24+---+(n-l).2n+n-2B+1@

-7；=2'+22+23+---+2"-?-2"+|='；一：)-〃，2"”二0-')?2"J2

③-④兩式相減得:

所以北=—2

16.【正確答案】（1）證明見解析

⑵〒

【詳解】（1）因?yàn)?,4，G分別是側(cè)棱尸/,PB,PC的中點(diǎn),

所以AXBJ/AB,BXCJ/BC,

因?yàn)?8工8C,所以與G,

因?yàn)?c平面8IGu平面,

所以/3G,

又4ccAB】=Ax,AjC,u平面44。，

所以BGJ■平面4B、c,

又因?yàn)間Gu平面44G,

所以平面44。，平面4AG；

（2）因?yàn)?c■1■平面381cl。，8c,8ICu平面38]GC,

所以4C_L4C，4C_LBC,

因?yàn)?8=8C=4,所以4A=4G=2,

所以4c=qc=&,

因?yàn)锽\C\，平面ABC,BGHBC,

所以8C/平面4&C,

又4°u平面4BC,所以8CJ,與C,

所以C4，CB,CA兩兩垂直，

如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則3（4,0,0）,C（0,0,0）,40,行）4（0,72,0）

故病=（0,也,-行）港=（4,0「四）

設(shè)平面4網(wǎng)的法向量為力=（x/，z）,

亢?4乃1=6y—y[2z=0

則有[展福=4x-任=0,可取力=&2夜，20）,

因?yàn)?C_L平面88clC,

所以C4=（0。&）即為平面88。。的一條法向量,

42734

717x7217

故

24

所以二面角4一8片一。的余弦值了一

p

X

7

17.【正確答案】（1尸8

13

⑵24

（3）30

【詳解】（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇力健身中心健身的概率

lx1-11xfl2121-127

P=+li--Kx1+

2332332318

（2）記事件C：丁周六選擇/健身中心,

事件。：丁周日選擇8健身中心,

P(C)=P(C)=1,P(Z)|C)=l-i=|,P(D|C)=l-|=|

則

尸⑷)=P(C)P(n|C)+P(C)P(7?|c)=|x|+|x|=l|

由全概率公式得

13

故丁周日選擇8健身中心健身的概率為24.

(3)設(shè)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽取到的學(xué)生是健身效果不佳的學(xué)生的概率為

則。=002,

設(shè)抽取次數(shù)為X，則X的分布列為

X123n-\n

PP(1-p)p(I-。)》(1-。尸P(1-獷

故E(X)=p+(l-p)px2+(l-p)20x3+-.+(l-4-2pxG-l)+(l-"Tx",

▽p)E(X)=(l-p)p+(l-p)2px2+(1-pFpx3H----1-(1-p)nlpx(〃-1)+(1-p)”xn

兩式相減得?！?入)=。+(1”+(i-。)2。+--+(1-。廣0+(1-煌一)，

所以E(X)=I+(I-0)+(I-°)~+…+(1-。廠+(1-“‘

——0.98”

-1-(1-^)-p-0.02

所以0.02在“cN時(shí)單調(diào)遞增,

K(X)=E2變L1Z駕=22.15

可知當(dāng)“=29時(shí)，'70.020.02

=匕"町“匕吆5=22,75

當(dāng)”=30時(shí)，,)0.020.02

?匕5匕”生=23.25

當(dāng)〃=31時(shí)，'70.020.02

若抽取次數(shù)的期望值不超過23,則〃的最大值為30.

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】(1)利用獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式進(jìn)行計(jì)算;

(2)利用全概率公式P(D)=P?P(Z>|C)+尸?尸(DC)進(jìn)行求解；

⑶設(shè)抽取次數(shù)為X,求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望，利