華中師大一附中2023屆高三第二次學業(yè)質量評價檢測數(shù)學試題時間：120分鐘滿分：150分命題人：袁曼審題人：張丹王文瑩一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)是一元二次方程的一個根，則的值為A.1 B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得方程的兩個復數(shù)根，結合復數(shù)模的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，方程，可得，所以方程的兩個復數(shù)根分別為或，所以.故選：B.2.設集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性求出集合，再利用并集的運算即可求解.【詳解】集合，又因為集合，由交集的定義可得，，故選：C.3.函數(shù)的大致圖象是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性公式運算發(fā)現(xiàn)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除A；易知當時，，故排除C；觀察B，D選項，發(fā)現(xiàn)它們的主要區(qū)別是當時，的圖象在y軸兩側的變化趨勢不同，故聯(lián)想到利用特殊值進行檢驗，即可得出結果.【詳解】解：易知函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除A；易知當時，，故排除C；因為，，所以，所以排除D．故選：B．4.已知點P在棱長為4的正方體表面上運動，是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為（）．A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】首先利用球和正方體的關系求出正方體的外接球的直徑，進一步利用向量的線性運算和數(shù)量積運算求出結果．【詳解】由題意知：正方體的外接球的球心為，正方體的外接球的直徑，則為的中點，所以，且，故，當與正方體的棱長平行時，此時最小，故，所以的最小值．故選：A5.設函數(shù)，若，且，則下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由已知可得：是偶函數(shù)，在區(qū)間上遞增，且在區(qū)間上均為正數(shù)，所以在區(qū)間上遞增，因為，所以，所以，故應選.考點：1、函數(shù)的單調性；2、函數(shù)的奇偶性.6.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經橢圓反射，其反射光線必經過橢圓的另一焦點．設橢圓的左、右焦點分別為，，若從橢圓右焦點發(fā)出的光線經過橢圓上的點A和點B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質，可設線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：則，，即，可設，，，由，則，即，，在中，，則.故選：D.7.在正四棱臺中，，，M為棱的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺的體積公式、結合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進行求解即可．【詳解】設，上底面和下底面的中心分別為，，過作,該四棱臺的高，在上下底面由勾股定理可知，．在梯形中，，所以該四棱臺的體積為，所以，當且僅當，即時取等號，此時，，．取,的中點，,連接,，顯然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面．顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設，，則，，所以梯形的面積為，故選：C．【點睛】解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）根據(jù)空間中的線面關系，找到線線平行或者垂直，進而確定線面以及面面關系，（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多包含幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求長度下結論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關于長度的方程，并求解.8.在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導函數(shù)有唯一零點，函數(shù)且，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導利用函數(shù)零點定義即可求得，得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.再利用引入輔助角公式對化簡，構造新函數(shù)，利用導數(shù)判斷新函數(shù)的單調性并結合題意進而求解即可.【詳解】因為有唯一的零點，為偶函數(shù)，則，可得，，所以數(shù)列為等差數(shù)列．則，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.又，令，則為奇函數(shù)，因為，所以在上單調遞增，由題意得，則，∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其中，則，假設，因為是奇函數(shù)且在上單調遞增，則在上單調遞增，所以，∵，∴，與已知矛盾，故不成立；假設，同理可得，與已知矛盾，故不成立；綜上，．故選：C.