1問題的提出2第二節(jié)向量組的秩向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組3利用初等變換求向量組的秩4等價(jià)向量組及秩的關(guān)系（2）如何找出這一組線性無(wú)關(guān)向量組？（3）其余向量與這一組向量有何關(guān)系？問題（1）一個(gè)向量組（含有限多個(gè)向量，或無(wú)限多個(gè)向量）線性無(wú)關(guān)的向量最多有幾個(gè)？一、問題的提出簡(jiǎn)稱為極大無(wú)關(guān)組，稱r為向量組的秩。定義1若向量組T（均同維）滿足：二、向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組例如對(duì)T:有且線性無(wú)關(guān)所以，T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是，秩為2。幾點(diǎn)說(shuō)明(1)

向量組T的秩是唯一的；(2)

規(guī)定,當(dāng)T只含零向量時(shí),T秩＝0；(3)

若T秩＝r,則T中任r個(gè)線性無(wú)關(guān)向量都組成

T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組;T的極大無(wú)關(guān)組可能不止一個(gè)；(4)

設(shè)T有有限個(gè)向量，且T秩＝r,則

T本身就是T的唯一的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組;(5)

T秩r

向量維數(shù)n.二、向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組與書中定義2.5.1的區(qū)別？二、向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組定理1

(利用初等變換求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組)證明三、利用初等變換求向量組的秩證畢三、利用初等變換求向量組的秩例1求向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組.解記初等列變換三、利用初等變換求向量組的秩所以此向量組的秩為3.所以向量是向量組T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解法二對(duì)行向量組，可以先都轉(zhuǎn)置為列向量，排成矩陣后，用行變換化為行最簡(jiǎn)型設(shè)顯然，且極大無(wú)關(guān)組互為轉(zhuǎn)置向量三、利用初等變換求向量組的秩初等行變換所以所以向量是向量組T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.三、利用初等變換求向量組的秩解三、利用初等變換求向量組的秩三、利用初等變換求向量組的秩三、利用初等變換求向量組的秩三、利用初等變換求向量組的秩三、利用初等變換求向量組的秩三、利用初等變換求向量組的秩三、利用初等變換求向量組的秩三、利用初等變換求向量組的秩定義2（兩個(gè)向量組等價(jià)的概念）設(shè)有兩個(gè)

n維向量組（1）反身性：向量組T1與其自身T1等價(jià)；等價(jià)三公理：（2）對(duì)稱性：若T1與T2等價(jià)，則T2與T1等價(jià)；（3）傳遞性：若T1與T2等價(jià),且T2與T3等價(jià),則T1與

T3等價(jià).四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系定理2：向量組與它的任一個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。問題：向量組與其什么樣的子組等價(jià)？證明四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系證畢四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系推論1

向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)；即向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組可以互相線性表示.證四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系推論2

向量組S是它的任意極大線性無(wú)關(guān)組T的

線性組合。一旦T的極大無(wú)關(guān)組T1得到,T的每一個(gè)向量都可以由此極大無(wú)關(guān)組T1線性表示,且表示式唯一,從而得到T的一種結(jié)構(gòu)。(2)T的不同極大無(wú)關(guān)組,對(duì)應(yīng)T的不同結(jié)構(gòu),但彼此等價(jià)。因此,可以互相轉(zhuǎn)化,即互相表示。(3)

這些結(jié)論，是后面“向量空間”的基礎(chǔ)。四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系上面討論的是一個(gè)向量組與其子組的關(guān)系。下面討論兩個(gè)向量組之間的關(guān)系。定理3：對(duì)兩個(gè)n維向量組（比較向量個(gè)數(shù)的多少）證明四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系證畢四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系定理3說(shuō)明(2)一組線性無(wú)關(guān)的向量,不可能用另一組個(gè)數(shù)更少的向量線性表示。(1)r個(gè)線性無(wú)關(guān)向量,若可用另一組向量線性表示，則后一組向量的個(gè)數(shù)不少于r;特別在三維向量空間中:(1)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，不能用同一個(gè)向量線性表示；(2)三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，不能用兩個(gè)或一個(gè)向量線性表示。推論1四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系推論2

等價(jià)向量組的秩相等.注:(判斷對(duì)錯(cuò))若兩個(gè)n維向量組T1與T2秩相等,則T1與T2等價(jià).證明……....…(×)四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系（1）兩個(gè)等價(jià)向量組的秩必定相等，但秩相等的兩個(gè)向量組未必等價(jià)。

例四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系證四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系注意四、等價(jià)向量組及秩的關(guān)系證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成最大線性無(wú)關(guān)組的基本方法就是：分析根據(jù)最大線性無(wú)關(guān)組的定義來(lái)證，它往往還與向量組的秩相聯(lián)系．五、練習(xí)證明五、練習(xí)2、設(shè)向量組

可由向量組

線性表示，則()(A)

當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān)；(B)

當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān)；(C)

當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān)；(D)

當(dāng)