第三章圓錐曲線與方程（知識(shí)歸納+題型突破）1．掌握橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．會(huì)用定義法、待定系數(shù)法和相關(guān)點(diǎn)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．掌握簡(jiǎn)單的橢圓的幾何性質(zhì)．4．掌握直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用．5．了解雙曲線的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線的過(guò)程，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程．6．掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形．7．理解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率)．8．能用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決問(wèn)題．9．了解拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念．10．掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程．11．理解拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距．（1）對(duì)定義中限制條件“兩個(gè)定點(diǎn)”的理解橢圓定義中的兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2是指不重合的兩點(diǎn)，當(dāng)F1與F2重合時(shí)，相應(yīng)點(diǎn)的集合是圓．（2）對(duì)定義中限制條件“常數(shù)(大于F1F2)”的理解條件結(jié)論2a＞F1F2動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓2a＝F1F2動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F22a＜F1F2動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在（3）定義的雙向運(yùn)用一方面，符合定義中條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；另一方面，橢圓上所有的點(diǎn)一定滿足定義的條件(即到兩焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù))．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)a，b的幾何意義1標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a，b確定了橢圓的形狀和大小，這是橢圓定形的條件，a，b，c三個(gè)量滿足a2＝b2＋c2，恰好是一個(gè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)，我們把如圖所示的直角三角形F2OM稱為橢圓的“特征三角形”．橢圓的特征三角形清晰地反映了參數(shù)a，b，c的幾何意義．（2）橢圓的焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中含y2項(xiàng)的分母較大．因此由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓的焦點(diǎn)位置時(shí)，要根據(jù)方程中分母的大小來(lái)判斷，簡(jiǎn)記為“焦點(diǎn)位置看大小，焦點(diǎn)隨著大的跑”．3．與橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)的常用公式(1)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L＝2a＋2c．(2)在焦點(diǎn)三角形MF1F2中，由余弦定理可得F1Feq\o\al(2,2)＝MFeq\o\al(2,1)＋MFeq\o\al(2,2)－2MF1·MF2cos∠F1MF2．(3)設(shè)橢圓上任一點(diǎn)M(xM，yM)，焦點(diǎn)三角形的面積S△F1MF2＝c|yM|＝eq\f(1,2)MF1·MF2·sin∠F1MF2＝b2taneq\f(∠F1MF2,2)．4．橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝2a焦點(diǎn)(±c,0)(0，±c)焦距|F1F2|＝2c對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)(1)橢圓的范圍實(shí)質(zhì)是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍．由于橢圓方程中兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等1，所以橢圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)適合不等式eq\f(x2,a2)≤1，即－a≤x≤a，同理有eq\f(y2,b2)≤1，即－b≤y≤b，這說(shuō)明橢圓位于直線x＝±a和y＝±b所圍成的矩形框里．(2)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，其三邊長(zhǎng)滿足關(guān)系式：a2＝b2＋c2．5．橢圓的離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比eq\f(c,a)稱為橢圓的離心率．用e表示，即e＝eq\f(c,a)．(1)橢圓離心率e的取值范圍是(0,1)，橢圓的離心率刻畫了橢圓的“扁平程度”，離心率e越大，橢圓越扁平，離心率e越小，橢圓越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，c＝0時(shí)，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓就變?yōu)閳A，它的方程為x2＋y2＝a2．(2)橢圓離心率是焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，也可以形象的理解為在橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)不變的前提下，兩個(gè)焦點(diǎn)離開中心的程度．由橢圓的定義，橢圓的離心率e一般有以下幾種表達(dá)方式：①e＝eq\f(c,a)＝cosα；②e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,A1A2)；③e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,PF1＋PF2)；④e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(如圖)．6．直線與橢圓的位置關(guān)系及判定一般，聯(lián)立直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y，得一個(gè)一元二次方程．位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相交__2__Δ＞0相切__1__Δ＝0相離__0__Δ＜07．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系：(1)點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；(2)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＜1；(3)點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＞1．8．弦長(zhǎng)公式設(shè)直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|．9．雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距．符號(hào)語(yǔ)言：|PF1－PF2|＝常數(shù)(常數(shù)小于F1F2)．