案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

案例分析1線性優(yōu)化

廣州某財務(wù)分析公司是為許多客戶管理股票資產(chǎn)組合的投資公司。一

名新客戶要求該公司處理8000()元的投資組合。作為個人投資戰(zhàn)略，該客

戶希望限制他的資產(chǎn)組合在下面兩個股票的混合中：

每股最大預(yù)期年收益可能的投資

股票每股價格(元)

(元)(元)

西北石油50650000

西南石油30445000

決策變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件。

設(shè)x二西北石油的股份數(shù)；y二西南石油的股份數(shù)。

a假設(shè)客戶希望最大化總的年收益，則目標(biāo)函數(shù)是什么？

b寫出在下面3個條件下的每一個的數(shù)學(xué)表達式：

(1)總的投資基金是80000元。

(2)對西北石油的最大投資是50000元。

(3)對西南石油的最大投資是45000元。

A目標(biāo)函數(shù)：maxz=6x+4y

50x+30y=80000

50^<50000

30y<45000

x>0,>?>0

案例分析2：線性優(yōu)化

某投資公司的財務(wù)顧問得知有兩家公司很可能有并購計戈上西部電纜

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公司是制造建筑光纜方面的優(yōu)秀公司，而康木交換公司是一家數(shù)字交換系

統(tǒng)方面的新公司。西部電纜公司股票的現(xiàn)在每股交易價是40元，而康木

交換公司的每股交易價是25元。如果并購發(fā)生了，財務(wù)顧問預(yù)測西部電

纜公司每股價格將上漲到55元，康木交換公司每股價格將上漲到43元。

財務(wù)顧問確認投資康木交換公司的風(fēng)險比較高」假設(shè)投資在這兩種股票上

的資金的最大值50000元，財務(wù)顧問希望至少在西部電纜公司上投資

15000元，至少在康木交換公司投資10000元。有因為康木交換公司的風(fēng)

險比較高，所有財務(wù)顧問建議對康木交換公司的最大投資不能超過25000

元。

A建立線性規(guī)劃模型，決定對西部電纜公司和康木交換公司應(yīng)該各投資多

少才能使總投資回報最大？

B畫出可行域。

C確定每個極點的坐標(biāo)。

D找出最優(yōu)解。

設(shè)x:西部電纜公司的比例；產(chǎn)康木交換公司的比例

maxz=15x+18y

40x+25)，=50000

4O.v<15000

25y>1OOOO

25)，<25000

x>0,y>0

(375,400)；(1000,400)；(625,1000)；(375,1000)

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X=625;y=1000,總回報二27375

案例分析3：線性優(yōu)化

廣州某創(chuàng)業(yè)投資基金公司為計算機軟件和互聯(lián)網(wǎng)的應(yīng)用發(fā)展提供創(chuàng)

業(yè)基金。目前該基金公司有兩個投資機會：一個是需要資金去開發(fā)互聯(lián)網(wǎng)

安全軟件的公司；另一個是需要資金去開發(fā)對顧客滿意度進行調(diào)查的應(yīng)用

軟件的公司，開發(fā)安全軟件的公司要求該基金運作公司必須在接下來3年

給其第1年提供6000C0元，第2年提供600000元，第3年提供250000

元。開發(fā)調(diào)查應(yīng)用軟件的公司要求基金公司在接下來3年給其第1年提供

500000元，第2年提供350000元，第3年提供400000元。該基金公司

認為這兩項投資都是值得嘗試的。但是，由于其他的投資，公司只能在第

1年共800000元，第2年投資700000元，第3年投資500000元。

該基金運作公司的金融分析小組對這兩項計劃進行了調(diào)查，建議公司

的目標(biāo)應(yīng)該是追求總投資利潤現(xiàn)值最大化。凈現(xiàn)值應(yīng)考慮到3年后兩家公

司的股票價值和3年內(nèi)的資金流出量。按8%的回報率計算，該基金公司

的金融分析小組估計，如果對開發(fā)安全軟件的公司進行100%的投資，凈

現(xiàn)值應(yīng)該是1800000元；對開發(fā)調(diào)查軟件的公司進行100%的投資，凈現(xiàn)

值應(yīng)該是1600000元。

該基金公司對安全公司和市場調(diào)查的公司投入任何比例的資金。比

如，如果基金公司對安全公司投資40%的資金，那么第1年就需要

0.40*600000=240000元，第2年需要0.40*600000=240000元，第1年需

要0.40*250000=100000元，，在這種情況下，凈利潤的值就是

0.40*180000=720000元。對市場分析公司的投資計算方法相同。

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管理報告

對基金公司的投資問感進行分析，準(zhǔn)備一個報告展示你的建議和結(jié)論。包

括如下內(nèi)容

1這兩種投資各應(yīng)該占多大的比例？總投資的凈現(xiàn)值是多少？

2接下來3年的為兩個公司的資金分配計劃是什么？基金公司每年投資的

總額是多少？

3如果基金公司愿意在第1年追加100000元投資，會對投資計劃產(chǎn)生什

么影響？

4制定追加100000元投資以后的投資分配計劃。

5你是否建議第1年再追回投資100000元。

在該報告的中應(yīng)該包括線性規(guī)劃和圖形的解等。

設(shè)x二開發(fā)互聯(lián)網(wǎng)安全軟件的公司的比例；尸調(diào)查的應(yīng)用軟件的公司的比

例

maxz=18x+16y

6x+5y<8

6x+3.5y<7

2.5x+4y<5

x>0,y>0

案例分析4:線性優(yōu)化

廣州某投資咨詢公司，為大量的客戶管理高達L2億元的資金。公司

運用一個很有價值的模型，為每個客戶安排投資量，分別投資在股票增長

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基金、收入基金和貨幣市場基金。為了保證客戶投資的多元化，公司對這

