2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第21講三角形

一．選擇題（共10小題）

1．在學(xué)習(xí)了《勾股定理》一課后，小明同學(xué)對于它的證明方式非常好奇，并動(dòng)手操作，完成了其中一些

證明并給出了示意圖．請你根據(jù)示意圖幫助小明同學(xué)判斷，一定不能完成定理證明的是（）

A．

B．

C．

D．

＜

2．已知關(guān)于x的不等式組，至少有兩個(gè)整數(shù)解，且存在以2，a，5為邊的三角形，則a的整

???0

數(shù)解有（）

2?+1≥8

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

3．將一副三角板按如圖所示擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，

則∠的角度為（）

α

A．75°B．105°C．110°D．120°

4．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三

角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形面積為136，小正方形面積為16，則tan的值為

θ

（）

A．B．C．D．

5343

5．已3知數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C，5D對應(yīng)的數(shù)字分別為﹣31，1，x，7，點(diǎn)C在線4段BD上且不與端點(diǎn)重合，若

線段AB，BC，CD能圍成三角形，則x的取值范圍是（）

A．1＜x＜7B．2＜x＜6C．3＜x＜5D．3＜x＜4

6．如圖，直線MN∥PQ，等腰直角三角板ABC的底角頂點(diǎn)A落在PQ上，直角頂點(diǎn)C落在MN上，若∠

BCM＝10°，則∠PAB的度數(shù)為（）

A．70°B．65°C．60°D．55°

7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波

克拉底月牙”，當(dāng)AC＝4，BC＝2時(shí)，則陰影部分的面積為（）

A．4B．4C．8D．8

8．如圖，在△ABC中，AD⊥πBC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BCπ的中點(diǎn)．設(shè)AB＝c，AC＝b，AD＝h，BD＝m，CD

＝n，m＜n，且h2＝mn．有以下三個(gè)結(jié)論：

①c2＝m2+mn；

②點(diǎn)A，B，C在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上；

1

(?+?)

2

③b2+m2＞3h2．

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

9．勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合

的紐帶之一．如圖，當(dāng)秋千靜止時(shí)，踏板B離地的垂直高度BE＝0.7m，將它往前推3m至C處時(shí)（即水

平距離CD＝3m），隨板離地的垂直高度CF＝2.5m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）

A．3.4mB．5mC．4mD．5.5m

10．如圖，直線l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等邊△DEF在l1，l2之間，點(diǎn)A，D分別在l1，l2上，點(diǎn)B，

C，E，F(xiàn)在同一直線上．若∠＝53°，則∠的度數(shù)為（）

αβ

A．50°B．52°C．54°D．56°

二．填空題（共5小題）

11．如圖，在四邊形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足為點(diǎn)M，連接CM，若AM

＝3，則CM+AD的最小值為．

12．如圖，把四邊形的某些邊向兩方延長，其它各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹

四邊形．如圖，在凹四邊形ABCD中，BC＝2，，∠B＝90°，∠C＝30°，∠A＝15°，則凹四

邊形ABCD的周長為．??=23

13．如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝20，作AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)F，作DE⊥AC，

則△DEF的周長為．

14．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在以邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點(diǎn)上，則BC邊上的高等

于．

15．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E．若BE＝3，△BDE的面積為1.5，則點(diǎn)D到邊AB

的距離為．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，△ABC中，AB＝2AC，點(diǎn)P為BC延長線上一點(diǎn)．

（1）若，，求PA的長；（請從信息“①∠PAC＝∠B，②BC＝6，③CP

＝2”中選擇兩個(gè)分別填入橫線中，將題目補(bǔ)充完整，并完成解答．）

（2）在（1）的條件下，當(dāng)AC＝AP時(shí)，求△ABC的面積．

17．如圖，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．

（1）求證：AB＝DE；

（2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度數(shù)．

18．如圖，已知△ABC，∠C＝50°，將AB沿著射線BC的方向平移至DE，使E為BC的中點(diǎn)，連接AD，

記DE與AC的交點(diǎn)為O．

（1）求證：△AOD≌△COE；

（2）若AC平分∠BAD，求∠B的度數(shù)．

19．某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開展項(xiàng)目活動(dòng)，過程如下：

