第2講函數(shù)的對(duì)稱性與周期性

【考點(diǎn)分析】

1.函數(shù)的對(duì)稱性、周期性是高考命題熱點(diǎn)，近兩年新高考都考了一道選擇題，分值5分，知識(shí)點(diǎn)比較靈活,

需要全面掌握常見對(duì)稱性，周期性的結(jié)論

考點(diǎn)一：函數(shù)常見對(duì)稱性結(jié)論

①若函數(shù);'(X)對(duì)于任意的X均滿足/(?+%)=則函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線彳=("+幻；3_幻=學(xué)

對(duì)稱.

②若函數(shù)/"(X)對(duì)于任意的x均滿足/(a+x)+/(a-x)=2b貝!|y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.

考點(diǎn)二：函數(shù)常見周期性結(jié)論

若函數(shù)對(duì)于任意的X都滿足y(x+7j=/(x),則T為/(x)的一個(gè)周期，且/(x±“T)=y(x)

幾個(gè)常見周期性結(jié)論

①若函數(shù),=/(%)滿足f(x+m)=-f(x),貝！)T=2

②若函數(shù))=/(%)滿足f(x+zn)=±——,則T=2根.

③若函數(shù)y=/(x)滿足/(尤+租)=上n3,則T=2m.

1+/W

④若函數(shù)>=/(x)滿足f(x+a)=f(x+b),則T=|/?-?|.

⑤若函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b都對(duì)稱，則/(尤)為周期函數(shù)且2|6-a|是它的一個(gè)周期.

⑥函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)A(a,%)、8(6,%)都對(duì)稱，則函數(shù)y=/(x)是以2|6-a|為周

⑦函數(shù)y=f(x)(無eR)的圖象關(guān)于A(a,%)和直線x=6都對(duì)稱，則函數(shù)y=是以4g-a|為周期的周期

函數(shù).

⑧若函數(shù)丫=/(X)滿足/(無+相)=匕幺2，則函數(shù)/(尤)是以4帆為周期的周期函數(shù).

1-y(尤)

【題型目錄】

題型一：利用周期性求函數(shù)值

題型二：利用周期性求函數(shù)解析式

題型三：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、奇偶性寫函數(shù)

題型四：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性、周期性綜合運(yùn)用

【典型例題】

題型一：利用周期性求函數(shù)值

Y+2Ym.—1vYV0

【例1】設(shè)/(元)是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)xe(-l,1］時(shí)，/(x)=l，其中.若

{x,0<x<1

/(《)=/(|)，則m的值是.

答案：1

解析：/(X)是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí),

【例2】設(shè)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，/(%+2)=-/(%),當(dāng)OWxWl時(shí)，/(x)=x,則/(7.5)=

答案：—0.5

解析：/(x+2)=—/(x),二f(x)是周期為4的函數(shù)，所以

/(7.5)=/(-0.5)=-/(0.5)=-0.5

1-7(x)八)

【例3】定義在R上的函數(shù)/(%)對(duì)任意xeH,都有/(x+2)=2[，則“2016)等于

13

A.B.D.

4235

答案：D

11-1(x)

1-/(x+2)l+/(x)

解析:/(x+4)==/(》)，所以y(x)是周期為4的函數(shù),

l+/(x+2)i+lzlW

i+/M

【例4】(重慶南開高一上期中)已知定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足了(%+4)=/(力,且=則

“2020)—“2019)的值為()

A.-1B.0C.1D.2

答案：C

解析：；/(x+4)=/(x)所以丁=4,所以〃2020)=/(0)=0,/(2019)=/(-1)=-/(1)=-1,所以

“2020)-"2019)=0-(-1)=1

【例5】(2022?云南昭通?高一期末)已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的周期函數(shù)，且周期為2,當(dāng)xe[0,l]

時(shí)，〃司=2'-1,則[￡)=()

A.872-1B.2A/2-1

C.72-1D.1-72

【答案】C

【分析】利用函數(shù)的周期性，則,￡[=/&]，又根據(jù)函數(shù)在xe[0，l]的解析式，求解的值，即可

得讖的值.