三種投資的數(shù)額加以限制。一般來說，投資在股票方面的資金應(yīng)該占總投

資的20曠40%投資在收入基金方面的資金應(yīng)該確保在20婷50臨貨幣市

場方面的投資至少應(yīng)該占30%。

此外，公司還嘗試著引入了風(fēng)險承受能力指數(shù),以迎合不同投資者的

需求。如該公司的一位新客戶希望投資80000()元。對其風(fēng)險承受能力進

行評估得出其風(fēng)險指數(shù)為0.05。公司的風(fēng)險分析人員計算出，股票市場

的風(fēng)險指數(shù)是0.10,收入基金的風(fēng)險指數(shù)是0.07,貨幣市場的風(fēng)險指數(shù)

是0.01,整個投資的風(fēng)險指數(shù)是各項投資占投資的百分率及其風(fēng)險指數(shù)

乘積的代數(shù)和。

此外該公司預(yù)測股票基金的年收益是18%,收入基金的收益率是

12.5%,貨幣市場基金的收益率是7.5吼現(xiàn)在基于以上信息，公司應(yīng)該如

何安排這位客戶的投資呢？建立線性規(guī)劃模型，求出使總收益最大的解，

并根據(jù)模型寫出管理報告。

1如何將800000元投資于這三種基金。按照你的計劃，投資的年收益是

多少？

2假設(shè)客戶的風(fēng)險承受指數(shù)提高到0.055,那么投資計劃更改后，收益將

增加多少？

3假設(shè)客戶的風(fēng)險承受指數(shù)不變，仍然是0.05,而股票成長基金的年收益

率從16%下降到14M那么新的最佳投資方案是什么？

4假設(shè)現(xiàn)在客戶認為投資在股票方面的資金太多了，如果增加一個約束條

件即投資于股票增長基金的資金不可以超過投資于收入基金的資金，那么

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新的最佳方案是什么？

5當(dāng)遇到預(yù)期收益率變化時，你所建立的線性規(guī)模模型應(yīng)該可以對客戶的

投資方案做出修改，那么這個模型的適用范圍是什么？

設(shè)投資于三種基金的數(shù)額分別是則投資的年收益是：

1maxz=0.18x+0.125y+0.075z

0.2<x/800(X)0<0.40.2<80000()<0.5,z/80000()30.3

0.1A-/800000+0.07)，/800000+0.01z/800000<0.05

x+y+z=800000

x>0,)J>0,z>0

2maxz=0.18x+0.125y+0.075z

0.2<x/800()00<0.4,0.2<y/800()00<0.5,z/80(X)00>0.3

O.Lv/800000+0.07)，/800000+0.0lz/800000<0.055

x+y+z=800000

x>0,y>0,z>0

3nxixz=0.14x+0.125y+0.075z

0.2<x/800()0040.40.2<y/8()()(X)()<0.5,z/8()(X)()()>0.3

0.lx/800000+0.07>7800000+0.01z/800000<0.05

x+y+z=800000

x>0,y>0,z>0

4maxz=O.18x+O.I25y+O.O75z

0.2<x/800(X)0<0.4,0.2<800(X)040.5,z/80(X)002().3,x<y

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

O.l.r/800000+0.07>7800000+0.01z/800000<0.05

x+y+z=800000

x>0,y>0,z>0

5對1部分的模型：maxz=0.18x+0.125y+0.075z

0.2<x/800000<0.4,0.2<y/800000<0.5,z/800000>0.3

O.Lr/800000+0.07v/800000+0.01z/800000<0.05

x+y+z=800000

x>0,y>0,z>0

由管理科學(xué)家軟件可得出a,b,c的范圍。

maxz=ax+by+cz

0.2<x/800000<0.4,0.2<y/800000<0.5,z/800000>0.3

0.lx/800000+0.07)，/800000+0.01z/800000<0.05

x+y+z=8(X)()()()

x>O,y>O,z>O

0<a,b,c<I

案例分析5：線性優(yōu)化

國家保險聯(lián)合會這股票證券領(lǐng)域進行投資。現(xiàn)有一筆200000元的資

金需要將其投資于股票市場。擬投資的股票以及相應(yīng)的財務(wù)數(shù)據(jù)如下：

股票

ABC1)

每股價格100508040

10()/76

案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

(元)

年收益率0.120.080.060.10

單元元投資

0.100.070.050.08

風(fēng)險指數(shù)