項(xiàng)目主題：測量某水潭的寬度．

問題驅(qū)動(dòng)：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測量水潭的寬度？

組內(nèi)探究：由于水潭中間不易到達(dá)，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬

紙板，米尺，測角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機(jī)，確定方法后，先畫出測量示意圖，然后進(jìn)行實(shí)

地測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計(jì)算水潭的寬度．

成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時(shí)的兩種測量方案：

方案方案①方案②

測量示意圖

測量說明如圖①，測量員在地面上找如圖②，測量員在地面上找

一點(diǎn)C，在BC連線的中點(diǎn)D一點(diǎn)C，沿著BC向前走到點(diǎn)

處做好標(biāo)記，從點(diǎn)C出發(fā)，D處，使得CD＝AC，沿著

沿著與AB平行的直線向前AC向前走到點(diǎn)E處，使得

走到點(diǎn)E處，使得點(diǎn)E與點(diǎn)CE＝BC，測出D、E兩點(diǎn)之

A、D在一條直線上，測出間的距離

CE的長度

測量結(jié)果CE＝20m，BD＝CD，CE∥AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m

AB

請你選擇上述兩種方案中的一種，計(jì)算水潭的寬度AB．

20．將△ABC和△DEF如圖放置．已知AB＝DE，∠D+∠CHF＝180°，AB∥EF，求證：△ABC≌△DEF．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角形

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．在學(xué)習(xí)了《勾股定理》一課后，小明同學(xué)對于它的證明方式非常好奇，并動(dòng)手操作，完成了其中一些

證明并給出了示意圖．請你根據(jù)示意圖幫助小明同學(xué)判斷，一定不能完成定理證明的是（）

A．

B．

C．

D．

【考點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積．

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．

【答案】C

【分析】由正方形面積公式、三角形面積公式以及梯形面積公式分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

【解答】解：A．設(shè)計(jì)的圖形中，如下圖，

∵，

212

∴c?2＝=24ab×+a22?﹣?2+ab(+?b?2，?)

∴c2＝a2+b2，

∴可完成定理證明，故本選項(xiàng)不符合題意；

B．設(shè)計(jì)的圖形中，如下圖，

∴，

11121

??+2?2?+?2=(?+?)(?+?)

∴2ab+c＝2a+2ab2+b，2

∴a2+b2＝c2，

∴可完成定理證明，故本選項(xiàng)不符合題意；

C．設(shè)計(jì)的圖形中，不能完成勾股定理的證明，符合題意；

D．設(shè)計(jì)的圖形中，如下圖，

∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

????

2=

∴?A?C＝A?B??AD，

∵∠B＝∠B，∠BCA＝∠BDC＝90°，

∴△BCA∽△BDC，

∴，

????

2=

∴?BC?＝A?B??BD，

∴AC2+BC2＝AB?AD+AB?BD＝AB（AD+BD）＝AB2，即a2+c2＝c2，

∴可完成定理證明，故本選項(xiàng)不符合題意．

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明、正方形面積公式、三角形面積公式以及梯形面積公式，相似三角形

的性質(zhì)與判定，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

＜

2．已知關(guān)于x的不等式組，至少有兩個(gè)整數(shù)解，且存在以2，a，5為邊的三角形，則a的整

???0

2?+1≥8

數(shù)解有（）

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解．

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；三角形；運(yùn)算能力；推理能力．

【答案】B

【分析】依據(jù)不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，即可得到a＞5，再根據(jù)存在以2，a，5為邊的三角形，可得3