【詳解】解：由題可知/(x)=/(x+2)

所以哈。唱+2x3(4)

又當(dāng)xe[0,l]時(shí)，f(x)=2--l,所以d￡|=25-1=0-1

即(5=&一1.

故選：C.

【題型專練】

1.(2021.山東?臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試)已知“X)是R上的奇函數(shù)，且〃x+2)=-〃x),

當(dāng)xe(O,2)時(shí),/(X)=X2+2X,則〃15)=()

A.3B.-3C.255D.-255

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知/(x)是周期函數(shù)，根據(jù)周期以及奇函數(shù)即可求解.

【詳解】由y(x+2)=—“X)可得，/(x+4)=_〃x+2)=f(x),故“X)是以4為周期的周期函數(shù)，故

/(15)=〃-1)=-"1)=-3,

故選：B

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知了⑺是定義在R上的偶函數(shù)，且/(%+6)=/(-%),若當(dāng)工式-3,。]時(shí),

/?=6-\則/(2021)=()

A.0B.1

C.6D.216

【答案】C

【分析】由〃x+6)=/(-x)可得函數(shù)周期為6,進(jìn)而/'(2021)=『(337x6-1)=/(-1),最后求出答案.

【詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)Ax)滿足〃x+6)=f(-x),BP/(x+6)=/(%),/⑺是周期為6的周期函數(shù),則

/(2021)=/(337X6-1)=/(-1),當(dāng)xe[-3,0]時(shí),f(x)=6\則/(_1)=6=6,故"2021)=6

故選：C

3.(重慶南開高一上期末)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镠,且=/(0)彳0.若對(duì)任意實(shí)數(shù)工，y都有

?。??。?2/任］/任）貝U/（2020）=（）

A72B.-1C.0D.1

答案：D

解析：由題意知，令x=y=0,可得2/(0)=22/(0),因/(0)。0,所以/'(())=1???/[；]=0所以

/(1+同+/(》)=2/「+；+?！?；[=0,所以y(i+x)=_/(x),所以T=2，所以

/(2020)=/(0)=1

4.(2022?云南紅河?高一期末)已知了(無)是定義在R上的奇函數(shù)，VxwR,都有f(x+4)=/(x),若當(dāng)無e[0,l]

時(shí)，f(x)=log2(x+a),則/'(-7)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】/⑺是定義在R上的奇函數(shù)得。，有〃x+4)J(x)得到/⑺是周期函數(shù)，利用函數(shù)周期性可得答

案.

【詳解】??"(尤)是定義在R上的奇函數(shù)，?,"(。)=。，得a=l，，當(dāng)xw[0』時(shí)，/(%)=log2(x+l),VXGR,

都有/(x+4)=/Xx),.■J(x)是周期為4的周期函數(shù)，

7)寸(-7+8)=/(1)=1.

故選：C.

5.(2022.黑龍江.大慶中學(xué)高二期末)Ax)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足“x-2)=〃x+2),又當(dāng)xe(O,l]

時(shí)，/(x)=3",貝.

9

【答案】

o

【分析】依題意可得/(x)=/(x+4),即可得到〃x)是以4為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算及奇函

數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)?(x—2)=/(x+2),所以孔(龍+2)-2]=/[(x+2)+4],即〃x)=〃x+4),

所以〃x)是以4為周期的周期函數(shù)，

又log==log372=log3(8x9)=log38+log39=log38+2

372

(i、

所以/log1-=f(log38+2)=/[(log38+2)-4]=/(log38-2),

\3

又/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以X)=—〃X),且當(dāng)xe(O,l]時(shí)，〃x)=3',

所以.地」]=/。嗝8-2)=-/(2-皿38)=-力睡33=-3噴=4.

