微專題39直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

［考情分析］直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線相交、相

切、弦長(zhǎng)、面積以及弦中點(diǎn)等問(wèn)題，難度中等.

-思維導(dǎo)圖

直

直線的方程一線一弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題

必備與常見

圓錐曲線的性質(zhì)——

圓—中點(diǎn)弦問(wèn)題

知識(shí)題型

弦長(zhǎng)公式一錐-直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用

曲

線

的

點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題-----位—)忽略直線斜率不存在的情況

必備置常見

1誤區(qū)七I忽-略直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)交

聯(lián)立直線與方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，』解法關(guān)

解決中點(diǎn)弦問(wèn)題系點(diǎn)時(shí)，有多種情況

典型例題

考點(diǎn)一弦長(zhǎng)問(wèn)題

【典例1】已知橢圓C：［十三=1(心6>1)長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)與雙曲線D^=1實(shí)軸的頂點(diǎn)相同,

層N4N

且C的右焦點(diǎn)F到D的漸近線的距離為也I

7

⑴分別求C與。的方程；

⑵若直線/的傾斜角是直線y=(/—2)x傾斜角的2倍，且/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，/與C交于4,3兩

點(diǎn)，與。交于N兩點(diǎn)，求四.

\MN\

解(1)由題意可得。2=4,則。=2.

因?yàn)?。的漸近線方程為y=i|x,

即bx±2y=0,

橢圓C的右焦點(diǎn)為F(y］4-b2,0),

由題意可得晅，

A/4+ZJ27

因?yàn)閎>l,解得6=3,

故橢圓C的方程為e十上=1,

43

22

雙曲線。的方程為工一匕=1.

43

(2)設(shè)直線2)x的傾斜角為a,

2tana1

所以直線I的斜率k=tan2a=

1—tan2a2,

所以直線/的方程為y=gx—1),

y=：(xT),

聯(lián)立，2得4爐一2x—ll=0,

3x2+4產(chǎn)=12,

則zh=4+4X4X11>0,

設(shè)/(xi,yi),2(x2,>2),

則為十小，…,，

3x2—4j2=12,

聯(lián)立“_1z［、得2/+2%—13=0,

產(chǎn)5(%—1)，

J2=4+4X2X13>0,

設(shè)點(diǎn)M(%3,?3),N(X4,?4),

則%3+%4=—1?X3X4=—L,

2

所以\MN\=\1+02-V(X3+X4)2—4xjX4=3^^,

故岫="x；=近.

\MN\43也56

跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓E：1(a>6>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為/(0,1),焦距為2y/3.

(1)求橢圓E的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P(—2,1)作斜率為左的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)3,C,直線48,ZC分別與x

軸交于點(diǎn)M,N,當(dāng)|卬=2時(shí)，求左的值.

8=1,

解⑴由題意，#-2C=2A/3,

a2=b2+c2,

a=2,

解得小=1,

c=3,

...橢圓￡的方程為e+f=l.

4

(2)由題意可設(shè)直線BC的方程為y—l=A(x+2).

--1-/=1,

聯(lián)立得方程組

y—1=?x+2).

消去y并整理，得(4左2+1.2+(16專+Sk)x+16左2+16左=0,

則/=(16左2+8與2—4(4F+1)(16左2+16Ao>0，

解得k<0.

設(shè)3(x1,yi),C(X2,>2),

16乃+8左16乃+16人小

.".Xl+x2一；----,XIX2-；-----.①

4^+14^+1

由題知直線/C的斜率都存在,

，直線AB的方程為y=yi~U+1,

X1

則直線N3與x軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)為I

同理得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

一%2一陽(yáng)

V\MN\=29左(X2+2)左(xi+2)=2,

.*?|xi——\k[XlX2~i~2(Xl+%2)+4]|,

\)(X\+%2)2—4%1%2=|k[x1X2+2(X1+X2)+4]|.②

[16k2+Sk][16左2+16-2(16左2+8左)4

將①代入②，得I41+11_4(16啟+16-=.412+14乃+12.

4左2+1

整理，得/+4左=0.

又上<0,?,?左=—4.

