浙江省臺(tái)州市八校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．已知復(fù)數(shù)z=i2+(k+1)i+kA．0 B．2 C．?1 D．12．如圖，在△ABC中，AD=2DC，若BA=a，BC=A．a(chǎn)+2b B．a(chǎn)+12b3．已知空間中點(diǎn)A，B，直線l，平面α，若A∈l，B∈l，A?α，B∈α，則下列結(jié)論正確的是（）A．l//α B．l與C．l?α D．以上都有可能4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若A=60°，B=45°，a=3，則b=（）A．1 B．3 C．2 D．65．如圖，已知一個(gè)直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為6，底面是對(duì)角線長(zhǎng)分別是9和13的菱形，則這個(gè)四棱柱的側(cè)面積是（）A．3010 B．4010 C．50106．在△ABC中，M為邊BC上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AM上，且滿足AN=13NM，若A．14 B．13 C．1 7．如圖，在圓C中，AC=5，點(diǎn)A，B在圓上，AB=4，則AB?A．25 B．8 C．10 D．168．已知四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=PB=6，平面α過(guò)PB，BC，PD的中點(diǎn)，則下列關(guān)于平面α截四棱錐P?ABCD所得的截面正確的為（）A．所得截面是正五邊形 B．截面過(guò)棱PA的三等分點(diǎn)C．所得截面面積為4564 D．截面不經(jīng)過(guò)二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．已知復(fù)數(shù)z1=i，A．zB．若|z?z2|=1，則C．zD．z110．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=10，A=45°，則使此三角形有兩解的a的值可以是（）A．5 B．62 C．8 D．11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為R，下列結(jié)論正確的有（）A．若c=1，C=45°，則R=B．若a2+bC．若A=3B，則a=3bD．若sin2A+sin2B=sin2C，則△ABC是直角三角形12．如圖，圓錐底面的直徑為3，S底：S側(cè)=32A．圓錐的體積為9B．圓錐內(nèi)切球的半徑為3C．過(guò)P截圓錐所得截面面積最大為3D．A點(diǎn)沿圓錐表面到E的最短路經(jīng)長(zhǎng)為15三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．已知向量a=(x，2)，b=(2，1)，c14．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z?2?5i|的取值范圍為15．已知圓柱體的底面半徑為32cm，高為5πcm，一只蝸牛從圓柱體底部開(kāi)始爬行，繞圓柱體4圈到達(dá)頂部，則蝸牛爬行的最短路徑長(zhǎng)為16．在△ABC中，B=60°，BA=2，CD=3BC，對(duì)任意u∈R，有|CA?(μ?1)BC|≥|AC|恒成立，點(diǎn)P是直線四、解答題（本大題共5小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．已如i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=m(m?1)+(m（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，z是純虛數(shù)；（2）若m=2，求|z18．已知在△ABC中，角A，B，C，所對(duì)的邊為a，b，c，若sin（1）求角C的大??；（2）若c=2，求△ABC面積的最大值．19．臺(tái)州黃巖被譽(yù)為“模具之鄉(xiāng)”，為市場(chǎng)對(duì)球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其內(nèi)壁恰好是球體的表面，且內(nèi)壁與棱柱的每一個(gè)面都相切(內(nèi)壁厚度忽略不計(jì))，店家可以將不同口味的冰淇淋放入該模具中，再通過(guò)按壓的方式得到球形冰淇淋.已知該模具底部邊長(zhǎng)為3cm．⑴求內(nèi)壁的面積；⑵求制作該模具所需材料的體積；⑶求模具頂點(diǎn)到內(nèi)壁的最短距離．20．已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，且滿足2sinA+2（1）判斷角B與角C的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若B∈(π4，21．如圖，梯形ABCD，AB=2DC=4，∠ADC=23π，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD（1）當(dāng)F是AD的三等分點(diǎn)時(shí)，試用向量AD，DC表示向量FE；（2）若|AD|=t(t>0)

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】z=i2+(k+1)i+k=k-1+k+1i，由復(fù)數(shù)z=2．【答案】C【解析】【解答】由AD=2DC得AD→=23AC→，

則BD3．【答案】B【解析】【解答】由A∈l，B∈l，A?α，B∈α，得l∩α=A.

故選：B.

【分析】根據(jù)空間中的直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，即可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】由A=60°，B=45°得sin60°=32，sin45°=22

由正弦定理asinA=5．【答案】D【解析】【解答】根據(jù)題意，直四棱柱的底面是對(duì)角線長(zhǎng)分別是9和13的菱形，

菱形的邊長(zhǎng)為922+1322=51026．【答案】A【解析】【解答】設(shè)BM→=mBC→

由AN=13NM得AN→=14AM→=14AB→+BM→=14AB7．【答案】B【解析】【解答】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，

由圓的幾何性質(zhì)可得CD⊥AB，

故AB→?AC→=AB→×AC→×8．【答案】C【解析】【解答】在四棱錐P?ABCD中，PA=PB=6，取PB，BC，CD，PD中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，連接EH，EF，F(xiàn)H，如圖，

