巧解深究提高素養(yǎng)二次曲線系視野下對(duì)2017年全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)20題的反思南昌市第三中學(xué)張金摘要】核心素養(yǎng)的教育教學(xué)是今后相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間段內(nèi)的熱點(diǎn)。本文從二次曲線系角度去探索試題的多種解法，挖掘試題的本質(zhì)屬性，在提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面作出一點(diǎn)探索。【關(guān)鍵詞】二次曲線系、學(xué)科核心素養(yǎng)、定點(diǎn)定值、橢圓的伴隨矩形、橢圓的大小伴隨圓。2017年高考新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)的設(shè)計(jì)遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《高考說(shuō)明》的要求和闡述，緊密聯(lián)系高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透學(xué)科核心素養(yǎng)。本文從二次曲線系的角度去研究該卷20題，請(qǐng)看題：20.（12分）已知橢圓,四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上。（1）求C的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為-1，證明：過(guò)定點(diǎn).常規(guī)解法略，為巧解該題，我們先看關(guān)于二次曲線系的相關(guān)概念：二次方程表示的曲線叫做二次曲線，它包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及兩條直線（退化的二次曲線）。二次方程表示兩條直線，但這個(gè)方程展開(kāi)后，是一個(gè)二次式，因此我們說(shuō)這是退化的二次曲線。已知兩條二次曲線與相交，且有四個(gè)交點(diǎn)，則方程（為參數(shù)）表示經(jīng)過(guò)其四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線系方程。若能確定所求的曲線不是或，我們可以只設(shè)一個(gè)參數(shù)。當(dāng)我們已知曲線，要求某些未知數(shù)時(shí)，我們可以利用，兩邊對(duì)比系數(shù)即可。下面利用該知識(shí)解決筆者原創(chuàng)的南昌市2017年一模試題20題：例1．(2017年南昌一模20)已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓的交于兩點(diǎn)，已知直線與相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在定直線上？若是，請(qǐng)求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）。（2）常規(guī)方法計(jì)算量較大，此處略。設(shè)，易知，，，因?yàn)闄E圓過(guò)二次曲線與二次曲線的四個(gè)交點(diǎn)，則有比較兩邊項(xiàng)的系數(shù)，得；比較兩邊項(xiàng)的系數(shù)，得，兩式聯(lián)立，則，則，由，即點(diǎn)在定直線上。若一條直線與一條二次曲線交于兩點(diǎn)，那么對(duì)于這兩條直線，怎么來(lái)刻劃呢？設(shè)直線的方程為：曲線方程為：我們將變形為，利用它將②中的所有項(xiàng)配成二次，得注意到點(diǎn)滿足式，又為二次齊次式，所以它一定能分解出：，這就是過(guò)原點(diǎn)的兩直線，也可以將兩邊同除，視其為關(guān)于的二次方程，解出兩根，即為，這即為的斜率．由上可得2017年高考解析幾何20題巧解：(1)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可知在橢圓上，所以橢圓方程為(2)將坐標(biāo)系向上平移一個(gè)單位，將原點(diǎn)移至點(diǎn)。橢圓方程化為即設(shè)直線對(duì)應(yīng)的直線為，則化齊次聯(lián)立，得：整理得,即結(jié)合兩直線斜率之和為-1，得即所以直線恒過(guò)點(diǎn)，在原坐標(biāo)系中，直線過(guò)定點(diǎn)我們?cè)賮?lái)深挖該題背景性質(zhì)：性質(zhì)1：已知點(diǎn)，我們稱矩形為橢圓的伴隨矩形，設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓C相交于兩點(diǎn)，若，則直線過(guò)定點(diǎn)。性質(zhì)2：從橢圓的伴隨矩形的頂點(diǎn)引一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若則。這兩條性質(zhì)讀者不妨用前面二次曲線系的方法去簡(jiǎn)潔證明。關(guān)于橢圓類似性質(zhì)的探究，筆者在《對(duì)一次試卷講評(píng)課的一點(diǎn)感悟》（《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2016年第4期）一文中有以下兩個(gè)結(jié)論：性質(zhì)3：從已知橢圓的大伴隨圓上一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，則兩條切線相互垂直。性質(zhì)4：已知橢圓的小伴隨圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)P，Q，則⊥。2017高考全國(guó)Ⅰ卷解析幾何解答題考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，重點(diǎn)考查思維品質(zhì)，減少計(jì)算量。數(shù)學(xué)離不開(kāi)計(jì)算，核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果。重在運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算方向的探究、方法的選擇，也就是“多一點(diǎn)想、少一點(diǎn)算”?；诤诵乃仞B(yǎng)視