大題概率統(tǒng)計(jì)（精選30題）

1.（2024?浙江紹興?二模）盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2的小球各2個.

（1）若有放回地隨機(jī)取出2個小球，求取出的2個小球上的數(shù)字不同的概率；

（2）若不放回地依次隨機(jī)取出4個小球，記相鄰小球上的數(shù)字相同的對數(shù)為X（如1122,則X=2）,求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

2.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）甲、乙兩人進(jìn)行某棋類比賽，每局比賽時，若決出輸贏則獲勝方得2分，負(fù)

方得o分；若平局則各得1分.已知甲在每局中獲勝、平局、負(fù)的概率均為;，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴若比賽共進(jìn)行了三局，求甲共得3分的概率；

（2）規(guī)定比賽最多進(jìn)行五局，若一方比另一方多得4分，則停止比賽，求比賽局?jǐn)?shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

3.（2024?江蘇南通?二模）某班組建了一支8人的籃球隊(duì)，其中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)入選，該班體育老

師擔(dān)任教練.

（1）從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔(dān)任隊(duì)長和副隊(duì)長，甲不擔(dān)任隊(duì)長，共有多少種選法？

（2）某次傳球基本功訓(xùn)練，體育老師與甲、乙、丙、丁進(jìn)行傳球訓(xùn)練，老師傳給每位學(xué)生的概率都相等，每

位學(xué)生傳球給同學(xué)的概率也相等，學(xué)生傳給老師的概率為，傳球從老師開始，記為第一次傳球，前三次傳

球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測）中國在第75屆聯(lián)合國大會上承諾，努力爭取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳

目標(biāo)”）.新能源電動汽車作為戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用.賽力斯汽車有限公司為

了調(diào)查客戶對旗下AITO問界M7的滿意程度，對所有的意向客戶發(fā)起了滿意度問卷調(diào)查，將打分在80分

以上的客戶稱為“問界粉”.現(xiàn)將參與調(diào)查的客戶打分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖：

頻率

（1）估計(jì)本次調(diào)查客戶打分的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）按是否為“問界粉”比例采用分層抽樣的方法抽取10名客戶前往重慶賽力斯兩江智慧工廠參觀，在10名

參觀的客戶中隨機(jī)抽取2名客戶贈送價值2萬元的購車抵用券.記獲贈購車券的“問界粉”人數(shù)為九求4的

分布列和數(shù)學(xué)期望E(J).

5.(2024?福建三明?三模)某校開設(shè)勞動教育課程，為了有效推動課程實(shí)施，學(xué)校開展勞動課程知識問答競

賽，現(xiàn)有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫，其中家政類占園藝類占!，民族工藝類占;.根據(jù)

442

以往答題經(jīng)驗(yàn)，選手甲答對家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為(2，(2，］4,選手乙答對這三類題

目的概率均為3.

(1)求隨機(jī)任選1題，甲答對的概率；

(2)現(xiàn)進(jìn)行甲、乙雙人對抗賽，規(guī)則如下：兩位選手進(jìn)行三輪答題比賽，每輪只出1道題目，比賽時兩位選

手同時回答這道題，若一人答對且另一人答錯，則答對者得1分，答錯者得-1分，若兩人都答對或都答錯，

則兩人均得0分，累計(jì)得分為正者將獲得獎品，且兩位選手答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影

響，求甲獲得獎品的概率.

6.(2024?江蘇南京?二模)某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x(萬元)與銷售額y(萬元)的數(shù)據(jù)如下：

超市ABCDE

廣告支出尤24568

銷售額y3040606070

(1)從A,B,C,D,E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個數(shù)為X,求隨機(jī)變量

X的分布列及期望E(X)；

(2)利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測廣告支出為10萬元時的銷售額.

^x^-nxy

附：線性回歸方程￡=+&中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：5=等---------，a=y-bx.

2xj-rix2

i=\

7.(2024?重慶?三模)甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，

負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁

判.記隨機(jī)變量=可既悲2=…川，Pi=P(Xj=l),X表示前“局中乙當(dāng)裁判的次數(shù).

(U,弟2同甲以內(nèi)3萩判

⑴求事件“〃=3且X=l”的概率；

⑵求B；

(3)求E(X),并根據(jù)你的理解，說明當(dāng)〃充分大時E(X)的實(shí)際含義.