＜a＜7，即可得到結(jié)論．

【解答】解：解不等式x﹣a＜0，可得x＜a，

解不等式2x+1≥8，可得x≥3.5，

∵不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，

∴a＞5，

又∵存在以2，a，5為邊的三角形，

∴3＜a＜7，

∴a的取值范圍是5＜a＜7，

∴a的整數(shù)解有1個(gè)，

故選：B．

【點(diǎn)評】此題考查的是一元一次不等式組的解法和三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用，求不等式組的解集應(yīng)遵循以

下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．

3．將一副三角板按如圖所示擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，

則∠的角度為（）

α

A．75°B．105°C．110°D．120°

【考點(diǎn)】等腰直角三角形；平行線的性質(zhì)．

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠的度數(shù)．

【解答】解：∵含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行α，如圖所示：

∴∠ABC＝∠A＝45°，

∵∠C＝30°，

∴∠＝180°﹣45°﹣30°＝105°，

故選：αB．

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的特點(diǎn)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握這些知識(shí)是解

題的關(guān)鍵．

4．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三

角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形面積為136，小正方形面積為16，則tan的值為

（）θ

A．B．C．D．

5343

【考3點(diǎn)】勾股定理的證明；解5直角三角形．34

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．

【答案】A

【分析】設(shè)小直角三角形的直角邊為a，b，根據(jù)兩個(gè)正方形的面積得到4ab（a﹣b）2＝136，（a﹣b）2

1

＝16，進(jìn)而推出b＝a﹣4，ab＝60，則可得方程a（a﹣4）＝60，×2

解方程求出a＝10，則b＝a﹣4＝6，再由正切的定義可得tan．

?105

【解答】解：設(shè)小直角三角形的直角邊為a，b，a＞b，大正方θ=形?面=積6為=1336，小正方形面積為16，

∴4ab+（a﹣b）2＝136，（a﹣b）2＝16，

1

∴2a×b2+（a﹣b）2＝136，

a﹣b＝4，

∴2ab+16＝136，b＝a﹣4，

∴ab＝60，

∴a（a﹣4）＝60，

解得a＝10或a＝﹣6（舍去），

∴b＝a﹣4＝6，

∴tan，

?105

故選：θ=A．?=6=3

【點(diǎn)評】本題主要考查了求角的正切值，解一元二次方程，解題的是掌握還是得靈活運(yùn)用．

5．已知數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C，D對應(yīng)的數(shù)字分別為﹣1，1，x，7，點(diǎn)C在線段BD上且不與端點(diǎn)重合，若

線段AB，BC，CD能圍成三角形，則x的取值范圍是（）

A．1＜x＜7B．2＜x＜6C．3＜x＜5D．3＜x＜4

【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；數(shù)軸；解一元一次不等式組．

【專題】實(shí)數(shù)；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；三角形；運(yùn)算能力．

【答案】C

＞①

【分析】由三角形三邊關(guān)系定理得：＞，得到不等式組的解集是3＜x＜5，即可得到答

??1+7??2

＞

2+??17??②

案．2+7????1③

【解答】解：由點(diǎn)在數(shù)軸上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x，

＞①

由三角形三邊關(guān)系定理得：＞，

??1+7??2

＞

2+??17??②

不等式①恒成立，2+7????1③

由不等式②得：x＞3，

由不等式③得：x＜5，

∴不等式組的解集是3＜x＜5，

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，數(shù)軸，解一元一次不等式組，關(guān)鍵是由三角形三邊關(guān)系定理得到

一元一次不等式組．

6．如圖，直線MN∥PQ，等腰直角三角板ABC的底角頂點(diǎn)A落在PQ上，直角頂點(diǎn)C落在MN上，若∠

BCM＝10°，則∠PAB的度數(shù)為（）

A．70°B．65°C．60°D．55°

【考點(diǎn)】等腰直角三角形；平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】D

【分析】先根據(jù)△ABC是等腰直角三角形可得∠B＝45°，由三角形外角的性質(zhì)得∠BDM＝10°+45°＝

55°，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B＝45°，

∵∠BCM＝10°，

∵∠BDM＝∠B+∠BCM，

∴∠BDM＝10°+45°＝55°，

∵M(jìn)N∥PQ，

∴∠PAB＝∠BDM＝55°．

故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考常考題型．

7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波

克拉底月牙”，當(dāng)AC＝4，BC＝2時(shí)，則陰影部分的面積為（）

A．4B．4C．8D．8

【考點(diǎn)】勾股定理．ππ

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算．

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．

【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，

則陰影部分的面積AC×BC×（）2×（）2×（）2

11??1??1??