【點睛】關鍵點睛：數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的解決關鍵是應用函數(shù)的解析式和性質得到數(shù)列的通項或遞推公式.1.利用具體函數(shù)的解析式得到遞推關系.2.利用抽象函數(shù)的性質得到遞推關系.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學生，通過測驗判斷其數(shù)學成績是否優(yōu)秀，得到了如下列聯(lián)表：學校數(shù)學成績合計（單位：人）不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校331043乙校38745合計（單位：人）711788已知，，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828則下列說法正確的是（）．A.根據(jù)小概率的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學成績優(yōu)秀率沒有差異B.根據(jù)小概率的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學成績優(yōu)秀率有差異，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1C.若將表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，根據(jù)小概率的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學成績優(yōu)秀率有差異，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1D.若將表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來10倍，根據(jù)小概率的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學成績優(yōu)秀率沒有差異【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)獨立性檢驗的基本思想和計算出的的觀測值，逐項進行分析即可求解.【詳解】由題意可知，所以根據(jù)小概率的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學成績優(yōu)秀率沒有差異，故選項A正確；選項B錯誤；若將表中所有所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，則，所以根據(jù)小概率的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學成績優(yōu)秀率有差異，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1，故選項C正確；若將表中所有所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，則，所以根據(jù)小概率的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學成績優(yōu)秀率沒有差異，故選項D正確，故選：ACD.10.科學研究已經證實：人的智力、情緒和體力分別以天、天和天為周期，均可按進行變化．記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，則（）A.第天時情緒曲線處于最高點B.第天到第天時，智力曲線與情緒曲線不相交C.第天到第天時，體力曲線處于上升期D.體力曲線關于點對稱【答案】AC【解析】【分析】設人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線用，，，根據(jù)周期求出對應的解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質可判斷ACD，對于B，設，利用零點存在定理可判斷.【詳解】設人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線用，，，所以，，.A項：第天時，，故處于最高點，A正確；B項：設，因為，，故利用零點存在定理可得存在，使得，故此時智力曲線與情緒曲線相交，B錯誤；C項：因為，所以，因為，所以根據(jù)正弦函數(shù)的性質可得此時單調遞增，故處于上升期，C正確；D項：因為，所以，體力曲線不關于點對稱，D錯.故選：AC.11.已知異面直線與所成角為，平面與平面的夾角為，直線與平面所成的角為，點為平面、外一定點，則下列結論正確的是（）A.過點且與直線、所成角都是的直線有條B.過點且與平面、所成角都是的直線有條C.過點且與平面、所成角都是的直線有條D.過點與平面成角，且與直線成的直線有條【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)選項，在利用圖形，可知A有條；根據(jù)，，可知B有條；根據(jù)，可知C有條；做以為頂點，且與圓錐中軸線夾角為，可知該直線條數(shù)，判斷D即可.【詳解】對于A選項，因為異面直線與直線所成角為，在空間中的點作直線、，使得，，設直線、確定平面，如下圖所示：因為直線、所成角為，則直線、所成角為，在直線、上分別取點、，使得，則在平面內的角平分線所在直線與直線、所成角均為，過點在平面外能作兩條直線、使得這兩條直線與直線、所成角均為，綜上所述，過點且與直線、所成角都是的直線有條，A錯；對于BC選項，因為平面與平面的夾角為，則過點與平面、所成角都是和的直線各有一條、，若過點與平面、所成角都是，則在、的兩側各有一條，所以共條，故B正確，若過點且與平面、所成角都是，其中一條直線為直線，在直線的兩側各有一條，所以共條，C對；對于D選項，過點作與平面成角的直線，形成以為頂點，與圓錐中軸線夾角為，且底面在上的圓錐的母線，設所求直線與的交點為,不妨假設在上，設直線與的交點為，設點在底面的射影點為點，直線交圓錐底面圓于、兩點，易知，又因為，則為等邊三角形，所以，，因為，則直線與平面所成角為，則，故，當點位于點時，取得最小值，當點位于點時，取得最大值，所以，故能作出兩條滿足條件的直線，故D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：該題考查立體幾何綜合應用，屬于難題，關于角度的方法有：（1）異面直線所成角：平移異面直線至有交點，則異面直線所成角即為平移后相交直線所成角；（2）線面角：過線上一點做面的垂線，連接垂足及線與面的交點形成線段，則線與該線段所成角即為線面角；（3）面面角：過面面交線上一點在兩個面中分別做交線的垂線，則兩垂線的夾角即為面面角.12.