考點(diǎn)二面積問(wèn)題

【典例2】(2022?新高考全國(guó)I)已知點(diǎn)/(2,1)在雙曲線C：三一戶=1(°>1)上，直線/交C

于尸，。兩點(diǎn)，直線4P,/。的斜率之和為0.

⑴求I的斜率；

⑵若tan/E4Q=2也,求△口。的面積.

解(1)將點(diǎn)/的坐標(biāo)代入雙曲線方程得—=1,

aLaz—l

化簡(jiǎn)得/—4a2+4=0,得層=2,

故雙曲線C的方程為芷一『=1.

2

由題易知直線/的斜率存在,

設(shè)直線/的方程為y=kx+m,

尸（％1，J1），2（X2,歹2）,

聯(lián)立直線/與雙曲線。的方程，消去》并整理得

（2k2—l）x2+4A:mx+2m2+2=0,

4km2m2+2

故X1+X2X\X2

2左2—12k2~1

...一="T?y2-l

幻尸+kAQ1

x\—2X2—2

kx\~\-m-1_^kx2-\-m-1

=0,

x\—2X2—2

化簡(jiǎn)得2kxiX2~\~(jn—1—2k)(x\+%2)—4(冽-1)=0,

4km]

2-2加2+2)2A：2—1J—4(m—1)=0,

故-F(m—1—

2左2—1

整理得(左+1)(加+2左一1)=0,

又直線/不過(guò)點(diǎn)4,即加+2左一1W0,

故人=—1.

(2)不妨設(shè)直線PA的傾斜角為/°<*力，

由題意知NF4Q=兀一2仇

所以tmZPAQ=—tan20=^tan^—2^2,

~tarM—1

解得tan8=也或tan9=—?(舍去).

…=w

JL2_10—4也

下巾=1，3

所以|/尸|=3|四一2|=43(：—D,

同理得4=10+4啦,

3

所以|/Q|=3|X2—2尸勾1戶U

因?yàn)閠anNE4Q=2/,

所以sinZB4g=^j^,

故SABiQ=^AP\\AQ\smZPAQ

_lv4也（也—1）43（也+1）2/16/

23339

,,2

跟蹤訓(xùn)練2（2023?南京模擬）已知雙曲線M：N—;=1,在雙曲線M的右支上存在不同于點(diǎn)

4（2,3）的兩點(diǎn)尸，。，記直線4尸，AQ,尸。的斜率分別為人左2,k,且左i,k,左2成等差數(shù)列.

⑴求左的取值范圍；

（2）若△OP。的面積為#（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線PQ的方程.

解（1）設(shè)P（xi,外），。（%2,玖），直線P。：y=kx+m9

y=kx-\-m,

由N—J,

I3

消去》得（3—左2.2—2kmx—m2—3=0,

3—Vwo,

A=4k2m2+4（3-左2）（冽2+3）>0,

2km?

