專題11相像形

【考點(diǎn)精說】

必考點(diǎn)1比例線段

1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比是a：b

?am、

=m：n（z或一=一）

bn

2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。

說明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長度。

3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如q=￡

bd

ac

4、比例外項(xiàng)：在比例一=一（或a：b=c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。

bd

5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例0=9（或a：b=c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。

bd

ac

6、第四比例項(xiàng)：在比例一=—（或a：b=c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。

bd

nh

7、比例中項(xiàng)：假如比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為一=—（或a:b=b:c時(shí)，我們把b叫做a和d

ba

的比例中項(xiàng)。

8、比例線段：在四條線段中，假如其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做

成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。

9、比例的基本性質(zhì)：假如a：b=c：d那么ad=bc逆命題也成立，即假如ad=bc,那么a：b=c：d

10、比例的基本性質(zhì)推論：假如a：b=b：d那么b2=ad,逆定理是假如島ad那么a：b=b：c。說明：

兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。

...川廣,ac,a+bc+d

11、合比性質(zhì)：假m如一=一,那么-----=-----

bdbd

,acm,,,+-----1-ma

12.等比性質(zhì)：假m如一=—=3=—,（Z?+d+…）,那么-------------=—

bdnb+d-----\-nb

說明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采納設(shè)已知條件為k,這種方法思路單一，方法簡(jiǎn)潔不易出錯(cuò)。

13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中項(xiàng)，叫做把這

條線段黃金分割。

說明：把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段AB上截取這條線段的避匚倍

2

得到點(diǎn)C,則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。

【典例1】（2024?四川中考真題）若。：。=3:4,且a+b=14,則2a—Z?的值是（）

A.4B.2C.20D.14

【答案】A

【解析】

解：由a：6=3：4a:6=3:4知3/?=4a,

4〃

所以6=—.

3

4q

所以由a+b=14得至/a+—=14,

3

解得a=6.

所以匕=8.

所以2a—3=2x6—8=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

nc

考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積.若一=一,則"=Z?c.

ba

【舉一反三】

1.（2024?安徽初三月考）若二=3,則匕上的值為（）

x4x

457

A.1B.—C.—D.一

744

【答案】D

【解析】

..2-2

x4,

x+y4+37

------------=-------------二——,

x4-4

故選D

/7h

2.（2024?河南初三期末）已知二=彳（a#0,b#0）,下列變形錯(cuò)誤的是（）

23

a2b3

A.—=—B.2a=3bC.—=—D.3a=2b

b3a2

【答案】B

【解析】

（2b

解：由一=一得，3a=2b,

23

A、由等式性質(zhì)可得：3a=2b,正確；

B、由等式性質(zhì)可得2a=3b,錯(cuò)誤；

C、由等式性質(zhì)可得：3a=2b,正確；

D、由等式性質(zhì)可得：3a=2b,正確；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積.

3.（2024?河南初三期中）已知P=三，則上”的值是（）

a13a+b

239

A.-B.-C.一］

324

【答案】D

【解析】

=.?.設(shè)出b=5k,得出a=13k,把a(bǔ),b的值代入^—,得,

a13a+b

a-b13k-5k8k4

-----=---------=—=-.故選D.

a+b13k+5k18k9

必考點(diǎn)2平行線分線段成比例

1、平行線等分線段定理：假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線

段也相等。

2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特別狀況。

口u全等竺

［下一H下次［上一U下人］全一【I全》［下

1

3.平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

4、三角形一邊的平行線的判定定理。假如一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線

段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

【典例2］（2024?青海中考真題）如圖，4￡>//6石//。7,直線小《與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C

和點(diǎn)D、E、F.已知心1,於3,法1.2,則郎的長為（）

A.3.6B.4.8C.5D.5.2

【答案】B

【解析】

解：AD//BE//CF,

ABDE11.2

---=----,即一=----,

BCEF3EF

EF=3.6,

DF=EF+DE=3.6+1.2=4.8,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭基本學(xué)問，屬于中考常考題型.

