單元提升卷08數(shù)列

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1-數(shù)列｛%｝中，％=2,々=3,an+l=anan+2,則。2024=（）

A.2B.3C.-D.|

33

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可證得數(shù)列｛七｝是以6為周期的周期數(shù)列，由的。24=g可求得結(jié)果.

【詳解】由％=2,出=3,?！?1=知：。"千°;

1

由%+1=%%+2得：。“+2=%+1%+3，，%%+3=1，即%+3=7,

an

4+6=」一=%,即數(shù)列｛?！埃且?為周期的周期數(shù)列，二々024="337*6+2=?2=3.

an+3

故選：B.

2.己知公差不為零的等差數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為邑，&=2%,則，=（）

A.17B.34C.48D.51

【答案】D

【分析】設(shè)公差為“，則由己知條件可得%=3",然后求解Su，再代入反中化簡(jiǎn)可得答案.

?3

【詳解】設(shè)公差為“，則％=〃3+（6-3）幻=。3+3力=2〃3,a3=3d,

區(qū)WZ=21Z=a9=a6+3d=3a3,

22

則Ux34=5]

、a3a3

故選：D.

3.已知數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%=1,25,=%+口“，則$20=（）

A.210B.110C.50D.55

【答案】A

【分析】寫(xiě)出“22時(shí)，a^a?=2S^,與已知式相減得數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為

2,再由〃=1求得。2,然后再利用等差數(shù)列的求和公式即可求得本題答案.

【詳解】因?yàn)?2S"，所以當(dāng)"22時(shí),%a“=2S._i，兩式相減得=2%,

由25"=。"+",，可得產(chǎn)°，進(jìn)而%=2，

所以數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為2,

又。[電=2S]=2°],而％=1,所以%=2,

20X+20)

S20=(1+3+5+---+19)+(2+4+6+---+20)=(1+2+3+---+20)=^=210

故選：A

4.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為，83=2(82+83$5=35,則」一+」一+」一+…+—-—=()

^10^11

10「10「30C20

A.—B.—C.—D.—

31213121

【答案】A

【分析】根據(jù)條件求出｛%｝的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛七｝的公差為力因?yàn)楣?35,所以4=*=7=%+2d...①，

又￡=2(星+耳),即3%=2(2%+%),%=4%=%+d,;.<7=3%,代入①，解得q=l,d=3,

貝lj%=4+(〃-1)d=3〃—2,

“11111111

以----1------------1-----------F???H-------------=-----------1------------1-------------F,—I----------------

aa

a{a2a2a3a3a4\Qw1x44x77x1028x31

故選：A.

5.贛南臍橙果大形正，橙紅鮮艷，光潔美觀，已被列為全國(guó)十一大優(yōu)勢(shì)農(nóng)產(chǎn)品之一，榮獲“中華名果”等稱(chēng)

號(hào).某臍橙種植戶(hù)為成立一個(gè)果園注入了啟動(dòng)資金800萬(wàn)元，已知每年可獲利20%,但由于競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年

年底需要從利潤(rùn)中取出100萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造和廣告投入，方能保持原有的利潤(rùn)率，則至少經(jīng)過(guò)()年,

該項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過(guò)翻兩番(即為原來(lái)的4倍)的目標(biāo)？

(參考數(shù)據(jù)：坨2Z0.3,lg3no.5,lg5ao.7)

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】首先根據(jù)條件找到關(guān)于果園資金4的遞推公式，再根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)公式，再根據(jù)知23200,

結(jié)合對(duì)數(shù)不等式，即可求解.

【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)〃年之后，該果園的資金為％萬(wàn)元,

由題意知ax=800x(l+20%)-100=860,an+i=anx(l+20%)-100=|a?-100,

又；%-500=|(12?-500),%-500=360w0,

.??可知％-500/0,.??數(shù)列500｝為首項(xiàng)為360,公比為1的等比數(shù)列，

0-10-1

66

a-500=-500)xI=360x

n5

即a“=360x(g)+500,

令見(jiàn)23200,可得(J”>y,.-.(n-Dlgl^lgy,

115

lgT_lgl5-lg2_lg3+lg5-lg2^

..Yl-1之―———~,

Ig6-lg5Ig2+lg3-lg5

町

/.n>10.

