專題12數(shù)列不等式放縮技巧

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

rn占nt口馬囪.田姓己I白吉q

03知識(shí)梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................6

05核心精講?題型突破............................................................8

題型一：先求和后放縮8

題型二：裂項(xiàng)放縮10

題型三：等比放縮12

題型四：￡@<(>)/(")型不等式的證明14

i=\

題型五：立4<(?/(?)型不等式的證明15

4=1

題型六：fq<(>)6型不等式的證明17

Z=1

題型七：在4<(>)b型不等式的證明19

Z=1

重難點(diǎn)突破：利用遞推關(guān)系進(jìn)行放縮21

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

數(shù)列放縮技巧是高考數(shù)學(xué)中的核心考點(diǎn)，尤其在數(shù)列與不等式相結(jié)合的復(fù)雜問(wèn)題中更為凸顯。當(dāng)前，

這類問(wèn)題的難度已趨于穩(wěn)定，保持在中等偏難水平。解題時(shí)，關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活處理，特別

是通過(guò)巧妙的變形來(lái)接近那些具有明確求和公式的數(shù)列類型。在此過(guò)程中，向可裂項(xiàng)相消的數(shù)列和等比數(shù)

列靠攏，成為了放縮策略中的高級(jí)且有效的手段。

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

預(yù)測(cè)2025年高考數(shù)學(xué)

試題趨勢(shì)，多以解答題形式

出現(xiàn)，具體估計(jì)為：（D在

導(dǎo)數(shù)題目的壓軸環(huán)節(jié)，第二

問(wèn)極有可能涉及利用導(dǎo)數(shù)

理論進(jìn)行數(shù)列不等式的證

明，此類型問(wèn)題預(yù)計(jì)將具備

2023年n卷第18題，12分較高的思維難度與解題復(fù)

2022年I卷第17題，10分

掌握技巧，提升解雜度，對(duì)考生的邏輯推理與

數(shù)列不等式2021年乙卷第19題，12分

題能力數(shù)學(xué)分析能力提出嚴(yán)峻挑

2021年II卷第17題，10分

戰(zhàn)。（）至于數(shù)列解答題部

2021年浙江卷第20題，15分2

分，其第二問(wèn)預(yù)計(jì)將以中等

偏上的難度水平出現(xiàn)，該題

預(yù)計(jì)將融合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)

成一道綜合性較強(qiáng)的題目，

旨在全面考察考生對(duì)數(shù)列

知識(shí)的深入理解及靈活運(yùn)

用能力。

匐2

〃用識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

知識(shí)揄理?方法技巧

常見(jiàn)放縮公式:

11

(1)--------—(n>2)；

K(〃—1)〃n—1n

1111

(2)

〃(〃+1)nn+1

14411

(3)——-----<---------=2

22

幾24n4H-12n-l2〃+1

n\111

(4)------------,—<—v----------(r2);

r!(n-r)!nrr\r(r-l)7^4-

11<1+1+-^—+^—++1

(5)+<3；

n1x22x3

122

(6)=2^-y/n—l+6)(〃22)；

品\[n+y/nJn-1+G

122

(7)=2,^—y/n+{TI+1)；

Vn品+\fny/n+，n+\

1222A/2

(8)

yfnyjn+yfn1J2n—1+「2,+1

(9)(n>2)；

2〃T—12n-l

x/n+l—1

(10)

J〃+l+J〃-l

2金

(6+J〃T)

-2(-1-2

y/n-17n

----=---------<--------1------=2-----2--=-2------

2--1(1+1)--1C°+C\+C；-\〃5+1)nn+1

12"~11/一、

2n-1(2"T-1)(2〃-1)2"T-12n-1v7

2<1<2

(14)2(J〃+1—A/H)=2(6—Qn—l).

7?+i+6石石+&-1

（15）二項(xiàng)式定理

①由于2"-1=(1+1)"-1=(端+6；++C；)-1>C：+C；="(二1)(“N3),

于是“〈高=2

1_J_(?>3)

nn+\

@2">2n+l(n>3),

X=(1+1),!=C°+C*++￡'1+￡；>C：+2C：=2"+1；

2">n2+n+2(〃>5),

2"=(1+1)。=C：+C：+C；++Cf2+C；；-1+C；；>2C°+2C'+2C^=n2+n+2

(16)糖水不等式

>a>0,m>0,則旦土生〉區(qū)；^b>a>m>0,則a-m

b+mbb-m

0

〃真題班拚精御皿\\

1.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知｛叫是等差數(shù)列，a2+a5=16,a5-a3=4.

