專題10計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)-2024年新高考地區(qū)數(shù)學(xué)

二模分類服編?山東專用（解析版）

一、單選題

J，則尸（X

1.（2024.山東濟(jì)南.二模）已知隨機(jī)變量X

【答案】B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布直接求解即可.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量XB14,￡|,

所以尸3=2）同「?

故選：B

2.（2024?山東濟(jì)南?二模）設(shè)A,8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P（A）=：，P（8）=；，P（Au5）=g，

則P（B|A）=（）

A.—B.—C.—D.—

43612

【答案】B

【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)解得P（AB）=',結(jié)合尸（3）=尸（A3）+尸（社）可得P（Z2）=；,代入條件概率公

式分析求解.

【詳解】因?yàn)槭ˋu3）=尸（A）+P（B）—尸（AB）,即：=；+；-P（AB）,解得P（AB）=\,

又因?yàn)槭?）=尸（A8）+P（M）,即:=5+網(wǎng)通），解得尸（初）=；,

1_Q

且尸⑷=“可得P?=1-尸網(wǎng)="

故選:B.

3.（23-24高三上?河北?期末）中國(guó)刺繡是我國(guó)民族傳統(tǒng)工藝之一，始于宋代的雙面繡更是傳統(tǒng)工藝一絕,

它是在同一塊底料上，在同一繡制過(guò)程中，繡出正反兩面圖案對(duì)稱而色彩不一樣的繡技.某中學(xué)為弘揚(yáng)中

國(guó)傳統(tǒng)文化開(kāi)設(shè)了刺繡課，并要求為下圖中三片花瓣圖案做一幅雙面繡作品，現(xiàn)有四種不同顏色繡線可選,

且雙面繡每面三片花瓣相鄰區(qū)域不能同色，則雙面繡作品不同色彩設(shè)計(jì)方法有（）種

A.144B.264C.288D.432

【答案】B

【分析】先求出正面區(qū)域的可能的色彩設(shè)計(jì)方法，再求出反面區(qū)域的可能的色彩設(shè)計(jì)方法，由分步乘法計(jì)

數(shù)原理即可得出答案.

【詳解】4種色彩設(shè)為1、2、3、4,正面相鄰區(qū)域不能同色必定用三種顏色，則有A：種不同方法，

對(duì)于A；中的一種再考慮反面設(shè)計(jì)，如正面用三色為1、2、3,

則反面顏色也可選1、2、3,但與正面不能同色，故對(duì)應(yīng)為2、3、1和3、1、2兩種.

反面顏色也能選1、2、4,與正面1、2、3對(duì)應(yīng)分別為2、1、4,2、4、1,4、1、2三種.

同理反面顏色選1、3、4也為3種，反面選2、3、4也為3種，

則正面用三色為1、2、3,反面顏色對(duì)應(yīng)有11種，

所以雙面繡不同色彩設(shè)計(jì)方法共有Ajxll=264種.

故選：B.

4.（2024?山東二模）若隨機(jī)變量且尸仔>4）=0.2,則尸（2</<3）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【答案】B

【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)可知：尸仔>3）=0.5,P（3<^<4）=P^>3）-P（^>4）,由正態(tài)分布曲線的對(duì)

稱性可知：P（2<^<3）=P（3<^<4）,即可得到答案.

【詳解】由隨機(jī)變量/根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可知：Pq>3）=0.5,

因?yàn)镻（J>4）=0.2,可得P（3<^<4）=P（J>3）-J>4）=0.5-0.2=0.3,

再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知：P（2<J<3）=P（3<J<4）,

試卷第2頁(yè)，共37頁(yè)

故選：B.

5.（2024?山東?二模）1+展開(kāi)式中丁尸2的系數(shù)為（）

A.-840B.-420C.420D.840

【答案】C

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列組合問(wèn)題，使用組合方法求解.

【詳解】現(xiàn)有8個(gè)1l+x-；］相乘，從每個(gè)x-1中的三項(xiàng)Lx,一：各取一項(xiàng)相乘時(shí)，若結(jié)果為Yy-2的

常數(shù)倍，則所取的8項(xiàng)中有4個(gè)1,2個(gè)尤，2個(gè)

y

所以，總的選取方法數(shù)目就是C；?CjC=70x6x1=420.