故選：D.

6.已如公比不為1的等比數(shù)列｛*｝中，存在s,,cN*滿(mǎn)足/q=a；,則3+；的最小值為()

s4，

A.yB.-C.—D.-

28124

【答案】B

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得從而可知s+/=10,所求式子即可變形為

^-(y+y+^),結(jié)合基本不等式即可求出最小值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為4(4"),因?yàn)榈?=用，可得%即q'+T=/,

可得s+y10,且S/EN*,

.411/41、/、1〃4/s1、1,17今s、

ffl-+—=—,(-+^-)(5+0=--(4+—+—+-)=—?(—+—+—),

s4t10sAt10s4t4104s4/

因?yàn)镾/EN*,所以”>0,2>°，則生?+=2,得到，+!?■!，

s今s4t\sAts4，8

4/c415

當(dāng)且僅當(dāng)竺=；時(shí)，即5=8,f=2時(shí)取等號(hào)，所以2+；的最小值為三，

S4/s4t8

故選：B.

7.已知S“是等比數(shù)列｛。“｝的前”項(xiàng)和，且S,=2"i+a,貝lj…+%0知=（）

223-8213-8220-1225-8

A.B.C.D.

3333

【答案】A

【分析】由。"與S,的關(guān)系求出數(shù)列｛"”｝的通項(xiàng)公式，推導(dǎo)出數(shù)列｛a/,+J為等比數(shù)列，確定其首項(xiàng)和公比,

結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得所求代數(shù)式的值.

32

【詳解】因?yàn)樵?2向+*所以％=S]=4+a,a2=S2-S1=（2+a）-（2+a）=4,

43

a3=S3-52=（2+tz）-（2+a）=8,

又｛6｝是等比數(shù)列，所以a；=%的，即4?=8（4+a）,解得a=-2,所以,=2向一2.

當(dāng)“22時(shí)，*=S“—S,T=（2用一2）-（2”-2）=2",又％=2滿(mǎn)足%=2",

所以，—=吐=7=4,故數(shù)列｛氏+0｝是公比為4,首項(xiàng)為6%=2x4=8的等比數(shù)列,

冊(cè)2

10

8（l-4）23

Haa2-8

所以aAa2+a2a3-----ion

1-43

故選：A.

8.已知4=1,%=4,an+2=4an+i+an,bn設(shè)的="〃+1，S〃為數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，則

an

（）

H

A.Sn<\6nB.Sn>17

35

C.Sn4以nD.Sn>18n

2

【答案】B

【分析】在等式。"+2=4。向+與兩邊同時(shí)除以。用得吐=4+4,推導(dǎo)出q=17,c?>17（n>2）,結(jié)合放

an+\an+l

縮法可判斷B選項(xiàng)；利用E的值可判斷AD選項(xiàng)；利用號(hào)的值可判斷c選項(xiàng).

【詳解】由%+2=4%+|+%以及％=1,出=4可知，。3>0，。4>°，…，

以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的〃eN*,??>0,

在等式an+2=4a?+1+%兩邊同除a?+i得吐=4+',即％】=4+：,則bnb,t+｝=44+1,

an+\an+\0n

因?yàn)?=，=4,貝！JG=4&=44+1=17,

所以當(dāng)"22時(shí)，〃>4,c'=〃"+1=4"+1>17,所以S“=6+。2+…+%217〃，B對(duì),

因?yàn)椤啊?2=4Q〃+I+%以及4=1,出=4,貝!J"3=4a2+4=4x4+1=17,

%—4a3+〃2=4X17+4=72,a5=4a4+a3=4x72+17=305,

%+l%+2a^_a_30535

n幺=17,。2=&=18,C5

g=納+i—,所以，q=3

aa

nn+l%

3053053535

所以，d=17不滿(mǎn)足AD選項(xiàng)，5=17+18+—=35+—>35+—=—x3,

3171722

305

5=35+不了不滿(mǎn)足C選項(xiàng),

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.己知等差數(shù)列｛?！埃墓顬椋デ啊表?xiàng)和為S“，且％=0,邑=%+12,則()

