第6章常微分方程6.1微分方程的基本概念6.2一階微分方程6.3二階常系數(shù)線性微分方程6.4微分方程的應用實例6.5用MATLAB解微分方程 6.1微分方程的基本概念

1.引例

例6-1一曲線通過點(1,3),且在該曲線上任一點M(x,y)處的切線斜率等于該點處橫坐標x的平方的3倍，

求該曲線方程.

解設(shè)所求曲線方程為y=y(x),根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知,未知函數(shù)y=y(x)應滿足的關(guān)系式為①對式①兩邊積分得y=∫3x2dx

y=x3+C ②即其中,C為任意常數(shù).又因曲線通過點(1,3),所以y=y(x)還滿足下列條件：y|x=1=3③將式③代入式②,得C=2.于是所求曲線方程為y=x3+1④

例6-2

設(shè)火車提速后，以40m/s(相當于144km/h)的速度在平直的軌道上行駛(假設(shè)不計空氣阻力和摩擦力)，當其制動(剎車)時,獲得加速度-0.8m/s2.問開始制動后多少時間火車才能停住？在這段時間內(nèi)火車行駛了多少路程？

解設(shè)火車開始制動時t=0,制動后經(jīng)過t(s)行駛了s(m).根據(jù)題意，制動階段火車運動規(guī)律的函數(shù)s=s(t)應滿足關(guān)系式⑤并且s=s(t)還應滿足下列條件：⑥對式⑤兩邊積分，得⑦再積分，得s=-0.4t2+C1t+C2

⑧其中,C1、C2都是任意常數(shù).

將條件式⑥分別代入式⑦和式⑧,得C1=40,C2=0于是v=-0.8t+40⑨s=-0.4t2+40t

⑩在式⑨中，令v=0,得到火車從開始制動到完全停住所需的時間：t=50s再把t=50代入式⑩,得到火車在制動階段行駛的路程：s=1000m上述兩例中的關(guān)系式①和式⑤都是含有未知函數(shù)的導數(shù).一般地，像這樣的方程稱為微分方程.

2)微分方程的階數(shù)

微分方程中未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階數(shù).如果一個微分方程階數(shù)是n,我們就稱這個微分方程是n階微分方程.例如，在微分方程中未知函數(shù)y的最高階導數(shù)的階數(shù)為一階，則稱微分方程為一階微分方程.顯然y″+y′-2y=0是二階微分方程.

3)微分方程的解和解微分方程

我們稱使微分方程左、右端相等的已知函數(shù)為微分方程的解.例如，已知函數(shù)y=x2+C就是微分方程y′=2x的解,因為y=x2+C這個已知函數(shù)能使微分方程y′=2x左、右端相等.

將y=x2+C代入微分方程的左端，則左端=(x2+C)′=2x,

而微分方程的右端=2x,故y=x2+C這個已知函數(shù)就是微分方程y′=2x的解.求微分方程解的過程，我們稱為解微分方程.

4)微分方程的通解和特解

含有任意常數(shù)C的微分方程的解叫做微分方程的通解.例如，y=x2+C就是微分方程y′=2x的通解.高階微分方程的通解中常常含有多個任意常數(shù)，一般來說，n階微分方程，其通解中就含有n個任意常數(shù)C.例如，y′=2x是一階微分方程，故它的通解y=x2+C僅含有一個任意常數(shù)C；而y″+y′-2y=0是二階微分方程，故它的通解y=C1ex+C2e-2x就含有兩個任意常數(shù)C1和C2.

在給定的微分方程或從實際生產(chǎn)和科學實驗中列出的微分方程中，常常事先已知一個或幾個微分方程中未知函數(shù)某時刻的函數(shù)值，則未知函數(shù)的函數(shù)值叫做微分方程的附加條件.例如，已知微分方程y′sinx=ylny,且,這里就叫做微分方程y′sinx=ylny的附加條件.

我們稱滿足附加條件或初始條件的微分方程的解為微分方程的特解.以后我們將具體介紹.

從例6-1和例6-2不難看出，對于形如

y(n)=f(x)

的微分方程，只要通過逐次積分(n次)，便可得到它的通解. 6.2一階微分方程

一階微分方程的一般形式為下面介紹幾種常用的一階微分方程的解法.6.2.1可分離變量的微分方程形如(6-1)的方程稱為可分離變量的微分方程.其特點是方程的右端為只含x的函數(shù)f(x)與只含y的函數(shù)g(y)的乘積,這里f(x)、g(y)分別是變量x、y的已知連續(xù)函數(shù)，且g(y)≠0.

