第3講力的合成與分解

目標(biāo)要求1.會應(yīng)用平行四邊形定則及三角形定則求合力。2.能利用效果分

解法和正交分解法計(jì)算分力。

考點(diǎn)一共點(diǎn)力的合成

------In識梳理|-------

1.合力與分力

(1)定義：如果一個力的作用效果與幾個力共同作用產(chǎn)生的效果相同，這一個

力就叫作那幾個力的H合力,那幾個力叫作這一個力的團(tuán)分力。

(2)關(guān)系：合力與分力是囪等效替代關(guān)系。

2.共點(diǎn)力

作用于物體上同一點(diǎn)，或作用在同一個物體上且力的作用線相交于同一點(diǎn)的

幾個力。如圖所示均為共點(diǎn)力。

-V

mgI。g

3.力的合成

(1)定義：求幾個力的⑷合力的過程。

(2)平行四邊形定則：求兩個互成角度的分力的合力，可以用表示這兩個力的

線段為因鄰邊作平行四邊形,這兩個鄰邊之間的國對角線就表示合力的大小和方

向。如圖甲所示，F(xiàn)i、仍為分力，R為合力。

(3)三角形定則：把兩個矢量的首尾順次連接起來，第一個矢量的起點(diǎn)到第二

個矢量的終點(diǎn)的團(tuán)有向線段為合矢量。如圖乙所示，凡、放為分力，F(xiàn)為合力。

【判斷正誤】

1.合力和分力可以同時(shí)作用在一個物體上。(X)

2.兩個力的合力一定比其分力大。(X)

3.當(dāng)一個分力增大時(shí)，合力一定增大。（X）

二關(guān)，能力二

1.共點(diǎn)力合成的方法

⑴作圖法。

（2）計(jì)算法：根據(jù)平行四邊形定則作出力的示意圖，然后利用勾股定理、三角

函數(shù)、正弦定理等求出合力。

2.合力范圍的確定

⑴兩個共點(diǎn)力的合力范圍：四一

①兩個力的大小不變時(shí)，其合力隨夾角的增大而減小。

②當(dāng)兩個力反向時(shí)，合力最小，為四一己|；當(dāng)兩個力同向時(shí)，合力最大，為

F1+F20

（2）三個共點(diǎn)力的合力范圍

①最大值：三個力同向時(shí)，其合力最大，為Rmax=Rl+R2+R3。

②最小值：以這三個力的大小為邊，如果能組成封閉的三角形，則其合力的

最小值為零，即Rmin=O；如果不能，則合力的最小值等于最大的一個力減去另外

兩個力的大小之和，即Fmin=A—（人+歹3）（人為三個力中最大的力）。

3.幾種特殊情況的共點(diǎn)力的合成

類型作圖合力的計(jì)算

3----F22

兩力互F=^FI+F2

相垂直__JtanFi

0%Fi

兩力等

點(diǎn)尸=2尸icos]

大，夾

F與Fi夾角為?

角為0

兩力等//卜F

大且夾合力與分力等大

角為120°0

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.（合力和分力的關(guān)系）（多選）下列有關(guān)合力和分力的關(guān)系說法正確的是（）