A.<7=1B.。“=〃-2

C.a4+al0=-10D.當(dāng)〃=1或2時(shí)，S”取得最小值

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意列式求解可得q5,即可得結(jié)果；對(duì)于B：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分析判斷;

對(duì)于C：根據(jù)通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；對(duì)于D：先根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出S”，再結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

分析判斷.

a+d=0[a—1

【詳解】由題意可得，[7x6，I解得[二一，故A正確；

7qH------xd=a1+3d+1214—1

、2

所以%=-l+("-l)xl=”-2,故B正確；

所以為+40=24+12d=-2+12=10,故C錯(cuò)誤;

0/八n(n-\\n2—3n9

所以=(-l)xn+—--xl=--

8

因?yàn)镠EN*,所以當(dāng)〃=1或〃=2時(shí)，取得最小值，故D正確.

故選：ABD.

10.已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，將“｝為數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和，則（）

A.｛%+%｝為等比數(shù)列B.｛%%｝為等比數(shù)列

C.｛4+《/為等比數(shù)列D.｛SJ不為等比數(shù)列

【答案】BCD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，驗(yàn)證各選項(xiàng)中的數(shù)列是否正確.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為“，

當(dāng)g=-i時(shí)，&+%=0,｛%+%+]｝不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?必y=4=d,故｛%%+J是公比為二的等比數(shù)列，故B正確；

anan+\an

222（22\

.怨+：“+2=彳1?:"+“=q2,故｛a；+是公比為d的等比數(shù)列，故C正確；

%+%"+%+1

若阻｝為等比數(shù)列，則有即（％+a“y=a/（4+aq+4q2）,化簡(jiǎn)得g=0,不合題意，所以｛S,｝

不為等比數(shù)列，故D正確.

故選：BCD

11.提丟斯-波得定則是關(guān)于太陽(yáng)系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國(guó)的一位中學(xué)

老師戴維?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來(lái)被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表示，即數(shù)列｛%｝：

0.4,0,7,1,1,6,2,8,5.2,10,19.6,???,表示的是太陽(yáng)系第"顆行星與太陽(yáng)的平均距離（以天文單位AU為單位）.現(xiàn)

將數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)乘以10后再減4,得到數(shù)列｛"｝,可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列也｝從第3項(xiàng)起，每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式為"=3x2-2

B.數(shù)列｛?！埃牡?0項(xiàng)為0.3x220+0.4

C.數(shù)列｛與｝的前10項(xiàng)和為157.3

D.數(shù)列｛力“｝的前”項(xiàng)和（=3（"-1）?2"T

【答案】CD

【分析】由題意先求出“，即可判斷選項(xiàng)A；由"和a”的關(guān)系，求出《，求出。2。，即可判斷選項(xiàng)B；由4

的通項(xiàng)公式，由分組求和結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式求解，從而判斷選項(xiàng)C,利用錯(cuò)位相減法求出

T?,即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】數(shù)列｛。“｝各項(xiàng)乘以10后再減4得到數(shù)歹U也,｝：0,3,6,12,24,48,96,192,…，

[0,77=1

故該數(shù)列從第2項(xiàng)起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，所以"=,*、.，故A錯(cuò)誤；

[3x2>2

b+4f0.4,n=1

從而。，=丁=二>,，所以％)=03X*+0.4,故B錯(cuò)誤；

10[0.3x2+0.4,?>2

18

數(shù)列｛“〃｝的前1。項(xiàng)和為Eo=%+電---=0.4+0.3x(2°+2H-----------------F2^+0.4XQ0-1)

1-?9

=4+0.3x------=4+0.3x29—0.3=157.3,C正確；

1-2

因?yàn)榍?)n-2K

,n>2

所以當(dāng)〃=1時(shí)，4=4=0,

12W2

當(dāng)〃22時(shí)，Tn=^+262+363+---+^=0+3X(2X2°+3X2+4X2+---+H.2-),

27；=0+3x(2x21+3x22+4x23+???+?^^1),

所以一7；=0+3X(2+2]+22+…+2”2—〃.2〃T)

(9-2'i、

=3x12+-^-一〃.2"1=3(1一

所以1=3("1).2"、又當(dāng)附=1時(shí)，7]=0也滿(mǎn)足上式，

所以7L=3("-1).2"T,故D正確.

