類型二與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的探究題（專題訓(xùn)練）

1.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形A3CD中（頂點(diǎn)A氏按逆時(shí)針?lè)较蚺?/p>

4

列），AB=12,A￡>=10,NB為銳角，且

（1）如圖1,求邊上的高CH的長(zhǎng).

（2）P是邊A3上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得點(diǎn)

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)C'落在射線C4上時(shí)，求成的長(zhǎng).

②當(dāng)△AC'D是直角三角形時(shí)，求3P的長(zhǎng).

2.在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

(1)A5c是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=1，小亮以3E為邊

作等邊三角形5防，如圖1,求。尸的長(zhǎng)；

CF

圖1圖2

(2)A3C是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以5E為邊作等邊

三角形BEF,如圖2,在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

(3)A3c是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以物1為邊作等邊

三角形BMN,如圖3,在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

(4)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,E是邊C8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形班其中點(diǎn)F、G都在直線AE上，如圖4,當(dāng)點(diǎn)E到

達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合.則點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)

為

3.(2023?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題)已知「ABC是等邊三角形，點(diǎn)。是射線AB上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，延長(zhǎng)2c至點(diǎn)E,使CE=AD,連接DE交射線AC于點(diǎn)

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段48上時(shí)，猜測(cè)線段C尸與8。的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段A8的延長(zhǎng)線上時(shí)，

①線段CP與8。的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②如圖3,連接AE.設(shè)AB=4,若NAEB=NDEB,求四邊形BDR?的面積.

4.(2021?浙江中考真題)已知在"。少中，?是CD的中點(diǎn)，6是A。延長(zhǎng)線上的一

點(diǎn)，連結(jié)BC,AP.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若NACB=90o,NG4r)=60o,Br>=AC,AP=^,求的長(zhǎng).

⑵過(guò)點(diǎn)。作DEHAC,交AP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,如圖2所示.若ZCAD=60°,BD=AC,

求證：BC=2AP.

(3)如圖3,若NC4￡>=45°,是否存在實(shí)數(shù)加，當(dāng)?shù)?77兇。時(shí)，BC=2AP?若存

在，請(qǐng)直接寫(xiě)出加的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì).

已知=AC,90。，點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，將ABE以BE為對(duì)稱軸翻折.同學(xué)們經(jīng)過(guò)

思考后進(jìn)行如下探究:

獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)。落在8C上時(shí)，4EDC=2ZACB.”

小紅：“若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，給出AC與DC的長(zhǎng)，就可求出BE的長(zhǎng).”

實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過(guò)探究后提出問(wèn)題1,請(qǐng)你回答:

圖1圖3

問(wèn)題1：在等腰jABC中，45=47,44>90。,4瓦組由一ABE翻折得到.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。落在上時(shí)，求證：NEDC=2ZACB；

(2)如圖2,若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AC=4,CD=3,求BE的長(zhǎng).

問(wèn)題解決：小明經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：若將問(wèn)題1中的等腰三角形換成NA<90。的等腰三角形，可

以將問(wèn)題進(jìn)一步拓展.

問(wèn)題2：如圖3,在等腰ABC中，ZA<90°,A5=AC=BD=4,2Z￡>=ZABD.若C￡>=1,

則求3C的長(zhǎng).

6.(2021?浙江中考真題)問(wèn)題：如圖，在，ABCD中，AB=8,AD=5,ZDAB,ZABC

的平分線AE,BF分別與直線CD交于點(diǎn)E,F,求EF的長(zhǎng).

答案：EF=2.

探究：（1）把“問(wèn)題”中的條件“A6=8”去掉，其余條件不變.

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長(zhǎng).

（2）把“問(wèn)題”中的條件“AB=8,AD=5"去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C,D,E,F相

An

鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求——的值.

AB

7.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）在RtABC中，ZACB=90°,ZB=60°,點(diǎn)。為線段AB上

一動(dòng)點(diǎn)，連接co.

E

(1)如圖1,若AC=9,BD=6,求線段AO的長(zhǎng).

(2)如圖2,以C。為邊在上方作等邊，CDE,點(diǎn)歹是DE的中點(diǎn)，連接8/并延長(zhǎng)，交CD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若NG=NBCE,求證：GF=BF+BE.

(3)在CO取得最小值的條件下，以8為邊在CD右側(cè)作等邊工CDE.點(diǎn)M為CD所在直線上

一點(diǎn)，將一沿3M所在直線翻折至，ABC所在平面內(nèi)得到BNM.連接4V,點(diǎn)、P為

AN的中點(diǎn)，連接CP,當(dāng)CP取最大值時(shí)，連接BP,將ABCP沿BC所在直線翻折至4ABe

所在平面內(nèi)得到BCQ,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)空的值.