附：設(shè)X,y都是離散型隨機(jī)變量,則E(x+y)=E(x)+E(F).

8.(2024?安徽池州?二模)學(xué)校組織某項(xiàng)勞動技能測試，每位學(xué)生最多有3次測試機(jī)會.一旦某次測試通過,

便可獲得證書，不再參加以后的測試，否則就繼續(xù)參加測試，直到用完3次機(jī)會.如果每位學(xué)生在3次測試

中通過的概率依次為05060.8,且每次測試是否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測試，回答下列

問題：

(1)求該小組學(xué)生甲參加考試次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)規(guī)定：在2次以內(nèi)測試通過(包含2次)獲得優(yōu)秀證書，超過2次測試通過獲得合格證書，記該小組3

位學(xué)生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為Y,求使得P(Y=k)取最大值時的整數(shù)k.

9.(2024?遼寧?二模)一枚棋子在數(shù)軸上可以左右移動，移動的方式以投擲一個均勻的骰子來決定，規(guī)則如

下：當(dāng)所擲點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)時，棋子不動；當(dāng)所擲點(diǎn)數(shù)為3或5時，棋子在數(shù)軸上向左(數(shù)軸的負(fù)方向)移動“該

點(diǎn)數(shù)減1”個單位；當(dāng)所擲的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)時，棋子在數(shù)軸上向右(數(shù)軸的正方向)移動“該點(diǎn)數(shù)的一半”個單位;

第一次投骰子時，棋子以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點(diǎn).

(1)投擲骰子一次，求棋子的坐標(biāo)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵投擲骰子兩次，求棋子的坐標(biāo)為-2的概率；

(3)投擲股子兩次，在所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的條件下，求棋子的坐標(biāo)為正的概率.

10.(2024?廣東湛江?一模)甲進(jìn)行摸球跳格游戲.圖上標(biāo)有第1格，第2格，…，第25格，棋子開始在第

1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球(5個球除顏色外其他都相同).每次甲在盒中

隨機(jī)摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2

格，直到棋子跳到第24格或第25格時，游戲結(jié)束.記棋子跳到第〃格的概率為￡(〃=1,2,3,…,25).

(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

(2)證明：數(shù)列{￡-%}(〃=2,3,…,24)為等比數(shù)列.

11.(2024?廣東韶關(guān)?二模)小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是:，

擊中區(qū)域乙的概率是：，擊中區(qū)域丙的概率是:，區(qū)域甲，乙、丙均沒有重復(fù)的部分.這次射擊比賽獲獎

規(guī)則是：若擊中區(qū)域甲則獲一等獎；若擊中區(qū)域乙則有一半的機(jī)會獲得二等獎，有一半的機(jī)會獲得三等獎；

若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎；若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評

為“優(yōu)秀射擊手”稱號.

(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率；

（2）小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)獲三等獎的次數(shù)為X,求X分布列和數(shù)學(xué)期望.

12.（2024?河北邢臺?一模）小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和8類題，小張回答A類

題正確的概率為0.9,小張回答8類題正確的概率為0.45.已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍.

（1）求小張?jiān)陬}庫中任選一題，回答正確的概率；

（2）已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張?jiān)谶@10個題

目中恰好回答正確上個（左=0,1,2,L,10）的概率為鼻，則當(dāng)人為何值時，A最大？

13.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）某電競平臺開發(fā)了43兩款訓(xùn)練手腦協(xié)同能力的游戲，A款游戲規(guī)則是：

五關(guān)競擊有獎闖關(guān)，每位玩家上一關(guān)通過才能進(jìn)入下一關(guān)，上一關(guān)沒有通過則不能進(jìn)入下一關(guān)，且每關(guān)第

一次沒有通過都有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，各關(guān)和同一關(guān)的兩次挑戰(zhàn)能否通過相

互獨(dú)立，競擊的五關(guān)分別依據(jù)其難度賦分.8款游戲規(guī)則是：共設(shè)計(jì)了"（〃eN*且〃》2）關(guān)，每位玩家都有

〃次闖關(guān)機(jī)會，每關(guān)闖關(guān)成功的概率為§,不成功的概率為；，每關(guān)闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立；第1次闖關(guān)時，

若闖關(guān)成功則得10分，否則得5分.從第2次闖關(guān)開始，若闖關(guān)成功則獲得上一次闖關(guān)得分的兩倍，否則得

5分.電競游戲玩家甲先后玩AJ?兩款游戲.

