專題6.2立方根目標導航目標導航1．了解立方根的概念，會用根號表示數(shù)的立方根．2．了解開方與乘方互為逆運算，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應的負整數(shù)）的立方根．考點精講考點精講考點1：求一個數(shù)的立方根典例：（2023春·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習）已知，求的立方根．方法或規(guī)律點撥本題考查了算術平方根及完全平方式的非負性，有理數(shù)的乘方，立方根的概念，屬于基礎題，熟練掌握非負性與相關運算法則是解題關鍵．鞏固練習1．（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）下列說法不正確的是（

）A．25的平方根是 B．是81的一個平方根C．4的算術平方根是 D．的立方根是2．（2022秋·重慶萬州·八年級重慶市萬州新田中學校考期中）已知代數(shù)式與是同類項，那么的值為（

）A． B．1 C． D．03．（2023春·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習）的立方根為（

）A． B． C．2 D．44．（2023秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學校校考期末）下列說法不正確的是（

）A．的平方根是 B．是的一個平方根C．的算術平方根是0.4 D．的立方根是6．（2023秋·四川內(nèi)江·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中運算正確的是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）的立方根是（

）A． B． C． D．沒有意義8．（2022春·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學?？茧A段練習）已知一個正方體的體積擴大為原來的n倍，它的棱長變?yōu)樵瓉淼模?/p>

）A．倍 B．倍 C．3n倍 D．n3倍9．（2022秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）下列計算，錯誤的是（

）A． B．C． D．10．（2022秋·山東棗莊·八年級滕州市西崗鎮(zhèn)西崗中學?？计谀┫铝姓f法中，正確的個數(shù)是（

）的立方根是；的算術平方根是；的立方根是；的平方根是．A． B． C． D．11．（2020秋·四川廣元·七年級校考期中）若，則_____．12．（2022秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）己知a是絕對值最小的數(shù)，則______．13．（2022秋·甘肅天水·八年級?？茧A段練習）的立方根是__________．14．（2022春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）的立方根是______．考點2：平方根和立方根的綜合應用典例：（2022秋·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學校考周測）已知的立方根是4，的算術平方根是5，c是9的算術平方根，(1)求a，b，c的值(2)求的平方根．方法或規(guī)律點撥本題考查平方根，算術平方根和立方根，熟練掌握平方根：一個數(shù)的平方是，叫做的平方根；算術平方根：一個非負數(shù)的平方是，叫做的算術平方根；立方根：一個數(shù)的立方是，叫做的立方根，是解題的關鍵．鞏固練習1．（2022春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學校考階段練習）已知的立方根為，則的算術平方根是(

)A． B． C． D．2．（2022秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期中）已知的算術平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，則和分別是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學校考期末）若是的算術平方根，是的立方根，則的值為__________．4．（2022秋·山東威海·七年級?？茧A段練習）如果a是100的算術平方根，b是125的立方根，的平方根是_____．5．（2022秋·湖南永州·八年級?？计谥校┮阎乃阈g平方根是6，的立方根是5，則的平方根為___________．6．（2022秋·吉林長春·八年級長春市第二實驗中學?？计谀┮阎钠椒礁牵牧⒎礁?，求的平方根7．（2021秋·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期中）一個正數(shù)的算術平方根為，它的平方根為，求這個正數(shù)的立方根．8．（2022秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）已知的立方根是，的算術平方根是，求的值．9．（2022秋·山東棗莊·八年級?？茧A段練習）己知的平方根為，的立方根為2，求的算術平方根．10．（2022秋·廣東佛山·八年級大瀝中學?？茧A段練習）已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．(1)求，，的值；(2)求多項式：．11．（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）已知4是的算術平方根，的立方根為．(1)求和的值；(2)求的平方根．12．（2022秋·江蘇無錫·八年級無錫市天一實驗學校?？计谥校?）已知的算術平方根是2，的立方根是2，求a、b的值；（2）已知一個正數(shù)x的平方根分別是和，求x的值．13．（2022·全國·七年級專題練習）本學期第六章《實數(shù)》中學習了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容：平方根立方根定義一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．性質一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)：0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù)．【類比探索】（1）探索定義：填寫下表11681x類比平方根和立方根，給四次方根下定義：______．（2）探究性質：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④______（填“有”或“沒有”）四次方根．類比平方根和立方根的性質，歸納四次方根的性質：______；【拓展應用】（1）______；（2）______；（3）比較大?。篲_____．考點3：利用立方根的性質解方程典例：（2022春·貴州遵義·七年級?？茧A段練習）解方程：(1)(2)方法或規(guī)律點撥本題考查利用平方根和立方根的定義解方程，掌握相關定義是解題的關鍵．鞏固練習1．（2022秋·山西運城·八年級?？茧A段練習）求未知數(shù)x的值：．2．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）求下列各式中x的值：(1)；(2)．3．（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）求值(1)(2)4．（2022·全國·七年級專題練習）解方程：(1)(2)5．（2022秋·遼寧阜新·八年級?？茧A段練習）求下列各式中的x．(1)(2)6．（2023秋·遼寧阜新·八年級校考階段練習）解方程：(1)；(2)．7．（2023秋·陜西西安·八年級西安益新中學?？茧A段練習）解方程：(1)(2)(3)8．（2022春·福建莆田·七年級?？计谥校┙庀铝蟹匠?1)．(2)．9．（2022春·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學?？茧A段練習）解方程：(1)(2)考點4：立方根的實際應用典例：某地氣象資料表明，當?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間t（h）可以用公式來估計，其中d（km）是雷雨區(qū)域的直徑．（1）如果雷雨區(qū)域的直徑為6km，那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間？（結果精確到0.1h）（2）如果一場雷雨持續(xù)了1h，那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是多少？（結果精確到0.01km）方法或規(guī)律點撥本題主要考查了算術平方根，立方根的應用，熟練掌握算術平方根的性質是解題的關鍵．鞏固練習1．（2022秋·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學?？茧A段練習）一個正方體的體積是，則它的棱長為（）A． B． C． D．2．（2021秋·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┮粋€正方體的體積是，則它的表面積是（