A.兩個力的合力一定大于這兩個力中的任一個

B.兩個分力大小一定，夾角越大，合力越小

C.合力及其分力同時(shí)作用于同一物體上

D.兩個力的合力可以等于這兩個力中的任一個

解析：BD兩個分力為、放的合力范圍為舊一R2IWRWB+R2,當(dāng)FI=F2

時(shí)，合力的最小值為零，可知合力可能比每個分力都大，可能比每個分力都小，

也可能等于分力的大小，故A錯誤，D正確；根據(jù)平行四邊形定則，兩個分力大

小一定，夾角越大，合力越小，故B正確；合力及其分力是一種效果相同的等效

關(guān)系，并沒有同時(shí)作用于同一物體上，故C錯誤。故選BD。

2.（力的合成范圍）（多選）作用在同一物體上的三個共點(diǎn)力，大小分別是5N、8

N和9N。則這三個力的合力大小可能為（）

A.24NB.4N

C.OD.23N

解析：BC根據(jù)題意，由平行四邊形定則可知，三個共點(diǎn)力的合力的最大值

為心=（5+8+9）N=22N,由于9<8+5,則此三個共點(diǎn)力的合力可以為0,則

合力范圍是0WRW22N,故選BC。

3.（作圖法計(jì)算合力）一物體受到三個共面共點(diǎn)力Fi、F2、B的作用，三力的

矢量關(guān)系如圖所示（小方格邊長相等），則下列說法正確的是（）

靖-丁丁丁廠7r

A.三力的合力有最大值B+R2+R3,方向不確定

B.三力的合力有唯一值3B,方向與己同向

C.三力的合力有唯一值2B,方向與己同向

D.由題給條件無法求合力大小

解析：B先以力人和改為鄰邊作平行四邊形，其合力與為共線，大小R12

=2F3,如圖所示，乃2再與第三個力仍合成求合力口令，可得歹a=3B，故選B。

4.（計(jì)算法求合力）兩個大小相等的共點(diǎn)力Fi、尸2,當(dāng)它們間夾角為90°時(shí)合

力大小為ION,則它們間夾角為120°時(shí)，合力的大小為()

A.20NB.5&N

C.10V2ND.54N

解析：B兩個等大的力它們間夾角為90°時(shí)合力大小為10N,根據(jù)平行四

邊形定則有表為=10N,解得乃=八=56N,當(dāng)它們間夾角為120。時(shí)，根據(jù)

平行四邊形定則，可得合力大小為R合=2Bcos60°=572N,故選B。

考點(diǎn)二力的分解

------ll而梳畫-------

1.定義：求一個已知力的因分力的過程。力的分解是力的合成的回逆運(yùn)算。

2.遵循的原則

(1)平行四邊形定則。

(2)三角形定則。

3.分解方法

(1)效果分解法。

(2)正交分解法。

【判斷正誤】

1.合力與它的分力的作用對象為同一個物體。(?)

2.在進(jìn)行力的合成與分解時(shí)，都能應(yīng)用平行四邊形定則或三角形定則。(J)

3.2N的力能夠分解成6N和3N的兩個分力。(X)

------屎鍵能萬-------

1.力的分解的兩種常用方法

(1)效果分解法

第一步|一限施力的實(shí)際作用效果確定兩個分力的方向

第二步|一限施兩個分力的方向畫出平行四甌

第三步|一陋三角形知識求出兩個分力的大小和方向

(2)正交分解法

①建系原則：以少分解力為原則。

②分解步驟：把物體受到的力依次分解到x軸、y軸上。

=

X軸上的合力：FXFX\-\'FX2~\------------0

丁軸上的合力：Fy=Fyl+Fy2-\o

1J2

合力大?。篎=y]Fxi-Fyo

合力方向：R與x軸夾角tan6=5。

2.力的分解方法的選取原則

(1)一般來說，當(dāng)物體在只受到三個力的情形下，常按實(shí)際效果進(jìn)行分解。

(2)當(dāng)物體受到三個以上的力時(shí)，常用正交分解法。

題如圖所示，墻上有兩個釘子a和b,它們的連線與水平方向的夾角為

45°,兩者的高度差為Zo一條不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定于a點(diǎn)，另一端跨

