運(yùn)籌學(xué)試題及答案一、填空題：（每空格2分，共16分）1、線性規(guī)劃的解有唯一最優(yōu)解、無(wú)窮多最優(yōu)解、

無(wú)界解

和無(wú)可行解四種。2、在求運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)度運(yùn)輸問(wèn)題中，如果某一非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為4，則說(shuō)明

如果在該空格中增加一個(gè)運(yùn)量運(yùn)費(fèi)將增加4

。3、“如果線性規(guī)劃的原問(wèn)題存在可行解，則其對(duì)偶問(wèn)題一定存在可行解”，這句話對(duì)還是錯(cuò)？

錯(cuò)4、如果某一整數(shù)規(guī)劃：MaxZ=X1+X2X1+9/14X2≤51/14-2X1+X2≤1/3X1,X2≥0且均為整數(shù)所對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃（松弛問(wèn)題）的最優(yōu)解為X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我們現(xiàn)在要對(duì)X1進(jìn)行分枝，應(yīng)該分為

X1≤1

和

X1≥2

。5、在用逆向解法求動(dòng)態(tài)規(guī)劃時(shí)，fk(sk)的含義是：

從第k個(gè)階段到第n個(gè)階段的最優(yōu)解

。6.

假設(shè)某線性規(guī)劃的可行解的集合為D，而其所對(duì)應(yīng)的整數(shù)規(guī)劃的可行解集合為B，那么D和B的關(guān)系為

D包含B7.

已知下表是制訂生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題的一張LP最優(yōu)單純形表（極大化問(wèn)題，約束條件均為“≤”型不等式）其中X3,X4,X5為松馳變量。XBbX1X2X3X4X5X4300-213X14/310-1/302/3X210100-1Cj-Zj00-50-23問(wèn)：（1）寫(xiě)出B-1=(2)對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解：

Y＝（5，0，23，0，0）T8.線性規(guī)劃問(wèn)題如果有無(wú)窮多最優(yōu)解，則單純形計(jì)算表的終表中必然有___某一個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為0______；9.極大化的線性規(guī)劃問(wèn)題為無(wú)界解時(shí)，則對(duì)偶問(wèn)題_無(wú)解_____；10.若整數(shù)規(guī)劃的松馳問(wèn)題的最優(yōu)解不符合整數(shù)要求，假設(shè)Xi=bi不符合整數(shù)要求，INT（bi）是不超過(guò)bi的最大整數(shù)，則構(gòu)造兩個(gè)約束條件：Xi≥INT（bi）＋1

和

Xi≤INT（bi）

，分別將其并入上述松馳問(wèn)題中，形成兩個(gè)分支，即兩個(gè)后繼問(wèn)題。11.知下表是制訂生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題的一張LP最優(yōu)單純形表（極大化問(wèn)題，約束條件均為“≤”型不等式）其中X4,X5,X6為松馳變量。XBbX1X2X3X4X5X6X12110201X32/3001104X510-20116Cj-Zj000-40-9問(wèn)：(1)對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解：