2n-l

⑴求也,｝的通項(xiàng)公式和

i=2n-x

⑵設(shè)圾｝是等比數(shù)列，且對(duì)任意的人eN*,當(dāng)214〃42、1時(shí)，則bk<an<bk+l,

kk

（I）當(dāng)上22時(shí)，求證：2-l<bk<2+l.

（H）求也｝的通項(xiàng)公式及前九項(xiàng)和.

2.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）記5“為數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和，己知％是公差為3的等差數(shù)

列.

⑴求｛〃“｝的通項(xiàng)公式;

111c

(2)證明：一+—+-+—<2

qa2an

3.（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知｛即｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.｛如｝是公比大于。的

等比數(shù)列，4也-用=48.

（I）求｛%｝和｛匕｝的通項(xiàng)公式;

1*

（II）記c〃=b2n十大幾wN

bn

（i）證明歸-%｝是等比數(shù)列；

(ii)證明tJ孚

k=iyck~c2k

4.（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）己知數(shù)列「｛%、｝的前〃項(xiàng)和為九%=，9，且4S"M=3S”-9.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)；

（2）設(shè)數(shù)列他,｝滿足3d+（w-4）a“=0SeN*）,記｛么｝的前〃項(xiàng)和為看,若（《獨(dú)，對(duì)任意〃eN*恒成立,

求實(shí)數(shù)幾的取值范圍.

5.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列｛即｝,｛m｝,｛⑺中,

?i=4=9=1，%=?！?1一氏，%+1=｝，c”（neN"）.

2+2

（I）若數(shù)列｛加｝為等比數(shù)列，且公比q〉0,且偽+d=64，求4與｛所｝的通項(xiàng)公式；

（H）若數(shù)列｛加｝為等差數(shù)列，且公差］〉0,證明：C1+c2++q,<l+L.（〃eN*）

㈤5

孩心精說(shuō)，題型突破

題型一：先求和后放縮

【典例1-1】(2024?高三?遼寧大連?期中)已知｛?！埃那皐項(xiàng)和為"，4=2,且滿足,現(xiàn)有以下條件:

-4〃+1_A一

①2q+2%2+2%3H-----—-—;②3二？〃“-2；③S〃+i-2S〃=2

請(qǐng)?jiān)谌齻€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問(wèn)題:

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2n+l3

⑵若包="log?一,求的前〃項(xiàng)和小并證明：-^,<1.

【典例1-2］已知數(shù)列｛〃“｝滿足：｛。“+%+|｝是公差為6的等差數(shù)列，｛q+%+|+q+2｝是公差為9的等差數(shù)歹|,

且弓=1.

(1)證明：｛%｝是等差數(shù)列；

⑵設(shè)6是方程2/+3犬-2=0的根，數(shù)列付”｝的前〃項(xiàng)和為S“，證明：S,<|.

先求和后放縮方法是一種處理數(shù)列不等式問(wèn)題的有效策略。其核心思路在于，首先通過(guò)求和將數(shù)列的

項(xiàng)合并，簡(jiǎn)化問(wèn)題形式；接著，在求和的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，即利用不等式的性質(zhì)對(duì)求和結(jié)果進(jìn)行放

大或縮小，從而更便于進(jìn)行后續(xù)的比較和推導(dǎo)。

【變式1-2］已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,。用=2”“-〃+1.記￡=%-〃.

⑴證明：數(shù)列｛〃｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列件｝的前〃項(xiàng)和S"；

b?

(3)若%=二：，數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為1,，求證：

【變式1-3】已知在數(shù)列｛%｝中，％=4〃],且當(dāng)〃之2時(shí)，%=3%_i+2.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)么=絲2，數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為九證明：S“<"

anan+\4

命題預(yù)測(cè)

1.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S".若對(duì)任意的正整數(shù)"，總存在正整數(shù)加，使得s“=m，則稱｛(｝是數(shù)

列

f2,M=1X

⑴若4=23〃>2'判斷數(shù)列(｛%｝是否是“H數(shù)列”；

(2)設(shè)口｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)仇=1,公差deN*,且也｝是“H數(shù)列”，

①求d的值；

②設(shè)c,=(-D"4(：”；〃，名為數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和，證明：

題型二：裂項(xiàng)放縮

【典例2-1］已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,其前〃項(xiàng)和為S,,等比數(shù)列也｝是首項(xiàng)為1的遞增數(shù)列，若

3nan+1-6Sn=〃(〃+1)(〃+2),84+2%=功.

