第三講微分法建模3.1

存貯模型3.2

森林救火第1頁工廠—貯備原材料。存貯普遍性存貯問題是人類社會(huì)活動(dòng)，尤其是生產(chǎn)活動(dòng)中一個(gè)普遍存在問題。商店—存貯商品。農(nóng)業(yè)部門—貯備種子，化肥等。軍事部門—存貯武器彈藥等。信息時(shí)代—存貯大量信息。3.1

存貯模型第2頁驚人資金占用—據(jù)相關(guān)資料表明，到1993年底，我國全民庫存積壓產(chǎn)品達(dá)2700億元，到1995年初，我國國有企業(yè)閑置資產(chǎn)和積壓產(chǎn)品高達(dá)5000億元。存貯存在風(fēng)險(xiǎn)大量庫存物資還會(huì)引發(fā)某貨物劣化變質(zhì)，造成巨大損失（藥品，水果，蔬菜等）。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，過多地存貯物資將承受市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。

第3頁存貯需要處理主要問題要處理主要問題：何時(shí)補(bǔ)充？每次補(bǔ)充多少庫存？

依據(jù)前面分析知道，一個(gè)工商企業(yè)為了為了使生產(chǎn)和經(jīng)營活動(dòng)有條不紊地進(jìn)行，需要貯備物資，但過多又有巨大風(fēng)險(xiǎn)。那么，終究應(yīng)存放多少物資為最適宜呢？存貯系統(tǒng)存貯補(bǔ)充需求信息反饋

補(bǔ)充時(shí)間和補(bǔ)充數(shù)量稱為存貯策略。

存貯策略優(yōu)劣衡量標(biāo)準(zhǔn)，最直接是計(jì)算該策略所耗用平均費(fèi)用多少。第4頁存貯策略執(zhí)行所包括費(fèi)用存貯費(fèi)：占用資金應(yīng)付利息，使用倉庫、保管貨物、損壞變質(zhì)等支出費(fèi)用。訂貨費(fèi)：（1）訂購費(fèi)—手續(xù)費(fèi)、電信往來、人員外出費(fèi)；（2）貨物成本費(fèi)（可變費(fèi)）。生產(chǎn)費(fèi)：（1）裝配費(fèi)，如更換模具等（固定）；（2）材料費(fèi)、加工費(fèi)（可變費(fèi)）。缺貨費(fèi)：當(dāng)存貯供不應(yīng)求時(shí)所引發(fā)損失，如失去銷售機(jī)會(huì)損失、停工待料損失、不能推行協(xié)議而繳納罰款等。第5頁配件廠存貯模型問題

配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。

已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。試安排該產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。第6頁要求

不只是回答下列問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間關(guān)系。問題分析

天天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。

日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。天天費(fèi)用5000元第7頁

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費(fèi)4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元。平均天天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次平均天天費(fèi)用最小嗎?

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費(fèi)900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元。平均天天費(fèi)用950元第8頁

這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)——天天總費(fèi)用平均值

周期短，產(chǎn)量小

周期長，產(chǎn)量大貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多尋找最正確周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小。第9頁模型假設(shè)1.產(chǎn)品天天需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1,天天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時(shí)，Q件產(chǎn)品馬上到來（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；4.為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。第10頁模型建立0tq

設(shè)q(t)表示t時(shí)刻貯存量，t=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q，q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0。TQr一周期總費(fèi)用一周期貯存費(fèi)為A=QT/2第11頁模型求解求T使模型分析天天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）第12頁模型應(yīng)用c1=5000,

c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答下列問題

經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）用于訂貨、供給、存貯情形

天天需求量r，每次訂貨費(fèi)c1,天天每件貯存費(fèi)c2，T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件馬上到貨。不允許缺貨存貯模型第13頁允許缺貨存貯模型

當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失。原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件馬上生產(chǎn)出來(或馬上到貨)。第14頁AB0qQrT1t現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,天天每件缺貨損失費(fèi)c3,

缺貨需補(bǔ)足。T周期T,t=T1貯存量降到零。一周期貯存費(fèi)一周期缺貨費(fèi)一周期總費(fèi)用第15頁天天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）求T,Q使為與不允許缺貨存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’第16頁不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨第17頁第一，調(diào)整氣候，改進(jìn)環(huán)境。