每個(gè)這樣選取后相乘的結(jié)果都是人52二產(chǎn)廠?，即給系數(shù)的貢獻(xiàn)總是1,所以尤2y-2的系數(shù)就是全部的

選取數(shù)420.

故選：C.

6.（2024.山東濰坊?二模）已知隨機(jī)變量X~N（3,〃），且尸（X"）=O.3,則P（X〉2）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【答案】C

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可.

【詳解】由題意可知其均值為3,2和4關(guān)于3對(duì)稱，

所以P（XW2）=P（X24）=0.3,

因此P（X>2）=1—P（XW2）=0.7.

故選：C

7.（2024?山東泰安二模）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），且P（1.5Wx<2）=0.36,貝|P（x>2.5）

等于（）

A.0.14B.0.36C.0.72D.0.86

【答案】A

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)直接求解即可.

【詳解】由題意知,.（1.5W2）=0.36,所以尸（2Vx<2.5）=0.36,

則尸(1.5<x<2,5)=0.36+0.36=0.72,

?cc1-P(1.5<x<2.5)?,.

所CC以HIP(x>2.5)=------------------=0.14.

故選：A

8.(2024?山東日照?二模)已知(x+a)s=幺彳5+凡X4+°3彳3+,2*2+pjX+po,若色=15,貝!］。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，列出方程，即可求解.

55432

【詳解】S(x+a)=p5x+p4x+p3x+p2x+p1x+p0,且「4=15,

可得C；⑶=15,解得a=3.

故選：C.

9.(2024.山東臨沂.二模)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,加,12,14,21,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差

2

的則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是()

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【分析】根據(jù)題干中該組數(shù)據(jù)極差和中位數(shù)的關(guān)系列方程求出加，然后根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】根據(jù)中位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是與上，

根據(jù)極差的定義，該組數(shù)據(jù)的極差是21-1=20,

依題意得，”^=20x(,解得加=4,

6x0.45=2.7eZ,

根據(jù)百分位數(shù)的定義，

該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是從小到大排列的第3個(gè)數(shù)，即4.

故選：A

10.(2024?山東臨沂.二模)若有2名女生和4名男生至U“山東旅發(fā)”大會(huì)的兩個(gè)志愿服務(wù)站參加服務(wù)活動(dòng)，

分配時(shí)每個(gè)服務(wù)站均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案種數(shù)為()

A.16B.20C.28D.40

【答案】C

【分析】先分組后分配，分組時(shí)分一組2人一組4人和每組各3人兩種情況.

【詳解】第一步，先分組，分為一組2人，另一組4人，有C；C：=8種；

試卷第4頁(yè)，共37頁(yè)

分為每組各3人，有寸=6種，分組方法共有14種.

第二步，將兩組志愿者分配到兩個(gè)服務(wù)站共有A；=2種.

所以，總的分配方案有14x2=28種.

故選：C

11.（2024.山東聊城.二模）班主任從甲、乙、丙三位同學(xué)中安排四門不同學(xué)科的課代表，要求每門學(xué)科有

且只有一位課代表，每位同學(xué)至多擔(dān)任兩門學(xué)科的課代表，則不同的安排方案共有（）

A.60種B.54種C.48種D.36種

【答案】B

【分析】分甲、乙、丙三位同學(xué)都有安排和甲、乙、丙三位同學(xué)中只有兩人被安排兩種情況進(jìn)行說(shuō)明即可.

【詳解】第一種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)都有安排時(shí)，

先從3個(gè)人中選1個(gè)人，讓他擔(dān)任兩門學(xué)科的課代表，有C；=3種結(jié)果，

然后從4門學(xué)科中選2門學(xué)科給同一個(gè)人，有C：=6種結(jié)果，

余下的兩個(gè)學(xué)科給剩下的兩個(gè)人，有A；=2種結(jié)果，

所以不同的安排方案共有3x6x2=36種，

第二種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)中只有兩人被安排時(shí)，

先選兩人出來(lái)，有C；=3種結(jié)果，

再將四門不同學(xué)科分成兩堆，有黃=3種結(jié)果，

將學(xué)科分給學(xué)生，有A；=2種結(jié)果，

所以不同的安排方案共有3x3x2=18種，

綜合得不同的安排方案共有36+18=54種.

故選：B.