<3)V5)3

9

故答案為：-三

O

題型二：利用周期性求函數(shù)解析式

【例1】已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)/(x)滿足：(1)f(—x)=y(x)；(2)/(2+x)=/(2-x)；(3)

當(dāng)xe[0,2]時(shí)解析式為y=2x—1,當(dāng)xe[—4,0]時(shí)，求函數(shù)的解析式。

決心r(f2x+7(-4<%<-2)

答案：/(尤)=《/\

[-2%-1(-2<%<0)

解析：???/"(—x)=y(x),所以/'(x)是偶函數(shù)，又因/■(2+x)=y(2—X),所以y(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，所

以T=2|2—。=4,設(shè)xe[—2,0],則—xe[0,2],所以/'(-x)=—2x—l,因/x)=，(x),所以

/(%)=-2x-1；當(dāng)xe[-4,—2]時(shí)，%+4e[0,2],因止匕/(x)=/(x+4)=2(x+4)-l=2x+7

ri/\f2x+7(-4<%<-2)

因此當(dāng)xw—4,0時(shí)，函數(shù)的解析式為/(x)=.c

[-2x-l(-2<x40)

【例2】(2022?全國?高一專題練習(xí))已知是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)xe[T,l]時(shí)，〃尤)=國，那

么當(dāng)時(shí)，/(%)=.

【答案】|x+6|

【分析】根據(jù)周期性求函數(shù)解析式即可.

【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)了?-7,-5]時(shí)，X+6?-1,1]"(可是定義在區(qū)上周期為2的函數(shù)

所以，/(x)=/(x+6)=|x+6],

故答案為：,+6|

【例3】(2021?山東師范大學(xué)附中高三期中)設(shè)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有

/(%+2)=-/(%),xe[0,2]0^,y(x)=x2-2x.

⑴當(dāng)xe[2,4]時(shí)，求的解析式；

⑵計(jì)算/(OH">"2)f!,+/(2021).

【答案】⑴〃x)=-f+6x-8,⑵T

【分析】(1)利用奇函數(shù)和〃x+2)=-〃x)判斷出"%)為周期為4的函數(shù)，用代入法求出解析式;

(2)利用函數(shù)的周期即可求值.

⑴?."(x+2)=—/。)，.?J(x+4)=—〃x+2)=〃x),.?"(X)是周期為4的周期函數(shù).

當(dāng)xe[-2,0]時(shí)，Te[0,2],由已知得/(-x)=(-x)2-2(-x)=x?+2x.

又〃x)是奇函數(shù)，=.?.〃X)=-2X—X2,

2

又當(dāng)xe[2,4]時(shí)，x-4e[-2,0],f(x-4)--(x-4)-2(x-4),

又〃x)是周期為4的周期函數(shù)，.?.〃x)=/(X-4)=-(X-4)2-2(X-4)=—x2+6x—8,

從而求得xe[2,4]時(shí)，/(%)=—x2+6x—8.

(2)/(0)=0,/(2)=0,/(1)=-1,/(3)=1,又〃x)是周期為4的周期函數(shù)，

.?./(0)+/(l)+/(2)+/(3)=/(4)+f(5)+/(6)+/(7)=...=0.

X/(2021)=/(1)=-1,.?./(0)+/(l)+/(2)+...+/(2021)=-l.

【題型專練】

1.（2021?上海南匯中學(xué)高三期中）設(shè)〃x）是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)xe［O,l）時(shí)，〃x）=log2（x+l）,

則函數(shù)在（5,6］上的解析式/（x）=.

【答案】-log2（7-x）

【分析】設(shè)A（x,y）是xe（5,6］時(shí)函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，然后利用周期和奇偶性將（x,y）轉(zhuǎn)化到區(qū)間［0,1）上，

進(jìn)而代入解析式化簡即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（X）的周期為2,設(shè)A（x,y）是xe（5,6］時(shí)函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，貝。點(diǎn)B（x—6,y）在

xe（-1,0］時(shí)函數(shù)的圖象上，而函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則點(diǎn)3'（6-工,-y）在xe［0,l）時(shí)的圖象上，所以

-y=log2（7-x）y=-log2（7-x）,即f（x）在（5,6］上的解析式/（4=-題2（7-力.

故答案為：-log2（7-x）.

2.（2021?吉林?梅河口市第五中學(xué)高三階段練習(xí)（文））函數(shù)滿足是〃x+2）=4〃x）,且xeR,當(dāng)

2

尤e［0,2］時(shí)，/（%）=X-4%+16,貝哨xe［T,-2］時(shí)，/⑺的最小值為.

3

【答案】-##0.75

4

【分析】由題設(shè)遞推關(guān)系可得于（x+4）=16/（無），令xe［T,-2］結(jié)合已知區(qū)間解析式即可求xe［Y,-2］時(shí)

/（元）的解析式，再應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.