調(diào)整了林區(qū)和周圍環(huán)境氣候，創(chuàng)造了一個(gè)「森林生境」。

第二，涵養(yǎng)水源，保持水土。

五萬畝森林儲(chǔ)水量==一百萬立方米小型水庫。二十公分厚表土層，假如被雨水沖刷潔凈，林地需要57.7萬年>草地需要8.2萬年>耕地46年>裸地。

第三，防風(fēng)固沙，保護(hù)農(nóng)田。

一條防護(hù)林帶，可使樹高20至25倍范圍風(fēng)速降低50%。

第四，凈化大氣，防治污染。

森林吸碳量占70%，空氣中氧氣60%是來自森林植被。

3.2

森林救火森林功效第18頁

從年7月30日開始俄羅斯森林發(fā)生大火，除了大片草木化為片片焦土，更引發(fā)連鎖反應(yīng)：俄羅斯經(jīng)濟(jì)分析師預(yù)計(jì)，火災(zāi)造成短期損失可能為150億美元，相當(dāng)于俄羅斯年國內(nèi)生產(chǎn)總值1%;

首都莫斯科也未能逃脫火災(zāi)影響，整座城市籠罩在大火產(chǎn)生煙霧中……森林大火影響第19頁森林火災(zāi)有償撲救我國部分省林業(yè)廳要求：森林火災(zāi)取消義務(wù)撲救，實(shí)施賠償制。一旦發(fā)生森林大火，森林消防隊(duì)撲救森林火災(zāi)所發(fā)生費(fèi)用，將由森林火災(zāi)肇事單位和個(gè)人“埋單”?；馂?zāi)原因不清，由林權(quán)全部者支付。有利于森林消防隊(duì)伍生存和發(fā)展，有利于增強(qiáng)人們森林防火意識(shí)。第20頁

森林救火隊(duì)員派出模型森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問題分析問題

記隊(duì)員人數(shù)x,失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)。

損失費(fèi)f1(x)是x減函數(shù)，由燒毀面積B(t2)決定。第21頁

關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理簡化假設(shè).

失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難，轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.

救援費(fèi)f2(x)是x增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)x，使f1(x),f2(x)之和最小。第22頁模型假設(shè)解釋

rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四面呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.1）0

t

t1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢(shì)蔓延速度）。第23頁b0t1tt2=tx(t

t1)，(t1

t

t2)=t，(0

t

t1)2）t1

t

t2,

降為

-x

(

為隊(duì)員平均滅火速度)；3）

f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）；4）每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3。第24頁模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）第25頁模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用模型求解求x使C(x)最小

/

是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延最少隊(duì)員數(shù)。其中c1,c2,c3,t1,

,

為已知參數(shù)第26頁3.3血管分支問題：

血液在血管中流動(dòng)時(shí)所消耗能量分成兩部分，一部分用于供給血管壁以營養(yǎng)，一部分用來克服流動(dòng)阻力。在長久進(jìn)化中，qq1q1ABB′CHLll1rr1

血管幾何形狀已到達(dá)了消耗能量最小優(yōu)化狀態(tài)。有時(shí)，一條粗血管會(huì)分成兩條細(xì)血管，試確定粗細(xì)血管半徑百分比和分岔角度。q=2q1r/r1,

?第27頁模型假設(shè)1）一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面；2）血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中運(yùn)動(dòng)；3）血液給血管壁能量隨管壁內(nèi)表面積和體積增加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正比。qq1q1ABB′CHLll1rr1

第28頁模型建立qq1q1ABB′CHLll1rr1

粘性流體在剛性管道中運(yùn)動(dòng)：利用流體力學(xué)知，粘性流體在剛性管道中流動(dòng)時(shí)所受阻力與流量平方成正比，與半徑4次方成反比。設(shè)粗、細(xì)血管中流量分別為q，q1，則所受阻力分別為

k為百分比常數(shù)。第29頁提供營養(yǎng)消耗能量：管壁內(nèi)表面積S=2rl管壁體積qq1q1ABB′CHLll1rr1

因?yàn)楣鼙诤穸萪與r成正比，所以可知v近似地與r2成正比。又因?yàn)閮?nèi)表面積s與r成正比，可假設(shè)單位長度血管壁所