依題意可得X1~\~X2

——3T；〉°，

m2+3

XiX2----7>°，

3T2

F>3,

得.加2+3>左2,

mk<0,

又左1,鼠上2成等差數(shù)列,

所以2左=左1+左2="―-+—~~-kx\~\~m—3+kxi~\~m—3

xi—2X2—2x\—2X2-2

_k（x1_2）+2左+機(jī)―3+k（x2一2）+2左+冽一3

xi~2X2~2

_d

=2左+（2左+加一3）1%1—2X2—2J,

所以（2左+m—3）lxi—2X2—2j=0,

因?yàn)槭?，。不同?即4（2,3）不在直線尸。：y=kx+m±,

所以3W2左+冽，即2左+加一3W0,

所以二一十—^=0,即XI—2+X2—2=0,

Xi~2X2~2（xi—2）（X2-2）

即為+工2=4,

所以六=4,即加6—2左2

k

代入m2+3>A2,得Ik『+3>左2,

得4(^2-3)2>F(F-3),

因?yàn)楫a(chǎn)＞3,所以4（丈—3）＞以,即嚴(yán)＞4,

點(diǎn)0到直線P。的距離

SAO?2=；XX2弋八:加2+3―左2=加,

2yi+左2左」3

所以|詞A/冽2+3—左2=也（左2—3）,

兩邊平方得加2（加2+3—左2）=2（左2—3）2,

12km.zs八）左2冽2

由丁二=4得（/左72—?3）2=:，

3一%4

代入冽2（冽2+3一左2）=2體2—3）2,

得m2（m2+3—左2）=2X.：,

整理得5左4—42左2+72=0,

所以（5左2—12）（42—6）=0,

解得好=6或乃=；,

由（1）知，左2＞4,所以42=6,k=土水,

當(dāng)女=加時(shí)，m=9一聆@=一比，

直線尸。的方程為y=?x—水,

當(dāng)左=一水時(shí)，m=~一牛^=?,

-6

直線PQ的方程為y=—A/6X+A/6,

綜上所述，直線尸。的方程為或歹=—%工+市.

考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問(wèn)題

22

【典例3】（2022?新高考全國(guó)n）已知直線/與橢圓上+匕=1在第一象限交于4,5兩點(diǎn)，/與x

63

軸、》軸分別交于M,N兩點(diǎn)，且|比4|=|同|,|皿=23，貝心的方程為.

答案x+也2也=0

解析方法一設(shè)直線/的方程為王+?=1（冽>0,〃>0）,分別令y=0,x=0,

mn

得點(diǎn)M（冽，0）,N（0,n）.

設(shè)/（Xl,yi）,5（X2,歹2）?

由題意知線段45與線段〃N有相同的中點(diǎn)，

Xj+x2m+0

22rixi+x2—m,

所以＞1+次0+〃即.

yi+y2=n.

.2―2'

因?yàn)閗AB=kMN9

所以g=s=—“

x\—X2m—0m

將4(xi,yi),5(x2,H)代入橢圓方程,

2=i,

相減得，1+X2）（X1—X2）?。1+歹2）81—>2）.0

由題意知X\~\~X2~^~0fXl-/~X2，

所以…?—，

X1+X2X\~X22

1

即“卜

m3-2

整理得冽2=2層.①

X|W|=2^3,

所以由勾股定理，得小+層=12,②

由①②并結(jié)合機(jī)>0,〃>0,

m=2也,

得

四=2,

所以直線/的方程為予+t=1,

2也2

即x+也》-2也=0.

方法二設(shè)直線/的方程為工+義=1(機(jī)>0,〃>0),分別令y=0,x=09

mn

得點(diǎn)M加,0)，N(0,ri).

由題意知線段48與線段A/N有相同的中點(diǎn)，

Cmn\

設(shè)為Q,則決2'引，

n

則=kQ=-=-.

m—0mOmm

2

由橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì)知，

_b2_1

kAB'koQ=；=一二，

a2-2

即[m]~=—K以下同方法一.

m2

跟蹤訓(xùn)練3過(guò)點(diǎn)尸(4,2)作一直線N3與雙曲線C：產(chǎn)=1相交于4,8兩點(diǎn)，若尸為線段

48的中點(diǎn)，則|48|等于()

A.2也B.2/C.33D.43

答案D

解析方法一由題意可知，直線N5的斜率存在.

設(shè)直線48的斜率為k,

則直線48的方程為y=Mx—4)+2.

y=k(x—4)+2,

消去》并整理，得(l—2F)N+8-2左一1)%—32左2+32左一10=0,/>0.

設(shè)4(xi,為)，5(x2,?2).

因?yàn)槭?4,2)為線段45的中點(diǎn)，

8左(2左一1)

所以X1+X28,

1一2公

解得k=l.

所以32杉+32-1。=。

所以1=A/1+P?A/(XI+%2)12—4%1%2=4^3.

2

方法二設(shè)4(xi,/),B(X2,歹2)，則&r―比=1,①

:-優(yōu)=1.②

①一②得;(％1—X2)(xi+x2)—(yi—y2)(yi+/)=0.

因?yàn)镻(4,2)為線段的中點(diǎn)，

所以XI+X2=8,yi+y2=4.

所以4(X1—X2)—4(y1—y2)=0,

即xi—X2=yi~y2,

所以直線的斜率左=乃二*=1.

X1—X2

則直線AB的方程為y=x-2.

消去y并整理，得/—8x+10=0,

所以X1+X2=8,X1X2=10.