12.（2024?山東濱州?二模）已知隨機(jī)事件A,8發(fā)生的概率分別為P（A）=0.5,P（B）=0.4,則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.若P（AB）=0.9,則A,8相互獨(dú)立

B.若A,3相互獨(dú)立，則尸（A⑻=0.6

C.若尸（A⑻=0.5,則P（AB）=0.25

D.若■右4,則尸（B⑶=0.8

【答案】D

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷A,根據(jù)條件概率公式判斷B、C、D.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)镻（AB）WP（A）尸伊），所以A與8不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤;

,,、P（AB）P（A）P（B）,、

對(duì)于B：若A,8相互獨(dú)立，則［（川3）=^^=''加：P（A）=0.5,故B錯(cuò)誤;

因?yàn)镻（A|B）=；^,所以尸（AB）=P（B）尸（413）=0.4x0.5=0.2,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于C：

尢P（A＞B）而0.4=。8,故D正確.

對(duì)于D：若則尸（AB）=P（B）=0.4,所以P（同A）=W^=

故選：D

13.（2024?山東濱州.二模）某單位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天.若

5名同志中的甲、乙安排在相鄰兩天，丙不安排在5月3日，則不同的安排方案共有（）

A.42種B.40種C.36種D.30種

【答案】B

【分析】利用相鄰問(wèn)題的排列數(shù)，減去甲乙相鄰時(shí)丙排在5月3日的排列數(shù)得解.

【詳解】甲乙相鄰的排列數(shù)是A；A：,其中甲乙相鄰且丙排在5月3日的排列數(shù)為2A；A；,

所以不同的安排方案共有A；A：-2A；A；=40（種）.

故選：B

14.（2024?山東荷澤.二模）在2024年高校自主招生考試中，高三某班的四名同學(xué)決定報(bào)考A,8,C三所高

校，則恰有兩人報(bào)考同一高校的方法共有（）

A.9種B.36種C.38種D.45種

【答案】B

【分析】利用排列、組合數(shù)即可求解.

【詳解】由題意，恰有兩人報(bào)考同一高校的方法共有C：A；=36種.

故選：B.

15.（23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.己知一組樣本數(shù)據(jù)4，x"（不＜%＜...＜工），現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)已三，三區(qū)，…，一1尸,

試卷第6頁(yè)，共37頁(yè)

士巴，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大

2

B.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y,其線性回歸方程為夕=0.3x7”,若樣本點(diǎn)的中心為(〃?,2.8),

則實(shí)數(shù)m的值是4

C.50名學(xué)生在一模考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)X~N(120,〃)，己知尸(X>140)=0.2,則X4100,140］的人

數(shù)為20人

D.已知隨機(jī)變量若E(3X+1)=6,貝lj〃=5

【答案】D

【分析】計(jì)算可得平均數(shù)不變，可得新數(shù)據(jù)極差變小，可判斷A；利用賀歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，可求優(yōu)，

可判斷B；可求得P(100<X<140)=0.6,進(jìn)而可判斷C；由已知得E(3X+1)=〃+1,計(jì)算可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：新數(shù)據(jù)的總和為"土+乂產(chǎn)++—=為+》2+均++%,

與原數(shù)據(jù)的總和相等，且數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相等，因此平均數(shù)不變，

因?yàn)椴?lt;迎<..<三，而生產(chǎn)―弋^一(…產(chǎn)廠工+…<0,

即極差變小了，由于兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，而極差變小，

說(shuō)明新數(shù)據(jù)相對(duì)原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，因此方差變小，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)榛貧w直線方程￡=0.3x-相必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(憶,2.8),

所以03〃-/力=2.8,解得機(jī)=T,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)橐荒？荚囍械臄?shù)學(xué)成績(jī)XN(120,52),尸(X>140)=0.2,

所以尸(120<XV140)=0.3,所以F(100<X<140)=0.6,

所以Xe［100,140］的人數(shù)為0.6x50=30人，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)閄所以E(X)=〃p=g〃，

E(3X+1)=3E(X)+1=〃+1=6,解得〃=5,故D正確.

故選：D.