過光滑釘子》懸掛一質(zhì)量為陽的重物。在繩上距。端3的c點(diǎn)有一固定繩圈。若

繩圈上懸掛質(zhì)量為m的鉤碼，平衡后繩的ac段正好水平，則重物和鉤碼的質(zhì)量

□西

A.小

D.^2

J2

【思路點(diǎn)撥】

⑴繩子上的拉力一定沿繩。

(2)“光滑釘子?！保f明從段繩子的拉力等于重物的重力機(jī)ig。

(3)依據(jù)“ac段正好水平”畫出受力分析圖。

解析：C法一力的效果分解法

鉤碼的拉力R等于鉤碼重力機(jī)2g,將E沿ac和。c方向分解，兩個分力分別

為Fa、Fb,如圖甲所示，其中無=機(jī)*，由幾何關(guān)系可得cos。=告=鬻，又由

rb

聯(lián)立解得最=卓。

幾何關(guān)系得cos0=

m22

法二正交分解法

繩圈受到后、Fb、R三個力作用，如圖乙所示，將及沿水平方向和豎直方向

正交分解，由豎直方向受力平衡得入cos。=機(jī)2g其中員;=mig；由幾何關(guān)系得cos

聯(lián)立解得,=乎。

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

5.（效果分解法）某同學(xué)周末在家大掃除，移動衣櫥時(shí)，無論怎么推也推不動，

于是他組裝了一個裝置，如圖所示，兩塊相同木板可繞A處的環(huán)轉(zhuǎn)動，兩木板的

另一端點(diǎn)3、C分別用薄木板頂住衣櫥和墻角，該同學(xué)站在該裝置的A處。若調(diào)

整裝置A點(diǎn)距地面的高/?=14cm時(shí)，B、C兩點(diǎn)的間距L=96cm,3處衣櫥恰好

移動。已知該同學(xué)的質(zhì)量為m=50kg,重力加速度大小取g=9.8m/s2,忽略A處

的摩擦，則此時(shí)衣櫥受到該裝置的水平推力為（）

A.875NB.1650N

C.840ND.1680N

解析：C該同學(xué)站在A點(diǎn)時(shí)，重力產(chǎn)生兩個作用效果力后、F2,如圖甲所

示，設(shè)B、仍與豎直方向夾角為a則為=仍=港/,在3點(diǎn)八分解如圖乙所

示，則水平推力為R=Risine=^tan。，由幾何關(guān)系得1211。=余聯(lián)立可得R=喏

840N,故選C。

6.（正交分解法）如圖所示，質(zhì)量為m的物體置于傾角為6的固定斜面上，物

體與斜面之間的動摩擦因數(shù)為〃，先用平行于斜面的推力后作用于物體上使其能

沿斜面勻速上滑，若改用水平推力仍作用于物體上，也能使物體沿斜面勻速上滑,

則兩次的推力之比黃Fi為（）

______1“______

甲乙

A.cos6+〃sin0B.cos。一〃sin0

C.1+〃tan0D.1一〃tan0

解析：B物體在力B作用下和力B作用下勻速運(yùn)動時(shí)的受力如圖1、圖2

所示。將物體受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡條件可得Fi

=mgsm0+Fix,Fm=mgcos0,Ffi=//FNI;Ficos0=mgsm0+Fn,FN2=mgcos0

3加,"火sin8+〃"火cos6Fi

+F2sin0,歷2=〃RN2,解得Ri=mgsin8+geos6,Fi=—8—〃sin8一，故瓦

=cos//sin0,B正確。

7.（力的分解中的多解性討論）（多選）將一個R=ION的力分解為兩個分力，如

果已知其中一個不為零的分力人方向與R成30°角，另一個分力為仍，則下列

說法正確的是（）

-—%

,.--V30°.?

A.F2的方向不可能與F平行

B.F2的大小不可能小于5N

C.Fi的大小不可能小于5N

D/2的方向與為垂直時(shí)，放最小

解析：ABD根據(jù)力的合成法則可知，不在一條直線上的兩個分力和合力組

成一個矢量三角形，所以人的方向不可能與R平行，故A正確；合力與兩個分

力組成一個矢量三角形，由題圖可得：當(dāng)歹2的方向與垂直時(shí)，場有最小值，

大小為R2min=10NXsin30°=10X|N=5N,故BD正確；兩個分力和合力只要

能組成一個矢量三角形都是有可能的(即滿足兩邊之和大于第三邊)，所以人的大

小有可能小于5N,故C錯誤。故選ABD。

I總結(jié)提升I

力的分解中定解條件的討論

已知條件示意圖解的情況

已知合力有唯一解

氣,

和兩個分0^-------M

力的方向同'

已知合力

有唯一解(可由三角形定則確定)