風(fēng)險指數(shù)是衡量股票你年預(yù)期年收益的相對不確定性的，數(shù)值越高，風(fēng)險

越大。風(fēng)險指數(shù)是由公司的高級財務(wù)顧問制定的。國家保險聯(lián)合會的高級

管理層制定了以下的投資方針：總的年收益率至少為9%,任何一種股票

投入資金量都不可以超過總資金量的50機

A建立一個線性規(guī)劃模型來確定風(fēng)險最小的投資組合

B如果公司忽略風(fēng)險，以最大年收益率作為投資目標(biāo)，那么應(yīng)如何投資？

C上述兩部分的投資組合在投資金額上相差多少元，為什么公司可能會更

偏好(A)的選擇？

設(shè)投資于四種股票的數(shù)額分別是乂y,z,卬

Aninz=0.1^/2(XXXX)+O.O7y/2(XXXX)+0.05z/2(XXXXX)+().()8vv/2(XXXX)

0.12x12O()(X)()+0.()8)"200()()0+0.06z/20()(X)0+0.1vv/2000(X)>0.09

0<y,z,w<100000

Bmaxz=0.12320000)+0.08y/200000+0.06z/2()0000+0.1vv/200000

0<y,z,w<100000

C由上述兩部分得出。

案例分析6：線性優(yōu)化

海濱財務(wù)服務(wù)公司的一名投資顧問想要開發(fā)一個用于分配投資資金

的模型。公司有以下4種投資選擇股票、債券、共同基金和現(xiàn)金。該公司

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預(yù)估了在下一個投資期里以上4種投資的年收益率和相應(yīng)的風(fēng)險如下表

所示。

投資年收益率%風(fēng)險

股票100.8

債券30.2

基金40.3

現(xiàn)金10.0

風(fēng)險是用介于0~1之間的一個指數(shù)來衡量的，更高的風(fēng)險值意味著更大的

波動性和不確定性由于現(xiàn)金是一種貨幣市場資金，它的年收益較低，但同

時它是無風(fēng)險的。我們的目的是確定投資組合中每種選擇的資金比例，以

使總投資組合的年回報最大化（針對客戶所能承受的各個風(fēng)險水平）。

總風(fēng)險是所有投資選擇的風(fēng)險之和。比如，一個客戶將40矗資金投資

于股票，30%投資于債券，20%投資于基金，10%發(fā)資于現(xiàn)金，那么他的總

風(fēng)險是:0.4*0.8+0.3*0.2++0.2*0.3+0.是0=0.44.有一名投資顧問將會及

每名投資者商討其投資目標(biāo)并決定一個最大風(fēng)險值。對于一個謹(jǐn)慎的投資

者，最大風(fēng)險值不超過0.3；對于一個中度冒險的投資者，最大風(fēng)險值介

于0.3?0.5之間；對于一個偏愛風(fēng)險的投資者，最大風(fēng)險值介于0.5以上。

此外，對于所有的投資客戶，海濱財務(wù)公司還制定了特別的方針，這

些方針如下所示。

1對股票的投資不超過總資金的75%。

2對基金的投資不少于對債券的投資。

3對現(xiàn)金的投資介于總資金的10曠30虬

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

A假定某客戶的最大風(fēng)險是0.4,那么最優(yōu)投資組合是什么？它的年收益

率和總風(fēng)險分別是多少？

B假定某一個比較謹(jǐn)慎的客戶的最大風(fēng)險值是0.18,那么最優(yōu)投資組合是

什么？它的年收益率和總風(fēng)險分別是多少？

C假定某一個比較好冒險的客戶的最大風(fēng)險值是0.7.那么最優(yōu)投資組合

是什么？它的年收益率和總風(fēng)險分別是多少？

D參照C的結(jié)果，該客戶是否有興趣讓投資顧問漕加對股票允許投資的最

大比例或是減少對現(xiàn)金數(shù)量至少為10趾匕例的約束，請加以解釋。

E相對于直接用投資資金的數(shù)量，即金額來表示決策變量，我們前面用投

資比例來表示決策變量有什么優(yōu)勢？

決策變量：設(shè)投資于四種股票的比例分別是x,y,z,卬。

Amaxz=O.lx+O.O3y+0.0.4z+0.01w

O.8.v+0.2y+O.3z+0.0vv<0.4

0<x<0.75,y<z,0.1<vv<0.3

0<x,y,z^w<\

Bmtixz=0.\x+().03y+0.0.4z+0.01vv

0.8工+().2)，+().3z+0.0卬<0.18

0<x<0.75,y<z,0.1<vv<0.3

04x,y,z,卬，1

Cmaxz=0.lx+0.03y+0.0.4z+0.01w

0.8.v+0.2y+0.3z+O.Ow<0.7

0<x<0.75,y<z,0.1<vv<0.3

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

0<x,y,z,w<\

Dmaxz=0.lx+0.03y4-0.0.4z+0.01vv

0.8x+0.2y+0.3z+0.0vv<0.7

0<x<0.85,>?^z,0.1<w<0.3

0<x,y,z,w<I

或maxz=0.lx+0.03y+0.0Az+0.01w

0.8x+0.2），+0.3z+O.Ovv<0.7

0<x<0.75,y<z,0.0<vr<0.2

0”,y,z,w<1

E模型簡單明了。

案例分析7：線性優(yōu)化

假設(shè)你是某基金管理公司的經(jīng)理，基金現(xiàn)有100,000美元現(xiàn)金，根據(jù)基金

顧問的建議，共有5個投資機會如下：

投資機會預(yù)期收益率（給

A東海石油7.3

B南海石油10.3

C西北鋼鐵6.4

D東南鋼鐵7.5

E政府債券4.5

基于以前的教訓(xùn)，持有人大會通過了決議，確立了投資方針如下:

投資限制

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

1在任何行業(yè)(石油或鋼鐵)的投資不多于50,000美元

2對政府債券的投資至少相當(dāng)于對鋼鐵行業(yè)投資的25%

3對南海石油這樣高風(fēng)險的投資項目，投資額不得多于投資石油行業(yè)

總額的60%

請計算最優(yōu)的投資組合？

設(shè)A,B,C,D,E分別表示投資于四個證券的資金數(shù)。則

nnxz=0.073A+O.1O3B+O.O64C+O.O75D+O.(M5E

A+B+C+￡>+E=100000

A+8K50000

C+D<50000

E>0.25(C+D)

BW0.6(4+B)

AB、C,D,E>0

案例分析8線性優(yōu)化

風(fēng)險厭惡的投資者的投資組合模型設(shè)計

資產(chǎn)分配是關(guān)于決定如何分配投資資金到多種資產(chǎn)種類的過程，如股

票、債券基金、房產(chǎn)和現(xiàn)金等。投資組合模型用來確定應(yīng)該在每種資產(chǎn)種

類上分配的投資資金的比例。目標(biāo)是建立一個在風(fēng)險和回報間提供最佳平

衡的投資組合。我們現(xiàn)在將建立一個優(yōu)化模型來確定一個包含混合的共同

基金的最佳投資組合。一個模型是為風(fēng)險厭惡的投資者設(shè)計，另一個模型

是為風(fēng)險偏好的投資這設(shè)計的。

廣州某投資服務(wù)公司愿意建立一個投資組合模型，能用于確定一個混

合6中共同基金的最佳投資組合?？梢杂枚喾N方法代表風(fēng)險，但是對金融

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

資產(chǎn)的投資組合，所有方法都及回報的變化性相關(guān)。下表顯示6種基金的

5個一年期的年回報率機第1年表示所有基金的年回報都是好的，第2

年內(nèi)大部分基金的年回報也是好的，但是第3年小市值價值基金的年回報

不好，第4年的中期債券基金的年回報不好，第5年6個基金中有4個的

年回報不好.

表15個選定的基金績效（用于做接下來的12個月的計劃）

年回報率％

基金名稱第1年第2年第3年第4年第5年

外國股票10.0613.1213.4745.42-21.93

中期債券17.643.257.51-1.337.36

大市值成

32.4118.7133.2841.46-23.26

長

大市值價

32.3620.6112.937.06-5.37

值

小市值成

33.4419.403.8558.68-9.02

長

小市值價

24.5625.32-6.705.4317.31

值

精確預(yù)測任一基金在接下米12個月的回報是不可能的，但該公司的投

資組合管理者認為上表的這5種回報可用于代表下一年投資回報的可能

性。出于為他們的客戶建立投資組合的目的，該公司的投資組合管理者將

選擇這6種基金的一個投資組合，并假定這5個可能方案中有一個能描述

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接下來12個月的回報。

該公司的投資組合管理者被要求為公司的保守客戶建立一個投資組

合。這類客戶對風(fēng)險有很強的規(guī)避意識。經(jīng)理的任務(wù)是決定投資在這6種

基金上個各個比例，以使投資組合能以最小的風(fēng)險提供最大可能的回報。

在投資組合模型中.風(fēng)險可通過多樣化達到最小化.為了說明多樣化

的價值，我們假定把所有投資都放在這6種基金的一種上。則每種基金

都有可能損失，如外國股票損失21.93%。中期債券損失1.33%等等。

現(xiàn)在我們看一下如何構(gòu)建這些基金的一個多樣化投資組合，以最小化

損失的風(fēng)險。

為了確定投資于每種基金的投資比例，我們使用如下變量：

A二投資于外國股票基金的投資比例

B二投資于中期國債基金的投資比例

C=投資于大市值成長基金的投資比例

D二投資于大市值價值基金的投資比例

E二投資于小市值成基金的投資比例

F二投資于小市值價值基金的投資比例

貝IJA+8+C+O+E+b=1

投資組合在未來12個月的回報依賴于上表所有的可能方案（）第1

年到第5年）中哪一個會發(fā)生。用R1代表如果第1年代表的方案發(fā)生時

投資組合的回報，用R2代表如果第2年代表的方案發(fā)生時投資組合的回

報，以此類推。5個計劃方案的投資組合回報如下所示：

方案1的回報:

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

RI=10.06A+17.646+32.41C+32.36。+33.44E+24.56F

方案2的回報：

R2=\3A2A+3.25B+18.71C+20.61。+19.40E+25.32b

方案3的回報：

R3=13.47A+7.518+33.28C+12.93。+3.85E-6.70尸

方案4的回報：

?4=45.42A—1.33〃+41.46C+7.060+58.68"+5.43”