二、多選題

16.(2024?山東濟(jì)南.二模)某景點(diǎn)工作人員記錄了國(guó)慶假期七天該景點(diǎn)接待的旅游團(tuán)數(shù)量.已知這組數(shù)據(jù)均

為整數(shù)，中位數(shù)為18,唯一眾數(shù)為20,極差為5,則()

A.該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是20

B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于18

C.該組數(shù)據(jù)中最大數(shù)字為20

D.將該組數(shù)據(jù)從小到大排列，第二個(gè)數(shù)字是17

【答案】AC

【分析】設(shè)這組數(shù)從小到大排列為。，瓦Gd，e,7,g,由題意可得d=18,/=20,結(jié)合百分位數(shù)定義計(jì)算可

得A；設(shè)出舉出符合題意但不符合選項(xiàng)的一組數(shù)據(jù)即可B、D；結(jié)合眾數(shù)與極差定義，借助反證法可得C.

【詳解】設(shè)這組數(shù)從小到大排列為。，"Gd,e4,g,

由中位數(shù)為18,故4=18,

由唯一眾數(shù)為20,故e=7=20或f=g=20,即可確定了=20,

對(duì)A：由7x0.8=5.6,則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是/,即為20,故A正確；

對(duì)B：該組數(shù)據(jù)可能為15,15,16,18,20,20,20,

,—15+15+16+18+20+20+202,,—口

止IF匕時(shí)x=--------------------------------------=18一一<18,故B錯(cuò)誤；

77

對(duì)C：由題可知gN20,若g221,則。=g—5216,此時(shí)只有e=/=20,

故a<6<c<d=18,從而有6217,c>18,^>19,與d=18矛盾，

故g=20,故C正確；

對(duì)D：同B中假設(shè)，該組數(shù)據(jù)可能為15,15,16,18,20,20,20,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

17.（2024.山東棗莊.模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)變量y與x對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:

X12345

y5m8910.5

若y與x滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=L25X+4.25,則（）

A.y與x正相關(guān)B.in=7

C.樣本數(shù)據(jù)y的第60百分位數(shù)為8D.各組數(shù)據(jù)的殘差和為0

【答案】AD

【分析】利用相關(guān)性的定義及線性回歸直線可判定A,根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸方程上可判定B,利用百分

位數(shù)的計(jì)算可判定C,利用回歸方程計(jì)算預(yù)測(cè)值可得殘差即可判定D.

【詳解】由回歸直線方程知：L25>0,所以y與x正相關(guān)，即A正確；

由表格數(shù)據(jù)及回歸方程易知丁=3,9=1.25x3+4.25=；=>m=7.5,即B錯(cuò)誤；

8+9

易知5x60%=3,所以樣本數(shù)據(jù)y的第60百分位數(shù)為三一=8.5,即C錯(cuò)誤；

試卷第8頁(yè)，共37頁(yè)

由回歸直線方程知X=123,4,5時(shí)對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值分別為9=5.5,6.75,8,9.25,10.5,

對(duì)應(yīng)殘差分別為-050.75,0,-0.25,0,顯然殘差之和為0,即D正確.

故選：AD

18.（2024.山東日照.二模）同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件A,“乙正面向上“

為事件3,“甲、乙至少一枚正面向上”為事件C,則下列判斷正確的是（）

O1

A.A與B相互獨(dú)立B.A與8互斥C.P（B|C）=-D.P（C）=-

【答案】AC

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷A,根據(jù)互斥事件的定義判斷B,根據(jù)獨(dú)立事件及條件概率的概率公式

判斷C、D.

【詳解】對(duì)于A,依題意尸（A）=1,P⑻=；,P（AB）=-1-=^=P（A）P（B）,

所以事件A與事件B相互獨(dú)立，故A正確；

對(duì)于B,由題意可知，事件A與事件B有可能同時(shí)發(fā)生，

例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件A與事件5不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；

1131

對(duì)于C、D,P（C）=l--x-=_,因?yàn)锽uC,所以P（BC）=P（B）=5，

所以P（8|C）=4號(hào)V=故C正確，D錯(cuò)誤.

4

故選：AC.

19.（2024?山東濱州?二模）下列結(jié)論正確的是（）

A.若隨機(jī)變量x,y滿足y=2x+i,則n（y）=2D（x）+i

B.若隨機(jī)變量X~N（3,cr2）,且P（X<6）=0.84,則P（3<X<6）=0.34

C.若線性相關(guān)系數(shù)「的絕對(duì)值越接近1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

D.按從小到大排序的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27,30,37,m,40,50；乙組：24,w,33,44,48,52,

若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則〃2+〃=70

【答案】BCD

【分析】利用方差的性質(zhì)判斷A；利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出概率判斷B；利用線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷

C；利用第p百分位數(shù)計(jì)算判斷D.