⑴求數(shù)列｛??｝和也｝的通項(xiàng)公式；

1111c

(2)證明：—+—+—+-+—<2；

G/2

(3)求使得為上勿成立的最大整數(shù)”.

2

【典例2-2］數(shù)列｛風(fēng)｝中，4=1,an+l=2an-n+3n,(〃eN*).

(1)試求力、〃的值，使得數(shù)歹!)｛4+力12+〃〃｝為等比數(shù)列；

⑵設(shè)數(shù)列｛2｝滿足：bn=°+3-,S“為數(shù)列也｝的前w項(xiàng)和，證明：時(shí)，(“+：；“+］)<S“<?

放縮方法是一種處理數(shù)列求和及不等式證明的技巧。其核心在于將數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，即將其拆分

為兩部分或多部分，以便更容易地觀察其規(guī)律或進(jìn)行放縮。

在裂項(xiàng)后，我們可以根據(jù)不等式的需要，對(duì)拆分后的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小。這種放縮通?；跀?shù)

列的單調(diào)性、有界性或其他已知性質(zhì)。

裂項(xiàng)放縮方法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確裂項(xiàng)和合理放縮，它能夠幫助我們簡(jiǎn)化問(wèn)題，揭示數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律，從

而更輕松地證明數(shù)列不等式。

【變式2-11已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足q=1,g=2,且對(duì)于任意〃N*,滿足

(1)求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a==，證明：數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和

an3

n(1][11

⑶設(shè)s“=￡----------,證明：s?<-.

i=o\a3k+la3k+2J1d

【變式2-2]已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，2s“=("+1)%，且%=3.

⑴求；

⑵若從數(shù)列中刪除｛%｝中的項(xiàng)，余下的數(shù)組成數(shù)列｛2｝.

①求數(shù)列j4的前"項(xiàng)和T?；

也也,+iJ

②若配成等比數(shù)列，記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為4,證明：4<1-

[命題預(yù)測(cè)1

1.已知數(shù)列出｝的前“項(xiàng)和為S,,且池+32為+...+3*“=S,+〃2.

(1)求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

4

(2)證明：S?<-.

題型三：等比放縮

【典例3-1】已知數(shù)列以｝滿足％=3,“用=鏟"為奇數(shù)(?eN*).

a〃一3n,幾為偶數(shù)

3

⑴記5(〃eN*),證明：數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，并求｛么｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛乙｝的前2〃項(xiàng)和S2n；

2h-13〃

(3)設(shè)孰=寶-(〃eN*),且數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為，，求證：T-n<ln---------1(neN*).

2%-13〃-1

【典例3-2］已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足44包=4+2,q=?,-^—=bn-^.

7乙J

⑴證明：也｝是等比數(shù)列；

⑵設(shè)Vlog4M.面%/求數(shù)列｛七｝的前"項(xiàng)和S"；

(3)證明：(―l)q+(—1)%+(—1)4++(—1)an<1.

Hl

等比放縮方法是一種處理數(shù)列不等式問(wèn)題的有效技巧。其核心思想在于，通過(guò)觀察數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間

的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其等比規(guī)律，并利用這一規(guī)律對(duì)數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小。

在具體應(yīng)用時(shí)，我們可以根據(jù)數(shù)列的等比性質(zhì)，選擇一個(gè)合適的等比數(shù)列作為放縮的基準(zhǔn)，然后對(duì)原

數(shù)列的每一項(xiàng)都按照這個(gè)等比數(shù)列進(jìn)行放縮。這種方法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握等比數(shù)列的性質(zhì)，以及合理確

定放縮的倍數(shù)，從而確保放縮后的不等式仍然成立。

【變式3-1］數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，滿足：％+4=8,%+仇=18,

。+。=30,6%產(chǎn)%2+9?！?