已知數(shù)列，滿足，，，，，則下列選項正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】代入數(shù)據(jù)可計算出，可判斷A選項；推導出，進而推導出數(shù)列為常數(shù)列，通過可判斷B選項；推導出，結合以及不等式的性質可判斷C選項；推導出數(shù)列為常數(shù)列，結合C選項可判斷D選項.【詳解】已知數(shù)列，滿足，，，，.對于A選項，，，，，所以，，A對；對于B選項，，將等式與等式相加可得，所以，，所以，，即數(shù)列為常數(shù)列，所以，，所以，，即，故，B錯；對于C選項，因為，當且僅當時，等號成立，所以，，，所以，，且，因此，，C對；對于D選項，因為，則，所以，，則，將等式與等式相減可得所以，，所以，所以，，即數(shù)列為常數(shù)列，所以，，所以，，所以，，故，D對.故選；ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查由遞推數(shù)列判斷數(shù)列不等式的正誤，本題注意到將題干中的兩個的等式分別相加或相減，推導出數(shù)列、均為常數(shù)列是解本題的關鍵，此外需要求出的取值范圍，再結合不等式的基本求解，綜合性較強，有一定的難度.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機變量，，且，，則_________.【答案】【解析】【分析】由題意可得出，，由，可求出的值.【詳解】因為隨機變量，所以，，且，所以，所以，解得：.故答案為：14.如圖，在中，，，點D與點B分別在直線的兩側，且，則的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】設，在中，由正弦定理得到，在中，設，利用余弦定理和正弦定理分別得到和，然后在中，利用余弦定理和輔助角公式即可求出結果.【詳解】在中，設，則，由及正弦定理，得，即，解得，因為，所以，則.在中，設，則由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，所以.在中，由余弦定理可得，即，當時，得長度取得最大值，最大值為，故答案為：.15.已知直線，拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于A，B兩點，點B關于y軸對稱的點為P．若過點A，B的圓與直線l相切，且與直線交于點Q，則當時，直線的斜率為__________．【答案】【解析】分析】根據(jù)題意設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，然后結合韋達定理即可得到結果．【詳解】如圖，設的中點為,設到直線的距離分別為,則由拋物線的定義可知：，故過點，且與直線相切的圓就是以為直徑的圓，設，，，，則，，，，由，可得，設直線的方程為，代入中，可得，，，，結合得，得．故答案為：．

16.已知函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】先對全分離，即，構造新函數(shù)，求導求單調性判斷最值點，若有且僅有兩個整數(shù)使得不等式成立，只需大于最小值點附近的兩個整數(shù)處的函數(shù)值，且小于等于該整數(shù)處相鄰的整數(shù)點處函數(shù)值，列出不等式，解出即可.【詳解】解：若，即，因為，所以，即，記，故只需有且僅有兩個整數(shù)使得成立即可，所以，記，所以，所以在上單調遞增，因為，，所以，使得，即，在上，即，單調遞減，在上，即，單調遞增，所以有最小值，因為，且，，而，若使有且僅有兩個整數(shù)，只需即可，解得.故答案為：【點睛】方法點睛：該題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，屬于難題，關于不等式成立問題的方法有：（1）對不等式進行全分離，使分母較簡單或容易判斷正負，以便少分類討論；（2）構造新函數(shù)，求導求單調性，判斷極值點，在草稿紙上畫出草圖；（3）根據(jù)題意轉化為數(shù)學語言，建立不等式，解出即可.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，且恒成立．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質直接求解即可；（2）結合（1）得，進而根據(jù)周期性求解即可.【小問1詳解】解：令，由得，因為函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，所以，解得，即因為恒成立，所以，函數(shù)，即，解得.所以，【小問2詳解】解：由（1）知，，所以，函數(shù)的最小正周期為，所以，，所以，18.如圖，直四棱柱的底面為正方形，P，O分別是上、下底面的中心，E是的中點，．（1）當時，求直線與平面所成角的正弦值；（2）當k取何值時，O在平面內的射影恰好為的重心．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當時，求直線方向向量與平面的法向量，求兩向量的夾角余弦，可得直線與平面所成角的正弦值；（2）設的重心為，由已知可得與平面法向量平行，列方程求k值.