【舉一反三】

1.（2024?四川中考真題）如圖，在AABC中，DE//BC,AD=9,DB=3,CE=2,則AC的長

B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

'：DEIIBC,

ADAE9AE

---=----,即nn一=----，

DBEC32

AE=6,

AC=AE+EC=6+2=8.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵在于求出AE

2.（2024?廣西中考真題）如圖，在AABC中，。，石分別是ABAC邊上的點(diǎn),DE//BC,若

AD=2,AB=3,DE=4,則等于（）

A.C.7D.8

【答案】B

【解析】

解：VDE//BC,

：.ADEABC,

ADDE

ABBC

24

即一=,

3BC

解得：BC=6,

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了相像三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相像得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵

3.(2024?四川中考真題)如圖，在AABC中，D在AC邊上，AD：￡>0=1:2,0是BD的中點(diǎn)，連接A0

并延長交BC于E,則BE：EC=()

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

【答案】B

【解析】

解：如圖，過。作OG/ABC，交AC于G,

：0是BD的中點(diǎn)，

...G是DC的中點(diǎn).

又AD：DC=1：2,

:.AD^DG^GC,

:.AGzGC=2：1,AaOE=2：1,

SAAOB：SMOE-2

設(shè)S帖OE-S,^^AOB—2s,又30=01)f

???SAAOD=2S,S^BD=4S,

,AD：DC=1：2,

-q

…°ABDC——8S,S四邊形cooE—7S,

?,SAA￡；C=9S,S^BE=3S,

BE_S坎BE__J_

~EC~~S^~9S~^

故選：B.

BEc

【點(diǎn)睛】

考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的學(xué)問，難度較大，留意嫻熟運(yùn)用中位線定理和三角形面積公

式.

必考點(diǎn)3相像三角形

1、相像三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相像三角形。

說明：證兩個(gè)三角形相像時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，

這樣便于找出相像三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。

2、相像比：相像三角形對(duì)應(yīng)邊的比k,叫做相像比（或叫做相像系數(shù)）。

3、相像三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形相像。

說明：這個(gè)定理反映了相像三角形的存在性，所以有的書把它叫做相像三角形的存在定理，它是證明

三角形相像的判定定理的理論基礎(chǔ)。

4、三角形相像的判定定理：

（1）判定定理1：假如一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相

像?？珊?jiǎn)潔說成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相像。

（2）判定定理2：假如一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那

么這兩個(gè)三角形相像，可簡(jiǎn)潔說成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相像。

（3）判定定理3：假如一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形

相像，可簡(jiǎn)潔說成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相像。

（4）直角三角形相像的判定定理假如一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊

和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相像。

說明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相像的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們

來判定兩個(gè)三角形的相像。

第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相像。

其次：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相像。

第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相像。

第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相像。

第五：假如一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成

比例，那么這兩個(gè)三角形.相像。

5、相像三角形的性質(zhì)：

(1)相像三角形性質(zhì)1：相像三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相像比。

(2)相像三角形性質(zhì)2：相像三角形周長的比等于相像比。

說明：以上兩特性質(zhì)簡(jiǎn)潔記為：相像三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相像比。

(3)相像三角形面積的比等于相像比的平方。

說明：兩個(gè)三角形相像，依據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這特性質(zhì)。

【典例3】(2024?山東中考真題)如圖，在AABC中，AC=2,BC=4,。為邊上的一點(diǎn)，且

ZCAD=ZB.若AA0C的面積為則的面積為()

7

C.3aD.-a

2

【答案】C

【解析】

【詳解】

VZCAD=ZB,ZACD^ZBCA,

：.AACDABCA,

解得，A3C4的面積為4a,

的面積為：4a-a=3a,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查相像三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭相像三角形的判定定理和性質(zhì).

【舉一反三】

1.（2024?四川中考真題）如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1,則下列圖形中的三角形（陰影部分）與的4G

相像的是（）

A,B-

c-叢D

【答案】B

【解析】

解：因?yàn)镸4cl中有一個(gè)角是135°,選項(xiàng)中，有135°角的三角形只有B,且滿意兩邊成比例夾角相等,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查相像三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,屬于中考?？碱}型.

2.（2024?四川中考真題）如圖口ABCD,F為BC中點(diǎn)，延長AD至E,使?！?AD=1:3,連結(jié)EF交DC于

點(diǎn)士G,則SDEG-S^CFG=（）

A.2：3B.3：2C.9：4D.4：9

【答案】D

【解析】

解：設(shè)DE=x,

DE:AD=1:3,

AD=3x,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

AD//BC,BC=AD=3x,

??,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

13

CF=-BC=-x,

22

AD//BC,

：.NDEG^ACFG,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了相像三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，表示出CF是解本題的關(guān)鍵.