Y＝(4,0,9,0,0,0)T（2）寫(xiě)出B-1=二、計(jì)算題（60分）1、已知線性規(guī)劃（20分）MaxZ=3X1+4X2X1+X2≤52X1+4X2≤123X1+2X2≤8X1,X2≥0其最優(yōu)解為：基變量X1X2X3X4X5X33/2001-1/8-1/4X25/20103/8-1/4X11100-1/41/2σj000-3/4-1/21）寫(xiě)出該線性規(guī)劃的對(duì)偶問(wèn)題。2）若C2從4變成5，最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生改變，為什么？3）若b2的量從12上升到15，最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化，為什么？4）如果增加一種產(chǎn)品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4該產(chǎn)品是否應(yīng)該投產(chǎn)？為什么？解：1)對(duì)偶問(wèn)題為Minw=5y1+12y2+8y3y1+2y2+3y3≥3y1+4y2+2y3≥4y1,y2≥02)當(dāng)C2從4變成5時(shí)，σ4=-9/8σ5=-1/4由于非基變量的檢驗(yàn)數(shù)仍然都是小于0的，所以最優(yōu)解不變。3）當(dāng)若b2的量從12上升到15X＝9/829/81/4由于基變量的值仍然都是大于0的，所以最優(yōu)解的基變量不會(huì)發(fā)生變化。4）如果增加一種新的產(chǎn)品，則P6’=(11/8,7/8，－1/4)Tσ6=3/8>0所以對(duì)最優(yōu)解有影響,該種產(chǎn)品應(yīng)該生產(chǎn)2、已知運(yùn)輸問(wèn)題的調(diào)運(yùn)和運(yùn)價(jià)表如下，求最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案和最小總費(fèi)用。（共15分）。銷地產(chǎn)地B1B2B3產(chǎn)量A159215A231711A362820銷量181216解：初始解為B1B2B3產(chǎn)量/tA11515A21111A3181120銷量/t181216計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)B1B2B3產(chǎn)量/tA1513015A2－20011A300020銷量/t181216由于存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)小于0，所以不是最優(yōu)解，需調(diào)整調(diào)整為：B1B2B3產(chǎn)量/tA11515A21111A3712120銷量/t181216重新計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)B1B2B3產(chǎn)量/tA1513015A202211A300020銷量/t181216所有的檢驗(yàn)數(shù)都大于等于0，所以得到最優(yōu)解3、某公司要把4個(gè)有關(guān)能源工程項(xiàng)目承包給4個(gè)互不相關(guān)的外商投標(biāo)者，規(guī)定每個(gè)承包商只能且必須承包一個(gè)項(xiàng)目，試在總費(fèi)用最小的條件下確定各個(gè)項(xiàng)目的承包者，總費(fèi)用為多少？各承包商對(duì)工程的報(bào)價(jià)如表2所示：（15分）項(xiàng)目投標(biāo)者ABCD甲15182124乙19232218丙26171619丁19212317答最優(yōu)解為：X=0100100000100001總費(fèi)用為504.考慮如下線性規(guī)劃問(wèn)題（24分）Maxz=-5x1+5x2+13x3s.t.-x1+x2+3x3≤2012x1+4x2+10x3≤90x1，x2，x3≥0回答以下問(wèn)題：1）求最優(yōu)解2）求對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解3）當(dāng)b1由20變?yōu)?5，最優(yōu)解是否發(fā)生變化。4）求新解增加一個(gè)變量x6，c6=10，a16=3，a26=5，對(duì)最優(yōu)解是否有影響5）c2有5變?yōu)?，是否影響最優(yōu)解。答：最優(yōu)解為1)Cj-551300θCBXBbX1X2X3X4X50X420-1131020/30X59012410019Cj-Zj-55130013X320/3-1/31/311/30200X570/346/322/30-10/3170/22Cj-Zj-2/32/30-13/3013X3185/33-34/33012/11-1/225X235/1123/1110-5/113/22-68/3300-1/11-1/11最優(yōu)解為X1=185/33,X3=35/112)對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)解為Y＝（1/22,1/11,68/33,0,0）T3)當(dāng)b1=45時(shí)X=45/11-11/90由于X2的值小于0，所以最優(yōu)解將發(fā)生變化4）P6’=(3/11,-3/4)Tσ6=217/20>0所以對(duì)最優(yōu)解有影響。5）當(dāng)C2=6σ1=-137/33σ4=4/11σ5=-17/22由于σ4大于0所以對(duì)最優(yōu)解有影響5.求如圖所示的網(wǎng)絡(luò)的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的數(shù)字是（cij,fij）。（15分）V1(5,0)(3,3)(3,3)VS（4,1）V2(4,0)(9,3)(8,4)V3Vt(6,0)最大流為：14V1(5,3)(3,3)(3,0)V2Vs(4,4)(4,1)(9,7)(8,8)VtV3(6,6)6.考慮如下線性規(guī)劃問(wèn)題（20分）Maxz=3x1+x2+4x3s.t.6x1+3x2+5x3≤93x1+4x2+5x3≤8x1，x2，x3≥0回答以下問(wèn)題：1）求最優(yōu)解；2）直接寫(xiě)出上述問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題及其最優(yōu)解；3）若問(wèn)題中x2列的系數(shù)變?yōu)椋?，2）T，問(wèn)最優(yōu)解是否有變化；4）c2由1變?yōu)?，是否影響最優(yōu)解，如有影響，將新的解求出。Cj31400CBXBbX1X2X3X4X50X49635100X5834501Cj-Zj314000X413-101-14X38/53/54/5101/5Cj-Zj3/5-11/500-4/53X11/31-1/301/3-1/34X37/5011-1/52/5Cj-Zj0-20-1/5-3/5最優(yōu)解為X1=1/3,X3=7/5,Z=33/52)對(duì)偶問(wèn)題為Minw=9y1+8y26y1+3y2≥33y1+4y2≥15y1+5y2≥4y1,y2≥0對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)解為y1=1/5,y2=3/53)若問(wèn)題中x2列的系數(shù)變?yōu)椋?，2）T則P2’=(1/3,1/5)Tσ2=-4/5＜0所以對(duì)最優(yōu)解沒(méi)有影響4）c2由1變?yōu)?σ2=-1＜0所以對(duì)最優(yōu)解沒(méi)有影響7.求如圖所示的網(wǎng)絡(luò)的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的數(shù)字是（cij,fij）。（10分）V1(4,4)V3(9,5)(6,3)VS(3,1)(3,0)(4,1)Vt(5,3)(7,5)V2(5,4)V4解：V1(4,4)V3(9,7)(6,4)(3,2)(4,0)VsVt(5,4)(7,7)V2(5,5)V4最大流＝118.