=×+×π+×π?×π

2×42（AC2+BC2﹣2AB2）22222

111

＝=42，×+2×π×4×

故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、扇形面積計(jì)算，掌握勾股定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．

8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．設(shè)AB＝c，AC＝b，AD＝h，BD＝m，CD

＝n，m＜n，且h2＝mn．有以下三個(gè)結(jié)論：

①c2＝m2+mn；

②點(diǎn)A，B，C在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上；

1

222(?+?)

③b+m＞3h．2

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【考點(diǎn)】勾股定理．

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．

【答案】D

【分析】根據(jù)AD⊥BC可得AB2＝BD2+AD2，即c2＝m2+h2，又因?yàn)閔2＝mn，所以c2＝m2+mn，故①正確；

根據(jù)AD⊥BC，h2＝mn，可證△ABD∽△CAD，進(jìn)而∠BAC＝90°，所以點(diǎn)A，B，C在以點(diǎn)E為圓心，

1

2(2?+?2)

為半徑的圓上，故②正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐一分析解答即可；在Rt△ACD中，AC＝A2D+CD，

即b2﹣h2＝n2，可得b2+m2﹣3h2＝（b2﹣h2）+（m2﹣2h2）＝n2+m2﹣2mn＝（m﹣n）2，根據(jù)m＜n，可知

（m﹣n）2＞0，所以b2+m2＞3h2，故③正確．

【解答】解：∵AD＝h，BD＝m，CD＝n，且h2＝mn，

∴，即，

??????

==

∵?AD⊥?BC于?點(diǎn)?D，??

∴∠ADB＝∠CDA＝90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴∠BAD＝∠C，

∵∠C+∠CAD＝90°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，

∴△ABC為直角三角形．

在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，

∴c2＝m2+h2，

∵h(yuǎn)2＝mn，

∴c2＝m2+mn，故①正確．

∵△ABC為直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝m+n，

∴點(diǎn)A，B，C在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，故②正確；

1

222(?+2?)22

在Rt△ACD中，AC＝AD+CD，2即b﹣h＝n，

∴b2+m2﹣3h2＝（b2﹣h2）+（m2﹣2h2）＝n2+m2﹣2mn＝（m﹣n）2，

∵m＜n，

∴b2+m2﹣3h2＝（m﹣n）2＞0，

∴b2+m2＞3h2，故③正確．

故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直徑所對的圓周角為90°、以及代數(shù)推理等知

識(shí)．

9．勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合

的紐帶之一．如圖，當(dāng)秋千靜止時(shí)，踏板B離地的垂直高度BE＝0.7m，將它往前推3m至C處時(shí)（即水

平距離CD＝3m），隨板離地的垂直高度CF＝2.5m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）

A．3.4mB．5mC．4mD．5.5m

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】A

【分析】設(shè)AC的長為x，則AB＝AC＝xm，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中利用勾股

定理即可求解．

【解答】解：由題意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m，

∴BD＝1.8m．

設(shè)AC的長為xm，則AB＝AC＝xm，

所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．

在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2，

解得：x＝3.4，

即繩索AC的長是3.4米．

故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，找到直角三角形并利用勾股定理構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵．

10．如圖，直線l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等邊△DEF在l1，l2之間，點(diǎn)A，D分別在l1，l2上，點(diǎn)B，

C，E，F(xiàn)在同一直線上．若∠＝53°，則∠的度數(shù)為（）

αβ

A．50°B．52°C．54°D．56°

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．

【答案】B

【分析】延長AC交l2于H，由平行線性質(zhì)得∠CHD＝180°﹣∠＝127°，由等腰直角三角形性質(zhì)得∠

ACB＝∠ECH＝45°，再由等邊三角形性質(zhì)得∠DEF＝∠EDF＝60°α，則∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，