和一個分

力的大小

和方向A

有兩解或無解(當(dāng)乃|或F

已知合力

〉尸1+乃時(shí)無解)

和兩個分

---------------?F

力的大小

AA

已知合力(1)當(dāng)乃VPsin。時(shí)無解，如圖甲

和一個分(2)當(dāng)E=Rsin。時(shí)，有唯一解，如

力的大小圖乙

及另一個(3)當(dāng)Fsin時(shí)，有兩解，

分力的方如圖丙

二關(guān)鰻能力二

在力的合成與分解的實(shí)際問題中，經(jīng)常遇到物體受多個非共面力作用處于平

衡狀態(tài)的情況，而在這類平衡問題中，又常有圖形結(jié)構(gòu)對稱的特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)的對稱

性往往對應(yīng)著物體受力的對稱性。解決這類問題的方法是根據(jù)物體受力的對稱性,

結(jié)合力的合成與分解知識及平衡條件列出方程，求解結(jié)果。

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

8.（對稱性非共面力）短跑運(yùn)動員進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，常常會將阻力傘綁在腰間來對抗

阻力以提高核心力量。該項(xiàng)訓(xùn)練具有易操作，不易受傷，阻力大小易控制的特點(diǎn)。

如圖所示，當(dāng)阻力傘全部打開時(shí)，阻力傘的中心軸線保持水平，共6根傘繩，每

根傘繩均與中心軸線的夾角為30°,阻力傘所受的空氣阻力為90N,該運(yùn)動員做

勻速直線運(yùn)動，那么每根傘繩承受的拉力約為（）

A.15NB.90N

C.2味ND.1OV3N

解析：D阻力傘受到空氣阻力和6根傘繩的作用保持平衡，根據(jù)平衡條件

得/'=6Rcos30。，代入數(shù)據(jù)解得每根傘繩的拉力大小約為R=10、俗N,故選D。

9.（非對稱性非共面力）（多選）如圖所示，三條繩子的一端都系在細(xì)直桿頂端，

另一端都固定在水平地面上，將桿豎直緊壓在地面上，若三條繩長度不同。下列

說法正確的有（）

A.三條繩中的張力都相等

B.桿對地面的壓力大于自身重力

C.繩子對桿的拉力在水平方向的合力為零

D.繩子拉力的合力與桿的重力是一對平衡力

解析：BC桿靜止在水平地面上，則桿受到重力、三條繩子的拉力和地面對

它的支持力。根據(jù)平衡條件，則三條繩的拉力的合力豎直向下，故繩子對桿的拉

力在水平方向的合力為零。桿對地面的壓力大小等于桿的重力與三條繩的拉力的

合力之和，選項(xiàng)B、C正確；由于三條繩長度不同，即三條繩與豎直方向的夾角

不同，所以三條繩上的張力不相等，選項(xiàng)A錯誤；繩子拉力的合力與桿的重力方

向相同，因此兩者不是一對平衡力，選項(xiàng)D錯誤。

限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練6

［基礎(chǔ)鞏固題組］

1.如圖所示為兩個大小不變、夾角。變化的力的合力的大小R與。角之間的

關(guān)系圖像（0?。忘2兀），下列說法中正確的是（）

1()

8

()