方案5的回報：

R5=—21.93同+7.368-23.26C-5.37。+9.02E+17.31F

現(xiàn)在我們引入變量M代表投資組合的最低回報。為了保證每種方案下

的回報都至少及最低回報M一樣大，我們添加如下的約束條件：

R\>M方案1的最低回報

R2>M方案2的最低回報

方案3的最低回報

R4NM方案4的最低回報

R5NM方案5的最低回報

代入前面的R1,R2等的值，可得：

10.06A+17.648+32.41C+32.36。+33.44E+24.56F>M

I3.12A+3.25B+18.71C+20.6\D+\9.40E+25.32F>M

13.47A+7.5IB+33.28。+12.93D+3.85E-6.70F>M

45.42A-1.333+41.46C+7.06。+58.68E+5.43尸>M

-21.93/4+7.368-23.26C-5.370+9.02石+17.31F>M

為了建立一個能以最小風(fēng)險提供最大可能回報的投資組合，我們需要

最大化投資組合的最低回報。因此，目標(biāo)函數(shù)很簡單，如下：

maxz=M

該模型被設(shè)計為最大化所有考慮方案的最低回報，所以稱為最大最小

模型。完整的模型如下:

108/76

案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

maxz=M

s.t.

10.06A+17.643+32.4IC+32.36。+33.44E+24.56F>M

13.12A+3.258+18.7IC+20.6ID+19.40E+25.32斤>M

13.47A+7.518+33.28C+12.93。+3.85F-6.70F>M

4542A-1.333十41.46C+7.060+58.68E+5.43尸>M

-21.93A+7.363-23.26C-5.37D+9.02E+17.3IF>M

A+8+C+D+N+卜=1

A,B,C,D,E,FN0

案例分析9：線性優(yōu)化

風(fēng)險偏好的投資者的投資組合模型設(shè)計

廣州某投資服務(wù)公司的投資組合經(jīng)理愿意為這樣一類客戶建立一個投資

組合，這類客戶為了試圖獲得更好的回報而愿意接受中等程度的風(fēng)險。假

定這種風(fēng)險分類的客戶愿意接受一些風(fēng)險，但是不愿意投資組合的年回報

低于2%。通過設(shè)定最大最小模型中的最低回報約束條件M=2,我們能約束

模型來提供一個年回報最少2%的解。提供年回報最少2%的最低回報約束

條件，如下所示：

7?1>2方案1的最低回報

R2>2方案2的最低回報

/?3>2方案3的最低回報

R4>2方案4的最低回報

R5>2方窠5的最低回報

代入前面的創(chuàng)小2等表達式，有下面5個最低回報約束條件:

10.06A+17.643+32.41C十32.36。+33.44￡+24.56尸>2

13.124+3.258+18.71C+20.61D+19.40E+25.32/>2

13.47A+7.518+33.28C+12.93。+3.85E-6.70/>2

4542A-1.33B+41.46C+7.06D+58.68E+5.43F>2

-2L93A+7.363—23.26C-5.37D+9.02E+17.31F>2

例外每個基金的比例之和為1,即：

A+3+C+D+E+尸=1

109/76

案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

這個投資組合最優(yōu)化問題需要一個不同的目標(biāo)。一個普遍方法是最大

化投資組合的回報預(yù)期值。例如，如果我們假定計劃方案等可能性發(fā)生，

我們?yōu)槊總€方案分配一個0.20的概率在這種情況下目標(biāo)函數(shù)是：

回報的預(yù)期值二0.2R1+O.2R2+O.2R3+0.2R4+0.2R5

目標(biāo)函數(shù)中A的系數(shù)由下式?jīng)Q定：

0.2x10.06+0.2x13.12+0.2x13.47+0.2x45.42+0.2x(-21.93)=12.03

B的系數(shù)是6.89,C的系數(shù)是20.52,D的系數(shù)是13.52,E的系數(shù)是

21.27,F的系數(shù)是13.18。因此目標(biāo)函數(shù)是：

12.03A+6.898+20.52C+13.52。+21.27E+13.18F

因為目標(biāo)是最大化回報的預(yù)期值，我們寫出該公司的目標(biāo)如下：

maxz=12.03A+6.89Z?+20.52C+13.52D+21.27E+13.18F

這個投資組合最優(yōu)化問題完整的線性優(yōu)化表達式包括六個變量和六個

約束條件。

maxz=l2.03/4+6.89A+20.52C+13.52。+2L27E+13.18F

s.t.