【詳解】對(duì)于A,Z）（y）=4￡>（x）,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,P（3<X<6）=P（X<6）—2（X43）=0.84—0.5=0.34,B正確；

對(duì)于C,線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，C正確;

對(duì)于D,由6x30%=1.8,依題意，30=〃，且3氣7+一ITI=33+^44-，

解得〃=30,機(jī)=40,因此：〃+〃=70,D正確.

故選：BCD

三、填空題

20.（12-13高二下?浙江嘉興?期中）在，/一;］的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是.

【答案】14

177

【詳解】加］=螳（2尤3尸（_一族=（_1/.275色.x-,令21-”=0,4=6,則展開(kāi)式中得常數(shù)項(xiàng)

為（-1）6X2XC號(hào)14.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng).根據(jù)通項(xiàng)公式（+1=c，i〃，根據(jù)

所求項(xiàng)的要求，解出「，再給出所求答案.

21.（2024?山東濟(jì)南.二模）現(xiàn)有A,B兩組數(shù)據(jù)，其中A組有4個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)為2,方差為6,2組有6

個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)為7,方差為1.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為.

【答案】9

【分析】根據(jù)題意，由分層抽樣中數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2,方差為6,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,方差為1,

則兩組數(shù)據(jù)混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)41=5,

則新數(shù)據(jù)的方差$2=看［6+（2_5）2］+存［1+（7_5門=9

故答案為：9

22.（2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè)）某人上樓梯，每步上1階的概率為：，每步上2階的概率為!，設(shè)該人從

第1階臺(tái)階出發(fā)，到達(dá)第3階臺(tái)階的概率為.

13

【答案】77

10

【分析】先分①②兩種方法，再由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可.

【詳解】到達(dá)第3臺(tái)階的方法有兩種：

339

第一種：每步上一個(gè)臺(tái)階，上兩步，則概率為=%；第二種：

4416

試卷第10頁(yè)，共37頁(yè)

只上一步且上兩個(gè)臺(tái)階，則概率為

4

9113

所以到達(dá)第3階臺(tái)階的概率為二+;二五，

16416

13

故答案為：—?

lo

23.（2024?山東泰安?二模）已知甲，乙兩位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，要從100米，200米，跳高，跳遠(yuǎn)

四個(gè)項(xiàng)目中各選兩項(xiàng)，則甲，乙兩位同學(xué)所選項(xiàng)目恰有1項(xiàng)相同的概率為.

【答案】|

【分析】分別求出兩位同學(xué)從4個(gè)不同的項(xiàng)目中各選2項(xiàng)、兩位同學(xué)所選的項(xiàng)目恰有1項(xiàng)相同的選法，結(jié)

合古典概型的概率公式計(jì)算即可求解.

【詳解】甲乙兩位同學(xué)從4個(gè)不同的項(xiàng)目中各選2項(xiàng)，共有C：C；=36種選法，

甲乙兩位同學(xué)所選的項(xiàng)目恰有1項(xiàng)相同，共有C；C；C；=24種選法，

242

所以甲乙兩位同學(xué)所選的項(xiàng)目恰有1項(xiàng)相同的概率為尸===彳.

363

2

故答案為：—.

24.（2024?山東臨沂二模）“+1）。+可7展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】42

【分析】借助二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.

【詳解】對(duì)（l+x）7,有

則有1XC標(biāo)2+±xC）5=（c；+C,Y=2C*2=42f.

故答案為：42.

25.（2024.山東臨沂?二模）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，某種植物感染病毒之后，其存活日數(shù)X滿足：對(duì)于任意的〃eN*,

X=”+l的樣本在X>〃的樣本里的數(shù)量占比與X=1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于g,即

P（X=n+l|X>n）=P（X=l）=1,則尸（X>〃）=,設(shè)尸（X=〃），｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，則

S”=?

【答案】5-(〃+5)

【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算以及遞推法可得督曹=g（"N2）,根據(jù)等比數(shù)列的定義可得

4n-l

p(X=n)=-xI,即可求解空1,根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求解空2.