I

°0.51.01.5

A.合力大小的變化范圍是0WRW14N

B.合力大小的變化范圍是2NWPW10N

C.這兩個分力的大小分別為6N和8N

D.這兩個分力的大小分別為2N和8N

解析：C由題圖可知：當(dāng)兩力夾角為180°時(shí)，兩力的合力為2N,而當(dāng)兩

力夾角為90。時(shí)，兩力的合力為10N。則這兩個力的大小分別為6N、8N,故C

正確，D錯誤。當(dāng)兩個力方向相同時(shí)，合力大小等于兩個力之和14N；當(dāng)兩個力

方向相反時(shí)，合力大小等于兩個力之差2N,由此可見，合力大小的變化范圍是2

NWPW14N,故A、B錯誤。

2.三個共點(diǎn)力大小分別是吊、F2、F3,關(guān)于它們合力R的大小，下列說法正

確的是（）

A.R大小的取值范圍一定是OWRWB+B+B

B.R至少比A、F?、乃中的某一個力大

C.若B：Fi：F3=3：6：8,只要適當(dāng)調(diào)整它們之間的夾角，一定能使合力為

零

D.若Fi：F2：F3=3：6：2,只要適當(dāng)調(diào)整它們之間的夾角，一定能使合力

為零

解析：C三個大小分別是為、場、片的共點(diǎn)力合成后的最大值一定等于人

+F2+F3,但最小值不一定等于零，只有當(dāng)某一個力的大小在另外兩個力的合力

范圍內(nèi)時(shí)，這三個力的合力才可能為零，合力可能比三個力都大，也可能比三個

力都小，合力能夠?yàn)榱愕臈l件是三個力的矢量箭頭能組成首尾相接的三角形，任

意兩個力的和必須大于第三個力，選項(xiàng)A、B、D錯誤，C正確。

3.如圖所示，解放軍戰(zhàn)士在水平地面上拉著輪胎做勻速直線運(yùn)動進(jìn)行負(fù)荷訓(xùn)

練，運(yùn)動過程中保持雙肩及兩繩的端點(diǎn)A、B等高。兩繩間的夾角為。=60°,所

構(gòu)成的平面與水平面間的夾角恒為a=53°,輪胎重為G,地面對輪胎的摩擦阻

力大小恒為則每根繩的拉力大小為（）

解析：C設(shè)每根繩的拉力為F,則這兩根繩拉力的合力F*.=2Fcos方

向沿繩子所組成角的角平分線，與水平面的夾角為?,受力分析如圖所示。對輪

胎/行cosa=再，解得R=------------鏟手Ff,故ABD錯誤，C正確。故選C。

2cosotcos2

4.梅州的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)有不少，興寧花燈就是其中一種，它與北京宮燈是

一脈相承，始于宋代，流行于明清，是傳承了上千年的客家傳統(tǒng)習(xí)俗，花燈用四

條長度相同、承受能力相同的繩子高高吊起，如圖所示，繩子與豎直方向夾角為

0,花燈質(zhì)量為冽，則下列說法正確的是（）

A.每條繩子的拉力均相同

B.增大繩子與豎直方向的夾角，花燈受的合外力增大

C.繩子拉力的合力方向?yàn)樨Q直方向

D.繩子長一些更易斷

解析：C每條繩子的拉力的大小相等，但力的方向不一樣，A錯誤；由于

花燈處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以合外力始終為零，所以增大繩子與豎直方向的夾角，花