10.06A+17.643+32.4IC+32.36。+33.44E+24.56F>2

13.12A+3.258+18.71C+20.6ID+19.40E+25.32尸>2

13.47A+7.5IB+33.28C+12.93D+3.85E-6.70F>2

45.42A—1.333+41.46C+7.06D+58.68E+5.43/>2

-21.93A+7.368-23.26C-5.37。+9.02E+17.31F>2

A-\-B+C+D+E+F=\

A,B,C,D,E,FN0

最優(yōu)解使用Excel規(guī)劃求解軟件或管理科學(xué)家軟件略。

案例分析10整數(shù)線性優(yōu)化

下面通過一個實例來討論0-1整數(shù)規(guī)劃在項目投資預(yù)算中的應(yīng)用。

H0/76

案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

例：某通訊公司投資決策問題

某通訊公司在制定今后四年的發(fā)展計劃中，面臨著若干個發(fā)展項目的

選擇。這些項目是：引進新設(shè)備、研制新產(chǎn)品、培訓(xùn)人才和增加廣告數(shù)量。

這四個項目在今后四年內(nèi)的年投資額和預(yù)計在四年內(nèi)可獲得的利潤如表

4-1所示°

表47公司發(fā)展項目投資、利潤及預(yù)算表

引進新設(shè)研制新產(chǎn)增加廣告數(shù)

項目培訓(xùn)人才資金預(yù)算

備品量

第一年投

資（凈現(xiàn)252010860

值）

第二年投

資（凈現(xiàn)01510850

值）

第三年投

資（凈現(xiàn)202010850

值）

第四年投

資（凈現(xiàn)01010835

值）

利潤40804020

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

該公司每年可為這些發(fā)展項目提供的資金預(yù)算如表4-1所示。該公司

應(yīng)當(dāng)如何投資，可在預(yù)算允許的情況下獲得最大利潤？

解：根據(jù)題意，本問題要求在現(xiàn)有的四個發(fā)展項目中選擇出在不超出

資金預(yù)算條件下使得總利潤最大的那些投資項目進行投資，這就是說，決

策變量是對各個項目應(yīng)當(dāng)“投資”或“不投資”.這種邏輯關(guān)系可以用

0-1變量表示。設(shè)本問題的決策變量為X“X2,X3,X”它們均為0-1變量,

分別表示對四個項目的“投資”或不“不投資”決策，即當(dāng)變量為1時，

表示投資，當(dāng)變量為。時，表示不投資。

本問題的目標(biāo)函數(shù)是總利潤最大。己知四個項目的利潤分別為40,

80,40,20（萬元），而總利潤應(yīng)等于各項目利潤及其0-1決策變量的乘

積之和。這是因為當(dāng)某個項目未被選中時，它的決策變量為（），該項目的

利潤及決策變量的乘積也等于0,說明這時該項目對總利潤沒有貢獻；而

當(dāng)某個項目被選中時，它的決策變量為1,該項目的利潤及決策變量的乘

積就等于其利潤值，說明這時該項目對總利潤的貢獻等于該項目的利潤

值。所以總利潤表達式為：40X,+80X2+40X：i+20X,o

本問題的約束條件有兩個。第一個約束是資金約束，即各年總投資額

不得超過預(yù)算額，例如第一年的總投資額等于所選中項目的投資之和，即

各項目在第一年的投資額及其07決策變量乘積之和，它等于

25X1+2OX2+IOX3+8X1,該值應(yīng)不大于第一年的資金預(yù)算（60萬元）。同理可

得第二年至第四年的資金約束。第二個約束是0-1約束，即決策變量只能

取1或0。

由此得到整數(shù)規(guī)劃模型如下:

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

o.b.max40X1+80X2+40X3+20X,1

s.t.25X1+20V10V8X,^60（第一年資金約束）

15X2+10X3+8X^50（第二年資金約束）

20X1+20X2+10X3+8X1^50（第三年資金約束）

10X2+10X3+8X<35（第四年資金約束）

X”X2,X3,X.i為0或1（0T整數(shù)規(guī)劃）

上述問題的Spreadsheet如表4-2所示。

表4-2運算結(jié)果

ABCDEFGHIJ

例某通訊公司

1

投資決策問題

2數(shù)據(jù)

3

單元

4

（元）

引進研制可供資

培訓(xùn)增加

5新設(shè)新）金（凈

人才廣告

備品現(xiàn)值）

第一年投

6資（凈現(xiàn)252010860

值）

7第二年投01510850

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

資（凈現(xiàn)

值）

第三年投

8資（凈現(xiàn)202010850

值）

第四年投

9資（凈現(xiàn)01010835

值）

項目利潤

1040804020

（凈現(xiàn)值）

11

12模型

13

總利潤凈現(xiàn)值最

14160左邊右邊

大化

1555<=60

1625<=50

引進研制

培訓(xùn)增加

17新設(shè)新產(chǎn)50<=50

人才廣告

備品

18投資決策111020<=35

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

其求解步驟如下。

第一步，輸入已經(jīng)數(shù)據(jù)

及解一般線性規(guī)劃問題相同，首先在Excel的工作表上輸入已經(jīng)數(shù)

據(jù):在單元格C6:F9中輸入四個項目在各年所需要的投資，在單元格G6:G9

中分別輸入各年可提供的資金,在單元格ClOrFlO中分別輸入四個項目的

利潤。

第二步：建立0T整數(shù)規(guī)劃模型

在Spreadsheet上描述規(guī)劃問題的決策變量、目標(biāo)函數(shù)及約束條件。

本問題的決策變量是對四個項目“投資”或“不投資”決策，分別用

單元格C18:F18中的0-1變量表示。

本問題的目標(biāo)函數(shù)是總利潤最大，用單元格D14表示總利潤，它應(yīng)等

于所選中項目的利潤之和，即在單元格D14中輸入下述公式：

=sumproduct(C10:F10,C18:F18)