【詳解】P(X=n+l|X>n)=P(X=l)=1,

因?yàn)槭?〃+

所以P(X=〃+l)=gp(X>”),將〃換成此時(shí)尸(X=〃)=gp(X>〃_l),

兩式相減可得尸(x=")-p(x="+l)=gp(x>"-l)-gp(x>")=gp(x=〃),

尸(X=〃+l)4,、、114

即——=-(n>2),X=2)=-P(X>1)=-x(1-P(X=1))=-P(X=1),

P(X=n)5555

所以”［)=］對(duì)任意〃eN*都成立,

P(X=n)5

14

此時(shí)｛P(X=〃)｝是首項(xiàng)為玄，公比為|■的等比數(shù)列,

所以尸(X=")=gx］：］,故尸(X>w)=5尸(X=〃+l)=5xgx44

4n—1

an=nP(X=〃)=gx〃

1+2X44n-24n-i

S"WlxI++(n-l)x\+nx

n-l

4s-i444I+〃X4

5$"一51XI+2x++(n-l)x

in-l

兩式作差得;444

1+I+|++!一〃x

5

4

lx1-

4n4

S"=-一〃X|=5-(n+5)x

1----

5

44

故答案為:I95—(n+5)x

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)尸(X=〃+1)=(P(X>〃)，即可利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解｛尸(X=〃)｝是首項(xiàng)為g,

4i

公比為9的等比數(shù)列，an=-xn利用錯(cuò)位相減法即可求解和.

5"5

2

26.(2024?山東聊城?二模)甲、乙兩選手進(jìn)行圍棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為乙獲勝的概率

試卷第12頁(yè)，共37頁(yè)

為:，采用三局兩勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進(jìn)行了兩局的概率為.

3

【答案】-/0.6

【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件A,比賽進(jìn)行兩局為事件8,根據(jù)條件概率公式分別求解P(A)、P(AB)

的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件A,比賽進(jìn)行兩局為事件3,

0021220

P(A)=-X-+C'X—X—X

33233327

224

P(AB)=C|x-x

339

4

-3

P(AB)912

-一-

故尸(例A)=5-

2020

尸⑷一

27

3

故答案為：—.

四、解答題

27.(2024?山東濟(jì)南?二模)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球

2

權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為§,

乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為:，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.在某局比賽雙方打成10:10平后，甲先發(fā)球.

(1)求再打2球該局比賽結(jié)束的概率；

(2)兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若將規(guī)則改為“打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先連得兩分者獲勝”，求該局比賽甲獲勝的概率.

【答案】⑴;

⑵E(X)=4

(3)2

30

【分析】(1)由題意可知甲連續(xù)得2分，或乙連續(xù)得2分比賽結(jié)束，再利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公

式可求得結(jié)果；

(2)由題意可知X的可能取值為所有正偶數(shù)2,4,6,,2k,(A:eN*),然后根據(jù)題意分別求出相應(yīng)的概率，

表示出期望后，再利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果;

(3)設(shè)再打?個(gè)球比賽結(jié)束且甲獲勝的概率為％(〃22),當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，pm=g%,S奇=仍+2+…+P”，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，。“+2=*,，5偶=必+凡+--+。,，則可求得甲獲勝的概率與+%.

【詳解】(1)10:10平后，設(shè)事件4="第，個(gè)球甲得分”，則耳="第，個(gè)球乙得分”，

設(shè)”="再打兩球該局比賽結(jié)束"，則M=無(wú)，

所以尸(M)=pM4+/)=p(4)p(4)+P(A)P(4)=：xg+%：=g.

⑵X的可能取值為所有正偶數(shù)2,4,6,…,2匕…依eN*),

考慮第2%-1個(gè)球與第2人個(gè)球(％=1,2,3,),如果這兩球均由甲得分或均由乙得分，則比賽結(jié)束：如果這

兩球甲、乙各得1分,

則比賽相當(dāng)于重新開(kāi)始；這兩球甲、乙各得1分的概率為1-尸(")=),

所以P（X=2）=P（M）=：,

P（X=4）=—x—=—,

'7224

尸（X=6）=]

IX2-8

所以E（X）=2x；+4x《+6x*++2kx^+

記&=2xg+4xJ+6x：++2%x3，

則;1=2x：+4xJ+6xJ++（2氏-2）x：+2Gx備,

以上兩式相減得：5上=l+2xJ+2xg+2xJ+-+2xJ—2左X/1

1_±

.1111712J1C（2+人）

=2+?+￥+

2k

1--

2

所以&=4一年2,

當(dāng)％趨于用時(shí)，品趨于4,所以E(X)=4.