（1）電競游戲玩家甲玩A款游戲，若第一關(guān)通過的概率為:，第二關(guān)通過的概率為:，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)

43

的概率；

⑵電競游戲玩家甲玩B款游戲，記玩家甲第i次闖關(guān)獲得的分?jǐn)?shù)為X,?=l,2,?,〃），求E（XJ關(guān)于i的解析

式，并求即Xg）的值.（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：?0.059.）

14.（2024?湖南邵陽?模擬預(yù)測）2023年8月3日，公安部召開的新聞發(fā)布會公布了“提高道路資源利用率”

和“便利交通物流貨運(yùn)車輛通行”優(yōu)化措施，其中第二條提出推動緩解停車難問題.在持續(xù)推進(jìn)緩解城鎮(zhèn)老

舊小區(qū)居民停車難改革措施的基礎(chǔ)上，因地制宜在學(xué)校、醫(yī)院門口設(shè)置限時停車位，支持鼓勵住宅小區(qū)和

機(jī)構(gòu)停車位錯時共享.某醫(yī)院門口設(shè)置了限時停車場（停車時間不超過60分鐘），制定收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：停

車時間不超過15分鐘的免費(fèi)，超過15分鐘但不超過30分鐘收費(fèi)3元，超過30分鐘但不超過45分鐘收費(fèi)

9元，超過45分鐘但不超過60分鐘收費(fèi)18元，超過60分鐘必須立刻離開停車場.甲、乙兩人相互獨(dú)立地

來該停車場停車，且甲、乙的停車時間的概率如下表所示：

停車時間/分鐘(0,15](15,30](30,45](45,60]

￡￡

甲3aa

44

1

乙2bb

63

設(shè)此次停車中，甲所付停車費(fèi)用為X,乙所付停車費(fèi)用為F.

⑴在X+Y=18的條件下，求X2y的概率；

(2)若&=|x-y|,求隨機(jī)變量4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

15.(2024?湖北?一模)2023年12月30號，長征二號丙/遠(yuǎn)征一號S運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火起飛，

隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿完成，此次任務(wù)是長征系列運(yùn)載火

箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官.某市一調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對我國航天事

業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)的從本市大學(xué)生和高中生中抽取一個容量為”的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:

關(guān)注度

學(xué)生群體合計(jì)

關(guān)注不關(guān)注

17

大學(xué)生—n——n

210

高中生

3

合計(jì)—n

5

附:

a0.10.050.00250.010.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-bc)2,

/2=m+b)(c+d)(a+c)(Hd)'其中1

(1)完成上述列聯(lián)表，依據(jù)小概率值＜/=0。5的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)，求樣本

容量n的最小值;

(2)該市為了提高本市學(xué)生對航天事業(yè)的關(guān)注，舉辦了一次航天知識闖關(guān)比賽，包含三個問題，有兩種答題

方案選擇:

方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；

方案二：在三個問題中，隨機(jī)選擇兩個問題，都答對可以晉級.

已知小華同學(xué)答出三個問題的概率分別3是彳2，1小華回答三個問題正確與否相互獨(dú)立，則小華應(yīng)該

432

選擇哪種方案晉級的可能性更大？（說明理由）

16.（2024?湖北?二模）吸煙有害健康，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)4名吸煙者的吸煙量x與損傷度y,數(shù)據(jù)如下表:

吸煙量尤1456

損傷度y3867

（1）從這4名吸煙者中任取2名，其中有1名吸煙者的損傷度為8,求另1吸煙者的吸煙量為6的概率；

⑵在實(shí)際應(yīng)用中，通常用各散點(diǎn)（廠,V）到直線y=笈+〃的距離的平方和S='（如+a-%尸來刻畫“整體接近

1=1

程度”S越小，表示擬合效果越好.試根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程y=嬴+&.并根據(jù)所求經(jīng)驗(yàn)回歸

直線估計(jì)損傷度為10時的吸煙量.

-￡（毛-?。▂-歹）.

附：---------,a=y-bx.