這類方程的特點是經(jīng)過適當?shù)淖冃危梢詫蓚€不同變量的函數(shù)與相應微分分離到方程的兩端.具體解法如下：

(1)將方程式(6-1)分離變量，得

(2)兩邊同時積分，得得方程的通解G(y)=F(x)+C

例6-5

解微分方程y′=xy.

解將方程改寫為

例6-6

求方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解.

解用(x2-1)(y2-1)除方程兩端，得

例6-7

已知某種放射性元素的衰變率與當時尚未衰變的放射性元素的量成正比，求這種放射性元素的衰變規(guī)律.

解設(shè)這種放射性元素的衰變規(guī)律是Q=Q(t).依題意，有其中,k為比例常數(shù)，且k>0.上述方程是可分離變量的微分方程,分離變量，得上式兩端積分，得即Q=e-kt+C0=eC0·e-kt=Ce-kt

其中,C=eC0.所以，所求放射性元素的衰變規(guī)律是Q=Ce-kt.6.2.2一階線性微分方程

形如(6-2)的微分方程叫做一階線性微分方程

,其中P(x)、Q(x)都是x的連續(xù)函數(shù).當Q(x)≡0時，上述微分方程式(6-2)成為(6-3)稱為一階齊次線性微分方程；當Q(x)≡0時，微分方程式(6-2)稱為一階非齊次線性微分方程.

這類方程的特點是:它所含的未知函數(shù)y及其導數(shù)y′都是一次的.(6-4)

例6-8

求微分方程y′+ysinx=0的通解.

解所給微分方程是一階線性齊次方程，且P(x)=sinx,因由通解公式可得原方程的通解為y=Cecosx

例6-9

求方程(x2y-2xy)dx+xdy=0滿足初始條件

y|x=0=1的特解.

解將所求方程化為如下形式這是一階線性齊次方程,分離變量，得兩邊積分，得化簡，得將初始條件y|x=0=1代入通解，得C=1，故所求特解為

2.一階線性非齊次微分方程的解法

設(shè)方程式(6-2)是非齊次方程，為了求出非齊次線性方程式(6-2)的解，先把Q(x)換成零，得y′+P(x)y=0此方程稱為對應于非齊次線性方程式(6-2)的齊次線性方程.\

下面介紹用(拉格朗日)常數(shù)變易法求一階線性非齊次微分方程的通解.這種方法是把對應的齊次方程通解中的C換成未知函數(shù)C(x),即令y=C(x)e-∫P(x)dx

(6-5)求導得式(6-8)右端第一項是對應的齊次方程式(6-3)的通解，第二項是非齊次線性方程式(6-2)的一個特解.由此可知,一階非齊次線性方程的通解等于對應的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和.

用常數(shù)變易法求一階非齊次線性方程通解的步驟為：

(1)先求出非齊次方程所對應的齊次方程的通解；

(2)利用常數(shù)變易法設(shè)出非齊次線性方程的一個特解；

(3)將所設(shè)特解代入非齊次線性方程式(6-2),解出C(x),并寫出非齊次線性方程的通解.即原方程的通解為

*6.3二階常系數(shù)線性微分方程

形如y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(6-9)的方程稱為二階線性微分方程.如果f(x)≡0,方程式(6-9)稱為齊次的；如果f(x)≡0,方程式(6-9)稱為非齊次的.設(shè)方程式(6-9)為非齊次線性方程，則它對應的齊次線性方程為y″+P(x)y′+Q(x)y=0在力學中，物體在有阻力情況下的自由振動微分方程和強迫振動微分方程，以及電學中串聯(lián)電路的振動方程都是二階線性微分方程.6.3.1二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

定理6.1(齊次線性方程解的結(jié)構(gòu))如果函數(shù)y1、y2是二階齊次線性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0的兩個解，那么y=C1y1+C2y2

(6-11)也是該方程的解，其中C1、C2是任意常數(shù).如果y1與y2之比不為常數(shù)(即≠k,k為常數(shù)),則y=C1y1+C2y2

是該方程的通解.

定理6.2(非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu))設(shè)y是二階非齊次線性微分方程6.3.2二階常系數(shù)齊次線性微分方程

設(shè)p、q為常數(shù)，形如

y″+py′+qy=f(x)(6-14)

的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程.如果f(x)≡0,方程

y″+py′+qy=0(6-15)

稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程；如果f(x)≡0,方程式(6-14)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.

由齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)知道.求齊次線性微分方程式(6-15)的解，只需求出它的兩個比值不為常數(shù)的解即可.

由指數(shù)函數(shù)導數(shù)的特性，我們可以猜想方程式(6-15)具有y=erx形式的解，其中r為待定常數(shù).將y′=rerx、y″=r2erx及y=erx代入方程

y″+py′+qy=0,得

erx(r2+pr+q)=0由于erx≠0,因此只要r滿足方程

r2+pr+q=0 (6-16)

即可.也就是說，當r是一元二次方程式(6-16)的根時，y=erx就是齊次線性微分方程的解.因此方程r2+pr+q=0稱為微分方程y″+py′+qy=0的特征方程，特征方程的根稱為特征根.