10．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(1)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件．(2)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線的定位條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型．“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，即若x2的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上．(3)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，因?yàn)閍，b，c三個(gè)量滿足c2＝a2＋b2．所以長(zhǎng)度分別為a，b，c的三條線段恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且長(zhǎng)度為c的線段是斜邊，如圖所示．11．直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷一般地，設(shè)直線方程為y＝kx＋m(m≠0)，雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，將y＝kx＋m代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，消去y并化簡(jiǎn)，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．①當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時(shí)，直線與漸近線平行，則直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．②當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時(shí)，判別式Δ＞0?直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；判別式Δ＝0?直線與雙曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；判別式Δ＜0?直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)．(1)雙曲線的通徑過(guò)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫做雙曲線的通徑．對(duì)于雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，將x＝c代入雙曲線的方程可得eq\f(y2,b2)＝eq\f(c2,a2)－1＝eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(b2,a2)，所以直線x＝c與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，計(jì)算得通徑長(zhǎng)AB＝eq\f(2b2,a)．同理，可求得雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的通徑長(zhǎng)也是eq\f(2b2,a)．(2)雙曲線的焦點(diǎn)弦的最小值若焦點(diǎn)弦與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上，則最短弦長(zhǎng)是通徑長(zhǎng)eq\f(2b2,a)；若焦點(diǎn)弦與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上，則最短弦長(zhǎng)是2a．12．雙曲線的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸；對(duì)稱中心：坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：2a；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：2b；半實(shí)軸長(zhǎng)：a；半虛軸長(zhǎng)：b13．雙曲線的漸近線(1)漸近線一般地，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩支向外延伸時(shí)，與兩條直線eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0逐漸接近，我們把這兩條直線叫作雙曲線的漸近線．雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永遠(yuǎn)不相交．(2)等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率e＝eq\r(2)．14．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形漸近線直線y＝±eq\f(b,a)x直線y＝±eq\f(a,b)x雙曲線與漸近線的關(guān)系雙曲線在漸近線的左、右兩個(gè)區(qū)域，與漸近線無(wú)限靠近但不相交雙曲線在漸近線的上、下兩個(gè)區(qū)域，與漸近線無(wú)限靠近但不相交15．等軸雙曲線的性質(zhì)(1)方程形式為x2－y2＝λ(λ≠0)；(2)漸近線方程為y＝±x，它們互相垂直，并且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角；(3)實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等，離心率e＝eq\r(2)．16．雙曲線與橢圓的六個(gè)不同點(diǎn)雙曲線橢圓曲線兩支曲線封閉的曲線頂點(diǎn)兩個(gè)頂點(diǎn)四個(gè)頂點(diǎn)軸實(shí)、虛軸長(zhǎng)、短軸漸近線有漸近線無(wú)漸近線離心率e＞10＜e＜1a，b，c關(guān)系a2＋b2＝c2a2－b2＝c217．雙曲線的離心率定義雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比eq\f(c,a)，叫做雙曲線的離心率范圍[1，＋∞)雙曲線形狀與e的關(guān)系由等式c2＝a2＋b2，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)．因此e越大，eq\f(b,a)也越大，即漸近線y＝±eq\f(b,a)x的斜率的絕對(duì)值越大，這時(shí)雙曲線的開口就越大，因此離心率e可以用來(lái)表示雙曲線開口的程度．18．拋物線的定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線，定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線．19．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下四種不同的形式標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)p的幾何意義焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離20．拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)性質(zhì)頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下21．直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相離、相切、相交．22．直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法(1)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡(jiǎn)，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．①當(dāng)k＝0時(shí)，直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．②當(dāng)k≠0時(shí)，判別式Δ＞0?直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；判別式Δ＝0?