某廠Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品分別經(jīng)過(guò)A、B、C三種設(shè)備加工。已知生產(chǎn)單位各種產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)，設(shè)備的現(xiàn)有加工能力及每件產(chǎn)品的預(yù)期利潤(rùn)見(jiàn)表：ⅠⅡⅢ設(shè)備能力(臺(tái).h)ABC1111045226100600300單位產(chǎn)品利潤(rùn)(元)10641)建立線性規(guī)劃模型，求獲利最大的產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃。(15分)2)產(chǎn)品Ⅲ每件的利潤(rùn)到多大時(shí)才值得安排生產(chǎn)？如產(chǎn)品Ⅲ每件利潤(rùn)增加到50/6元，求最優(yōu)計(jì)劃的變化。(4分)3)產(chǎn)品Ⅰ的利潤(rùn)在多大范圍內(nèi)變化時(shí)，原最優(yōu)計(jì)劃保持不變。(2分)4)設(shè)備A的能力在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，最優(yōu)基變量不變。(3分)5)如有一種新產(chǎn)品，加工一件需設(shè)備A、B、C的臺(tái)時(shí)各為1、4、3h，預(yù)期每件為8元，是否值得生產(chǎn)。(3分)6)如合同規(guī)定該廠至少生產(chǎn)10件產(chǎn)品Ⅲ，試確定最優(yōu)計(jì)劃的變化。(3分)解：1）建立線性規(guī)劃模型為：MaxZ=10x1+6x2+4x3x1+x2+x3≤10010x1+4x2+5x3≤6002x1+2x2+6x3≤300xj≥0,j=1,2,3獲利最大的產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃為：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(100/3,200/3,0,0,0,100)’Z*=2200/32）產(chǎn)品Ⅲ每件利潤(rùn)到20/3才值得生產(chǎn)。如果產(chǎn)品Ⅲ每件利潤(rùn)增加到50/6元，最優(yōu)計(jì)劃的變化為：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(175/6,275/6,25,0,0,0)’Z*=7753）產(chǎn)品Ⅰ的利潤(rùn)在[6,15]變化時(shí)，原最優(yōu)計(jì)劃保持不變。4）設(shè)備A的能力在[60,150]變化時(shí)，最優(yōu)基變量不變。5）新產(chǎn)品值得生產(chǎn)。6）最優(yōu)計(jì)劃的變化為：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(190/6,350/6,10,0,0,60)’Z*=706.79.

給出成性規(guī)劃問(wèn)題：(15分)Minz=2x1+3x2+6x3x1+2x2+x3≥2-2x1+x2+3x3≤-3xj≥0j=1,…，4要求：(1)寫(xiě)出其對(duì)偶問(wèn)題。(5分)(2)利用圖解法求解對(duì)偶問(wèn)題。(5分)(3)利用(2)的結(jié)果，根據(jù)對(duì)偶問(wèn)題性質(zhì)寫(xiě)出原問(wèn)題最優(yōu)解。(5分)解：1）該問(wèn)題的LD為：MaxW=2y1-3y2y1-2y2≤22y1+y2≤3y1+3y2≤6y1≥0,y2≤02)用圖解法求得LD的最優(yōu)解為：Y*=(y1,y2)’=(8/5,-1/5)’W*=19/53)由互補(bǔ)松弛定理：原問(wèn)題的最優(yōu)解為：X*=(x1,x2,x3)’=(8/5,1/5,0)’10.某部門(mén)有3個(gè)生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠(產(chǎn)地)，生產(chǎn)的產(chǎn)品由4個(gè)銷售點(diǎn)(銷地)出售，各工廠的生產(chǎn)量，各銷售點(diǎn)的銷售量(單位.t)以及各工廠到各銷售點(diǎn)的單位運(yùn)價(jià)(元/t)示于下表中，要求研究產(chǎn)品如何調(diào)運(yùn)才能使總運(yùn)量最?。?10分)B1B2B3B4產(chǎn)量A1412411