微專題18等腰三角形與直角三角形

考點精講

構(gòu)建知識體系

考點梳理

1.等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)(6年7考)

等腰直角

圖形名稱等腰三角形等邊三角形直角三角形

三角形

圖形

勾股定理：若直角三

角形的兩直角邊分別

邊兩腰①三邊相等兩直角邊相等

為a，b，斜邊為c，

則有?

三角相等，且

兩銳角相等且

性角兩底角②每一個角都等兩銳角之和等于?

都等于45°

質(zhì)于⑧

等腰三角形頂

(1)斜邊上的中線等1.滿足“三線

角的③、

特殊滿足“三線合于?合一”

④、⑤

性質(zhì)一”(2)30°角所對的直2.斜邊上的中

相互重合(簡記

角邊等于?線等于?

為“三線合

第1頁共12頁

一”)

等腰三角形是等邊三角形是

等腰直角三角

軸對稱圖形，有軸對稱圖形，

形是軸對稱圖

對稱⑥條對稱有⑨條對

—形，有?

性軸，對稱軸是稱軸，對稱軸

條對稱軸，對稱

⑦是⑩

軸是?

面積計S＝?

S＝ah＝?S＝ch＝?S＝ch＝?

算公式111

222

2.等腰三角形與直角三角形的判定(6年6考)

練考點

1.在△ABC中，AB＝AC.

(1)若△ABC的周長為12，一邊長為5，則BC＝；

(2)若△ABC的一個內(nèi)角為80°，則∠B＝°；

(3)如圖，延長BC至點D，使得CD＝AC，CE平分∠ACD交AD于點E，若AB

＝5，AD＝8，則CE＝.

第1題圖

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2.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線.

第2題圖

(1)若∠B＝2∠C，則∠B＝；

(2)在(1)的條件下，若AB＝4，則AD＝，∠ADB＝°；

(3)若△ABC中兩邊長分別為3，4，則△ABC的周長為.

3.如果△ABC的三邊長a，b，c滿足a∶b∶c＝1∶1∶，那么△ABC是()

A.等邊三角形2

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.等腰直角三角形

高頻考點

考點1等腰三角形的相關(guān)證明及計算(2020.20)

例1如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，F(xiàn)為CA的延

長線上一點，過點F作FG⊥BC于點G，交AB于點E.

(1)求證：AD∥FG；

(2)試判斷△AEF的形狀，并說明理由；

(3)如圖②，連接CE，若CE⊥AB，AB＝13，BC＝10，求CE的長；

(4)若∠B＝60°，BC＝8，E為AB的中點，求BG的長.

圖①

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圖②

例1題圖

考點2直角三角形的相關(guān)證明及計算(6年3考)

例2如圖①，已知在△ABC中，CD是邊AB上的高，∠A＝∠BCD.

(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(2)若∠A＝30°，BD＝，求AC的長；

(3)若AC＝，BD＝4，求3AD的長；

(4)如圖②，A5E平分∠CAB交CD于點F，交CB于點E，求證：CE＝CF.

圖①

圖②

例2題圖

真題及變式

命題點1特殊三角形的判定(6年7考，常在計算題中涉及考查)

1.(2020廣東20題6分·人教七上習(xí)題改編)如圖，在△ABC中，點D，E分別是

AB，AC邊上的點，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE與CD相交于點F.求證：△

ABC是等腰三角形.

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第1題圖

2.(2020廣東21(2)題5分)若a＝－4，b＝12，一個三角形的一條邊的長為2，

另外兩條邊的長是關(guān)于x的方程x2＋a3x＋b＝0的解.試判斷該三角形的形狀，并6

說明理由.

2.1變條件——將已知條件變?yōu)榕c非負(fù)性結(jié)合

已知△ABC的三邊長a，b，c滿足(a－b)2＋－－＋｜c－3｜＝0，則△

ABC是()2??32

A.等邊三角形B.鈍角三角形

C.銳角三角形D.等腰直角三角形

命題點2與特殊三角形有關(guān)的計算(6年7考，常在幾何題中涉及考查)

3.(2021廣東20題6分·北師八下習(xí)題改編)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°.

作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB.

(1)若AE＝1，求△ABD的周長；

(2)若AD＝BD，求tan∠ABC的值.

1

3

第3題圖

新考法

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4.[綜合與實踐]

數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“黃金三角形”為主題展開探究活動.

【查閱資料】在等腰三角形中，若底與腰的比是－，則這個三角形是黃金三角

51

形.2

【動手操作】如圖①是老師展示的一張郵票，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)郵票中五角星的五個角

都是36°，并制作了相同五角星如圖②所示，∠A的度數(shù)為36°，且AD＝AB

＝1，于是猜測△ABD是黃金三角形.

【解決問題】

(1)∠CBD＝°；

(2)求證：△ABD是黃金三角形；

(3)如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝18°，BC＝1，求AB的長.