直線與拋物線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；判別式Δ＜0?直線與拋物線相離，沒有公共點(diǎn)．(2)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l：x＝m，拋物線：y2＝2px(p＞0)．顯然，當(dāng)m＜0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)m＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m＞0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．23．拋物線的通徑(1)定義：通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB被稱為拋物線的通徑，如圖所示．對(duì)于拋物線y2＝2px(p＞0)，由Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，得AB＝2p，故拋物線的通徑長(zhǎng)為2p．(2)通徑是所有焦點(diǎn)弦中最短的弦．(3)通徑在反映拋物線開口大小上的作用：拋物線的通徑AB(如圖所示)的長(zhǎng)度為2p，這是常數(shù)2p的又一幾何意義，所以p越大，通徑越長(zhǎng)，即拋物線的開口越大；反之，p越小，通徑越短，即拋物線的開口越?。}型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)在y軸上，經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；(2)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))．【解析】(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1．(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2)＝2eq\r(10)，即a＝eq\r(10)，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1．(3)法一：(分類討論法)①當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))由a＞b＞0，知不合題意，故舍去；②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1．法二：(待定系數(shù)法)設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，)) 解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4.))所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1．思維升華1．待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)先確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)出方程；(3)尋求a，b，c的等量關(guān)系；(4)求a，b的值，代入所設(shè)方程．2．易錯(cuò)提醒當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因?yàn)樗ń裹c(diǎn)在x軸上(m＜n)或焦點(diǎn)在y軸上(m＞n)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算．鞏固訓(xùn)練1．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，與y軸正半軸的交點(diǎn)為B，若BF2＝F1F2＝2，則該橢圓的方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1【答案】A【解析】因?yàn)锽F2＝F1F2＝2，所以a＝2，c＝1，由a2＝b2＋c2可得b2＝3，所以所求橢圓的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．故選A．2．過(guò)點(diǎn)(－3,2)且與橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓E的方程是()A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,225)＋eq\f(y2,100)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,225)＝1【答案】A【解析】由題意得橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\r(5)，0)，(－eq\r(5)，0)，c＝eq\r(5)．設(shè)橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，把點(diǎn)(－3,2)代入，得eq\f(9,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，①∵橢圓C與橢圓E有相同的焦點(diǎn)，∴a2－b2＝5，②由①②得a2＝15，b2＝10，∴橢圓E的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1，故選A．題型二橢圓的定義及其應(yīng)用【例2】(1)已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是()A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1∶PF2＝2∶1，則△F1PF2的面積等于()A．5 B．4C．3 D．1【答案】(1)C(2)B【解析】(1)設(shè)另一焦點(diǎn)為F．由F在BC邊上及橢圓的定義得BF＋BA＝CF＋CA＝2a＝2eq\r(3)，所以△ABC的周長(zhǎng)為BC＋BA＋CA＝(BF＋CF)＋BA＋CA＝4eq\r(3)．故選C．(2)由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)．∵PF1＋PF2＝2a＝6且PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，又F1F2＝2eq\r(5)，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，∴△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面積為eq\f(1,2)·PF1·PF2＝eq\f(1,2)×4×2＝4．思維升華解決與橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)問(wèn)題的思路畫出圖形，觀察圖形，充分利用橢圓的定義，正、余弦定理以及三角形的面積公式等來(lái)分析解決問(wèn)題．鞏固訓(xùn)練1．若橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,4)＝1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為3，則點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)F2的距離為()A．6 B．7C．8 D．9【答案】B【解析】根據(jù)橢圓的定義知，PF1＋PF2＝2a＝2×5＝10，因?yàn)镻F1＝3，所以PF2＝7．2．已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若F2A＋F2B＝12，則AB＝________．【答案】8【解析】由直線AB過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1，知AB＝F1A＋F1B，所以在△F2AB中，F(xiàn)2A＋F2B＋AB＝4a＝20，又F2A＋F2B＝12，所以AB＝8．題型三與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例3】如圖所示，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0)．Q為圓C上任意一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程．