8.如圖1,在矩形紙片ABCD中，AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處,

折痕為PQ,過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB交PQ于F,連接BF.

(1)求證：四邊形BFEP為菱形；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)；

①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖2),求菱形BFEP的邊長(zhǎng)；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離.

9.(2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題)探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組

擬做以下探究.

Ani

在RtZVIBC中，ZC=90°,AC=。是AB邊上一點(diǎn)，且一二—（〃為正整數(shù)），石是AC

BDn

邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。E的垂線交直線BC于點(diǎn)?

【初步感知】

⑴如圖1,當(dāng)〃=1時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=^AB,請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.

2

【深入探究】

⑵①如圖2,當(dāng)”=2,且點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，試探究線段AE,BF,■之間的數(shù)量關(guān)系,

請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；

②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段AE,BF,之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫(xiě)出

結(jié)論，不必證明）

【拓展運(yùn)用】

（3）如圖3,連接所，設(shè)E尸的中點(diǎn)為M.若AB=2拒,求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程

中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含"的代數(shù)式表示）.

10.（2021?山東中考真題）如圖，已知正方形ABCD,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將4ABE沿直線

AE折疊，點(diǎn)B落在F處，連接BF并延長(zhǎng)，與NDAF的平分線相交于點(diǎn)H,與AE,CD分別相

交于點(diǎn)G,M,連接HC

(1)求證：AG=GH；

(2)若AB=3,BE=1,求點(diǎn)D到直線BH的距離；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上(端點(diǎn)除外)運(yùn)動(dòng)時(shí)，NBHC的大小是否變化？為什么？

11.(2021?湖南中考真題)如圖，在Rt/VRC中，點(diǎn)P為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將八4坪

沿直線AP折疊，使得點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為5',連接A3',CB',BB'，PB'.

(1)如圖①，若證明：PB'=AB'.

(2)如圖②，若=BP=3PC,求cos/B'AC的值.

PC

(3)如圖③，若NAC3=30°,是否存在點(diǎn)尸,使得AB=CB'.若存在,求此時(shí)一匕的

BC

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

①③備用圖

12.如圖1和圖2,在4ABC中,AB=AC,BC=8,tanC=9.點(diǎn)K在AC邊上,點(diǎn)M,N分別在

4

AB,BC上，且AM=CN=2.點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MB-BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而

點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持/APQ=/B.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；

(2)若點(diǎn)P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求MP的長(zhǎng);

⑶設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x,當(dāng)0WxW3及3WxW9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離(用

含x的式子表示)；

(4)在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角NAPQ掃描4APQ區(qū)域(含邊界)，掃描器隨點(diǎn)

P從M至IJB再至IJN共用時(shí)36秒.若AK=),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長(zhǎng).

4

13.如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊4ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的

速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā).

(1)如圖1,連接AQ、CP.求證：ZXABQ絲ZXCAP；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ、CP相交于點(diǎn)M,NQMC的大小是否

變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AQ、CP相交于M,ZQMC的大

小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù).

14.如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰AABC的底邊BC在x軸上，BC=8,頂點(diǎn)A在y

的正半軸上，0A=2,一動(dòng)點(diǎn)E從(3,0)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到

達(dá)0B的中點(diǎn)停止.另一動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)0停止.已

知點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH,使正方形EFGH和4ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)的時(shí)間為t秒(t20).

(1)當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求t的值；

(2)設(shè)正方形EFGH與4ABC重疊面積為S,請(qǐng)問(wèn)是否存在t值，使得S=裝？若存在，求

36

出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,取AC的中點(diǎn)D,連結(jié)0D,當(dāng)點(diǎn)E、F開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)0出發(fā)，以每秒

2遮個(gè)單位的速度沿OD-DC-CD-DO運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng).請(qǐng)問(wèn)在點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中，點(diǎn)M可能在正方形EFGH內(nèi)(含邊界)嗎？如果可能，求出點(diǎn)M在正方形EFGH內(nèi)(含

邊界)的時(shí)長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.己知：如圖，在四邊形ABCD和RtZkEBF中，AB/7CD,CD>AB,點(diǎn)C在EB上，NABC=N

EBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方

向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，沿MF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s.過(guò)

點(diǎn)P作GHLAB于點(diǎn)H,交CD于點(diǎn)G.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<5).

解答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上？

(2)連接PQ,作QNLAF于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí)，求t的值；

(3)連接QC,QH,設(shè)四邊形QCGH的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(4)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)P在/AFE