試卷第14貝，共37貝

(3)設(shè)再打?個(gè)球比賽結(jié)束且甲獲勝的概率為P”(〃>2),

211

貝UP]=

(〃-1、

n-1、

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

P?+2=%0，，5奇=P3+°5+...+P，，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

'n-1、(

2(1

所以該局比賽甲獲勝的概率s奇+5偶=771Tz+-1-

1jmz

l7\

21IQ

當(dāng)n趨于”時(shí)，s奇+s偶趨弓—+—=

所以該局比賽甲獲勝的概率為二.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，考查等比數(shù)列求

和公式，考查錯(cuò)位相減求和，第(3)問(wèn)解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)表示出通項(xiàng)公式，考

查理解能力和計(jì)算能力，屬于較難題.

28.(2024.山東濟(jì)南.二模)隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要

應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，且向四個(gè)方向

移動(dòng)的概率均為:.例如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在(LO),(TO),(0,1),(。,-1)四點(diǎn)處.

(1)設(shè)粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)(x,y),記x+y的取值為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)記第“秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為P?.

⑴已知之?)2=6求小，%以及。2”；

k=0

(ii)令6“=2”，記S”為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，若對(duì)任意實(shí)數(shù)M>0,存在“eN*,使得S.>M,則稱粒

子是常返的.己知屈Hj<加<岳由"，證明:該粒子是常返的.

【答案】(D見(jiàn)解析

9

(2)(i)03=°;=TT；(ii)見(jiàn)解析

【分析】(1)求出求X的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出X分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式求出E(x)；

(2)(i)粒子奇數(shù)秒不可能回到原點(diǎn)，故衛(wèi)=0;粒子在第4秒回到原點(diǎn)，分兩種情況考慮，再由古典概

率公式求解即可；第2〃秒末粒子要回到原點(diǎn)，則必定向左移動(dòng)左步，向右移動(dòng)左步，向上移動(dòng)”-左步，向

下移動(dòng)左步，表示出P2“，由組合數(shù)公式化簡(jiǎn)即可得出答案；(ii)利用題目條件可證明

121nI

%=七,再令/(x)=x—ln(l+”,無(wú)>。可證得S“=WX+,進(jìn)一步可得

46〃4=］o

S?>|ln(n+1)>M,即可得出答案.

【詳解】(1)粒子在第2秒可能運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1,1),(2,0),(0,2)或(0,0),(1,-1),(-1,。或(-1-1),(-2,0),(0,-2)的

位置，X的可能取值為：-2,0,2,

尸（x=~2）=段,p（x=o）=A=l,P（X=2）=A=1,

所以X的分布列為:

X-202

111

P—

424

E（X）=（-2）x^-+0x1+2x1=0.

(2)(i)粒子奇數(shù)秒不可能回到原點(diǎn)，故P3=。，

粒子在第4秒回到原點(diǎn)，分兩種情況考慮:

(a)每一步分別是四個(gè)不同方向的排列，例如“上下左右”，共有A：種情形;

9)每一步分別是兩個(gè)相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有2C：種情形;

A：+2C；9

于是。4=

4464

第2幾秒末粒子要回到原點(diǎn)，則必定向左移動(dòng)左步，向右移動(dòng)左步，向上移動(dòng)〃-左步,

n「k「k「n-k1"（2n）!

向下移動(dòng)〃-左步,故％=z=/^（左!）2］（"《!『

k=0

1(2〃)!ST1

(加『y《=o(左!『［(〃—左)!丁

k=0

11

k=0

試卷第16頁(yè)，共37頁(yè)

1[(2?)!]2

16"(?!)4

令，(x)=x—ln(l+x),x>0尸(無(wú))=1-=—>0

'71+尤1+尤

故“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

則/(力>/(。)=。，于是x>ln(l+x)(x>0),

nniin(iAi

從而有：>E77>7Sln1+T=7ln(?+1)>

k=\k=\。左°k=\\K)。

即團(tuán)為不超過(guò)X的最大整數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)M>0,當(dāng)時(shí)，

n>e6M-b于是+

綜上所述，當(dāng)時(shí)，S”>M成立，因此該粒子是常返的.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)(ii)的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用后<加屈］J可得

121nI

%=￡rC，J>；,再令/'(x)=x-ln(l+”,尤>0可證得S“=WX>”("+1)，進(jìn)一步可得

4on4=1。

S?>^ln(n+1)>M,即可得出答案.