【解析】如圖所示，連接MA．由題意知點(diǎn)M在線段CQ上，從而有CQ＝MQ＋CM．又點(diǎn)M在AQ的垂直平分線上，則MA＝MQ，故MA＋MC＝CQ＝5＞AC＝2．又A(1,0)，C(－1,0)，故點(diǎn)M的軌跡是以(1,0)，(－1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝5，c＝1，故a＝eq\f(5,2)，b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4)．故點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1．思維升華與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法．1．定義法如果能確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．2．代入法(相關(guān)點(diǎn)法)若所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與另一個(gè)已知曲線C：F(x，y)＝0上的動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入已知曲線C的方程F(x，y)＝0，化簡(jiǎn)即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(也稱相關(guān)點(diǎn)法)．鞏固訓(xùn)練1．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長(zhǎng)為18，則點(diǎn)C的軌跡方程為()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)【答案】A【解析】依題意得CA＋CB＝10＞8，∴點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則a＝5，c＝4，從而b2＝9．又A，B，C三點(diǎn)不共線，∴點(diǎn)C不在x軸上，∴點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．故選A．2．已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為______________．【答案】x2＋eq\f(y2,2)＝1【解析】設(shè)Q(x，y)，由于Q是OP中點(diǎn)，故P(2x,2y)，代入橢圓方程得eq\f(2x2,4)＋eq\f(2y2,8)＝1，化簡(jiǎn)得x2＋eq\f(y2,2)＝1．即Q點(diǎn)的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,2)＝1．題型四根據(jù)橢圓方程研究其幾何性質(zhì)【例4】(1)橢圓25x2＋9y2＝225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()A．5,3,0．8 B．10,6,0．8C．5,3,0．6 D．10,6,0．6(2)(多選)已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距為6，則實(shí)數(shù)m的值為()eq\a\vs4\al(A.4,C.6)eq\a\vs4\al(B.\r(34),D.\r(33))【答案】(1)B(2)AB【解析】(1)把橢圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2a＝10,2b＝6，eq\f(c,a)＝0．8．故選B．(2)∵2c＝6，∴c＝3．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝25，b2＝m2．由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝m2，b2＝25．由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq\r(34)．綜上可知，實(shí)數(shù)m的值為4或eq\r(34)．故選A、B．思維升華1．由橢圓方程討論其幾何性質(zhì)的步驟(1)化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；(2)由標(biāo)準(zhǔn)形式求出a，b，c，寫出其幾何性質(zhì)．2．橢圓的幾何性質(zhì)與橢圓的形狀、大小和位置的關(guān)系(1)橢圓的焦點(diǎn)決定橢圓的位置；(2)橢圓的范圍決定橢圓的大小；(3)橢圓的離心率刻畫橢圓的扁平程度；(4)對(duì)稱性是圓錐曲線的重要性質(zhì)，橢圓的頂點(diǎn)是橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，是橢圓上的重要的特殊點(diǎn)，在畫圖時(shí)應(yīng)先確定這些點(diǎn)．鞏固訓(xùn)練1．已知橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m＝()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(1,4) D．4【答案】D【解析】橢圓x2＋my2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1．焦點(diǎn)在x軸上，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝2，短軸長(zhǎng)2b＝2eq\r(\f(1,m))，所以2eq\r(\f(1,m))＝1，解得m＝4．故選D．2．設(shè)橢圓方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的離心率為eq\f(1,2)，試求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】橢圓方程可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1．(1)當(dāng)0＜m＜4時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，a＝2，b＝eq\r(m)，c＝eq\r(4－m)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝3，∴b＝eq\r(3)，c＝1，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是4,2eq\r(3)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－eq\r(3))，B2(0，eq\r(3))．(2)當(dāng)m＞4時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，a＝eq\r(m)，b＝2，∴c＝eq\r(m－4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(16,3)，∴a＝eq\f(4\r(3),3)，c＝eq\f(2\r(3),3)，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為eq\f(8\r(3),3)，4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2\r(3),3)))，F(xiàn)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(4\r(3),3)))，A2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4\r(3),3)))，B1(－2,0)，B2(2,0)．題型五根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例5】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10，離心率是eq\f(4,5)．(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6．(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2)，且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知得2a＝10，故a＝5．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1．