，（占-君2

i=l

17.（2024?山東棗莊?一模）有甲、乙兩個不透明的罐子，甲罐有3個紅球，2個黑球，球除顏色外大小完全

相同.某人做摸球答題游戲.規(guī)則如下：每次答題前先從甲罐內(nèi)隨機(jī)摸出一球，然后答題.若答題正確，

則將該球放入乙罐；若答題錯誤，則將該球放回甲罐.此人答對每一道題目的概率均為g.當(dāng)甲罐內(nèi)無球

時，游戲停止.假設(shè)開始時乙罐無球.

（1）求此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅球、黑球各1個的概率；

⑵設(shè)第eN*,”25）次答題后游戲停止的概率為a,.

①求凡;

②。"是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，試說明理由.

18.（2024?安徽合肥?二模）樹人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

性別參加考試人數(shù)平均成績標(biāo)準(zhǔn)差

男3010016

女209019

在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為占，龍2,尤3，，%，其平均數(shù)記為最

方差記為s；；把第二層樣本記為%,%，%，?，%，其平均數(shù)記為7,方差記為學(xué)；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記

為白方差記為d.

(2)求該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(精確到1)；

(3)假設(shè)全年級學(xué)生的考試成績服從正態(tài)分布以該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作

為〃和。的估計(jì)值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分到低分依次劃分為四

個等級，試確定各等級的分?jǐn)?shù)線(精確到1).

附：P(xz-or<X<//+cr)^0.68,7302-17,7322?18,>/352~19.

19.(2024?福建福州?模擬預(yù)測)甲企業(yè)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件尺寸的誤差X服從正態(tài)分布N(0,0.2),規(guī)定

Xe(-0.2,0.2)的零件為優(yōu)等品，Xe(-0.6,0.6)的零件為合格品.

(1)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個零件，估計(jì)抽到合格品但非優(yōu)等品的個數(shù)(精確到整數(shù))；

(2)乙企業(yè)擬向甲企業(yè)購買這批零件，先對該批零件進(jìn)行質(zhì)量抽檢，檢測的方案是：從這批零件中任取2個

作檢測，若這2個零件都是優(yōu)等品，則通過檢測；若這2個零件中恰有1個為優(yōu)等品，1個為合格品但非優(yōu)

等品，則再從這批零件中任取1個作檢測，若為優(yōu)等品，則通過檢測；其余情況都不通過檢測.求這批零

件通過檢測時，檢測了2個零件的概率(精確到0.01).

(附：若隨機(jī)變量。N(〃,b2),貝ijp(〃一b<J<〃+b)=0.6827,P(〃-2b<J<〃+2b)=0.9545,

P(〃—3b<自<M+3CT)=0.9973)

20.(2024?河北保定?二模)某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計(jì)了某班級學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績和建立個性化錯題

本的情況，用來研究這兩者是否有關(guān).若從該班級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，設(shè)4="抽取的學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)

學(xué)成績不及格”，3="抽取的學(xué)生建立了個性化錯題本”，且P(A|B)=g,P(B\A)=^,

⑴求尸⑷和

(2)若該班級共有36名學(xué)生，請完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生期末統(tǒng)考中

的數(shù)學(xué)成績與建立個性化錯題本是否有關(guān)，

期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績

個性化錯題本合計(jì)

及格不及格

建立

未建立

合計(jì)

（3）為進(jìn)一步驗(yàn)證（2）中的判斷，該興趣小組準(zhǔn)備在其他班級中抽取一個容量為36發(fā)的樣本（假設(shè)根據(jù)新樣

本數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表中，所有的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為（2）中列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的左倍，且新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)）.

若要使得依據(jù)夕=。001的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以肯定（2）中的判斷，試確定左的最小值

n(ad-bc)

參考公式及數(shù)據(jù)：Z2--------77-------77-------77--------r，n=a+b+c+d.

ya+b)^c+d)^a+c)(b+d)

a0.010.0050.001

%6.6357.87910.828

21.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測）書接上回.麻將學(xué)習(xí)小組中的炎俊同學(xué)在探究完問題后返回家中觀看了《天

才麻將少女》，發(fā)現(xiàn)超能力麻將和現(xiàn)實(shí)麻將存在著諸多不同.為了研究超能力麻將，他使用了一些“雀力值”

和“能力值”來確定每位角色的超能力麻將水平，發(fā)現(xiàn)每位角色在一局麻將中的得分與個人值和該桌平均值

之差存在著較大的關(guān)系.（注：平均值指的是該桌內(nèi)四個人各自的“雀力值”和“能力值”之和的平均值，個人

值類似.）為深入研究這兩者的關(guān)系，他列出了以下表格:

個人值與平均值之差X-9-6-30369

得分y-38600-23100-109000+11800+24100+36700

（1）①計(jì)算xj的相關(guān)系數(shù)r,并判斷工，丁之間是否基本上滿足線性關(guān)系，注意：保留至第一位非9的數(shù).