所以\AB\=\jl+k2-y］（xi+x2）2—4X1X2=4\/3.

［總結(jié)提升］

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，解決直線與圓錐曲線的相交弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題的通法是用代數(shù)

法聯(lián)立方程消元轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解.對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，

在求解過(guò)程中，在設(shè)直線方程時(shí)，注意斜率不存在的情況.

1.（2023?雅禮中學(xué)模擬）已知拋物線G：V=以的焦點(diǎn)為尸，過(guò)下且斜率大于零的直線/與

G及拋物線C2：產(chǎn)=一敘的所有公共點(diǎn)從右到左分別為點(diǎn)4,B,C,則0身等于（）

A.4B.6C.8D.10

答案C

解析由題意可得尸（1,0）,設(shè)直線/的方程為》=叼+1（加＞0）,

由題意可得直線/與拋物線C1必有2個(gè)交點(diǎn),

x=my+1,

與拋物線。2相切，聯(lián)立方程組

y2=-4x,

可得產(chǎn)+4即+4=0,

所以/=16冽2—16=0,解得m=l,

故直線I的方程為x=y+l,

x=y+l,

與拋物線G方程聯(lián)立得

儼=4x,

得x2—6x+1=0,

設(shè)/（Xl,yi）,5（X2,》2）,則Xl+X2=6,

所以=修+X2+2=8.

22

2.（2023?臨汾模擬）已知傾斜角為60。的直線/與橢圓C：々+「=1（心6>0）相交于/,8兩點(diǎn),

a1b1

與x軸、》軸分別交于C,。兩點(diǎn).若|4C|=|C0=|Z）g|,則橢圓。的離心率為（）

4CfD2

答案A

解析如圖,設(shè)4g芹），B（X2

。分別是線段N5的兩個(gè)三等分點(diǎn),

—2X2,U1

貝以

Xl=-2x2?

得卜_」yi,

3y2

:.左="一玖=_2_=1.12

X1—X2—3X22X2

1,

利用點(diǎn)差法，由兩式相減得

1

（XI+X2）（X1—X2）|&1+V2）（yi—V2）0

b2a2

整理得到號(hào)=誓，

xibL

即￥=4產(chǎn)，即彳=玄

b1b1

???直線48的傾斜角為60°,

.*.A?=tan600=3,

得1=3,遮白,

供出3

3.（2023?新高考全國(guó)II）已知橢圓C：：+產(chǎn)=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,尸2,直線夕=x+/〃

與C交于1,8兩點(diǎn)，若△尸M3面積是△歹248面積的2倍，則加等于（）

也D.-2

A-3B

-fc33

答案C

y=x+m,

解析將直線＞=X+加與橢圓聯(lián)立得芷+2=1

3y

消去y可得4x2+6mx+3m2—3=0,

因?yàn)橹本€與橢圓相交于4,5兩點(diǎn)，

則為=36次2—4X4（3m2—3）＞0,

解得一2〈冽＜2.

由題意知，F(xiàn)i（-也,0）,尸2（也，0）,

因?yàn)椤鱁A8面積是△尸2A8面積的2倍，

所以點(diǎn)Fi到直線AB的距離是點(diǎn)尸2到直線A3的距離的2倍,

削〔一/+刑一也+刑

勺2W

解得機(jī)=一?或m=—3也（舍去）.

4.（2023?湖北圓創(chuàng)聯(lián)考）過(guò)點(diǎn)頻T,/）作拋物線產(chǎn)=2px①＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別是/,

B,若△M43面積的最小值為4,則〃等于（）

A.1B.2C.4D.16

答案B

解析設(shè)/(?,yi),B(X2,H)(yiWO,8工0),以Z為切點(diǎn)的切線斜率為左i,

則以4(見，巾)為切點(diǎn)的切線方程為y—yi=ki(x—xi)9

與拋物線爐=2px(p>0)聯(lián)立可得kiy2—2py+2py\—2k\px\=0,

由4=0,即4p2—Skrpyi+Sk^pxi=0,則4p2—Skipyi+4^?=0,

即(2p—2左1m)2=0,解得左i=2,

則以4(xi,yi)為切點(diǎn)的切線方程為y—yi=2(x—xi),即以)；一行=,('一%1)，

所以yiy~=p(x—xi),整理可得yiy=p(x+xi),

同理以5(X2,>2)為切點(diǎn)的切線方程為>2P=P(X+X2),

因?yàn)辄c(diǎn)M(—l,次)在切線yiy=p(x+xi)和3/2歹=2。+X2)上，

所以泗川=。(修一1),乂必=。(%2—1),

故直線45的方程為次y=p(x—1),

"ov="(x—1),

聯(lián)立，消去x,得產(chǎn)-2yoy—2夕=0,J=4jS+8/?>0.