(2)依題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線，且OF＝c，A1A2＝2b，則c＝b＝3，故a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1．(3)法一：由題意知e2＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2，設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,2b2)＋eq\f(x2,b2)＝1．將點(diǎn)M(1,2)代入橢圓方程，得eq\f(1,2b2)＋eq\f(4,b2)＝1或eq\f(4,2b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝eq\f(9,2)或b2＝3．故所求橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1．法二：設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝k1(k1＞0)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝k2(k2＞0)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得eq\f(1,12)＋eq\f(4,6)＝k1或eq\f(4,12)＋eq\f(1,6)＝k2，解得k1＝eq\f(3,4)，k2＝eq\f(1,2)，故eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝eq\f(3,4)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝eq\f(1,2)，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1．思維升華已知橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；(2)由所給的幾何性質(zhì)充分挖掘a，b，c所滿足的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式或方程(組)解出a，b的值；(3)寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．鞏固訓(xùn)練1．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,3)，則橢圓C的方程是()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1【答案】D【解析】依題意，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8．故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1．2．已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且cos∠OFA＝eq\f(2,3)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________．【答案】eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，cos∠OFA＝eq\f(2,3)，所以點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn))．所以O(shè)F＝c，AF＝a＝3，所以eq\f(c,3)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以橢圓的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1．題型六求橢圓的離心率【例6】設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．【答案】eq\f(\r(3),3)【解析】法一：由題意可設(shè)PF2＝m，結(jié)合條件可知PF1＝2m，F(xiàn)1F2＝eq\r(3)m，故離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,PF1＋PF2)＝eq\f(\r(3)m,2m＋m)＝eq\f(\r(3),3)．法二：由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±eq\f(b2,a)，所以PF2＝eq\f(b2,a)．又由∠PF1F2＝30°可得F1F2＝eq\r(3)PF2，故2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，變形可得eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得eq\r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．思維升華求橢圓離心率及范圍的兩種方法直接法若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a．再代入公式e＝eq\f(c,a)求解方程法若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍鞏固訓(xùn)練1．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為eq\f(b,3)，則橢圓的離心率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】C【解析】由三角形的面積相等，得eq\f(1,2)×2c×b＝eq\f(1,2)×(2a＋2c)×eq\f(b,3)，得a＝2c，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故選C．2．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為________．【答案】eq\r(3)－1【解析】如圖，∵△DF1F2為正三角形，N為DF2的中點(diǎn)，∴F1N⊥F2N．∵NF2＝OF2＝c，∴NF1＝eq\r(F1F\o\al(2,2)－NF\o\al(2,2))＝eq\r(4c2－c2)＝eq\r(3)c．由橢圓的定義可知NF1＋NF2＝2a，∴eq\r(3)c＋c＝2a，∴a＝eq\f(\r(3)＋1c,2)．∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1．題型七直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷【例7】(1)已知直線l：x＋y－3＝0，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．相切或相交(2)直線y＝kx－k＋1(k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________．【答案】(1)C(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，5))【解析】(1)把x＋y－3＝0代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得eq\f(x2,4)＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0．∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64＜0，∴直線與橢圓相離．故選C．(2)直線y＝k(x－1)＋1恒過(guò)定點(diǎn)P(1,1)，直線與橢圓總有公共點(diǎn)等價(jià)于點(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)或在橢圓上．所以eq\f(12,5)＋eq\f(12,m)≤1，即m≥eq\f(5,4)，又0＜m＜5，故m∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，5))．思維升華直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷判斷直線與橢圓有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用．鞏固訓(xùn)練1．