本問題共有兩個約束條件。第一個約束條件是資金約束，即各年投資

額不得超過預(yù)算額。第一年資金約束條件的左邊是第一年投資額。用單元

格H15表示第一年的投資額，它應(yīng)等于每個項目在第一年所需投資及其

0-1決策變量乘積之和，即在單元格H15中輸入下述公式：

=sumproduct(C6:F6,$C$18:$F$18)

將上述公式復(fù)制到單元格H16:H18,得到第二年到第四年的投資額。

在約束條件右邊輸入可提供資金額。用單元格J15表示可提供資金

額，并輸入下述公式：

二G6

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

將上述公式復(fù)制到J16:J18,得到第二年到第四年的可提供金額。

第二個約束條件是決策變量必須為07變量。該約束條件在下一步規(guī)

劃求解時輸入。

第三步：在Excel規(guī)劃求解功能中輸入0T整數(shù)約束并求解。

在規(guī)劃求解參數(shù)框中輸入目標(biāo)單元格（目標(biāo)函數(shù)地址）、可變單元格

（決策變量地址）和第一、第二個約束條件。其中第二個約束條件是0T

變量約束，只要在約束條件左邊輸入要求取0或1的決策變量的單元格地

址（本題中為C18：F18）,然后選擇“bin”。其規(guī)劃求解參數(shù)框如圖4-1

所示。

圖4-1項目投資決策問題規(guī)劃求解參數(shù)對話框

然后在規(guī)劃求解選項參數(shù)框中“采用線性模型”和“假定非負”，最

后在規(guī)劃求解參數(shù)對話框單擊“求解”，得到本問題的最優(yōu)解。

從表4T可見，本問題的最優(yōu)解為；XFI,X2=l,X3=l,XFO,最優(yōu)值

為160萬元。這就是說，該公司的最優(yōu)投資決策是：對“研制新設(shè)備”，

“研制新產(chǎn)品”，“培訓(xùn)人才”三個項目投資，而對“增加廣告數(shù)量”項

目不投資，可獲利潤160萬元。

H6/76

案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

上面的計算是很麻煩的，為了提高工作效率，減少出錯，我們編制如

下的VBA程序：

Subjs()

Cells(15,8)二〃二SUMPRODUCT(C6:F6,$C$18:$F$18)〃

Cells(16,8)=〃=SUMPRODUCT(C7:F7,$C$18:$F$18)〃

Cells(17,8)二〃二SUMPRODUCT(C8:F8,$C$18:$F$18)〃

Cells(18,8)=〃=SUMPRODUCT(C9:F9,$C$18:$F$18)”

Cells(15,10)=〃=G6〃

Cells(16,10)=〃=G7〃

Cells(17,10)=〃=G8〃

Cells(18,10)二〃二G9〃

Cells(14,4)=〃=SUMPRODUCT(CIO:F10,C18:F18)〃

SolverRcset

CallSolver0k(，，$D$14//,1,0,”$C$18:$F$18")

CallSolverOptions(AssumeLinear:=True,AssumeNonNeg:=True)

CallSolverAddC$H$15:$H$18，z,1,〃$J$15:$J$18〃)

CallSolverAdd(〃$C$18:$F$18〃，5,〃二進制〃)

SolverSolve(True)

EndSub

注意：在調(diào)用任何包含SolverOk()、SolverAdd()等函數(shù)的宏之前，

必須先建立一個對規(guī)劃求解的引用，保持VisualBasic模塊在激活狀態(tài),

117/76

案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

點擊工具菜單中的引用，然后瀏覽并找到Solver.xla（這個工具通常放

在\Office'Library目錄下）。

案例分析11:整數(shù)線性優(yōu)化

大型公司每年都要面臨著復(fù)雜的投資項目選擇的問題，其中每一個備

選項目凈現(xiàn)值大于0,做為單一項目都可以上馬，但在資本供應(yīng)受到限制

的情形下，不可能都上馬。財務(wù)經(jīng)理的任務(wù)是在限制的條件下，上馬適當(dāng)

的項目以使總的凈現(xiàn)值NPV最大化。

實際問題中，資本供應(yīng)的限制可能不止一期，此外備選項目之間的技

術(shù)或市場關(guān)系亦可能構(gòu)成一些新的限制，如預(yù)備關(guān)系，多擇一關(guān)系和互斥

關(guān)系等等。項目選擇問題可建立0T規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，大型問題借助于計算

機求解。

本章通過1個實例來討論整數(shù)規(guī)劃在項目投資選擇中的應(yīng)用。

例：某通訊公司投資決策問題

某公司是一家工業(yè)公司，2005年它有6個備選項目通過了單個項目

評估，項目都是大型項目，投資分兩期進行：0期（2005年）和1期（2006

年），按照公司的長期財務(wù)計劃，這兩期的總投資限額分別為8億5千元

和6億元，每個項目的凈現(xiàn)值已估算完畢（折現(xiàn)率不盡相同），另外，由

于技術(shù)工藝或市場原因，項目A、B和C為三擇一項目，項目B為的D的

預(yù)備項目，項目E和F為互斥項目，問該公司應(yīng)如何選擇以使投資總凈現(xiàn)