故選：CD.

12.斐波那契數(shù)列又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔

子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用。"表示斐波那契數(shù)列的第〃項(xiàng)，則數(shù)列｛為｝滿(mǎn)足：

aaS

%=%=1,。,+2=n+\+n，記n是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，則()

A.%=13B.%+/+%+…+°2023=°2024

C.%+04+“6"I02022=°2023—2D.邑023=°2025一1

【答案】ABD

【分析】利用遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得。7的值，可判斷A；推導(dǎo)出%=-。用+?！?2,分別令〃取偶數(shù)，奇數(shù)和

正整數(shù)，結(jié)合累加法求解，可判斷BCD.

【詳解】。3=。1+。2=2,。4=&+。3=3,〃5=。3+。4=5,4=。4+。5=8,=6Z5+=13,故A正確；

對(duì)任意的〃GN*,?！?2=?！?1+?！ǎ瑒t%=一。〃+1+?！?2，

當(dāng)〃取偶數(shù)時(shí)，得。2=-%+&，4=一。5+。6，。6=一〃7+%，…，。2022=一。2023+。2024，

相力口得2+〃4++…+。2022=~(a3+/+%+…+^2023)+(&+Q6+。8+…+%024)

則%+為+%+…+。2023="2024一。2="2024—,又q=1，

h

貝U/%-----。2023=。2024，故B正確；

對(duì)任意的幾GN*,%+2=%+1+勺，貝！)%=一%+1+%+2，

當(dāng)〃取奇數(shù)時(shí),得=_。2+。3，。3=_。4+々5，。5=~~°6+。7，…，。2021=一。2022+。2023，

相加得q+/+。5+…+a2021=~(a2+Q4+〃6+…+〃2022)+(%+。5+。7+…+”2023)

則。2+“4+46+.,,+%022="2023.%="2023一C錯(cuò)；

對(duì)任意的〃eN*,4+2=%+1+勺，則。〃=一?！?1+?！?2，

02023=%+%+%+…+%023=(一出+%)+(_%+)+,*,+(-^2024+〃2025)=出025一出=。2025.1，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.等比數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足為+%=10，出+%=5,數(shù)列也｝滿(mǎn)足"=：,"22時(shí)，biz*,則數(shù)列也｝

的通項(xiàng)公式為.

【答案】“=2"一3

【分析】由題意列方程組可求得見(jiàn)=［；］，繼而可得"22時(shí)，b「b『、=；=2"T,利用累加法以及等比

數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，即可求得答案.

卜+亡？解得,%=8n-4

【詳解】根據(jù)題意得1,故％=

aq+aq

xx=5q=3I

故心時(shí),f,

故，=4+(優(yōu)一4)+(4-4)++--?,+僅”一〃1)

J+2F-++2-+Q'

=2"一3，

441-2

顯然?=1時(shí)也滿(mǎn)足上式.

故答案為：b"=『

14.己知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足。20+。23=26,%、%、％2成等比數(shù)列，S"為數(shù)列｛?"｝的前〃項(xiàng)和,

則S"的最小值為

【答案】-210

【分析】根據(jù)條件可求出%=-28,d=2,從而得出S〃="—29〃，然后即可求出邑的最小值.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列a｝的公差為d?。。)，???4。+%=26,%，〃9，%成等比數(shù)列，

2〃]+41d=26

??</、2/、/、，解得a\——28,4=2,

(q+8d)=(4+2d)(4+11")

邑=一28〃+——)-x2="-29〃，

〃2

.?.及=14或15時(shí)，取最小值-210.

故答案為：-210.