(多選)無(wú)論k為何值，直線y＝kx＋2和橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1交點(diǎn)情況滿足()A．沒有公共點(diǎn) B．一個(gè)公共點(diǎn)C．兩個(gè)公共點(diǎn) D．無(wú)法確定【答案】BC【解析】因?yàn)閥＝kx＋2過(guò)定點(diǎn)(0,2)，且橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的上頂點(diǎn)也為(0,2)，所以當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線與橢圓相切，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，此時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B、C．2．直線l：y＝kx＋2與橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1有公共點(diǎn)，則k的取值范圍為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))【解析】聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋2，))整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0．因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)．所以Δ＝(8k)2－24(2k2＋1)≥0，解得k≥eq\f(\r(6),2)或k≤－eq\f(\r(6),2)．題型八弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題【例8】過(guò)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦AB，若該弦被M點(diǎn)平分．(1)求此弦所在的直線方程；(2)求弦AB的長(zhǎng)．【解析】(1)設(shè)所求直線方程為y－1＝k(x－2)．代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩個(gè)根，于是x1＋x2＝eq\f(82k2－k,4k2＋1)．又M為AB的中點(diǎn)，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2)．故所求直線的方程為x＋2y－4＝0．(2)設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1，))得x2－4x＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，所以AB＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)·eq\r(42－4×0)＝2eq\r(5)．思維升華1．直線與橢圓相交弦長(zhǎng)的求法(1)直接利用兩點(diǎn)間距離公式：當(dāng)弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)易求時(shí)，可直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)．(2)弦長(zhǎng)公式：當(dāng)弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)不易求時(shí)，可用弦長(zhǎng)公式．2．解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法根與系數(shù)的關(guān)系法聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決點(diǎn)差法利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系鞏固訓(xùn)練1．(多選)已知直線y＝3x＋2被橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)截得的弦長(zhǎng)為8，下列直線中被橢圓截得的弦長(zhǎng)也為8的是()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1C．y＝－3x－2 D．y＝－3x【答案】AC【解析】作出橢圓和有關(guān)直線(圖略)，由于橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，而A、C中的直線與直線y＝3x＋2或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，所以它們被橢圓截得的弦長(zhǎng)相等，且可從圖中看出B、D中的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)都大于8，故選A、C．2．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的弦AB的中點(diǎn)為(－1，－1)，則弦AB的長(zhǎng)為()eq\a\vs4\al(A.\f(\r(30),3),C.\f(\r(10),3))eq\a\vs4\al(B.\f(2\r(6),3),D.\f(\r(15),3))【答案】A【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),4)＋\f(y\o\al(2,2),2)＝1，②))②－①，得eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(2,4)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)，又弦AB的中點(diǎn)為(－1，－1)，所以直線AB的斜率為－eq\f(1,2)，所以直線方程為y＝－eq\f(1,2)(x＋1)－1，聯(lián)立橢圓方程消去y得到3x2＋6x＋1＝0，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得AB＝eq\f(\r(30),3)．故選A．3．直線y＝x＋2交橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1于A，B兩點(diǎn)，若AB＝3eq\r(2)，則m的值為________．【答案】12【解析】由橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1，則頂點(diǎn)為(0,2)，而直線y＝x＋2也過(guò)(0,2)，所以A(0,2)為直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)B(xB，yB)，則AB＝eq\r(xB－xA2＋yB－yA2)＝eq\r(1＋k2)|xB－xA|＝eq\r(2)|xB|＝3eq\r(2)，解得xB＝±3，所以B(－3，－1)或B(3,5)(舍去)，把B(－3，－1)代入橢圓方程得eq\f(9,m)＋eq\f(1,4)＝1，故m＝12．題型九利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)【例9】求滿足下列條件的參數(shù)的值．(1)已知雙曲線方程為2x2－y2＝k，焦距為6，求k的值；(2)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1與雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦點(diǎn)，求a的值．【解析】(1)若焦點(diǎn)在x軸上，則方程可化為eq\f(x2,\f(k,2))－eq\f(y2,k)＝1，所以eq\f(k,2)＋k＝32，即k＝6；若焦點(diǎn)在y軸上，則方程可化為eq\f(y2,－k)－eq\f(x2,\f(－k,2))＝1，所以－k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))＝32，即k＝－6．綜上所述，k的值為6或－6．(2)由雙曲線方程知焦點(diǎn)在x軸上且c2＝a＋2(a＞0)．由橢圓方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．因此a的值為1．