再由四邊形內(nèi)角和等于360°得∠EDH＝68°，由此可得∠的度數(shù)．

【解答】解：延長AC交l2于H，如下圖所示：β

∵l1∥l2，∠＝53°，

∴∠CHD+∠α＝180°，

∠CHD＝180°α﹣∠＝180°﹣53°＝127°，

∵△ABC是等腰直角α三角形，且∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝∠ECH＝45°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠DEF＝∠EDF＝60°，

∴∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，

在四邊形CEDH中，∠ECH+∠CHD+∠CED+∠EDH＝360°，

即45°+127°+120°+∠EDH＝360°，

∴∠EDH＝68°，

∴∠＝180°﹣∠EDF﹣∠EDH＝180°﹣60°﹣68°＝52°．

故選：βB．

【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌

握等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

二．填空題（共5小題）

11．如圖，在四邊形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足為點(diǎn)M，連接CM，若AM

＝3，則CM+AD的最小值為．

41

【考點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短．

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．

【答案】．

【分析】過41D作AM的平行線，過A作BD的平行線，兩平行線交于點(diǎn)E，即AM∥DE，AE∥MD，證明

四邊形AMDE是矩形推出CM+AD＝CM+ME；連接CE，則當(dāng)點(diǎn)M與CE、BD的交點(diǎn)重合時(shí)，CM+ME最

小，從而CM+AD最小，且最小值為線段CE的長；在Rt△EFC中，由勾股定理求出CE的長即可得出結(jié)

果．

【解答】解：如圖，過D作AM的平行線，過A作BD的平行線，兩平行線交于點(diǎn)E，即AM∥DE，AE

∥MD，

∴四邊形AMDE是平行四邊形；

∵AM⊥BD，

∴四邊形AMDE是矩形，

∴DE⊥BD，AM＝DE＝3，AD＝ME，

∴CM+AD＝CM+ME；

連接CE，

則當(dāng)點(diǎn)M與CE、BD的交點(diǎn)重合時(shí)，CM+ME最小，從而CM+AD最小，且最小值為線段CE的長；

過C作CF∥BD，交ED延長線于點(diǎn)F，則∠DBC＝∠BCF＝∠BDF＝90°，

∴四邊形BCFD是矩形，

∴CF＝BD＝4，∠F＝90°，DF＝BC＝2，

∴EF＝DE+DF＝5；

在Rt△EFC中，由勾股定理得，

，

22

?∴?C=M+A?D?最+小??值為=16，+25=41

故答案為：．41

【點(diǎn)評】本題4考1查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形EFC是解題的關(guān)鍵．

12．如圖，把四邊形的某些邊向兩方延長，其它各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹

四邊形．如圖，在凹四邊形ABCD中，BC＝2，，∠B＝90°，∠C＝30°，∠A＝15°，則凹四

邊形ABCD的周長為．??=23

43+22

【考點(diǎn)】勾股定理；含30度角的直角三角形．

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．

【答案】．

【分析】過4點(diǎn)3+D2作2DE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，作∠DGB＝30°，設(shè)DE＝x，則CD＝2DE＝2x，

由勾股定理求出CE的長，繼而求出BE的長，再證四邊形DEBF是矩形，即可得出DF、BF的長，再求

出DG的長、FG的長，由AB的長即可求出x的值，從而求出凹四邊形ABCD的周長．

【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，作∠DGB＝30°，

設(shè)DE＝x，

在Rt△CDE中，∠C＝30°，

∴CD＝2DE＝2x，

由勾股定理得，，

2222

∵BC＝2，??=?????=(2?)??=3?

∴BE＝BC﹣CE，

∵DE⊥BC，DF=⊥2AB?，∠3?B＝90°，

∴四邊形DEBF是矩形，

∴DE＝BF＝x，DF＝BE，

在Rt△DFG中，∠DGB=＝320?°，3?