15.首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列｛%｝,其前“項(xiàng)和為S“，現(xiàn)有下列4個(gè)命題:

①若$8<$9,貝1]$9<5。；

②若$11=0,則。2+aio=。；

③若與>0,與<0,則｛SJ中S?最大；

④若$2=九，則使S“>0的”的最大值為11.

其中所有真命題的序號(hào)是.

【答案】②③④

【分析】①由題意可以推出%>0,不能推出《。>0,判斷①錯(cuò)誤；②由題意可得%+知=0,判斷出②正

確；③由題意可得%>°，歿<0，判斷出③正確；④由題意可得&+%=0，進(jìn)而&判斷出④正

確.

【詳解】若既<,9,則的>0,不能推出可。>0,即不能推出$9<s。，故①錯(cuò)誤；

若S]|=0,則凡=0,即%+%]=0,則出+%0=%+%1=0,故②正確；

若Sl3>0,S14<0,則53==13%>o,=14（%；%4）=14（°「）<0,

所以的>0,。8<0，貝（1｛S"｝中S’最大，故③正確；

若=510,貝IJ24+d=10%+45d,

即2〃1+1Id=4+52+4+62=a6+a7=0,

因?yàn)槭醉?xiàng)為正數(shù)，則公差小于0,則〃6>0，%<0，

則S”="（%；%）=11牝>0，&2=頷）=6（&+%）=0,

則使邑>0的〃的最大值為11,故④正確.

故答案為：②③④.

16.設(shè)數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和為S",若存在實(shí)數(shù)4使得對(duì)于任意的N*,都有⑶則稱(chēng)數(shù)列｛%,｝為

“T數(shù)列”.則以下｛%｝為“T數(shù)列”的是.

①數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且q>0,公差d<0；

②數(shù)列｛與｝是等比數(shù)列，且公比q滿(mǎn)足|同<1;

④若%=1，a,+2+（T）Z=。.

【答案】②③

【分析】對(duì)于①②③④中的數(shù)列，分別求前〃項(xiàng)和S“，判斷是否存在實(shí)數(shù)A,使得對(duì)任意的〃eN*,都有

￡,|<工，即可判斷該數(shù)列是否為“T數(shù)列”，即可得正確答案.

【詳解】對(duì)于①：｛%｝是等差數(shù)列，且％>0,公差d<0,由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得:

+當(dāng)〃無(wú)限大時(shí)，國(guó)也無(wú)限大，所以數(shù)列｛叫不是“T數(shù)列"，故①

不正確；

對(duì)于②：若｛與｝是等比數(shù)列，且公比9滿(mǎn)足|同<1；所以

49=盧-用滿(mǎn)足“T數(shù)歹『，的定義，故②正確；

\-qi-q\-q1-q\-q\-q

_〃+2__J________]

,,+1n+1

對(duì)于③：a”-H(?+1)2~~n^2"~(?J+l)-2，

^^\S?\=1x2'_2x22+2x22-3x23+'"+n-2n-(M+1)-2"+1

111

=<—

2(n+l)-2"+12，

則數(shù)列｛0“｝是“T數(shù)列”，故③正確；

對(duì)于④：在數(shù)列｛%,｝中，q=1,62+(-1)"4=0，

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，為+2-4=0,數(shù)列｛%｝中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成常數(shù)列，且各項(xiàng)都是1,

當(dāng)"是偶數(shù)時(shí)，a?+2+a?=0,即任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)和為0,

當(dāng)時(shí)，|s“|f+co,所以｛《｝不是“r數(shù)列”，

綜上所述為“T數(shù)列”的是：②③，

故答案為：②③

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

17.在等差數(shù)列｛。,｝中，前〃項(xiàng)和為S",%=-4,6=-18.

⑴求d的值；

⑵求S.的值.

【答案】⑴-2

⑵一88

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求公差d的值；

(2)利用等差數(shù)列的求和公式直接計(jì)算即可.

【詳解】（1）｛%｝為等差數(shù)列，公差為d

因?yàn)椤?二-4,as=-18

以4=1+74=-4+7d=—18.