⑴求數(shù)列｛%｝和圾｝的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列｛4｝和伊“｝的公共項(xiàng)組成的數(shù)列記為｛g｝，求｛6｝的通項(xiàng)公式;

9

(3)記數(shù)列］的前，項(xiàng)和為S“，證明:S<

8-

【變式3-2］已知數(shù)列—｝的前〃項(xiàng)和為若4=1,且滿足S“=%+2a,i(?>3).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

11113

(2)證明：三+六+g廠+…+二

31Zd23d3nbn2

I命題預(yù)測(cè)、

1.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且45“=%+3.

⑴求S.；

(2)^(1+S2?)C?+52?=1,記數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和為?！埃笞C：y<e?<y+-^.

題型四：z?,<(>)/(?)型不等式的證明

Z=1

【典例4-1】已知函數(shù)〃x)=xeT.

(1)若0cx<1,證明：I”(1+：)<<(x)<］n(1+x)；

⑵記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“.

e

⑴若見(jiàn)=〃")，證明：S“<Q了.

(ii)已知函數(shù)g(x)=3x-l+ln(〃x)),若%+i=g(%),4=3,o?>l,證明：S?<3"+n-l.

【典例4-2］數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S,,滿足S,”i=2S“+”+l且首項(xiàng)q=1.

(1)證明：數(shù)列｛%+1｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式％;

(2)令/(工)=0］》+%/++%%",〃€此討論尸⑴(尸(X)為了(X)的導(dǎo)數(shù))與7"的大小關(guān)系.

通項(xiàng)分析法進(jìn)行放縮

【變式4-1】已知函數(shù)〃x)=ln(依+1)T在點(diǎn)(0,0)處的切線與x軸重合.

(1)求函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足q=1,4+1=ln(fl?+1),〃eN*,記數(shù)歹U｛叫的前"項(xiàng)和為Sn,求證：S“>In(〃+1).

【變式4-2］已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx-(m+l)x+2,〃zeR.

⑴當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意xe(l,+8),都有/(x)+5>0恒成立，求機(jī)的最大整數(shù)值;

(3)對(duì)于任意的“?N*,證明：-+-++^L<史也M.

374/z-l4

［命題預(yù)測(cè)J

1.柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的，其形式為：

(?i2+?；++叫(廳+￡++幻占+地++岫］，等號(hào)成立條件為空=￡=L=，*或

%也,i=1,2,3,…，打至少看一方全為0.柯西不等式用處很廣，高中階段常用來(lái)計(jì)算或證明表達(dá)式的最值問(wèn)

題.已知數(shù)列｛4｝滿足％=；，4+1=(〃eN*).

(1)證明：數(shù)列1上］為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛見(jiàn)｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：——--1--------F-H———］<lnj2〃+l.

21%+凡a2+an_x

題型五：立4<(>)/(?)型不等式的證明

Z=1

■az■—t乙r蟲(chóng)心c/、1+ln(l+x)/、m/八、

【典例5-1】已知函數(shù)/(x)=---------,g(尤)=—；(mcR).

Xx+1

(1)判斷函數(shù)/(x)在(0,+8)上的單調(diào)性;

(2)若/(x)>g(x)在(0,+8)上恒成立，求整數(shù)機(jī)的最大值.

(3)求證：(1+1X2)(1+2X3)…口+〃5+1)］>62"-3(其中6為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

【典例5-2】(2024?遼寧大連?一模)已知函數(shù)/")=lnx-史^^+2?

(1)若函數(shù)/(尤)在點(diǎn)(1,/。))處的切線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求人的值；

(2)(i)當(dāng)x>l時(shí)，尤)>0恒成立，求正整數(shù)%的最大值；

(ii)記%=(l+lx2)(l+2x3)11+("-1問(wèn)，,=MN,且“22.試比較。，與”的大小并說(shuō)明理

由.

通項(xiàng)分析法進(jìn)行放縮

【變式5-1］設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且3a“=2(S,+2〃)，?eN*.

⑴證明：數(shù)列｛%+2｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)么=log,證明:1+^—＞業(yè)2向?

ITbj

【變式5-2］伯努利不等式又稱貝努力不等式，由著名數(shù)學(xué)家伯努利發(fā)現(xiàn)并提出.?伯努利不等式在證明數(shù)列

極限、函數(shù)的單調(diào)性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.?伯努利不等式的一種常見(jiàn)形式

為：

當(dāng)時(shí)，(1+xY>1+axf當(dāng)且僅當(dāng)a=l或％=0時(shí)取等號(hào).