∴DG＝2DF＝2（），∠GDF＝60°，

∵tan60°，2?3?=4?23?

??

=

∴??，

??

3=

∴FG2?3?，

∵∠D=G2B＝33?0°3?，∠A＝15°，

∴∠ADG＝∠DGB﹣∠A＝30°﹣15°＝15°，

∴∠ADG＝∠A，

∴AG＝DG，

∵=，4?23?

∴x??=23，

∴+23?3?，+4?23?=23

∴C?D=3?1，DF，AF＝AB﹣BF，

=23?2=3?1=23?(3?1)=3+1

在Rt△ADF中，由勾股定理得，，

2222

∴凹四邊形ABCD的周長為BC+A?B?+C=D+?A?D＝+2??=(3?1)+(3+1)=22，

故答案為：．+23+23?2+22=43+22

【點(diǎn)評】本題4考3查+了2勾2股定理，含30°角的直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的

關(guān)鍵．

13．如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝20，作AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)F，作DE⊥AC，

則△DEF的周長為10+10．

3

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．

【專題】三角形；推理能力．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出DE、根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、

三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．

【解答】解：∵∠BAC＝60°，AD是角平分線，

∴∠DAE＝30°，

在Rt△DAE中，AD＝20，∠DAE＝30°，

∴DEAD＝10，

1

由勾股=定2理得：AE10，

22

∵AD的垂直平分線=交A?C?于?點(diǎn)??F，=3

∴FA＝FD，

∴△DEF的垂直＝DE+EF+FD＝DE+EF+FA＝DE+AE＝10+10，

故答案為：10+10．3

【點(diǎn)評】本題考查的3是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上

的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．

14．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在以邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點(diǎn)上，則BC邊上的高等于．

534

17

【考點(diǎn)】勾股定理；三角形的面積．

【專題】三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力．

【答案】．

534

【分析】根據(jù)圖形可知：＝，邊上的高為，根據(jù)勾股定理可以求得的長，再根據(jù)等面積法即

17AC2AC5BC

可求得BC邊上的高．

【解答】解：由圖可得，

AC＝2，AC邊上的高為5，BC，

22

設(shè)BC上的邊上的高為h，=3+5=34

則，

2×534?

=

解得2h2，

534

=

故答案為：17．

534

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

17

15．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E．若BE＝3，△BDE的面積為1.5，則點(diǎn)D到邊AB

的距離為1．

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．

【答案】1．

【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得DE＝DF，然后根據(jù)面積

公式求出DE即可解答．

【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)F，

∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，

∴DE＝DF，

∵BE＝3，△BDE的面積為1.5，

∴1.5，

1

×3×??=

解得2DE＝1，

∴DF＝DE＝1．

故答案為：1．

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，△ABC中，AB＝2AC，點(diǎn)P為BC延長線上一點(diǎn)．

（1）若①∠PAC＝∠B，③CP＝2，求PA的長；（請從信息“①∠PAC＝∠B，②BC＝6，③

CP＝2”中選擇兩個(gè)分別填入橫線中，將題目補(bǔ)充完整，并完成解答．）

（2）在（1）的條件下，當(dāng)AC＝AP時(shí)，求△ABC的面積．

【考點(diǎn)】三角形的面積．

【專題】三角形；圖形的相似；幾何直觀；運(yùn)算能力．

【答案】（1）①∠PAC＝∠B，③CP＝2；PA＝4；

（2）．

315

【分析】（1）選擇①∠PAC＝∠B，③CP＝2，證△PAC∽△PBA得，再根據(jù)AB＝2AC即可得PA

????