【詳解】由題設(shè)，/(尤+4)=4/(尤+2)=16/(元)，若xe[y-2],則x+4e[0,2],

21Q

22Yr2

16/(x)=(x+4)-4(x+4)+16=x+4x+16,BP/(X)=^_+±+I=_L(X+2)+-,

164164

xe[T,-2]上，當(dāng)尤=-2時(shí)〃x)的最小值為力

3

故答案為：—

4

3.(2021?江蘇?高一專題練習(xí))設(shè)/(x)是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=log2(x+1),

則函數(shù)/(元)在[4,6]上的解析式是

/og(x+3),xel4,5)

【答案】〃x)=<2

-log2(7-x),%e[5,6]

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期及函數(shù)為奇函數(shù)，分段求解函數(shù)的解析式即可.

【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上以2為周期的奇函數(shù)且xe[O,l]時(shí)，/(x)=log2(x+l),

設(shè)xe[4,5),則x-4e[0,l),

所以〃x)=〃x-4)=log2(x-3),

設(shè)xe[5,6],貝1|尤-6e[-l,0],-(x-6)e[0,l],

故/(x)=/(x—6)=—6)]=—log2(6—x+1)=—log2(7—x).

,、rr,、Ilos^(x-3),xe[4,5)

綜上可得，函數(shù)〃x)在[4,6]上的解析式是〃%)='：](7_；')[設(shè)[]，

log(x+3),xe[4,5)

故答案為：/(%)="2

-log2(7-x),xe[5,6]

4.(2021.北京市十一學(xué)校高一期中)若定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(2-x)=f(x),且xe［O,l］時(shí)

/(x)=x2-2x,則：

(1)7(2021)=；

(2)當(dāng)xe［3,4］時(shí)，/(x)=.

【答案】-1-Y+6x-8

【分析】(1)由題可得/(4+x)=f(x),再結(jié)合條件可求；

(2)由題可求當(dāng)xe［-L0］時(shí)，f(x)=-x2-2x,再結(jié)合函數(shù)的周期性即求.

［詳解】，?定義在R上的奇函數(shù)7*)滿足7(2-%)=/(%),

；?/(一x)=—/。),/(2+無)=f(-x)=—/(無)，

/(4+尤)="無)，即函數(shù)/⑺是以4為周期的周期函數(shù)，

又xe［0,l］時(shí)f(x)=x2-2x,

；./(2021)=/(4x505+l)=/(1)=1-2=-1,

.,.當(dāng)Xw[—1,0]時(shí)，—X6[0,1],

/(尤)=~f(—x)=—[(—尤)*'一2(—尤)]=—X2—2龍,

.,.當(dāng)xe[3,4]時(shí)，X—4e[—1,0],

/(%)=f(x-4)==_(x-4)2-2(x-4)=—x2+6x—8.

故答案為：(1)-1；(2)—x2+6.r—8

題型三：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、奇偶性寫函數(shù)

【例1】(2023?全國?高三專題練習(xí))寫出一個(gè)最小正周期為3的偶函數(shù)/(%)=.

【答案】COS-X（答案不唯一）

【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知函數(shù)性質(zhì)寫出滿足要求的函數(shù)解析式即可.

【詳解】由余弦函數(shù)性質(zhì)知：y=cos（丘）為偶函數(shù)且％為常數(shù)，

又最小正周期為3,則孕=3,即力=竺,

k3

977"

所以/（X）=cos（石-尤）滿足要求.

故答案為：COS（羊977工）（答案不唯一）

【例2】（2022?江蘇?金陵中學(xué)高三學(xué)業(yè)考試）寫出一個(gè)滿足以下三個(gè)條件的函數(shù)：/（%）=.

①定義域?yàn)镽;②/'（x）不是周期函數(shù)；③是周期為2萬的函數(shù).

【答案】x+sinx（答案不唯一）

【分析】由74x）的周期為2%，結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)確定了（x）的解析式形式，即可得符合要求的函數(shù)式.

【詳解】“X）的解析式形式：依土人sin（x+o）（a6H。）或or±Zjcos（x+0）（“6H。）均可.