29.(2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè))在一個(gè)袋子中有若干紅球和白球(除顏色外均相同)，袋中紅球數(shù)占總球

數(shù)的比例為P.

(1)若有放回摸球，摸到紅球時(shí)停止.在第2次沒(méi)有摸到紅球的條件下，求第3次也沒(méi)有摸到紅球的概率;

(2)某同學(xué)不知道比例P,為估計(jì)P的值，設(shè)計(jì)了如下兩種方案：

方案一：從袋中進(jìn)行有放回摸球，摸出紅球或摸球5次停止.

方案二：從袋中進(jìn)行有放回摸球5次.

分別求兩個(gè)方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學(xué)期望，并以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，分析哪個(gè)方案估計(jì)P的值更合理.

【答案】(1)1-P

（2）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)事件4="第2次沒(méi)有摸到紅球“，事件8="第3次也沒(méi)有摸到紅球”，根據(jù)條件概率公式計(jì)

算可得；

（2）記“方案一”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量X表示，X的可能取值為0,求出所對(duì)應(yīng)的概

率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望，“方案二”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量V表示，貝1」5￥~3（5,0）,由二項(xiàng)

分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判斷即可.

【詳解】（1）設(shè)事件A="第2次沒(méi)有摸到紅球“，事件3="第3次也沒(méi)有摸到紅球”，

則P（A）=（1-P）2,P（2）=（1-P）3,

所以尸（例A）-儀網(wǎng)一網(wǎng)一正立一1一〃

所以尸⑷勺一P⑷一尸⑷一”p）L1

（2）“方案一”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量X表示,

則X的可能取值為：

且尸(X=o)=(l_p)5,=g)=(l—p)4p,P^X=^=(l-p)3p,

pG=^=(l-p)>,P(X=￡|=(l_#p,P(X=l)=p,

所以X的分布列為:

Xj_1￡

X01

5432

P(1-P)5(1-P)4P(l-p)"(1-P)2P(1-p)pp

貝I]E(X)=0x(l-p)5+|x(l-p)47?+^-x(l-p)3p+|x(l-p)2p+|x(l-p)p+lxp

(1-。)4P+(1-P)3P+Q-pfp+(1-夕)。+

5432P

“方案二”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量y表示，因?yàn)?y~3（5,p）,

所以5y的分布列為：p（5y=左）=Cp"（1-p）5-k，左=0,1,2,3,4,5,

即y的分布列為：

]_234

Y0i

5757

試卷第18頁(yè)，共37頁(yè)

P(I"5(1-p)4P10(1-p)3P210(1-p)2p35(1-/?)/P5

所以磯5y)=5p,則E(y)=",

因?yàn)榇墄）>。，E（y）=p,所以“方案二”估計(jì)。的值更合理.

30.（2024?山東淄博.二模）汽車尾氣排放超標(biāo)是導(dǎo)致全球變暖、海平面上升的重要因素.我國(guó)近幾年著重

強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.某汽車制造企業(yè)對(duì)某

地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：

年份t20152016201720182019

年份代碼xCx=t-2014)12345

銷量y（萬(wàn)輛）1012172026

（1）計(jì)算銷量y關(guān)于年份代碼X的線性相關(guān)系數(shù)廠，并判斷是否可以認(rèn)為y與X有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若

|r|>0.75,則認(rèn)為有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）.若是，求出y關(guān)于尤的線性回歸方程：若不是，說(shuō)明理由；

（2）為了解購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)又隨機(jī)調(diào)查了該

地區(qū)100位購(gòu)車車主的購(gòu)車情況，假設(shè)一位車主只購(gòu)一輛車.男性車主中購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車的有40名，

購(gòu)置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購(gòu)置新能源汽車.將頻率視為概率，已知一位車主購(gòu)得新

能源汽車，請(qǐng)問(wèn)這位車主是女性的概率.

附：若（凡，%），（尤2，%），-為樣本點(diǎn)，

三（%一君（y-歹）?-屈

相關(guān)系數(shù)公式：產(chǎn)I「1"=|-