=

的長；另外（ⅰ）如果選擇①∠PAC＝∠B，②BC＝6，由△PAC∽△??PBA?得?，進(jìn)而得

??????1

===

PB＝2PA，PA＝2CP，此時(shí)求不出PA的長；（ⅱ）如果選擇②BC＝6，③CP?＝?2，?此?時(shí)也?求?出2PA的長，

由此即可得出答案；

（2）過點(diǎn)A作AD⊥PC于D，則CP＝2，AC＝AP＝4，進(jìn)而得CD＝PD＝1，再由勾股定理求出AD，

=15

則S△PAC，根據(jù)△PAC和△PBA相似且，得S△PAB，由此可得△ABC的面積．

??1

=15==415

【解答】解：（1）若①∠PAC＝∠B，③CP＝??2，求2PA的長；

∵∠PAC＝∠B，∠P＝∠P，

∴△PAC∽△PBA，

∴，

????

=

∵?A?B＝2?A?C，

∴，

??1

=

∴?PA?＝2C2P＝4；

另外（?。┤绻x擇①∠PAC＝∠B，②BC＝6，

同理△PAC∽△PBA，

∴，

??????1

===

∴?P?B＝2?PA?，PA?＝?2CP2，

此時(shí)求不出PA的長；

（ⅱ）如果選擇②BC＝6，③CP＝2，此時(shí)也求出PA的長．

故答案為：①∠PAC＝∠B，③CP＝2．

（2）過點(diǎn)A作AD⊥PC于D，如下圖所示：

∵在（1）的條件下，

∴CP＝2，AP＝4，

∴AC＝AP＝4，

∴CD＝PD＝1，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD，

22

=?????=15

∴S△PACCP×AD2，

11

=×=×15=15

∵△PAC∽2△PBA，2，

??1

=

∴S△PAC：S△PBA＝1：??4，2

∴S△PAB＝4S△PAC，

∴S△ABC＝S△PAB﹣=S4△PA1C5．

【點(diǎn)評】此題主要考查了=三4角15形?的面15積=，3相1似5三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是

解決問題的關(guān)鍵．

17．如圖，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．

（1）求證：AB＝DE；

（2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度數(shù)．

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由∠BCE＝∠ACD，得∠ACB＝∠DCE，而CA＝CD，BC＝EC，即可根據(jù)“SAS”證明△ACB

≌△DCE，則AB＝DE；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠A＝∠D＝25°，而∠E＝35°，則∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝120°．

【解答】（1）證明：∵∠BCE＝∠ACD，

∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，

∴∠ACB＝∠DCE，

在△ACB和△DCE中，

，

??=??

∠???=∠???

∴?△?=AC?B?≌△DCE（SAS），

∴AB＝DE．

（2）解：由（1）得△ACB≌△DCE，

∴∠A＝∠D＝25°，

∵∠E＝35°，

∴∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°25°﹣35°＝120°，

∴∠ECD的度數(shù)是120°．

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，推導(dǎo)出∠ACB＝∠DCE，進(jìn)

而證明△ACB≌△DCE是解題的關(guān)鍵．

18．如圖，已知△ABC，∠C＝50°，將AB沿著射線BC的方向平移至DE，使E為BC的中點(diǎn)，連接AD，

記DE與AC的交點(diǎn)為O．

（1）求證：△AOD≌△COE；

（2）若AC平分∠BAD，求∠B的度數(shù)．

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì)．

【專題】圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．

【答案】（1）見解析過程；

（2）80°．

【分析】（1）由三角形中位線定理可得OA＝OC，EOAB＝OD，由“SAS”可證△AOD≌△COE；

1

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠DAO＝∠C＝50°，由=角2平分線的定義可得“∠BAD＝2∠DAO＝100°，

由平行線的性質(zhì)可求解．

【解答】（1）證明：由平移可知，AB＝DE，AB∥DE，

∵E為BC的中點(diǎn)，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OA＝OC，EOAB，

1

=

∴OEDE，2

1

即DO=＝2OE，

在△AOD與△COE中，

，

??=??

∠???=∠???