如：f（x）=x+sinx定義域?yàn)镽,不是周期函數(shù)，且尸（x）=l+cosx是周期為2萬的函數(shù).

故答案為：x+sinx（答案不唯一）

【例3】（2022.全國?高三專題練習(xí)）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/（x）：.①定義域

為R;②/（x+2）為偶函數(shù)；③/（x+1）為奇函數(shù).

【答案】Z（x）=cos^（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)的奇偶性和周期性可知/（X）是關(guān)于x=2軸對(duì)稱、關(guān)于（1,0）中心對(duì)稱、以4為周期

的函數(shù)，進(jìn)而直接得出結(jié)果.

【詳解】由/（x+2）為偶函數(shù)，知”X）關(guān)于尤=2軸對(duì)稱；

由/（x+1）為奇函數(shù)，知關(guān)于（1,0）中心對(duì)稱，所以關(guān)于x=0軸對(duì)稱；

所以〃r）=/（x）=-/（2—x）,

則〃x）以4為周期，故可取〃x）=cos分.

故答案為：〃x）=cos號(hào).

【題型專練】

1（2022?廣東茂名?二模）請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù)/（%）=,使之同時(shí)具有以下性質(zhì)：①圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;

②VxeR,/（x+4）=/（x）.

【答案】cose（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題設(shè)函數(shù)性質(zhì)的描述，只需寫出一個(gè)周期為4的偶函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可寫出函數(shù)

解析式.

【詳解】由題設(shè)，寫出一個(gè)周期為4的偶函數(shù)即可，

所以/（x）=cos：滿足題設(shè)要求.

故答案為：cos胃（答案不唯一）

2.（2022?北京通州?高三期末）最小正周期為2的函數(shù)的解析式可以是.（寫出一個(gè)即可）

【答案】y=sinG（xeR）

【分析】根據(jù)正弦型三角函數(shù)的周期公式即可找出

【詳解】根據(jù)正弦型三角函數(shù)的周期公式，最小正周期為2的函數(shù)的解析式可以是＞=sin

故答案為：y=sin"（xeR）.

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））函數(shù)了。）滿足以下條件：①/⑺的定義域?yàn)镽,其圖像是一條連續(xù)不斷

的曲線；②VxeR,/U）=/（-x）;③當(dāng)占,9€（。，+8）且&“、）一"無”＞。；④/⑴恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

玉—X?

請(qǐng)寫出函數(shù)f（x）的一個(gè)解析式________

【答案】/（X）=X2-l（答案不唯一）

【分析】由題意可得函數(shù)7⑺是偶函數(shù)，且在（。,+刈上為增函數(shù)，函數(shù)圖象與X軸只有2個(gè)交點(diǎn)，由此可得

函數(shù)解析式

【詳解】因?yàn)閂xeR,f（x）=/（-x）,所以/'（x）是偶函數(shù)，

y（x.）-/（x）八

因?yàn)楫?dāng)不，兀2￡（。,+8）且%0%，----------9-＞°，

王一馬

所以f（x）在（0,+00）上為增函數(shù)，

因?yàn)閒（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以一（X）圖象與無軸只有2個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)/（X）的一個(gè)解析式可以為/。）=尤2-1,

故答案為：f(x)=x2-l(答案不唯一)

題型四：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性、周期性綜合運(yùn)用

【例1】(2022?貴州銅仁?高二期末(理))已知函數(shù)/*)的定義域?yàn)镽,且滿足:/(-X+2)=-/(%+2),又

/(x+1)為偶函數(shù)，當(dāng)無e[0,2]時(shí)，f(x)=ax2+2x+b,則/⑴+“3)+45)+”7)的值為()

A.4B.-4C.0D.2

【答案】C

【分析】^f(-x+2)=-f(x+2),可得〃1)+/(3)=0,再根據(jù)條件得到周期后即可求解.

【詳解】由/(一尤+2)=—/(*+2),可知函數(shù)〃x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱,即有/(x)=-f(4r)；

由/(x+1)為偶函數(shù)，可知函數(shù)關(guān)于》=1對(duì)稱，即有/(x)=/(2-x).

于是有，(2-尤)=-/(4-力，從而可得/■(x)="4+x),因此可得函數(shù)/(x)的周期為4.

