浙江省臺(tái)州市十校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中聯(lián)考試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若(1?i)z=i，其中iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知三角形△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，若A．n B．?20 C．20 D．203．△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=1,c=3A．32 B．34 C．3 4．已知向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2A．?92 B．0 C．3 5．如圖所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA．12 B．122 C．6 D．6．已知圓錐的底面圓半徑為3，側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓面，則該圓錐的體積為（）A．12π B．9π C．3π D．47．窗戶，在建筑學(xué)上是指墻或屋頂上建造的洞口，用以使光線或空氣進(jìn)入室內(nèi).如圖1，這是一個(gè)外框?yàn)檎诉呅?，中間是一個(gè)正方形的窗戶，其中正方形和正八邊形的中心重合，正方形的上?下邊與正八邊形的上?下邊平行，邊長都是4.如圖2，A,B是中間正方形的兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，P是外框正八邊形上的一點(diǎn)，則A．16+82 B．162+8 C．88．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若sinBsinC3sinA．[3，23) B．(6二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A．?B．(C．若a>b，則a+i>b+iD．若復(fù)數(shù)z滿足z2<0，則10．設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,A．若a=10,B．若A>B，則sinC．若a=3,D．若acosA=bcos11．在正四面體ABCD中，若AB=2，M為BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．正四面體的體積為2B．正四面體外接球的表面積為6πC．如果點(diǎn)P在線段DM上，則(AP+CP)2的最小值為D．正四面體ABCD內(nèi)接一個(gè)圓柱，使圓柱下底面在底面BCD上，上底圓面與面ABD、面ABC、面ACD均只有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓柱的側(cè)面積的最大值為2三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分（12題第一空2分第二空3分）．12．平面向量a,b中，已知a=(4,?3),|b|=1，且a13．若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足1≤|z+1+i|≤214．若G為△ABC的重心，BG⊥CG，則cosA的最小值為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知i是虛數(shù)單位，z是z的共軛復(fù)數(shù).（1）若(1+2i)z=4+4i?i2021，求復(fù)數(shù)（2）若復(fù)數(shù)z1=(m16．已知向量a=(2（1）求b與c；（2）若m=2a?b,17．如圖，AB是圓柱OO'的一條母線，BC過底面圓心O，D是圓O上一點(diǎn)．已知（1）求該圓柱的表面積；（2）將四面體ABCD繞母線AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求△ACD的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積．18．在△ABC中，設(shè)A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知bsin（1）求C的大??；（2）若a+b=2，求邊長c的取值范圍；（3）若c=4，求△ABC面積S的最大值．19．如圖，點(diǎn)P，Q分別是矩形ABCD的邊DC，BC上的兩點(diǎn)，AB=3，AD=2．（1）若DP=λDC，CQ=λCB，（2）若∠PAQ=π4，求（3）若DP=2PC，連接AP交BC的延長線于點(diǎn)T，Q為BC的中點(diǎn)，試探究線段AB上是否存在一點(diǎn)H，使得

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：z=i復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?1故答案為：B.【分析】先求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，然后可確定復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.2．【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC中，因?yàn)閍=5,b=8,故答案為：C．【分析】由題意，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義列式計(jì)算即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：依題意可得S△ABC故答案為：B【分析】直接由面積公式計(jì)算可得.4．【答案】C【解析】【解答】由題意可知：2又(2a?3可得：(2k?3)×2+1×(?6)=0?k=3故答案為：C

【分析】利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出k的值。5．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)镃'D'則∠C'O'D故矩形O'A'所以原圖形OABC的面積是S=S故答案為：D.【分析】求出直觀圖面積，根據(jù)直觀圖面積和原圖面積之間的關(guān)系即可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓面，則2πr=lπ，所以l=2r，所以圓錐的高h(yuǎn)=l圓錐的體積為V=1故答案為：C.【分析】由圓錐側(cè)面展開圖得圓錐母線，高，再由體積公式計(jì)算．7．【答案】A【解析】【解答】解：記正八邊形右下角的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為C,D，連接易知△BCD為等腰直角三角形，因?yàn)镃D=4，所以BC=22設(shè)AP→,AB→=θ，過P作PE⊥AB，垂足為E顯然，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，|AE|取得最大值，最大值為故AB?AP的最大值為故答案為：A.【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義求解即可.8．【答案】D【解析】【解答】由sin2A+即有cosC=a2+b又sinB由正弦定理?余弦定理得，b?323a由正弦定理有：asinA=bsin△ABC是銳角三角形且C=π3，有A∈(0，解得A∈(π因此a+b=4=43由A∈(π6，π2所以c2故答案為：D