【小問1詳解】因為，所以以點為原點，以為軸正方向建立空間直角坐標系，設，則，所以，所以，，，設平面的法向量為，則，所以，取，則，所以為平面的一個法向量，當時，為平面的一個法向量，又，，所以，所以，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；【小問2詳解】設的重心為，取線段的中點為，則，，所以，所以，由（1）知為平面的一個法向量，因為O在平面內的射影恰好為的重心，所以，所以，所以.19.已知各項均不為零的數(shù)列滿足，其前n項和記為，且，，，數(shù)列滿足，．（1）求，，；（2）已知等式對，成立，請用該結論求數(shù)列，，2，…，n的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，分別將和代入計算即可得，再根據(jù)即可得，利用分組求和計算即可得；（2）由（1）可得，根據(jù)并利用二項式定理，由二項式系數(shù)性質計算即可得.【小問1詳解】由可得，；又數(shù)列各項均不為零，所以；當時，，由可得；當時，，可得；由可得，兩式相減可得，所以，即可得.【小問2詳解】由（1）可得，所以即前n項和為.20.2023年3月華中師大一附中舉行了普通高中體育與健康學業(yè)水平合格性考試．考試分為體能測試和技能測試，其中技能測試要求每個學生在籃球運球上籃、羽毛球對拉高遠球和游泳3個項目中任意選擇一個參加．某男生為了在此次體育學業(yè)考試中取得優(yōu)秀成績，決定每天訓練一個技能項目．第一天在3個項目中任意選一項開始訓練，從第二天起，每天都是從前一天沒有訓練的2個項目中任意選一項訓練．（1）若該男生進行了3天的訓練，求第三天訓練的是“籃球運球上籃”的概率；（2）設該男生在考前最后6天訓練中選擇“羽毛球對拉高遠球”的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)乘法原理，結合古典概型計算求解即可；（2）由題知的可能取值為，再依次求對應的概率，列分布列，求期望即可.【小問1詳解】解：當?shù)谝惶煊柧毜氖恰盎@球運球上籃”且第三天也是訓練“籃球運球上籃”為事件；當?shù)谝惶煊柧毜牟皇恰盎@球運球上籃”且第三天是訓練“籃球運球上籃”為事件；由題知，三天的訓練過程中，總共的可能情況為種，所以，，，所以，第三天訓練的是“籃球運球上籃”的概率.【小問2詳解】解：由題知，的可能取值為，所以，考前最后6天訓練中，所有可能的結果有種，所以，當時，第一天有兩種選擇，之后每天都有種選擇，故；當時，第一天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第二天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共2種選擇；第二天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第三天2種，后每天只有1種選擇，共4種選擇；第三天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第二天有1種選擇，第三天1種，第四天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共4種選擇；第四天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第六天有1種，第五天有2種選擇，共4種選擇；第五天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天有1種，第六天有2種選擇，共4種選擇；第六天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1種選擇，共2種選擇；綜上，當時，共有種選擇，所以，；當時，第一天，第三天，第五天，選擇“羽毛球對拉高遠球”，有種選擇；第一天，第三天，第六天，選擇“羽毛球對拉高遠球”，有種選擇第一天，第四天，第六天，選擇“羽毛球對拉高遠球”，有種選擇；第二天，第四天，第六天，選擇“羽毛球對拉高遠球”，有種選擇；所以，當時，共有種選擇，所以，；所以，當，所以，的分布列為：所以，.21.已知：若點是雙曲線上一點，則雙曲線在點處的切線方程為．如圖，過點分別作雙曲線兩支的切線，切點分別為P，Q，連結P，Q兩點，并過線段的中點F分別再作雙曲線兩支的切線，切點分別為D，E，記與的面積分別為，．（1）求直線的方程（含m）；（2）證明直線過點C，并比較與的大小．【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）利用易知分別求出兩點處的切線方程，將分別代入兩切線方程即可得直線的方程為；（2）聯(lián)立雙曲線和直線方程，利用韋達定理可得的中點，同理根據(jù)（1）中結論可得直線的方程為，顯然在直線上；聯(lián)立雙曲線和直線方程可得即為中點即可得.【小問1詳解】根據(jù)題意可設，由已知可得雙曲線在處的切線方程為，同理，在處的切線方程為；又兩切線交點為，所以滿足，即同時滿足方程，所以直線的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立整理可得，所以,即可得線段的中點，設，根據(jù)已知可得在兩點處的切線方程分別為，；兩切線交點為，所以可得直線的方程為，整理可得；易知滿足直線方程，即直線過點C；聯(lián)立雙曲線與直線方程，整理可得，所以，可得，所以的中點坐標為，即為的中點，即；易知的面積為，的面積；又，可得；即與的大小關系為.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用題目提供的已知條件直接寫出雙曲線在某點處的切線方程，再根據(jù)兩切線交點坐標得出兩切點的直線方程，聯(lián)立并利用韋達定理化簡即可實現(xiàn)問題求解.22.若函數(shù)，的圖象與直線分別交于A，B兩點，與直線分別交于C，D兩點，且直線，的斜率互為相反數(shù)，則稱，為“相關函數(shù)”．（1），均為定義域上的單調遞增函數(shù)，證明：不存在實數(shù)m，n，使得，為“相關函數(shù)”；（2），，若存在實數(shù)，使得，