所以〃5)=/(1),/(7)=/(3).

再由〃-x+2)=-/(x+2),令彳=1,有〃1)=一/(3),即/⑴+/(3)=0.

所以/(1)+/(3)+f(5)+f(7)=/(1)+/(3)+/(1)+/(3)=2[/(1)+/(3)]=0.

故選：C

【例2】(2022?陜西?長安一中高一期末)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(x+2)為奇函數(shù)，〃2x+l)為偶

函數(shù)，則函數(shù)的周期是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得了(f+2)=—/(x+2),由偶函數(shù)性質(zhì)可得，(-2X+1)=/(2X+1),化簡整理可

得〃x+2)=—〃x),即可求出周期.

【詳解】因?yàn)椤癤+2)為奇函數(shù)，所以〃-x+2)=-〃x+2),

因?yàn)椤?x+l)為偶函數(shù),所以〃-2x+l)=〃2x+l),則〃T+l)=〃x+l),

則/[一(*+1)+1]=〃尤+2),即〃r)=〃x+2),

所以+2)T(t),BP/(x+2)=-/(%),!HlJf(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以〃x)的周期是4.

故選：C.

【例3】(2022,湖南?長沙一中高三開學(xué)考試)已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)

0<x<l時(shí)，/(^)=log22x,則〃21)=()

A.-1B.0C.log23D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的性質(zhì)化簡可得/(x)是以4為周期的函數(shù)，即可求出.

【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，故可得/(x)=-〃-x),

又/(x-1)為偶函數(shù)，故可得/(x-l)=/(-x—l)=—/(x+l),

則〃X)=-/(X+2)=-[-/(X+4)]=/(X+4),故/(x)以4為周期，

故/■(21)=/⑴=logz2=L

故選：D.

【例4】(2022?山東日照?高二期末)已知y=/(x+2)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，y=g(x-l)是定義域?yàn)镽的

偶函數(shù)，且y=〃x)與y=g(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則()

A.y=〃x)是奇函數(shù)B.y=g(x)是偶函數(shù)

C.2是y=/(x)一個(gè)周期D.y=g(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性、周期性的定義一一判斷即可；

【詳解】解：根據(jù)題意，y=/(x+2)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱，

,=8(%-1)是定義域?yàn)榭诘呐己瘮?shù)，則y=g(x)關(guān)于x=—l對(duì)稱，

y=/(%)與y=g(%)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，貝1y=/(x)關(guān)于%=i對(duì)稱，

所以y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故y=〃x)是奇函數(shù)，故A正確.

y=/(x)是奇函數(shù)，且y=/(x)與y=g(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故y=g(x)是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.

y=/(x+2)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，貝U/(—x+2)=-/(x+2),①

y=〃x)關(guān)于尤=1對(duì)稱，故〃T+l)=/(x+l),可得〃X+2)=〃T),聯(lián)立①得〃T)=_〃_X+2),

故〃x)=-f(x+2),可得f(x+2)=—/(x+4),

故〃x)=—/(x+2)=〃x+4),函數(shù)〃x)是周期為4的周期函數(shù)，由題意可得出4是函數(shù)的周期，故

C錯(cuò)誤.

因?yàn)?是函數(shù)的周期，y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱，

所以(-2,0)是y=/(x)的中心對(duì)稱，(-2,0)關(guān)于>軸對(duì)稱為(2,0),為y=g(x)的對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤.

故選：A

【例5】已知定義在R上的函數(shù)1⑴滿足條件”x+|)T(x),且函數(shù)為奇函數(shù),下

列有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/(x)是周期函數(shù)

B.函數(shù)“X)為R上的偶函數(shù)

C./(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-3,0)對(duì)稱函數(shù)

4

D./(無)為R上的單調(diào)函數(shù)

答案：D

解析：〃x+|)=-〃尤)，二/(X)是周期為3的函數(shù)，故A正確；因?yàn)閥=為奇函數(shù)，所以

/J>即/[x+萬]=_/(_x_3)=-/(-X),又因/'(x+|o=_/(x),

所以;■(—》)=/(X),所以/(%)為R上的偶函數(shù)，所以B對(duì)，D錯(cuò)，因y=為奇函數(shù)，所以它關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱，故把/[x-：]向左平移:單位，得到/(x)的圖象，所以〃幻的圖象關(guān)于點(diǎn)(-：，0)對(duì)稱，所