燈受的合外力不變，B錯誤；合外力始終為零，拉力的合力與重力等大反向，故

繩子拉力的合力方向?yàn)樨Q直方向，C正確；設(shè)繩子拉力為RT,則4Rrcose=mg,

解得尸?=晨7,繩子長一些，夾角。減小，則拉力變小，不容易斷，D錯誤。

故選C。

5.（2023.山東卷）餐廳暖盤車的儲盤裝置示意圖如圖所示，三根完全相同的彈

簧等間距豎直懸掛在水平固定圓環(huán)上，下端連接托盤。托盤上疊放若干相同的盤

子，取走一個盤子，穩(wěn)定后余下的正好升高補(bǔ)平。已知單個盤子的質(zhì)量為300g,

相鄰兩盤間距1.0cm,重力加速度大小取10m/s2。彈簧始終在彈性限度內(nèi)，每根

彈簧的勁度系數(shù)為（）

C.200N/mD.300N/m

解析：B由題知，取走一個盤子，穩(wěn)定后余下的正好升高補(bǔ)平，則說明一

個盤子的重力可以使彈簧形變相鄰兩盤間距，則有/ng=3fcc,解得上=100N/m,

故選B。

6.當(dāng)人體直立時(shí)，頸椎所承受的壓力等于頭部的重量；但當(dāng)?shù)皖^時(shí)，頸椎受

到的壓力會隨之變化?，F(xiàn)將人低頭時(shí)頭頸部簡化為如圖所示的模型：重心在頭部

的P點(diǎn)，頸椎OP（輕桿）可繞。轉(zhuǎn)動，人的頭部在頸椎的支持力和沿心方向肌肉

拉力的作用下處于靜止。假設(shè)低頭時(shí)頸椎OP與豎直方向的夾角為45°,以與豎

直方向的夾角為60°,此時(shí)頸椎受到的壓力約為直立時(shí)頸椎受到的壓力的（也攤

1.414,小心1.732）（）

A.4.2倍B.3.3倍

C.2.8倍D.2.0倍

解析：B設(shè)頭部的質(zhì)量為m,當(dāng)人體直立時(shí)，頸椎所受的壓力F=mg,當(dāng)

低頭時(shí)，設(shè)頸椎所受到的壓力為以P點(diǎn)為研究對象，受力分析如圖所示，由

正弦定理得。=.第。，解得為七故選。

sm.2120sin153.3mg,B

玲

7.（多選）在表面粗糙、傾角為。的傾斜臺面上，一塊長為L重力為G的長木

塊由靜止開始滑下。已知木塊與臺面間的動摩擦因數(shù)為木塊在滑離臺面的過

程中，到達(dá)如圖所示位置時(shí)有步部分滑至臺面外，則（）

A.木塊對臺面的壓力為Geos3

2

B.木塊對臺面的壓力為］Gcos6

C.臺面對木塊的摩擦力為〃Gcos6

D.臺面對木塊的摩擦力為Geos3

解析：AC對木塊受力分析如圖所示，在垂直臺面方向，有FN=GCOSe,

因此木塊對臺面的壓力為RN=Geos0,由滑動摩擦力公式可得B=〃RN=〃GCOS6,

故選AC。

［能力提升題組］

8.將三根伸長可不計(jì)的輕繩A3、BC、CD如圖連接，現(xiàn)在8點(diǎn)懸掛一個質(zhì)量

為機(jī)的重物，為使繩保持水平且A3繩、CD繩與水平天花板夾角分別為60°

與30°,需在C點(diǎn)再施加一作用力，則該力的最小值為（）

3()5/7)

B.力g

C.3mg

解析：D對5點(diǎn)，由平衡可知tan6。。=器解得小=?，對C點(diǎn)

分析，CD的拉力方向一定，則當(dāng)外力的方向與CD垂直時(shí)，外力R最小，根據(jù)

F、八

平行四邊形定則知，sin30°=石一，F(xiàn)=FTBC?sin30°=^mg,故選D。

rTBCO°

9.如圖所示，截面為等腰直角三角形的斜面體A放在光滑水平面上，光滑球

3的重力為G,放在斜面體和豎直墻壁之間，要使A和3都處于靜止?fàn)顟B(tài)，作用

在斜面體上的水平力F的大小為（）

B.V2G

C.1.5G

解析：A對處于平衡的A和3的整體受力分析如圖甲，對3球受力分析如

圖乙。由整體法可得R=RN埼，對3球由合成法可得R^MGtan仇其中A為等

腰直角三角形，由幾何關(guān)系可知。=45°,聯(lián)立各式可得R=G,故A正確，B、

C、D錯誤。

10.剪式千斤頂?shù)慕孛鎴D如圖所示。四根等長的支持臂用光滑錢鏈連接，轉(zhuǎn)動

手柄，通過水平螺紋軸減小間的距離，以抬高重物。保持重物不變，和

PN夾角為120°時(shí)N點(diǎn)受到螺紋軸的作用力為Fi；MP和PN夾角為60°時(shí)N

點(diǎn)受到螺紋軸的作用力為歹2。不計(jì)支持臂和螺紋軸的重力，則B與人大小之比

為（）

燒、支持臂

A.1：1B.1：3

C.?。?D.3：1

解析：D當(dāng)兩臂間的夾角為12。。時(shí)，兩臂受到的壓力為所=荻淅

G,對N點(diǎn)分析，N點(diǎn)受到螺紋軸的作用力為B=2RNICOS30°=y[3G,當(dāng)兩臂間

的夾角