思維升華方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法(1)對(duì)于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，當(dāng)mn＜0時(shí)表示雙曲線，進(jìn)一步，當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m＜0，n＞0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．(2)對(duì)于方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1，當(dāng)mn＞0時(shí)表示雙曲線，且當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m＜0，n＜0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．(3)已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍．鞏固訓(xùn)練1．已知方程eq\f(x2,k－5)－eq\f(y2,|k|－2)＝1對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線，那么k的取值范圍是()A．k＞5 B．k＞5或－2＜k＜2C．k＞2或k＜－2 D．－2＜k＜2【答案】B【解析】∵方程對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線，∴(k－5)(|k|－2)＞0．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－5＞0，,|k|－2＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－5＜0，,|k|－2＜0.))解得k＞5或－2＜k＜2．2．(多選)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值可以是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】AB【解析】由題意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2．又由該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3．故選A、B．題型十求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例10】根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)a＝4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)；(3)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．【解析】(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得b2＝－eq\f(16,15)×eq\f(160,9)＜0，不符合題意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,b2)＝1(b＞0)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2＝9．故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1．(2)法一：∵焦點(diǎn)相同，∴設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20． ①∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,a2)－eq\f(4,b2)＝1． ②由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1．法二：設(shè)所求雙曲線的方程為eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4＜λ＜16)．∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1．(3)設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB＜0．∵點(diǎn)P，Q在雙曲線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1．思維升華1．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)有兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)定位：“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，即在“標(biāo)準(zhǔn)方程”的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式．(2)定量：“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．2．用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟鞏固訓(xùn)練1．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1B．eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1C．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1D．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝0或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝0【答案】C【解析】b2＝c2－a2＝72－52＝24，雙曲線的焦點(diǎn)可以在x軸上，也可以在y軸上，故選C．2．以橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，eq\r(10))的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．【答案】eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1【解析】由題意得，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且c＝2eq\r(2)．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則有a2＋b2＝c2＝8，eq\f(9,a2)－eq\f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5．故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1．題型十一求雙曲線的離心率【例11】(1)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，若△ABF為等腰三角形，則雙曲線C的離心率是()A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\r(2)或eq\r(3) D．1＋eq\r(3)(2)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝1無(wú)交點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))【答案】(1)D(2)C【解析】(1)由題意，知F(－c,0)，A(a,0)，設(shè)B(0，b)，則AF2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，AB2＝a2＋b2，BF2＝b2＋c2．由△ABF為等腰三角形，得AF＝BF，即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，變形，得c2－2a2－2ac＝0，又e＝eq\f(c,a)，則有e2－2e－2＝0，解得e＝1±eq\r(3)，又雙曲線中e＞1，所以e＝1＋eq\r(3)．(2)由題意，得雙曲線的漸近線為bx±ay＝0，∵雙曲線的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝1無(wú)交點(diǎn)，∴圓心到漸近線的距離大于半徑，即eq\f(3b,\r(a2＋b2))＞1，∴8b2＞a2，∴8(c2－a2)＞a2，即8c2＞9a2，∴e＝eq\f(c,a)＞eq\f(3\r(2),4)．