②求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

③以下為《天才麻將少女》中幾位角色的“雀力值"和“能力值”：

角色宮永照園城寺憐花田煌松實(shí)玄

雀力值249104

能力值241636

試估計(jì)此四位角色坐在一桌打麻將每一位的得分（近似至百位）

（2）在分析了更多的數(shù)據(jù)后，炎俊發(fā)現(xiàn)麻將中存在著很多運(yùn)氣的成分.為衡量運(yùn)氣對于麻將對局的影響，炎俊

建立了以下模型，其中他指出：實(shí)際上的得分并不是一個固定值，而是具有一定分布的，存在著一個標(biāo)準(zhǔn)

差.運(yùn)氣實(shí)際上體現(xiàn)在這一分布當(dāng)中取值的細(xì)微差別.接下去他便需要得出得分的標(biāo)準(zhǔn)差.他發(fā)現(xiàn)這一標(biāo)準(zhǔn)差

來源自兩個方面：一方面是在（1）②問當(dāng)中方程斜率》存在的標(biāo)準(zhǔn)差另一方面則是在不影響平均值的

情況下，實(shí)際表現(xiàn)“個人值”X符合正態(tài)分布規(guī)律（〃為評估得出的個人值.）已知松實(shí)玄實(shí)際

表現(xiàn)個人值滿足P（X>10.5）=0.02275,求（1）③中其得分的標(biāo)準(zhǔn)差.（四舍五入到百位）

（3）現(xiàn)在新提出了一種賽制：參賽者從平均值為10開始進(jìn)行第一輪挑戰(zhàn)，之后每一輪對手的“雀力值“和“能

力值”均會提升至原來的；我們設(shè)進(jìn)行了i輪之后，在前i輪內(nèi)該參賽者的總得分為磯X〉；若園城寺憐參

加了此比賽，求

z=i2

77

③對于隨機(jī)變量X~N（〃,b2）,P（ju-a<X<ju+a）~0.6827,尸（〃一2crWXW〃+2。）處0.9545,

P（〃—3cr4X4〃+30b0.9973.

④國<<1時，（1+x）"al+ax,tzeR；

⑤對間接計(jì)算得出的值/=犯有標(biāo)準(zhǔn)差V滿足

@—1―-3.2X10-4；扃。26；72946524^1715x（1+9x10^'）

3136''

22.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）“踩高蹺，猜燈謎”是我國元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動.某地為了弘揚(yáng)文化傳統(tǒng),

發(fā)展“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動.

（1）某商戶借“燈謎”活動促銷，將燈謎按難易度分為3、C兩類，抽到較易的B類并答對購物打八折優(yōu)惠，抽

到稍難的C類并答對購物打七折優(yōu)惠，抽取燈謎規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，

其中3張寫有A字母，3張寫有3字母，2張寫有C字母，顧客每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片，若抽

到寫有A的卡片，則再抽1次，直至取到寫有B或C卡片為止，求該顧客取到寫有8卡片的概率.

（2）小明嘗試去找全街最適合他的燈謎，規(guī)定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，他在街道上一共

會遇到〃條燈謎（不妨設(shè)每條燈謎的適合度各不相同），最適合的燈謎出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，小明

準(zhǔn)備采用如下策略：不摘前左。＜左＜〃）條燈謎，自第七+1條開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的燈謎適合的，

就摘這條燈謎，否則就摘最后一條，設(shè)％=制，記小明摘到那條最適合的燈謎的概率為P.

①若n=4,k-2,求P；

②當(dāng)〃趨向于無窮大時，從理論的角度，求尸的最大值及尸取最大值時f的值.（取：+1工++工=1113）

23.（2024?安徽?模擬預(yù)測）某校在90周年校慶到來之際，為了豐富教師的學(xué)習(xí)和生活,特舉行了答題競賽.在

競賽中，每位參賽教師答題若干次，每一次答題的賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10

分，從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題所得分?jǐn)?shù)兩倍的得分，答錯得10分，教師甲參加答題競賽，

每次答對的概率均為每次答題是否答對互不影響.