3.（2024?海南中考真題）如圖，在RtMfiC中，NC=90°，AB=5,BC=4.點(diǎn)尸是邊4c上一動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)尸作PQ〃鉆交比1于點(diǎn)0,。為線段網(wǎng)的中點(diǎn)，當(dāng)初平分NABC時(shí)，"的長度為（）

【答案】B

【解析】

解：ZC=90°.AB=5，BC=4,

.-.AC=VAB2-BC2=3'

PQ//AB,

ZABD=ZBDQ,又/ABD=NQBD,

ZQBD=ZBDQ,

QB=QD,

：.QP=2QB,

PQ//AB,

bCPQACAB,

CP_CQ_PQCP_4-QB_2QB

CACBAB345

24

解得，CP一,

13

:.AP=CA-CP=—,

13

故選自

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相像三角形的判定和性質(zhì),駕馭相像三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)精煉】

1.（2024?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，D、E分別是△ABC邊A&AC上的點(diǎn)，ZADE=ZACB,若

AD=2,AB=6,AC=4,則AE的長是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

解：?/ZADE=ZACB,ZA=ZA,

ADEs.ACB，

ADAE2AE

：.——=——，a即一=——，

ACAB46

解得，AE=3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查分線段成比例定理，嫻熟駕馭運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵

2.（2024?太原市志達(dá)中學(xué)校初三月考）若q=2=￡,則」+:一0的值為（）

234a

A.2B.-c.D.9

92

【答案】C

【解析】

設(shè)abc,

2=3=4=*°)

則a=2k,b=3k,c=4k,

原式_2k+3k-4k_i,

一2k~2

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡(jiǎn)便.

3.（2024?廣西中考真題）如圖，在AABC中，點(diǎn)。，E分別在AB,AC邊上，DEHBC,ZACD^ZB,

若AD=2B￡>,BC=6,則線段CD的長為（）

A.26B.372C.276D.5

【答案】C

【解析】

解：設(shè)AD-2x，BD=x，

AB=3x,

?/DE//BC,

：.AADEAABC,

.DEADAE

"BC-AB~AC'

.DE2x

63x'

AE2

DE=4，=-，

AC3

；ZACD^ZB,

ZADE=ZB，

：.ZADE=ZACD,

VZA=ZA，

MDEAACD,

.ADAEDE

AC~AD~CD'

設(shè)AE=2y,AC-3y,

AD_2y

~3y~^D'

AD=屈y,

2y4

瓜yCD

/.CD=2A/6，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查相像三角形，解題的關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)用相像三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型.

4.（2024?廣西中考真題）如圖，AB//EF//DC,AD//BC,EF與AC交于點(diǎn)、G,則是相像三角形共有

A.3對(duì)B.5對(duì)C.6對(duì)D.8對(duì)

【答案】C

圖中三角形有：AAEG,AADC,ACFG,ACBA,

VAB//EF//DC,AD//BC

：.AAEG^AADC^ACFG^ACBA

共有6個(gè)組合分別為：AAEG^AAOC，AAEG^ACFG,AAEG^ACBA,AADC^ACFG,

AADCSACBA,ACFG^ACBA

故選：c.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查相像三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相像三角形的判定定理.

5.（2024?黑龍江中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E在對(duì)角線6。上，EMAD,交AB

于息M,EN交AO于點(diǎn)N,則下列式子肯定正確的是（）.

AMNEAMANBCBEBDBC

A.——------B.——=------C.-------------D.-----

BMDEABADMEBDBEEM

【答案】D

【解析】

解：?..在，ABCD中，EMAD

易證四邊形AMEN為平行四邊形

,易證ABEMs^BADSAETVD

,AMNEDE…、=

??------=------=-----,A項(xiàng)錯(cuò)底

BMBMBE

AMND…、=

-----=------,B項(xiàng)錯(cuò)供

ABAD

BCADBD-

MEMEBE

BDACBC工…

BEMEME

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相像三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，嫻熟運(yùn)用兩者性質(zhì)確定線段比例關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

6.(2024?湖北中考模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,8),B(10,2),

若以原點(diǎn)0為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的,后得到線段CD,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐

2

標(biāo)為()

A.(5,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,5)

【答案】C

【解析】

V以原點(diǎn)0為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的上后得到線段CD,

2

端點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)锳點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的一半，

又：A(6,8),

.??端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4).