以C對(duì)。

【例6】(2021新高考2卷8)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，

貝U()

A.H]=。B./(-1)=0C."2)=0D./(4)=0

答案：B

解析：；/(x+2)是偶函數(shù)，,x+2)=/(x+2),所以/(X)關(guān)于x=2對(duì)稱，因?yàn)?(2x+l)為奇函

數(shù)，所以/■(—2x+l)=—y(2x+l),所以/'(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，所以T=4]2—1|=4,又因/(2x+l)為奇

函數(shù)，所以/'(1)=0,又因/'(—x+2)=/(x+2),令x=l,得/(—1+2)=/(1+2)=/(3)=0,所以

7(3-4)=7(-1)=0

22

【例7】若函數(shù)/⑴的定義域?yàn)镽,Mf(x+j)+f(x-y)=/(x)/(j),/(I)=1,則Z/(Q=()

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(九)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的/。),/(2),…,/(6)的

值，即可解出.

【詳解】因?yàn)椤皒+y)+/(x_y)=/(x)/(y),令x=l,y=0可得，2/(1)=〃1)〃0),所以"0)=2,

令x=0可得，f(y)+f(-y)=2f(y),即/(y)=/(—y),所以函數(shù)/(九)為偶函數(shù)，令y=l得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知

/(%+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故/'(x+2)=/(x—4),即/(%)=/(x+6),所以函

數(shù)〃龍)的一個(gè)周期為6.

因?yàn)?(2)=/。)_/(0)=1_2=_1,/(3)=/(2)_/。)=_1_1=_2,/(4)=/(_2)=/(2)=_1,

〃5)=/(—1)=/⑴=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的/。)+/(2)+…+/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以左)=/■⑴+/(2)+/(3)+/(4)=1—1—2—1=—3.

k=\

故選：A.

【題型專練】

1.(2022?四川雅安.高二期末(文))已知函數(shù)〃%)是(7),+?)上的偶函數(shù)，且〃l-x)=〃l+x),當(dāng)》目05

時(shí)，/(x)=2'-l,貝|/(2021)+/(2022)的值為()

A.1B.2C.-1D.0

【答案】A

【分析】由偶函數(shù)可得/(-力=/(力，由"1-x)=〃l+x)可得對(duì)稱性，再化簡整理可得周期7=2,進(jìn)而

根據(jù)性質(zhì)轉(zhuǎn)換〃2021)+〃2022)到xe[O,l],再代入解析式求解即可.

【詳解】由題，因?yàn)榕己瘮?shù)，所以/(r)=/(x),又=所以〃T+1)=/(X-1)=〃X+1),

即〃x)"(x+2),所以是周期函數(shù)，7=2,故〃2021)+〃2022)=八1)+〃0)=2|—1+2?！?=1

故選:A

2.(2022.河南新鄉(xiāng).高二期末(理))已知是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足〃2+X)=〃2-X),當(dāng)xe(0,2]

時(shí)，/(x)=x2+a,若“2022)=0,貝1]。=()

A.-8B.-4C.0D.4

【答案】B

【分析】結(jié)合條件證得了(x)的周期為8,即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?■(》)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(2+x)=/(2-x)=—/(x-2),

所以〃4+力=-〃尤)，所以〃8+x)=〃x),所以的周期為8,

所以〃2022)=〃_2)=_〃2)=T_a=0,故a=-4.

故選：B.

3.(2022?湖南?高二期末)已知定義域是R的函數(shù)/⑺滿足：VxeR,〃4+x)+〃-x)=O,〃l+x)為偶

函數(shù),/(1)=1，則〃2023)=()

A.1B.-1C.2D.-3

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得函數(shù)具有周期性，根據(jù)周期可將廣(2023)=/⑶=-7?⑴=-1.

【詳解】因?yàn)?(1+x)為偶函數(shù)，所以“X)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以/(2-x)=/(x),又由

/(4+x)+/(—x)=0,得f(4+x)=—/(—x),所以f(8+x)=—x)=-/(6+x),所以/(x+2)=—/(X),

所以〃x+4)=〃x),故〃x)的周期為4,所以“2023)=a3)=-

故選:B.