y2=2px,

由根與系數(shù)的關(guān)系，得yi+》2=2yo,y\yi=-2p,

于是|48|=:[1+03(4歷+80.

點(diǎn)”到直線43的距離4=坪士組，

于是的面積S=1型回=1匹型：\J[+R(4團(tuán)+*)=加+20)3,

22\lyi+p2P

當(dāng)泗=0時(shí)，△M43的面積最小為2寸石=4,p=2.

5.(多選)(2023?茂名模擬)我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光

學(xué)性質(zhì)：Fl,凡是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從尸2發(fā)出的光線加射在雙曲線右支上一點(diǎn)尸，經(jīng)點(diǎn)

P反射后，反射光線〃的反向延長(zhǎng)線過(guò)當(dāng)尸異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)尸處的切線

PT平分/EPB.若雙曲線C的方程為(一3=1,則下列結(jié)論正確的是()

916

A.若射線"所在直線的斜率為左，則左e[一：'0

B.當(dāng)時(shí)，|尸尸1卜|尸尸2尸32

C.當(dāng)n過(guò)點(diǎn)0(7,5)時(shí)，光線由尸2到P再到Q所經(jīng)過(guò)的路程為13

D.若點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1,0),直線尸T與。相切，則|尸尸2]=12

答案ABD

解析因?yàn)殡p曲線C的方程為龍一犬=1,

916

所以。=3,6=4,c=5,漸近線方程為y=i|x.

對(duì)于A,因?yàn)橹本€PFi與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

f-44]

所以左e〔3,3J,即A正確；

對(duì)于B,由雙曲線的定義知，\PF!\-\PF2\=2a=6,

若貝方尸尸IF+F「2F=|BF2|2=(2C)2=100,

222

因?yàn)?|PFi|-|PF2|)=|PFi|+\PF2\~2\PFI\-\PF2\,

所以36=100—2|吶尸尸2|,

解得|尸人卜|尸尸2|=32,即B正確；

22

對(duì)于C,\PF2\+\PQ\=(|PF11-2a)+\PQ\=\FiQ\-2a=A/(7+5)+(5-0)-2X3=7,即C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)镻7平分NBPB,由角平分線定理知，的=的，

|7Fi|\TF2\

所以俏=霜=7=；，又|刊』一|列司=6,

\PF2\\TF2\5—12

a

所以:巴/一|尸外|=6,解得|尸刃=12,即D正確.

6.(多選)(2023?金華模擬)已知N(xo,泗)，B,C為拋物線f=4x上的三個(gè)點(diǎn)，焦點(diǎn)尸是△48C

的重心.記直線N5,AC,3c的斜率分別為MB,kAC，kBC,貝U()

A.線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為l82)

B.直線BC的方程為4x~\~yoy~\-yi—6=0

C.州G[—23，2憫

D.J-+J_L/

kABkACksc2

答案ABD

解析設(shè)B(xi,勿)，C(%2,y2),網(wǎng)1,0),

因?yàn)槭瑸椤?BC的重心，

所以？+XHX2=3,

yo+yi+^2—0,

設(shè)的中點(diǎn)為yM)9貝必xo,yM~yo),

AF=（1~XQ,一次），由重心分中線為1：2,

得弱二2折,

3

_3XO

1-xo=-Xo),XM——

22

即’2臺(tái)

_yo

一次=式見L/)yM——，

-3

又因?yàn)?在拋物線上，所以M=4xo,

所以砧=？一%:12二負(fù)，

288

02—_對(duì)