值最大化？有關(guān)數(shù)據(jù)列成下表4-3。

表4-3某公司備選項目數(shù)據(jù)單位：百萬元

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

投資額

項目凈現(xiàn)值

。期1期

A100100150

B18()5010()

C200150260

D150180200

E160120130

F500100280

資本限制850600

我們首先建立上述項目選擇問題的數(shù)學(xué)模型：0T規(guī)劃模型。

項目A若被選擇上馬，令4=1,否則以二0,項目B,C,D,E,F類

推。這樣我們有6個決策變量4，xB,七,xD,xE,xF,每一個只取兩

個值0或1。這時總的上馬項目凈現(xiàn)值為：

￡NPV=NPY10x八+NPV(B)XB+...+NPY(F)KF

=150^+100+260xc+200+130+280

該公司的目標(biāo)是使XNPV最大化。

在限制方面，首先是資本供應(yīng)限制，第0年為

100工人+180工8+200Nc+150尤。+160x￡+500xF<850

第1年為

100/+50.+1504-18()X。+120舞+100%工&乂)

上兩式左端和右端分別是第()期和第1期的資本需求量和供應(yīng)量(即

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

限制量）。

其次是技術(shù)和其他限制。由題設(shè)，A,B,C為三擇一項目，即此三項

目之中有一個且僅有一個被選中，于是

工人十工8+工（?-1

由于項目B為項目D的預(yù)備項目（或稱緊前項目），也就是說若項目

I）上馬的話，項目B必亦上馬，故

/WXB

或

XD-XB<0

另外，項目E和F為互斥項目，即勢不兩立，故

見+打<1

總結(jié)上述內(nèi)容，該公司的項目選擇問題化為典型的0-1規(guī)劃：

max^/VPV=150x4+100xB+260%+200+130xE+280打

s.t.

100+180與+200%+150/+160舞+500與<85（）

100必+50小+150々+1803）+120催+100/W€00

xD-xR<0

xE+xP<1

xA+xB+xc=l

xA,xB,xctxD,xE,xF=0或1

上述問題的計算機求解方法求解結(jié)果如下表4-4所示。

表4-4運算結(jié)果

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

ABCDEFGHIJK

1

2例某公司投資決

策問題

3數(shù)

據(jù)

4單位：百

萬元

5ABCDEF資

本

限

制

6第0期（凈現(xiàn)100180200150160500850

值）

7第1期（凈現(xiàn)10050150180120100600

值）

8凈現(xiàn)值150100260200130280

9

10

11

12模型

13

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

14總利潤凈現(xiàn)值580左右

最大化邊邊

15830<=850

16330〈二600

17ABC1)EF0<-0

18投資決策0101011<=1

191ZZ1

其求解步驟如下。

第一步，輸入已經(jīng)數(shù)據(jù)

及解一般線性規(guī)劃問題相同，首先在Excel的工作表上輸入己經(jīng)數(shù)

據(jù):在單元格C6:H7中輸入6個項目在各年所需要的投資，在單元格16:17

中分別輸入各年可提供的資本，在單元格C8:H8中分別輸入6個項目的凈

現(xiàn)值。

第二步：建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型

在Spreadsheet上描述規(guī)劃問題的決策變量、目標(biāo)函數(shù)及約束條件。

本問題的決策變量是對6個項目“投資”或“不投資”決策，分別用

單元格C18:1I18中的0-1變量表示。

本問題的目標(biāo)函數(shù)是總的凈現(xiàn)值最大，用單元格D14表示總的凈現(xiàn)

值，它應(yīng)等于所選中項目的凈現(xiàn)值之和，即在單元格D14中輸入下述公式:

二SUMPRODUCT(C8:I18,C18:II18)

本問題共有6個約束條件。第一個約束條件是資本約束，即各年投資

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案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

額不得超過資本限制。第0年資本約束條件的左邊是第0年投資額。用單

元格115表示第0年的投資額，它應(yīng)等于每個項目在第一年所需投資及其

0-1決策變量乘積之和，即在單元格H5中輸入下述公式：

=SUMPR0DUCT(C6:I16,C18:II18)

在約束條件右邊輸入可提供資本額.用單元格K15表示可提供資本

額，并在其中輸入數(shù)據(jù)850。

用單元格H6表示第1年的投資額，在單元格116中輸入下述公式：

二SUMPRODUCT(C7:H7,C18:H18)

在約束條件右邊輸入可提供資本額。用單元格K16表示可提供資本

額，并在其中輸入數(shù)據(jù)600。

用單元格H6表示第1年的投資額，在單元格116中輸入下述公式：

二SUMPRODUCT(C7:H7,C18:H18)

在117中輸入二F18-1)18。在單元格K17輸入數(shù)據(jù)0。

在H8中輸入二G18+H18。在單元格K18輸入數(shù)據(jù)1。

在H9中輸入二SUM(C18:E18)。在單元格K19輸入數(shù)據(jù)1。

還有一個約束條件是決策變量必須為07變量。該約束條件在規(guī)劃求

解時輸