解得d=-2

/、（《+4）x8/、

（2）S—?2—=4（-4-18）=-88

18.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為邑，已知q=2,是公差為!的等差數(shù)列.

（1）求｛為｝的通項(xiàng)公式；

,2，、

⑵設(shè)'=（“_l）（a+1）'求數(shù)列也｝的前，項(xiàng)和小

【答案】⑴氏=2〃

⑵（=總

2〃+1

【分析】（1）由題意可得？=，+；,可求出出，則可出公差d,從而可求出｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）由（1）得2=彳二-彳二，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果.

2n-l2〃+1

【詳解】（1）因?yàn)?4是公差為;的等差數(shù)列，所以邑='+"

22

\a??2

又因?yàn)?=2,所以%=4.

設(shè)｛%｝的公差為力則4=電-。1=2.

故4=4=2n.

、_2_2_1______

⑵因?yàn)閚―（冊(cè)+1）一（2"1）伽+1）_2〃_]_2〃+]

1]_]___1_2n

2H+1J2H+12〃+1

19.已知數(shù)列｛%｝為正項(xiàng)等差數(shù)列，數(shù)列低｝為遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列，％=1,%-4=旬-瓦=%-3=0.

⑴求數(shù)列｛與｝,｛?｝的通項(xiàng)公式;

f（2〃為奇數(shù)

⑵數(shù)列｛毫滿(mǎn)足C"=晨”為偶數(shù)，求數(shù)列上｝的前2〃項(xiàng)的和.

【答案】（1）瓢=",b,=2'-'

3n2+22n+1-2

3

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為力等比數(shù)列也,｝的公比為g,然后根據(jù)已知條件列方程組可求出

d,q,從而可求出數(shù)列｛%｝,低｝的通項(xiàng)公式；

〃為奇數(shù)

（2）由（1）得c,=班便將，然后利用分組求和法可求得結(jié)果.

[2，〃為偶數(shù)

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛?！埃墓顬榱Φ缺葦?shù)列｛2｝的公比為g,

因?yàn)?=1,ax-bx=a2-b2=a4-b3=0,

i+a=q

所以得,解得

1+3d=q1

因?yàn)閿?shù)列｛aJ為正項(xiàng)數(shù)列，｛"｝為正項(xiàng)遞增數(shù)列，

所以解得q=2,d=\,

所以4=1+(〃-1)x1=〃，"=1x2"-=2"-

伉〃為奇數(shù)

⑵由⑴得C"=a，"為偶數(shù)‘

所以數(shù)列｛c“｝的前2項(xiàng)和為&=3+&+…+。2"-1)+(8+“+?,?+&")

=(1+3+---+2?-1)+(2|+23+---+22"-1)

_(1+2?-1)?2、(1-4")

=2+1-4

3H2+22"+1-2

"3,

20.已知正項(xiàng)數(shù)列｛。"｝滿(mǎn)足1082?！?2+(-1)"1。82。,=1，且4=1,?2=2-

(1)已知”=“2"-1'求低｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛a?｝的前2023項(xiàng)和52023.

【答案】(1)“=2"T

⑵2KH2+1516

K

【分析】(1)由log2an+2+(-l)log2an=1可得log2?2n+1+(-1產(chǎn)7log?-=1，從而得到整=2,進(jìn)而得到也｝

un

是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；

,,2

(2)由log2an+2+(-1)log,an=1可得log2?2?+2+(-1)"log2o2?=1,從而有%j%+2=2,得到數(shù)列｛%“｝偶數(shù)

項(xiàng)具有周期性，最后根據(jù)§2023=3+牝+。5+…+%023)+(。2+。4+…+。2022)分組求和即可.