4.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若/(x+1)與/(x—1)都是奇函數(shù)，貝I()

A.“X)是偶函數(shù)B./(九)是奇函數(shù)

C/(x)=/(x+2)D./(x+3)是奇函數(shù)

答案：D

解析：???/(尤+1)是奇函數(shù)，.?./(—X+1)=-/(X+1)，所以/(X)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，因?yàn)?(X—1)為奇函

數(shù)，所以/(-x-l)=-/(x-l),所以/(%)關(guān)于(-1,0)對(duì)稱，所以T=2|l-(-l^=4,所以

—l+4)=/(x+3)為奇函數(shù)。

5.(2021全國卷甲卷理科12)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)

xe[l,2]時(shí)，f(x)^ax~+b,若/(0)+/⑶=6,則

4

答案：D

解析：???/(X+1)是奇函數(shù)，二/(-%+1)=-/(%+1),所以/'(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，???/(X+2)是偶函數(shù)，

/(-x+2)=/(x+2),所以f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，所以T=4|2—1|=4,又因/(x+1)為奇函數(shù)，所以

/(1)=0,所以/(l)=tz+Z7=0,因f(-x+l)=-f(x+l)令x=l,得

/(0)=/(-1+1)=-/(1+1)=-/(2)=-4a-b,因/(—x+2)=/(x+2),所以

/(3)=/(1+2)=/(_1+2)=/(1)=。+匕，所以/(0)+/(3)=-4。_匕+a+b=_3a=6,又因a+b=0,

解得a=—2,b=2，所以當(dāng)e[1,2]時(shí)，/(x)=—2/+2,所以

93-2x|+25

2

6.已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意xeH都有/(x+2)=/(2—x)+4/(2),若函數(shù)y=/(x+l)

的圖象關(guān)于點(diǎn)(—1,0)對(duì)稱，且/(1)=3,則/(2015)=

答案：—3

解析：；/(x+2)=/(2—幻+4〃2),令％=0,W/(0+2)=/(2-0)+4/(2),解得八2)=0,所以

f(x+2)=f(2-x),所以關(guān)于尤=2對(duì)稱，因?yàn)閥=/(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(TO)對(duì)稱，所以/'(x)關(guān)于

(0,0)對(duì)稱，所以T=4|2—。=8,且/(x)為奇函數(shù)，所以〃2015)=/(—l)=—了(1)=—3

7.(2020?岳麓區(qū)校級(jí)模擬)若對(duì)任意的無仁尺，都有=」)+/(%+，且f(0)=T，=19則

66

/(管)的值為

答案：2

解析：???若對(duì)任意的XWR,都有/(%)=/(%-j)+/(x+1),所以X=犬H---,得

o66

1+/1%+/+/1%+J1，所以

=/(x)+/XH—

小+：33

所以/1x+g所以T=2xl=l

=_/(口所以

2

8.(2022?河北深州市中學(xué)高三階段練習(xí)多選)已知函數(shù)〃尤)對(duì)VxeR,都有/(-x)=-〃x),〃2-x)=〃x),

且〃1)=1,貝ij()

A.的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱

B.的圖像關(guān)于點(diǎn)(-2,0)中心對(duì)稱

C./(6)=0

D./(5)=-1

【答案】ABC

【分析】A選項(xiàng)根據(jù)題目條件立即得出，BCD選項(xiàng)通過已知條件合理的進(jìn)行“取代”，推出函數(shù)周期后便容

易得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?—x)=〃x),所以〃x)關(guān)于x=l對(duì)稱，A選項(xiàng)正確；又/(2—x)=—〃T),令x去取代

r,所以“2+尤)=一〃力，再令x+2取代x,所以〃尤)=〃x+4),所以〃x)的周期為4,由

〃X)=/(X+4)](T)=—可得：-/(-x)=/(x+4),所以的圖像關(guān)于(2,0)對(duì)稱，結(jié)合的

周期為4,所以〃元)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-2,0)中心對(duì)稱，故B正確；定義在R上的奇函數(shù)滿足/(0)=0,令

/(2—x)=/(