⑴假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬(wàn)，且人口的年平均增長(zhǎng)率為1.2%,以此增長(zhǎng)率為依據(jù)，試判斷6年后該地區(qū)

人口的估計(jì)值是否能超過(guò)107萬(wàn)？

_n__n_

(2)數(shù)學(xué)上常用口?表示卬，出，L,?！暗某朔e，口G=?！竒a?,weN*.

1=11=1

(ii)已知直線y=〃x)與函數(shù)y=ln(x+l)的圖象在坐標(biāo)原點(diǎn)處相切，數(shù)歹!]｛%｝,｛2｝滿足：a?=f(n),

么=區(qū)電產(chǎn)L'證明：1+6”++以(而工L

命題預(yù)測(cè)

1.已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,且a〃+i=端-砌“+〃+1,neN*.

⑴計(jì)算〃2，〃3；

(2)求猜測(cè)｛〃〃｝的通項(xiàng)公式，并證明;

(3)設(shè)么=,問(wèn)是否存在使不等式+…1+；之。,2〃+1對(duì)一切〃22且?guī)捉餘*均成立的

I4人\)I\)

最大整數(shù)。，若存在請(qǐng)求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型六：f”(>M型不等式的證明

Z=1

2

【典例6-11在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛。"｝中，4=2,a2=16,an+xan_x=4a?(n>l).

(1)證明數(shù)列

⑵若bn=2+(2亞羨+1)?In3，記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S..

(i)求s“；(ii)證明：S?>-1.

【典例6-2】已知函數(shù)〃x)=xTn(x+a)的最小值為0,其中a>0.

⑴求。的值；

⑵若對(duì)任意的xe［0,+?),有/(x)(小成立，求實(shí)數(shù)上的最小值；

n2

(3)證明：--ln(2?+l)<2neN*.

i=\2l—l

構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行放縮

【變式6-1］已知數(shù)列｛4｝是公比大于0的等比數(shù)列，q=4,%=64.數(shù)列也J滿足：b?=a2?+—(?eN*).

an

⑴求數(shù)列也J的通項(xiàng)公式；

(2)證明：花-%,｝是等比數(shù)列；

(3)證明：g+及(*eN*).

"Vbk一般

【變式6-2］已知數(shù)列｛%｝,S“為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和,且滿足q=1,3s,=(〃+2)%.

(1)求｛4“｝的通項(xiàng)公式；

11111

⑵證明：—+—+—++—<-.

出。4%2

命題預(yù)測(cè)

1.已知函數(shù)/(%)=sinx—x+'％3.

6

⑴證明：對(duì)封^￡[0,+8),/(%)20恒成立；

1113

(2)是否存在〃GN*,使得ln2<sinEa+smi7+???+sm丁右成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

1XjZX471十4

題型七：口”,<(>)6型不等式的證明

i=\

【典例7-1】已知函數(shù)〃x)=x-l—左Inx?wO.

(1)當(dāng)左=2時(shí)，求曲線“X)在尤=1處的切線方程;

(2)若〃力20,求上的值；

1+5■卜機(jī)，求機(jī)的最小值.

(3)設(shè)機(jī)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)外

【典例7-2】已知函數(shù)/(尤)=ln(x+l)-x.

(1)求/(x)的最大值；

(2)設(shè)g(x)=/(x)-冰2(。20),/是曲線丫=8(刈的一條切線，證明：曲線y=g(x)上的任意一點(diǎn)都不可能

在直線/的上方;

2482〃

⑶求證：(1+汨)4+而)《+*)叱尸……(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，〃N*).

巧

構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行放縮

【變式7-1】已知函數(shù)〃x)="2+ln(x+l).

⑴當(dāng)。=-;時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xe[O,y)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

〃13

27

(3)求證:1+<e(neN,,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

【變式7-2】已知函數(shù)〃x)=e=g62一尤.

(1)若/⑴在xeR上單調(diào)遞增，求。的值；

(2)證明：(l+l)(l+-)--(l+4)<e2(〃eN*且”22).

4n

［命題預(yù)測(cè)31

1.己知函數(shù)/(刈=二^,/(I)=1,/fl"l=l.令尤1=4，%+1=/(%).