第4題圖

第6頁共12頁

考點精講

①相等②相等③平分線④底邊上的高⑤底邊上的中線⑥1⑦底邊上

的高(或底邊上的中線或頂角的平分線)所在的直線⑧60°⑨3⑩每條邊上

的高(或中線或內(nèi)角平分線)所在的直線?a2＋b2＝c2

?90°?斜邊的一半?斜邊的一半?斜邊的一半?一?斜邊上的高(或

中線或頂角的平分線)所在的直線?ah?a2?ab?a2?90°(直角)

1311

?60°?相等2422

練考點

1.(1)2或5；(2)50或80；(3)3

2.(1)60°；(2)4，60；(3)12或7＋

3.D7

高頻考點

例1(1)證明：∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，

∴AD⊥BC，

∵FG⊥BC，

∴AD∥FG；

(2)解：△AEF等腰三角形，理由如下：

∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，

∴∠BAD＝∠CAD，

由(1)知AD∥FG，

∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，

∴∠F＝∠AEF，

∴AF＝AE，

即△AEF是等腰三角形；

(3)解：∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，

第7頁共12頁

∴BD＝CD＝5，AD⊥BC，

∴在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AD＝－＝－＝12，

2222

∵CE⊥AB，????135

∴S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，

11

即×10×212＝×132×CE，解得CE＝；

11120

(4)2解：∵∠B＝260°，AB＝AC，13

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝8，

∵FG⊥BC，

∴∠BEG＝90°－∠B＝30°，

∵E是AB的中點，

∴BE＝AB＝4，

1

∵在Rt△2BEG中，∠BEG＝30°，

∴BG＝BE＝2.

1

例2(12)解：△ABC是直角三角形，理由如下：

∵CD是邊AB上的高，

∴∠ADC＝90°，即∠A＋∠ACD＝90°.

∵∠A＝∠BCD，

∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠ACB，

∴△ABC是直角三角形；

(2)解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴AB＝2BC，∠B＝60°，

∵CD是斜邊AB上的高，

∴∠BDC＝90°，

第8頁共12頁

∴∠DCB＝90°－∠B＝30°，

∴BC＝2BD，

∴AB＝4BD；

∴AB＝4，BC＝2，

33

∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝－＝6；

22

(3)解：∵CD⊥AB，????

∴∠ADC＝∠ACB＝90°，且∠CAD＝∠BAC，

∴△ACD∽△ABC，

∴＝，

????

∵A??B＝?B?D＋AD，

∴＝，

＋

????

∵A??C＝??，??BD＝4，

∴＝5，

5??

解得4+?A?D＝5－5(舍去)或AD＝1，

∴AD＝1；

(4)證明：在Rt△AEC中，∠CEA＝90°－∠1，

在Rt△AFD中，∠AFD＝90°－∠2，

∵AE平分∠CAB，

∴∠1＝∠2，

∴∠AFD＝∠CEF，

又∵∠CFE＝∠AFD，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF.

真題及變式

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1.證明：在△BDF和△CEF中，

＝

＝，

∠???∠???

＝

∠???∠???

∴?△?BD?F?≌△CEF(AAS)，

∴BF＝CF，

∴∠FBC＝∠FCB，

∴∠DBF＋∠FBC＝∠ECF＋∠FCB，

即∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形.

2.解：該三角形是等腰直角三角形，理由如下：

∵a＝－4，b＝12，∴關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0即為x2－4x＋12＝0，

解得x1＝x23＝2，3

∴該三角形是等3腰三角形，

∵(2)2＋(2)2＝(2)2，

∴該三3角形是等3腰直角6三角形.

－

變式2.1D【解析】由題意得－－，解得，∵a2＋b2＝c2，

??=0?=3

－

2??3=0?=3

且a＝b，∴△ABC是等腰直角三角?形.32=0?=32

3.解：(1)如解圖，設(shè)DF交BC于點F，由題意得AB＝CE，DF垂直平分BC，

連接BD，

∴BD＝DC，

∴△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝CE＋AC＝AE＝1；

(2)設(shè)AD＝x，由AD＝BD，得BD＝3x，在Rt△ABD中，∠A＝90°，

1

31012

∴AB＝－＝2x，

22

由(1)得C?D?＝BD?＝?3x，2

∴AC＝AD＋CD＝4x，

∴tan∠ABC＝＝＝.

??4?

??22?2

第3題解圖

4.(1)解：36；

【解法提示】∵∠A＝36°，AB＝AD，∴∠ADB＝(180°－∠A)＝72°，又

1

∵∠ADB＝∠C＋∠CBD，∠C＝36°，∴∠CBD＝2∠ADB－∠C＝36°.

(2)證明：∵∠A＝∠C＝∠CBD＝36°，

∴AB＝BC＝1，∴△BDC∽△ABC，∴＝.

????

設(shè)BD＝x，則AC＝1＋x，∴＝，????

?1

－－－

2