思維升華求雙曲線的離心率或其取值范圍的思路(1)求解雙曲線的離心率一般有兩種方法．①由條件尋找a，c所滿足的等式，常用的公式變形為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(1,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2))，其中a＞0，b＞0．②依據(jù)條件列出含a，c的齊次方程，利用e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為含e或e2的方程，解方程即可，注意依據(jù)e＞1對(duì)所得解進(jìn)行取舍．(2)求雙曲線離心率的取值范圍，關(guān)鍵是根據(jù)條件得到不等關(guān)系，并想辦法轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等關(guān)系，結(jié)合c2＝a2＋b2和eq\f(c,a)＝e得到關(guān)于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e時(shí)，經(jīng)常用到結(jié)論：雙曲線上一點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)距離的最小值為c－a．雙曲線的離心率常以漸近線為載體進(jìn)行命題，注意二者參數(shù)之間的轉(zhuǎn)化．鞏固訓(xùn)練1．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，－2)，則它的離心率為()A．eq\r(6) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(\r(5),2)【答案】D【解析】由題意知，過(guò)點(diǎn)(4，－2)的漸近線的方程為y＝－eq\f(b,a)x，∴－2＝－eq\f(b,a)·4，∴a＝2b．設(shè)b＝k，則a＝2k，c＝eq\r(5)k，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)k,2k)＝eq\f(\r(5),2)．2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．若雙曲線上存在點(diǎn)P使得eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是____________．【答案】(1，eq\r(2)＋1)【解析】在△PF1F2中，由正弦定理，得eq\f(PF2,sin∠PF1F2)＝eq\f(PF1,sin∠PF2F1)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq\f(PF1,PF2)，即PF1＝eq\f(c,a)PF2，則點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且點(diǎn)P不在直線F1F2上，畫出示意圖如圖所示．由雙曲線的定義知，PF1－PF2＝2a，則eq\f(c,a)·PF2－PF2＝2a，即PF2＝eq\f(2a2,c－a)．又由雙曲線的性質(zhì)知，PF2＞c－a，則eq\f(2a2,c－a)＞c－a，即c2－2ac－a2＜0，所以e2－2e－1＜0，解得－eq\r(2)＋1＜e＜eq\r(2)＋1．又e∈(1，＋∞)，所以e∈(1，eq\r(2)＋1)．題型十二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例12】分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0；(2)過(guò)點(diǎn)(3，－4)；(3)焦點(diǎn)在直線x＋3y＋15＝0上．【解析】(1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p＞0)．又eq\f(p,2)＝2，∴2p＝8，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y．(2)∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把點(diǎn)(3，－4)的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4)．∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y．(3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15．∴拋物線的焦點(diǎn)為(0，－5)或(－15,0)．∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x．思維升華求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)直接法：直接利用題中已知條件確定參數(shù)p．(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件確定參數(shù)p．當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論或設(shè)拋物線方程為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．已知焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程可確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；已知拋物線過(guò)某點(diǎn)不能確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖象及開口方向確定．鞏固訓(xùn)練1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F(a,0)(a＜0)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝2ax B．y2＝4axC．y2＝－2ax D．y2＝－4ax【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(a,0)(a＜0)，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p＞0)．由題意知，－eq\f(p,2)＝a，故p＝－2a．所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4ax．故選B．2．已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，若拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程是()A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝eq\f(8\r(3),3)y D．x2＝eq\f(16\r(3),3)y【答案】A【解析】由雙曲線的離心率為2知，e＝eq\f(c,a)＝2，∴c＝2a，從而a2＋b2＝4a2，即b2＝3a2，因此，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x．易知拋物線C2的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))．依題意，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，解得p＝8(負(fù)值舍去)，∴拋物線C2的方程為x2＝16y．故選A．題型十三由拋物線的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例13】求與拋物線y2＝－16x共頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】∵拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，∴直線x－2y－4＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即拋物線的焦點(diǎn)．令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)或(0，－2)．當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，eq\f(p,2)＝4，∴p