故選C.

點(diǎn)睛：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩圖形的位似比得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

7.(2024?遼寧中考真題)如圖，點(diǎn)尸(8,6)在△板的邊/C上，以原點(diǎn)0為位似中心，在第一象限內(nèi)

將縮小到原來的工,得到△/B'C,點(diǎn)P在2C上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的的坐標(biāo)為()

2

A.(4,3)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,4)

【答案】A

【解析】

;點(diǎn)P(8,6)在aABC的邊AC上，以原點(diǎn)0為位似中心，在第一象限內(nèi)將AABC縮小到原來的工，得到

2

△A，B'C,

.,.點(diǎn)P在A'C'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，的的坐標(biāo)為：(4,3).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關(guān)鍵.

8.（2024?西藏中考真題）如圖，在AABC中，RE分別為AB、AC邊上的中點(diǎn)，則AADE與AABC的

面積之比是（）

【答案】A

【解析】

由題意可知：。后是AA5C的中位線，

:.DE//BC,DE=-BC,

2

..AADESAABC,

.s“（町」

■■l5cj4’

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查相像三角形，解題的關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)用相像三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型.

9.（2024?河南初三期中）如圖，在△板中，BF平分/ABC,AF工即于懸F,〃為血的中點(diǎn)，連接加延

長交2。于點(diǎn)反若止10,除16,則線段跖的長為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

解：VAFXBF,

.,.ZAFB=90°,

VAB=10,D為AB中點(diǎn)，

1

.?.DF=-AB=AD=BD=5,

2

ZABF=ZBFD,

又：BF平分/ABC,

/.ZABF=ZCBF,

/.ZCBF=ZDFB,

；.DE〃BC,

.,.△ADE^AABC,

EDADED5

---=----即an----=—,

BCAB1610

解得：DE=8,

；.EF=DE-DF=3,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和相像三角形的判定與性質(zhì)，嫻熟運(yùn)用其判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?江蘇中考模擬）如圖，4ABC中，D為BC上一點(diǎn)，ZBAD=ZC,AB=6,BD=4,則CD的長為

【答案】5

【解析】

解：VZBAD=ZC,NB=NB,

/.△BAD^ABCA,

.BABD

"BC--

VAB=6,BD=4,

6_4

BC-6

.\BC=9,

.,.CD=BC-BD=9-4=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查相像三角形的判定與性質(zhì)，熟記判定方法精確找到相像三角形對(duì)應(yīng)邊是本題的解題關(guān)鍵..

11.（2024?廣西中考真題）如圖，以點(diǎn)。為位似中心，將3放大后得到AOCD,0A=2,AC=3,

AB

則

~CD

2

【答案】j.

【解析】

解：?.?以點(diǎn)。為位似中心，將AQ43放大后得到AOCD,Q4=2,AC=3,

?OAAB2__2

"OC-CD_2+3-5-

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了位似變換，正確得出對(duì)應(yīng)邊的比值是解題關(guān)鍵.

12.（2024?江蘇中考真題）如圖，Z\ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE〃BC,AD：AB=1：3,則AADE與

AABC的面積之比為.

【解析】

由DE〃BC,可得△ADES^ABC,依據(jù)相像三角形的面積之比等于相像比的平方可得SAADE：SAABC=（AD：AB）

2=1：9.

考點(diǎn)：相像三角形的性質(zhì).

13.(2024?遼寧中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A3的坐標(biāo)分別是4(4,2),8(5,0),以點(diǎn)。為位似

中心，相們比為g,把縮小，得到44。，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為.

【答案】(2,1)或(—2,—1)

【解析】

解：以點(diǎn)。為位似中心，相像比為g,把縮小，點(diǎn)A的坐標(biāo)是A(4,2)

則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為［4x；,2x；］或1—4xg,—2xJ即(2,1)或(—2,—1),

故答案為：(2,1)或(—2,—1).

【點(diǎn)睛】

本題考查的是位似圖形，嫻熟駕馭位似變換是解題的關(guān)鍵.

14.(2024?內(nèi)蒙古中考真題)已知三個(gè)邊長分別為2。"，3cm,5cm的正方形如圖排列，則圖中陰影部

分的面積為.

【答案】3.75cm2.

【解析】

對(duì)角線所分得的三個(gè)三角形相像,

5x

依據(jù)相