第24講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系必備知識(shí)PART01第一部分1．四個(gè)公理公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．推理模式：__________________．如圖所示，或者：因?yàn)锳∈α，B∈α，所以AB?α.公理1的作用：①判定直線是否在平面內(nèi)；②判定點(diǎn)是否在平面內(nèi)；③檢驗(yàn)面是否是平面．公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線．推理模式：______________________．如圖所示，或者：因?yàn)锳∈α，A∈β，所以α∩β＝l，A∈l.公理2的作用：①判斷兩個(gè)平面是否相交及交線位置；②判斷點(diǎn)是否在線上．今后所說(shuō)的兩個(gè)平面(或兩條直線)，如無(wú)特殊說(shuō)明，均指不同的平面(直線).公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推理模式：____________________________．或者：因?yàn)锳，B，C不共線，所以存在唯一的平面α，使得A，B，C∈α.推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．5．等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．幾個(gè)唯一性結(jié)論(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直；(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．考點(diǎn)精析PART02第二部分考點(diǎn)一公理的應(yīng)用(1)在下列命題中，不是公理的是(

)A．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)B．經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線√解析：對(duì)于選項(xiàng)A，B，D分別是公理1，3，2；選項(xiàng)C不是公理．故選C.(2)在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，若直線EH，F(xiàn)G相交于點(diǎn)P，則(

)A．點(diǎn)P必在直線AC上B．點(diǎn)P必在直線BD上C．點(diǎn)P必在平面ABC內(nèi)D．點(diǎn)P必在平面ACD內(nèi)√解析：如圖，連接EH，F(xiàn)G，BD，因?yàn)镋H，F(xiàn)G所在直線相交于點(diǎn)P，所以P∈EH且P∈FG，因?yàn)镋H?平面ABD，F(xiàn)G?平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.故選B.歸納總結(jié)公理1是判斷一條直線是否在某個(gè)平面內(nèi)的依據(jù)；公理2是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)；公理3是證明三點(diǎn)共線的依據(jù)；公理4是判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，也叫平行的傳遞性．考點(diǎn)二判斷空間兩直線的位置關(guān)系(1)已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則(

)A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能√解析：如圖所示，在長(zhǎng)方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤；m，n3與l都異面，m與n3相交．故選D.(2)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1異面的直線的條數(shù)為_(kāi)_________．3解析：根據(jù)題圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的9條棱所在直線中，與直線BC1異面的直線的有A1B1，AA1，AC，共3條．故答案為3.歸納總結(jié)空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、基本事實(shí)4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決．考點(diǎn)三直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m?α，n?β，則直線m與n的關(guān)系是(

)A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面√解析：如圖，

長(zhǎng)方體的下底面所在平面為α，上底面所在平面為β，則α∥β，AB所在直線為m，當(dāng)CD所在直線為n時(shí)，m∥n，當(dāng)CE所在直線為n時(shí)，m與n異面．由兩平面平行的定義可知，α與β無(wú)公共點(diǎn)，而m?α，n?β，則m與n無(wú)公共點(diǎn)，m與n不相交．故選D.(2)(2022·廣東學(xué)考)已知直線m與平面α，則下列結(jié)論成立的是(

)A．若直線m垂直于平面α內(nèi)的一條直線，則m⊥αB．若直線m垂直于平面α內(nèi)的兩條直線，則m⊥αC．若直線m平行于平面α內(nèi)的一條直線，則m∥αD．若直線m與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則m∥α√解析：由線面垂直的判定定理知，若直線m垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線，則m⊥α，故A，B錯(cuò)誤；若直線m平行于平面α內(nèi)的一條直線，則m∥α或m?α，故C錯(cuò)誤；若直線m與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則m∥α，故D正確．故選D.歸納總結(jié)用定義法判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，要注意充分考慮定義，例如直線與平面相交——直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與平面平行——直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，平面與平面平行——兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)，這樣也就得到了相應(yīng)的一些性質(zhì)．綜合提升PART03第三部分1．已知a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，α∩β＝c，a?α，b?β，則“a，b相交”是“a，c相交”的(

)A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件√解析：充分性：若a，b相交，a?α，b?β，則其交點(diǎn)在交線c上，故a，c相交；必要性：若a，c相交，a，b可能為相交直線或異面直線．綜上所述，“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要條件．故選C.2．(2024·廣東學(xué)考模擬)已知空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(

)A．平行B．異面C．相交或平行D．平行或異面或相交均有可能√解析：根據(jù)條件作出示意圖，得到以下三種可能的情況，

由圖可知AB，CD有相交、平行、異面三種情況．故選D.3．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(guò)(

)A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M√解析：因?yàn)锳B?γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根據(jù)公理3可知，點(diǎn)M在γ與β的交線上.

同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上．故選D.4．如圖，兩個(gè)正方形ABCD，ADEF不在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)P，Q分別為線段EF，CD的中點(diǎn)，則直線FQ與PB的關(guān)系是(

)A．相交 B．平行C．異面 D．相交或異面√解析：取AB的中點(diǎn)G，連接GQ，GF，EQ，則GQ∥AD，

又AD∥EF，所以GQ∥EF，則G，Q，E，F(xiàn)確定平面GQEF，又FQ?平面GQEF，P∈平面GQEF，P?FQ，B?平面GQEF，所以直線FQ與PB是異面直線．故選C.5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是(

)A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．異面 D．平行√6．已知a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則下列說(shuō)法中正確的為_(kāi)_______．(填序號(hào))①若a平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則a∥α；②若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；③若α∥β，a?α，則a∥β；④若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．③解析：①忽略了a在平面α內(nèi)這一情況，故①錯(cuò)誤；②直線a與b沒(méi)有交點(diǎn)，所以直線a與b可能異面也可能平行，故②錯(cuò)誤；③直線a與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)，所以a∥β，故③正確；④直線a與平面β可能相交也可能平行，故④錯(cuò)誤．7．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的序號(hào)是________．①C1，M，O三點(diǎn)共線；②C1，M，O，C四點(diǎn)共面；③C1，M，O，A四點(diǎn)共面；④D1，D，O，M四點(diǎn)共面．④解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，在①中，因?yàn)橹本€A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，所以M∈平面C1BD，M∈直線A1C，又A1C?平面ACC1A1，所以M∈平面ACC1A1，因?yàn)镺為DB的中點(diǎn)，BD?平面C1BD，且BD?平面ACC1A1，所以O(shè)∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，所以C1，M，O三點(diǎn)共線，故①正確；在②中，因?yàn)镃1，M，O三點(diǎn)共線，所以C1，M，O，C四點(diǎn)共面，故②正確；在③中，因?yàn)镃1，M，O三點(diǎn)共線，所以C1，M，O，A四點(diǎn)共面，故③正確；在④中，因?yàn)橹本€OM∩CC1＝C1，DD1∥CC1，所以D1，D，O，M四點(diǎn)不共面，故④錯(cuò)誤．故答案為④.8．在