【詳解】(1)a=”2〃-1，「?〃+1=”2〃+1，

w2-1

log2an+2+(-l)log2an=1,log2a2n+i+(-1)"log2a2n_x=1,

即log?”「log'4=1,.11082^=1,即M=2,

unun

..?｛%｝是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

.,也=2",

(2)^2023=(4+%+°5---------42023)+(。2+。4-----------。2022)，

lxfl-210121

1012

又Q]+%---42023=瓦+b2T----------F狐口二——--------二2—1，

1-2

,log?%+2+(—1)l°g2—1，??l°g2a2n+2+(一1)^§2。2n=9

+1a

?e?log2。2"+2°g2。2〃=1，即2n-。2〃+2=2，

.,.“2=2,包=1，。6=2,%=1,〃10=2,即數(shù)列｛%〃｝偶數(shù)項(xiàng)具有周期性，

1010。1…

。2+。4"I-------1-。2022=~~~x3+2=1517,

10-

以5*2023=(%+%+%--------。2023)+(“2+-----------^2022)=2'+1516,

21.己知數(shù)列｛g｝("€N*)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件，從中任選一個(gè).

條件①：(為數(shù)列抄“｝的前"項(xiàng)和，a=l,b"#0,b“b“+i=2T",且。”=?；

條件②：數(shù)列｛"｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且配2&4仄成等差數(shù)列；數(shù)列｛cj的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前

"項(xiàng)和,且2"“=g(c“+l),數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足=；，c“；

條件③：數(shù)列｛，｝滿(mǎn)足"2+b「2be==1也=3,且%=7].

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S“，證明：1<S?<2.

【答案】⑴%=—

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）若選條件①，則由“%=2（,得如4=2加（"22）,兩式相減化簡(jiǎn)可得數(shù)列低｝的奇數(shù)項(xiàng)、

偶數(shù)項(xiàng)分別是以1,2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而可求出“，進(jìn)而可求出見(jiàn)，若選條件②，則由已

知條件列方程可求出公比/則可求出勿，再由2%=%（g+1）,得2憶_]=%（*+1）（心2）,兩式相減

化簡(jiǎn)可得｛%｝為等差數(shù)列，從而可求出與,進(jìn)而可求出％,若選條件③，則可得

（&2-幻=2",令，+「"=""，再利用累加法可得4+1-4=2令再利用累加法得“，進(jìn)而可

求出?！?，

（2）由（1）得%=>,利用錯(cuò)位相減法可求出國(guó)，然后通過(guò)判斷S"的單調(diào)性可證得結(jié)論.

【詳解】（1）若選條件①：因?yàn)樗?1=2*所以履e=2加（北2）,

兩式相減,得4（%「%）=2”（〃22）.

因?yàn)閍NO,所以以「”_=2（〃22）.

又4=1,6也=27；,所以&=2,

所以數(shù)列｛"｝的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別是以1,2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

當(dāng)〃=2左一1,%eN*時(shí)，=1+（左一1）x2=2左一1；當(dāng)〃=2左，左eN*時(shí)，b2ft=2+（左一1）x2=2左.

綜上所述，6“="/—*.所以.“=臺(tái)

若選條件②：設(shè)數(shù)列低｝的公比為/

因?yàn)椋?｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且滿(mǎn)足4,2仇,4a成等差數(shù)列，

所以4=1,且他=4+坳，即鈉=1+鈉2,解得q=g,所以a=

因?yàn)閿?shù)列｛c.｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前〃項(xiàng)和，且滿(mǎn)足2%=c”(c“+l),

所以當(dāng)”=1時(shí)，2〃]=2C]=J(q+1),貝ljq=l,

因?yàn)?%=c?(cn+1),所以=C“T(%+1)(〃>2),

兩式相減得2g=c；-ch+c?-c?_t(?>2),即(g+c“_J(c“-c?_1-l)=0(n>2).

因?yàn)閏”>0,故g-1=0("22),所以I-%=1(〃22).

所以數(shù)列｛c“｝為等差數(shù)列，故q,=1+(〃-1)x1=〃.

1幾

所以%=v=寧

若選條件③：由b"耀+b"—2b"+產(chǎn)2",得(%2-6用)-("「“)=2”.

n

令,則%=b「b、=2,ua+l-un=2.

1

當(dāng)〃22時(shí)，u?=?1+(u2—w；)+(M3—W2)H---F(“"一〃“_])