方程y″+py′+qy=0的特征方程r2+pr+q=0的特征根有三種情形，下面就其不同情形討論對應的齊次方程的通解.

(3)當特征方程具有一對共軛復根時，即r1,2=α±iβ(α,β為實數(shù)，β≠0),方程有兩個復數(shù)特解y1=e(α+iβ)x與y2=e(α-iβ)x,它們之比不為常數(shù).為了便于在實數(shù)范圍內(nèi)討論，由歐拉公式eix=cosx+isinx

可得y1=eax(cosβx+isinβx)y2=eax(cosβx-isinβx)于是有由定理6.1知，函數(shù)eaxcosβx與eaxsinβx均為方程式(6-15)的解，且它們之比不為常數(shù).因此，方程的通解為y=eax(C1cosβx+C2sinβx)綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y″+py′+qy=0的通解步驟如下：

(1)寫出對應的特征方程r2+pr+q=0(2)求出特征根r1和r2；(3)根據(jù)r1和r2的三種不同情況，寫出對應的通解.表6-1給出了三種不同特征根對應的方程的通解.

表6-1

6.4微分方程的應用實例

實例6-1(環(huán)境污染問題)某水塘原有50000t清水(不含有害雜質(zhì)).從時間t=0開始，含有有害雜質(zhì)5%的濁水流入該水塘.流入的速度為2t/min,在塘中充分混合(不考慮沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘.問經(jīng)過多長時間后塘中有害物質(zhì)的濃度達到4%?

解設(shè)在時刻t塘中有害物質(zhì)的含量為Q(t),此時塘中有害物質(zhì)的濃度為,于是有

=單位時間內(nèi)有害物質(zhì)的變化量

=(單位時間內(nèi)流進塘內(nèi)有害物質(zhì)的量)-(單位時間內(nèi)流出塘的有害物質(zhì)的量)即

實例6-2(刑事偵察中死亡時間的鑒定)牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣

溫度之差成正比.現(xiàn)將牛頓冷卻定律應用于刑事偵察中死亡時間的鑒定.當一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來的37℃

按照牛頓冷卻定律開始下降，如果2h后尸體溫度變?yōu)?5℃,并且假定周圍空氣的溫度保持20℃不變，試求出尸體溫度

H隨時間t的變化規(guī)律.又如果尸體發(fā)現(xiàn)時的溫度是30℃,時間是下午4點整，那么謀殺是何時發(fā)生的？

解設(shè)尸體的溫度為H(t),其冷卻速度為.根據(jù)題意，有

實例6-3(新技術(shù)推廣問題)某工廠推廣一項新技術(shù)，剛開始時，在2000人中派出10個人先出去學習這種新技術(shù),

完全掌握后回廠進行傳幫帶，使其他工人也掌握此技術(shù),經(jīng)過1個星期推廣后有40個人掌握了這種新技術(shù).已知推廣這種新技術(shù)的速度和已經(jīng)掌握這種新技術(shù)的人數(shù)與尚未掌握這種新技術(shù)的人數(shù)之乘積成正比.試問經(jīng)過4個星期推廣后，

還有多少人沒有掌握這種新技術(shù)？再經(jīng)過4個星期呢？

解設(shè)在時刻t(星期)已掌握新技術(shù)的人數(shù)為N(t),則在[t,t+dt]時段內(nèi)掌握新技術(shù)人數(shù)的增量為dN=kN(2000-N)dt

這是一個一階可分離變量方程，分離變量得當t=4時，可解得N≈1155,即尚未掌握這種新技術(shù)的人數(shù)為

2000-N≈845

當t=8時，可解得N≈1994.6,即經(jīng)過8個星期的推廣后，僅有五六個人沒有掌握這種新技術(shù).實例6-4(交通事故問題)在公路交通事故的現(xiàn)場，常會發(fā)現(xiàn)事故車輛的車輪留有一段拖痕(剎車距離),這是緊急剎車后制動片抱緊制動箍使車輪停止轉(zhuǎn)動，而車輪由于慣性的作用在地面上摩擦滑動留下的痕跡.

如果在事故現(xiàn)場測得拖痕的長度為15m,并測出路面與車輪的摩擦系數(shù)為1.04(此系數(shù)由路面質(zhì)地、輪胎與地面接觸面積等因素決定)，那么交警如何判定事故車輛在緊急剎車前的車速是否超出規(guī)定？

解設(shè)拖痕所在直線為x軸，拖痕的起點為原點，車輛的滑動位移為x,滑