⑴求甲前3次答題的得分之和為70分的概率.

⑵記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)eN*）的數(shù)學(xué)期望為.

（i）求E（Xj,E（X2）,E（X3）,并猜想當(dāng)上2時,E（Xj與E（X“）之間的關(guān)系式;

（ii）若￡E（X,）＞320,求〃的最小值.

1=1

24.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）某自然保護(hù)區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動物數(shù)量有大幅度的增加.已知

這種動物尸擁有兩個亞種（分別記為A種和8種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目，某動物研究小組

計(jì)劃在該區(qū)域中捕捉100個動物產(chǎn)，統(tǒng)計(jì)其中A種的數(shù)目后，將捕獲的動物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.

重復(fù)進(jìn)行這個試驗(yàn)共20次，記第i次試驗(yàn)中A種的數(shù)目為隨機(jī)變量X,?=1,2,,20）.設(shè)該區(qū)域中A種的數(shù)目

為M,B種的數(shù)目為N（M,N均大于100）,每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.

（1）求X]的分布列；

⑵記隨機(jī)變量一已知E（X,+xj=E（Xj+E（X,）,O（X,+X,）=O（X,）+O（XJ

⑴證明：￡（%）=￡（%1）,D（X）=^D（X1）；

（ii）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到X,的實(shí)際取值分別為%[=1,2,,20）.數(shù)據(jù)%[=1,2,,20）的平均值

嚏=30,方差$2=1.采用最和d分別代替石岡和。岡，給出〃，N的估計(jì)值.

(已知隨機(jī)變量尤服從超幾何分布記為：x~"(P,〃,Q)(其中尸為總數(shù)，。為某類元素的個數(shù)，”為抽取

的個數(shù))，則

25.(2024?廣東廣州?一模)某校開展科普知識團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動，該活動共有兩關(guān)，每個團(tuán)隊(duì)由

w(〃N3,〃eN*)位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功,

則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，

則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或

所有成員全部上場參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動結(jié)束.已知A團(tuán)隊(duì)每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率

分別為［和)，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.

(1)若〃=3,用X表示A團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動結(jié)束時上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求X的均值；

⑵記A團(tuán)隊(duì)第?14心eN*)位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為Pk，集合北eN,

<128中元素的

最小值為人o，規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)〃=%+1,求".

26.(2024?廣東深圳?二模)某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生

產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格

品率為98%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個，用頻率估計(jì)概率，記這3個零件中來自甲工廠的個數(shù)為X,求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo).已知在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的

條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)

把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.設(shè)事件A="甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”，事件3="該大型企業(yè)

把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知?！词?lt;1,證明：P(A|B)>P(A|B).

27.(2024?湖南?二模)某大學(xué)有甲、乙兩個運(yùn)動場.假設(shè)同學(xué)們可以任意選擇其中一個運(yùn)動場鍛煉，也可選擇

不鍛煉,一天最多鍛煉一次，一次只能選擇一個運(yùn)動場.若同學(xué)們每次鍛煉選擇去甲或乙運(yùn)動場的概率均為g,

每次選擇相互獨(dú)立.設(shè)王同學(xué)在某個假期的三天內(nèi)去運(yùn)動場鍛煉的次數(shù)為X,已知X的分布列如下：(其中

<2>0,0<p<l)

X0123

a

Pa(l-p)2aa(l-P)

P

(1)記事件4表示王同學(xué)假期三天內(nèi)去運(yùn)動場鍛煉i次(，=0,1,2,3),事件B表示王同學(xué)在這三天內(nèi)去甲運(yùn)動場

鍛煉的次數(shù)大于去乙運(yùn)動場鍛煉的次數(shù).當(dāng)P=g時，試根據(jù)全概率公式求產(chǎn)(為的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)〃，使得E(X)=g?若存在，求P的值：若不存在，請說明理由；

(3)記M表示事件“甲運(yùn)動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動”，N表示事件“王同學(xué)去甲運(yùn)動場鍛煉"，0<P(M)<1.

已知王同學(xué)在甲運(yùn)動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動的情況下去甲運(yùn)動