∴?△?A=O?D?≌△COE（SAS）；

（2）解：∵△AOD≌△COE，

∴∠DAO＝∠C＝50°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠OAD＝50°，

∴∠BAD＝2∠DAO＝100°，

由平移可知，AD∥BC，

∴∠BAD+∠B＝180°，

∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°．

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的定理，平移的性質(zhì)，掌握全等三角形的判

定是解題的關(guān)鍵．

19．某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開展項(xiàng)目活動(dòng)，過程如下：

項(xiàng)目主題：測量某水潭的寬度．

問題驅(qū)動(dòng)：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測量水潭的寬度？

組內(nèi)探究：由于水潭中間不易到達(dá)，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬

紙板，米尺，測角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機(jī)，確定方法后，先畫出測量示意圖，然后進(jìn)行實(shí)

地測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計(jì)算水潭的寬度．

成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時(shí)的兩種測量方案：

方案方案①方案②

測量示意圖

測量說明如圖①，測量員在地面上找如圖②，測量員在地面上找

一點(diǎn)C，在BC連線的中點(diǎn)D一點(diǎn)C，沿著BC向前走到點(diǎn)

處做好標(biāo)記，從點(diǎn)C出發(fā)，D處，使得CD＝AC，沿著

沿著與AB平行的直線向前AC向前走到點(diǎn)E處，使得

走到點(diǎn)E處，使得點(diǎn)E與點(diǎn)CE＝BC，測出D、E兩點(diǎn)之

A、D在一條直線上，測出間的距離

CE的長度

測量結(jié)果CE＝20m，BD＝CD，CE∥AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m

AB

請你選擇上述兩種方案中的一種，計(jì)算水潭的寬度AB．

【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用．

【專題】三角形；推理能力．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】選擇方案①：先證明∠ABC＝∠C，結(jié)合∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，可得△ABD≌△ECD，再

利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

選擇方案②：直接利用SAS證明△ACB≌△DCE，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

【解答】解：選擇方案①；

∵CE∥AB，

∴∠ABC＝∠C，

∵∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，

∴△ABD≌△ECD，

∵CE＝20m，

∴AB＝CE＝20（m），

∴水潭的寬度AB為20m；

選擇方案②：

∵AC＝DC，BC＝EC，∠ACB＝∠DCE，

∴△ACB≌△DCE，

∵DE＝20m，

∴AB＝DE＝20（m），

∴水潭的寬度AB為20m；

【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定方法與全等三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)

鍵．

20．將△ABC和△DEF如圖放置．已知AB＝DE，∠D+∠CHF＝180°，AB∥EF，求證：△ABC≌△DEF．

【考點(diǎn)】全等三角形的判定．

【專題】圖形的全等；推理能力．

【答案】見解答．

【分析】先根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到∠D＝∠CHE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠DEF，∠CHE＝∠A，

所以∠A＝∠D，然后利用“ASA”可判斷△ABC≌△DEF．

【解答】證明：∵∠D+∠CHF＝180°，∠CHF+∠CHE＝180°，

∴∠D＝∠CHE，

∵AB∥EF，

∴∠B＝∠DEF，∠CHE＝∠A，

∴∠A＝∠D，

在△ABC和△DEF中，

∠∠

，

?=?

??=??

∴∠△?A=BC∠?≌?△?DEF（ASA）．

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵；選用哪

一種方法，取決于題目中的已知條件．

考點(diǎn)卡片

1．?dāng)?shù)軸

（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向．

（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方

向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)．）

（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．

2．解一元一次不等式組

（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組

的解集．

（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．

（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些

解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．

方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．

解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．

3．一元一次不等式組的整數(shù)解

（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．

解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一

步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．

（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．

一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)

果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．

4．線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短

線段公理

兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．

簡單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短．

5．平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

2、兩條平行線之間的距離處處相等．

6．三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△底×高．

1

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．=2×

7．三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．

（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短

的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．

（3）三角形的兩邊差小于第三邊．

（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，

容易忽略．

8．全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對應(yīng)鄰邊．

9．全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形．

10．全等三角形的應(yīng)用

（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目

的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．

（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基

本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三

角形來證明．

（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為

三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．

11．角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，

有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵

C在∠AOB