即認(rèn)8'2J,故A正確；

7J一歹2_4。1一歹2)4_4

kBc---------------------――.——-----

Xi-X24(X1—X2)yi+^2yo

[=一4x+"]五=4x+yoy+M—6=0,故B正確;

直線BC：

因?yàn)椤?gt;0,所以冒<12,

28

所以次￡（—23，23），故C錯(cuò)誤;

1_XQ—Xl_4(XQ—Xl)_冗一比_jo+jl

kAByo—y\4(yo-yi)4(yo-j^i)4

同理1-=次+玖,1=，+/,

kac4kBC4

所以工+「-一L=2當(dāng)+當(dāng)康_鵬=刈，故D正確.

kABkACkBC4442

7.（2023?長(zhǎng)沙模擬）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后光

線都平行于拋物線的對(duì)稱軸，已知拋物線/=2x,若從點(diǎn)。（3,2）發(fā)射平行于x軸的光線射向

拋物線的/點(diǎn)，經(jīng)4點(diǎn)反射后交拋物線于8點(diǎn)，則|/引=.

答案”

8

解析由條件可知與X軸平行，令刃=2,可得以=2,故/點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）,

因?yàn)楸?jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)出。

所以的方程為y—0=

整理得4x—3y—2=0,

y2=2x,

聯(lián)立

4x—3y—2=0,

所以”+>8=]

又刃=2,

所以性=_:,電=:義[i)2=l,

228

即￡2],

所以|48|=

8.(2022?新高考全國(guó)I)已知橢圓C：l(a>b>0),C的上頂點(diǎn)為/,兩個(gè)焦點(diǎn)為月,

尸2,離心率為:過(guò)F1且垂直于Ng的直線與C交于。，￡兩點(diǎn)，|?！陓=6,則△/￡)￡的周長(zhǎng)是

答案13

解析???橢圓的離心率為A濘，

=

??6Z2c9

b2=a2-c2=3c2,

橢圓的方程片

1,

即30+4產(chǎn)―124=0,

不妨設(shè)左焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)為后，如圖所示,

V\AF2\=a9\OF2\=C9a=2c,

：.//斤2。=匹，

3

...△NEEz為正三角形,

:過(guò)B且垂直于/尸2的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，為線段N尸2的垂直平分線,

，直線DE的斜率為上，斜率的倒數(shù)為3,

3

直線OE的方程為x=0—c,

代入橢圓方程3x2+4y2-12c2=0,

整理化簡(jiǎn)得13y2-6\l3cy-9c2=0,

判另1式/=（6\5C）2+4X13X9C2=62X16XC2,

設(shè)。（XI,斐）,E（X2,>2）,

2

|JD￡|=^l+（A/3）[yi-^2|=2X^|=2X6X4X^=6,

、

...c=——13，貝m！i］a=2c=——13，

84

為線段/尸2的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性知，\AD\=\DF^,\AE\=\EF.\,

：.△4D￡的周長(zhǎng)等于△&DE的周長(zhǎng)，

利用橢圓的定義得到LF2DE的周長(zhǎng)為尸2|十\EF2\+\DE\=\DF2\+\EF2\+\DFX|+|￡FI|=\DFX\

+\DF2\+\EFi\+\EF2\^2a+2a^4a^l3.

9.(2023?長(zhǎng)沙模擬)如圖，斜率為:的直線/與橢圓C：［+［=1交于/,8兩點(diǎn)，且尸(3/,

3)在直線I的左上方.

(1)證明：△245的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上；

(2)若N4P5=60。，求△￡45的面積.

⑴證明設(shè)4(%1,6),5(X2,歹2),直線/：>=$十九①

將①代入橢圓。的方程，化簡(jiǎn)并整理得

2x2+6mx+9m2—36=0.

9冽2—36

則xi+%2——3m,x\X2

2

_（yi-啦）（%2-3也）+&2-啦）（%1—3仍）

故kpA~\~kpB

（xi—3也）（%2—33）

上式分子=1%+加—月3—3g)+〔52+加一qS—3/)

JX1X2~\~（m-2yl2）"+、2）—6\[2（m-/）

=(加—2亞)(—3加)—6也(加—也)

=3%2—12—3勿2+6/%一6/〃7+12

=0.

從