）A．96 B．64 C．32 D．163．（2022春·安徽六安·七年級統(tǒng)考期中）如果一個正方體的體積變?yōu)樵瓉淼?4倍，那么它的棱長增加為原來的多少倍?（

）A．3 B．4 C．6 D．84．（2022秋·全國·八年級專題練習）隨著張吉懷高鐵在2021年建成通車，昔日飽受交通制約的湘西州，也迎來了便捷的現(xiàn)代化快速交通．在湘西州花垣縣，還有一個現(xiàn)代化的交通大工程——湘西機場正在建設．建設機場多余的土方呈圓錐形，土方的底面直徑為100米，高度為50米．現(xiàn)在用卡車將土方運送到15公里外的垃圾池進行填平，已知垃圾池是規(guī)則的立方體，并且土方剛好填滿垃圾池．請問垃圾池的底面邊長大約是多少米（π取3）（

）A．50 B．60 C．70 D．405．（2022秋·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）正方體的體積是正方體的體積的倍，那么正方體的棱長是正方體的棱長的_____倍．6．（2022秋·全國·七年級專題練習）底面積為，高為19cm的圓柱形容器內(nèi)有若干水，水位高度為，現(xiàn)將一個邊長為6cm的立方體鐵塊水平放入容器底部，立方體完全沉沒入水中（如圖甲）．再將一個邊長為acm的立方體鐵塊水平放在第一個立方體上面，若第二個立方體只有一半沒入水中（如圖乙）．此時水位高度為，若，則___________cm．7．（2022春·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有兩個大小不等的正方體茶葉罐，大正方體茶葉罐的體積為，小正方體茶葉罐的體積為，將其疊放在一起放在地面上（如圖），則這兩個茶葉罐的最高點到地面的距離是________．8．（2022秋·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）“魔方”（如圖）是一種立方體形狀的益智元具，它由三層完全相同的小立方塊組成，如果“魔方”的體積為cm3，那么組成它的每個小立方塊的棱長為多少？9．（2021秋·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學校考階段練習）在一個長、寬、高分別為8，4，2的長方體容器中裝滿水，將容器中的水全部倒入一個正方體容器中，恰好倒?jié)M（兩容器的厚度忽略不計），求此正方體容器的棱長．10．（2022秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）李叔叔將8個正方體魔方，放入到一個容積為的正方體紙箱中，恰好填滿．求這個魔方的棱長．11．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期中）王老師為班級圖書角購買了四本同一型號的字典，這種字典的長與寬相等．班長將這4本字典放入一個容積為512的正方體禮盒里，恰好填滿．求這一本字典的厚度．12．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）據(jù)說，我國著名數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出：39．你知道他是怎么快速準確地計算出來的嗎？請研究解決下列問題：(1)已知，且x為整數(shù)．∵，∴x一定是一個兩位數(shù)；∵10648的個位數(shù)字是8，∴x的個位數(shù)字一定是______；劃去10648后面的三位648得10，∵，∴x的十位數(shù)字一定是______；∴______．(2)，且y為整數(shù)，按照以上思考方法，請你求出y的值．13．（2023·全國·九年級專題練習）小明在學完立方根后研究了如下問題：如何求出的立方根？他進行了如下步驟：①首先進行了估算：因為，，所以是兩位數(shù)；②其次觀察了立方數(shù)：；猜想的個位數(shù)字是7；③接著將往前移動3位小數(shù)點后約為50，因為，，所以的十位數(shù)字應為3，于是猜想，驗證得：的立方根是；④最后再依據(jù)“負數(shù)的立方根是負數(shù)”得到，同時發(fā)現(xiàn)結論：若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立．請你根據(jù)小明的方法和結論，完成下列問題：(1)=；(2)若，則；(3)已知，且與互為相反數(shù)，求的值．能力提升能力提升一、單選題（每題3分）1．（2022秋·浙江麗水·七年級統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（）A． B． C． D．2．（2021春·云南昆明·七年級?？计谥校┫铝杏嬎阒姓_的是（

）．A． B． C． D．3．（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）下列說法不正確的是（

）A．225的平方根是 B．的立方根是C．0的算術平方根是0 D．125的立方根是4．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）小明利用計算器得到下表中的數(shù)據(jù)：88.599.5106472.258190.25100512614.125729857.3751000那么在（

）A．9～9.5之間 B．9.5～10之間 C．90～95之間 D．95～100之間5．（2022秋·浙江寧波·七年級浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學?？计谥校┮粋€長、寬，高分別為50、8、20的長方體鐵塊鍛造成一個立方體鐵塊，則鍛造成的立方體鐵塊的棱長是（

）A．20 B．200 C．40 D．6．（2022秋·遼寧沈陽·九年級?？茧A段練習）類比平方根和立方根，我們定義n次方根為：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整數(shù)．例如：因為，所以±3叫81的四次方根，記作：，因為，所以叫的五次方根，記作：，下列說法不正確的是（）A．負數(shù)a沒有偶數(shù)次方根 B．任何實數(shù)a都有奇數(shù)次方根C． D．二、填空題（每題3分）7．（2022秋·福建泉州·八年級?？计谀┮阎c互為相反數(shù)，則________．8．（2022秋·江蘇·八年級期中）如果，則__．9．（2023春·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）若，，那么________．10．（2021秋·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期中）定義新運算：對任意實數(shù)a、b，都有，例如，，那么=________．11．