因底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，BC，PD的中點(diǎn)，

則EF//BD//FG，EF//PC//GH，得四邊形EFGH是平行四邊形，

令FG∩AC=J，則CJ=14AC

在PA上取點(diǎn)I，使得PI=14PA，連接EI，HI，JI，則JI//PC//EF，

由點(diǎn)J∈平面EFGH，有JI?平面EFGH，則點(diǎn)I∈平面EFGH，HI?平面EFGH，

故五邊形EFGHI是平面α截四棱錐P?ABCD所得的截面多邊形，

而FG=12BD=32，EF=12PC=12×PA2+AC2=33，則截面不是正五邊形，故A錯(cuò)誤；

由A選項(xiàng)分析，可知截面過(guò)棱PA的四等分點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

PA⊥底面ABCD，F(xiàn)G?平面ABCD，則PA⊥FG，而B(niǎo)D⊥AC，BD//FG，則AC⊥FG，又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，因此FG⊥平面PAC，PC?平面PAC，

于是得FG⊥PC，有FG⊥EF，

所以矩形EFGH面積等于EF·FG=969．【答案】A,C,D【解析】【解答】由復(fù)數(shù)z1=i，z2=2?i得z1z2=i2-i=1+2i，z1z2=1-2i

z1?z2=-i·2+i=1-2i，則z10．【答案】B,C【解析】【解答】由正弦定理可得a=b·sinAsinB=10·sin45°sinB=10·22sinB=511．【答案】A,B,D【解析】【解答】由正弦定理可得csinC=1sin45°=2R，解得R=22，故A正確；

由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab>0則C為銳角，即A，B有可能為直角，故B正確；

由正弦定理可得asin12．【答案】B,C,D【解析】【解答】由圓錐底面的直徑為3，得圓錐底面的半徑為32，圓錐底面的面積為π×322=94π

由S底：S側(cè)=32，得側(cè)面面積為94π×23=332π

設(shè)母線長(zhǎng)為l，則12×2πr×l=332π，解得l=3

設(shè)圓錐的高為h，則h=3-94=32，故體積V=13×πr2×h=13×94π×32=338π，故A錯(cuò)誤；

13．【答案】5【解析】【解答】由a//b得x2=21即x=4，故c→=(3，4)，

則b→+c→14．【答案】[2【解析】【解答】由|z|=1，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以O(shè)(0，0)為圓心，1為半徑的圓，又|z?2?5i|表示點(diǎn)Z與點(diǎn)A-2，-5的距離，所以O(shè)A-1≤AZ≤OA+1，則-22+15．【答案】13πcm【解析】【解答】根據(jù)題意，從圓柱體底部M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面旋轉(zhuǎn)4圈到達(dá)頂部的N點(diǎn)，我們沿MN將側(cè)面展開(kāi)后，最短路程如下圖所示：

其中矩形的高等于圓柱的高5πcm，矩形的寬等于圓柱底面圓周長(zhǎng)的4倍，即4×2π×32=12πcm

則蝸牛爬行的最短路徑為16．【答案】21【解析】【解答】由|CA?(μ?1)BC|≥|AC|得|BA→?μBC→|≥|AC→|，由減法與數(shù)乘的幾何意義，AC為點(diǎn)A到BC的垂線段，得∠ACB=90°，

由BA=2，B=60°，得BC=1，AC=3，CD=3，故BD=4，

在△ABD中，由余弦定理可得∠BAD=90°，

設(shè)D關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接BQ，連接CQ交AB于P，則∠DBQ=120°

可得此時(shí)PC+PD最小，PC+PD=CQ，17．【答案】（1）解：因?yàn)閦=m(m?1)+(m所以m(m?1)=0且m2則m=0；（2）解：當(dāng)m=2時(shí)，z=2+5i，所以|z【解析】【分析】(1)利用純虛數(shù)的定義列出關(guān)于m的方程，求解即可得m的值；

(2)求出z，然后利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)求解即可得|z18．【答案】（1）解：根據(jù)正弦定理設(shè)ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，∵sin∴k2a∴由余弦定理cosC=a∴C=π（2）解：由余弦定理可知c2∴4=a2+b2即ab≤4，∴S∴△ABC面積的最大值為3．【解析】【分析】(1)由正弦定理得到a2+b2?c2=a?b，代入余弦定理即可求解出角19．【答案】解：如圖，∵三棱柱ABC?A1B1C∴底面三角形一邊上的高BD=B設(shè)正三棱柱的內(nèi)切球的球心為O，與上、下底面分別切于G1，G，與作側(cè)面切于H則OH=OG1=⑴內(nèi)壁的面積為4π×(⑵制作該模具所需材料的體積V=1⑶模具頂點(diǎn)到內(nèi)壁的最短距離為OB【解析】【分析】由題意畫出圖形，求出正三棱柱內(nèi)切球的半徑.

(1)由球的表面積公式求解出內(nèi)壁的面積；

(2)由棱柱的體積公式求解出制作該模具所需材料的體積；

(3)求出球心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，減去球的半徑得模具頂點(diǎn)到內(nèi)壁的最短距離．20．【答案】（1）解：∵C∈(0，π)，由2sinA+2可得2sinAcosC+2整理得2sin(A+C)=2又A+C=π?B，∴sin(A+C)=sinB，故有sinB=sin(C?π4)，∴B=C?B+C=5π故B、C之間的關(guān)系為B=C?π（2）解：由正弦定理可得，