【分析】由sin2A+sin2B?sin9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、?iB、(?iC、虛數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)誤；D、設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，則z2=(a+bi)2=a2?b故答案為：AD.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算即可判斷ABD；由復(fù)數(shù)不能比較大小即可判斷C.10．【答案】B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，cosA=b2對(duì)于B，△ABC中，若A>B，則a>b，由正弦定理得：2RsinA>2RsinB（R為對(duì)于C，由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=對(duì)于D，若acosA=bcosB，則得2A=2B或2A=π?2B，故A=B或A+B=π2，故答案為：BD.【分析】A選項(xiàng)，由余弦定理與數(shù)量積的定義計(jì)算；B選項(xiàng)，由大角對(duì)大邊和正弦定理判斷；C選項(xiàng)，由正弦定理解三角形；D選項(xiàng)，由正弦定理與二倍角公式化簡后判斷．11．【答案】B,C,D【解析】【解答】由正四面體各棱都相等，即各面都為正三角形，故棱長為2，如下圖示，O為底面中心，則D，O，M共線，所以AO=AB2由題設(shè)，外接球球心E在AO上，且半徑r=EA=EB，所以r2=(故外接球的表面積為4πr由題意知：將面AMD與面CMD沿MD翻折，使它們?cè)谕粋€(gè)平面，如下圖示，所以AD=CD=2且cos∠ADM=DOAD又∠CDM=30°，而cos∠ADC=要使(AP+CP)2最小，只需A，P所以(AP+CP)min如下圖，棱錐中一個(gè)平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體ABCD內(nèi)接一個(gè)圓柱的上底面，若截面所成正三角形邊長為x∈(0，2)所以其側(cè)面積S=2πrh=2π×3故當(dāng)x=1時(shí)，Smax故答案為：BCD

【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.12．【答案】0；(【解析】【解答】解：因?yàn)閍=(4,?3)又|b|=1，且a?b=5，設(shè)a則a?b=|又θ∈[0,π]，所以θ=0，即a與b的夾角為所以a與b共線同向，又|b|=1，所以b為即b=故答案為：0；(【分析】首先求出|a|，設(shè)a與b的夾角為θ，根據(jù)數(shù)量積的定義求出cosθ，從而確定θ，則b為a13．【答案】3【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足1≤|z+1+i|≤2，即即復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)C(?1,?1設(shè)P(1,1)，|z?1?i|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z數(shù)形結(jié)合可知|z?1?i|的最大值|故答案為：3【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)C(?1,?1)的距離d滿足1≤d≤2，|z?1?i|表示復(fù)數(shù)14．【答案】4【解析】【解答】如圖，∵CG⊥BG，∴CD⊥BE，∵==?(2=?(2∴2∴cosA=2∴cosA的最小值為故答案為：4

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合余弦定理和基本不等式可求出cosA15．【答案】（1）解：i2021由(1+2i)z=4+4i?i所以z=2+i，|z|=4+1（2）解：因?yàn)閦1=(m2?5m+6)+(【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算化簡求得z，再求出復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式求解即可.16．【答案】（1）解：由a//b得，所以x=6，即b=由a⊥c得，所以y=?1，即c=（2）解：由（1）得m=2n=所以m?所以cos?所以向量m,n的夾角為【解析】【分析】（1）利用平行、垂直的坐標(biāo)表示列方程，由此求得x,y，進(jìn)而求得b與（2）利用向量夾角公式計(jì)算出cos?m,n?17．【答案】（1）解：由題意知AB是圓柱OO'的一條母線，BC過底面圓心O，且AB=BC=5，可得圓柱的底面圓的半徑為則圓柱的底面積為S1圓柱的側(cè)面積為S所以圓柱的表面積為S=2S（2）解：由線段AC繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BC為底面半徑，以AB為高的圓錐，線段AD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為BD為底面半徑，以AB為高的圓錐，所以以△ACD繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為：V=1【解析】【分析】（1）由題意，求得圓柱的底面圓的半徑，再求圓柱的表面積即可；（2）△ACD繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為兩個(gè)圓錐的體積之差，根據(jù)圓錐體積公式求解即可.18．【答案】（1）解：在△ABC中，bsinC=3因?yàn)锳+B+C=π，所以sinA=所以sinBsinC=即sinB因?yàn)锽∈(0,π)因?yàn)镃∈(0,（2）解：由三角形兩邊之和大于第三邊可得：c<a+b=2，即c<2．由余弦定理得：c2=a由基本不等式可得：a+b≥2ab，所以ab≤(a+b2)綜上所述：1≤c<2．所以邊長c的取值范圍為[1（3）解：由余弦定理得c由重要不等式得16=當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)取等號(hào)∴S=∴S最大值為4【解析】【分析】（1）已知條件由正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式化簡得tanC=3，可得（2）由三角形兩邊之和大于第三邊和余弦定理結(jié)合基本不等式，可得邊長c的取值范圍；（3）由余弦定理和重要不等式得ab≤16，代入面積公式求S的最大值.19．【答案】（1）解：由AB=3，AD=2，故|DP|=λ|DC|=3λ，AP?由0≤λ≤1，故AP?（2）解：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)∠QAB=α∈[0,π4則Q(3,3tanAP=≥122當(dāng)且僅當(dāng)21+tanα即AP?AQ的最小值為（3）解：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為